【三維設(shè)計】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) (基礎(chǔ)知識+高頻考點+解題訓(xùn)練)集合教學(xué)案

第一節(jié)集__合[知識能否憶起]一、元素與集合1．集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．2．集合中元素與集合的關(guān)系：元素與集合之間的關(guān)系有屬于和不屬于兩種，表示符號為∈和?.3．常見集合的符號表示：集合表示自然數(shù)集正整數(shù)集N*或N＋整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集NZQR4．集合的表示法：列舉法、描述法、韋恩圖．二、集合間的基本關(guān)系描述關(guān)系集合間的基本關(guān)系子集文字語言相等A中任意一元素均為B中的元素符號語言集合A與集合B中的所有元素都相同A?B或B?AA＝B真子集A中任意一元素均為B中的元素，且B中AB或BA至少有一個元素A中沒有空集空集是任何集合的子集??B空集是任何非空集合的真子集?B(B≠?)三、集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集若全集為U，則集合A的補集為?UA符號表示A∪BA∩B圖形表示意義{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}[小題能否全取]1．(2012·大綱全國卷)已知集合A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，則()A．A?BB．C?BC．D?CD．A?D解析：選B選項A錯，應(yīng)當(dāng)是B?A.選項B對，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．選項C錯，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．選項D錯，應(yīng)當(dāng)是D?A.2．(2012·浙江高考)設(shè)集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，則A∩(?RB)＝()A．(1,4)C．(1,3)B．(3,4)D．(1,2)∪(3,4)解析：選B因為?RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩(?RB)＝{x|3＜x＜4}．3．(教材習(xí)題改編)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，則A∩B＝B時a的值是()A．2B．2或3D．1或2C．1或3解析：選D驗證a＝1時B＝?滿足條件；驗證a＝2時B＝{1}也滿足條件．4.(2012·鹽城模擬)如圖，已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列舉法寫出圖中陰影部分表示的集合為________．解析：陰影部分表示的集合為A∩C∩(?UB)＝{2,8}．答案：{2,8}5．(教材習(xí)題改編)已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝，則?UA＝________.解析：因為A＝，當(dāng)n＝0時，x＝－2；n＝1時不合題意；n＝2時，x＝2；n＝3時，x＝1；n≥4時，x?Z；n＝－1時，x＝－1；n≤－2時，x?Z.故A＝{－2,2,1，－1}，又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以?UA＝{0}．答案：{0}1.正確理解集合的概念研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法表示時，注意弄清其元素表示的意義是什么．注意區(qū)分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解題時，若未明確說明集合非空時，要考慮到集合為空集的可能性．例如：A?B，則需考慮A＝?和A≠?兩種可能的情況．元素與集合典題導(dǎo)入[例1](1)(2012·新課標(biāo)全國卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為()A．3C．8B．6D．10(2)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，則(m－n)2013＝________.[自主解答](1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的個數(shù)為10.(2)由M＝N知或∴或故(m－n)2013＝－1或0.[答案](1)D(2)－1或0由題悟法1．研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性，對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性．2．對于集合相等首先要分析已知元素與另一個集合中哪一個元素相等，分幾種情況列出方程(組)進(jìn)行求解，要注意檢驗是否滿足互異性．以題試法1．(1)(2012·北京東城區(qū)模擬)設(shè)P、Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q中元素的個數(shù)為()A．9C．7B．8D．6(2)已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，則a＝________.解析：(1)∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴當(dāng)a＝0時，a＋b的值為1,2,6；當(dāng)a＝2時，a＋b的值為3,4,8；當(dāng)a＝5時，a＋b的值為6,7,11，∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P＋Q中有8個元素．(2)∵－3∈A，∴－3＝a－2或－3＝2a2＋5a.∴a＝－1或a＝－.當(dāng)a＝－1時，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，與元素互異性矛盾，應(yīng)舍去．當(dāng)a＝－時，a－2＝－，2a2＋5a＝－3.∴a＝－滿足條件．答案：(1)B(2)－集合間的基本關(guān)系典題導(dǎo)入[例2](1)(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為()A．1C．3B．2D．4(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________.[自主解答](1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由題意知B＝{1,2,3,4}，∴滿足條件的C可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A?B，如圖所示，則a>4，即c＝4.[答案](1)D(2)4由題悟法1．判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系．2．已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系．解決這類問題常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析．以題試法2．(文)(2012·鄭州模擬)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B?A，則實數(shù)m的值為()A．3B．2C．2或3D．0或2或3解析：選D當(dāng)m＝0時，B＝??A；當(dāng)m≠0時，由B＝?{2,3}可得＝2或＝3，解得m＝3或m＝2，綜上可得實數(shù)m＝0或2或3.(理)已知集合A＝{y|y＝A．[－2012,2013]C．[－2013,2011]}，B＝{x||x－m|<2013}，若A∩B＝A，則m的取值范圍是()B．(－2012,2013)D．(－2013,2011)解析：選B集合A表示函數(shù)y＝[0,1]．的值域，由t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，可得0≤y≤1，故A＝集合B是不等式|x－m|<2013的解集，解之得m－2013<x<m＋2013，所以B＝(m－2013，m＋2013)．因為A∩B＝A，所以A?B.如圖，由數(shù)軸可得解得－2012<m<2013.集合的基本運算典題導(dǎo)入[例3](1)(2011·江西高考)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，則集合{5,6}等于()A．M∪NB．M∩NC．(?UM)∪(?UN)D．(?UM)∩(?UN)(2)(2012·安徽合肥質(zhì)檢)設(shè)集合A＝{x|x2＋2x－8<0}，B＝{x|x<1}，則圖中陰影部分表示的集合為()A．{x|x≥1}B．{x|－4<x<2}C．{x|－8<x<1}D．{x|1≤x<2}[自主解答](1)∵M(jìn)∪N＝{1,2,3,4}，∴(?UM)∩(?UN)＝?U(M∪N)＝{5,6}．(2)∵x2＋2x－8<0，∴－4<x<2，∴A＝{x|－4<x<2}，又∵B＝{x|x<1}，∴圖中陰影部分表示的集合為A∩(?UB)＝{x|1≤x<2}．[答案](1)D(2)D將例3(1)中的條件“M＝{2,3}”改為“M∩N＝N”，試求滿足條件的集合M的個數(shù)．解：由M∩N＝N得M?N.含有2個元素的集合M有1個，含有3個元素的集合M有4個，含有4個元素的集合M有6個，含有5個元素的集合M有4個，含有6個元素的集合M有1個．因此，滿足條件的集合M有1＋4＋6＋4＋1＝16個．由題悟法1．在進(jìn)行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時注意端點值的取舍．2．在解決有關(guān)A∩B＝?，A?B等集合問題時，一定先考慮A或B是否為空集，以防漏解．另外要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．以題試法3．(2012·錦州模擬)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，則(?UA)∩B等于()A．{x|x>2，或x<0}C．{x|1<x≤2}B．{x|1<x<2}D．{x|1≤x≤2}解析：選CA＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x>2，或x<0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，?UA＝{x|0≤x≤2}．∴(?UA)∩B＝{x|1<x≤2}．1．(2012·新課標(biāo)全國卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，則()A．ABB．BAD．A∩B＝?C．A＝B解析：選BA＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，所以BA.2．(2012·山西四校聯(lián)考)已知集合M＝{0,1}，則滿足M∪N＝{0,1,2}的集合N的個數(shù)是()A．2C．4B．3D．8解析：選C依題意得，滿足M∪N＝{0,1,2}的集合N有{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}共4個．3．設(shè)集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，則P∪Q＝()A．{3,0}B．{3,0,1}C．{3,0,2}D．{3,0,1,2}解析：選B因為P∩Q＝{0}，所以0∈P，log2a＝0，a＝1，而0∈Q，所以b＝0.所以P∪Q＝{3,0,1}．4．(2012·遼寧高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，則(?UA)∩(?UB)＝()A．{5,8}B．{7,9}C．{0,1,3}D．{2,4,6}解析：選B因為A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{7,9}．5．(2013·合肥質(zhì)檢)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{x∈Z||x|≤a}，則滿足AB的實數(shù)a的一個值為()A．0C．2B．1D．3解析：選D當(dāng)a＝0時，B＝{0}；當(dāng)a＝1時，B＝{－1,0,1}；當(dāng)a＝2時，B＝{－2，－1,0,1,2}；當(dāng)a＝3時，B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，顯然只有a＝3時滿足條件．6．已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，則?U(A∩B)＝()A．(－∞，3)∪(5，＋∞)C．(－∞，3)∪[5，＋∞)B．(－∞，3]∪[5，＋∞)D．(－∞，3]∪(5，＋∞)解析：選Cx2－7x＋10<0?(x－2)·(x－5)<0?2<x<5，A∩B＝{x|3≤x<5}，故?U(A∩B)＝(－∞，3)∪[5，＋∞)．7．(2012·大綱全國卷)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m＝()A．0或C．1或B．0或3D．1或3解析：選B法一：∵A∪B＝A，∴B?A.又A＝{1,3，}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝.由m＝得m＝0或m＝1.但m＝1不符合集合中元素的互異性，故舍去，故m＝0或m＝3.法二：∵B＝{1，m}，∴m≠1，∴可排除選項C、D.又當(dāng)m＝3時，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，滿足A∪B＝{1,3，}＝A，故選B.8．設(shè)S＝{x|x<－1，或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，則a的取值范圍是()A．(－3，－1)B．[－3，－1]C．(－∞，－3]∪(－1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)解析：選A在數(shù)軸上表示兩個集合，因為S∪T＝R，由圖可得解得－3<a<－1.9．若集合U＝R，A＝{x|x＋2>0}，B＝{x|x≥1}，則A∩(?UB)＝________.解析：由題意得?UB＝(－∞，1)，又因為A＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，于是A∩(?UB)＝(－2,1)．答案：(－2,1)10．(2012·武漢適應(yīng)性訓(xùn)練)已知A，B均為集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{1}，(?UA)∩(?UB)＝{2,4}，則B∩(?UA)＝________.解析：依題意及韋恩圖得，B∩(?UA)＝{5,6}．答案：{5,6}11．已知R是實數(shù)集，M＝，N＝{y|y＝}，則N∩(?RM)＝________.解析：M＝{x|x<0，或x>2}，所以?RM＝[0,2]，又N＝[0，＋∞)，所以N∩(?RM)＝[0,2]．答案：[0,2]12．(2012·吉林模擬)已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(?UA)＝?，則m＝________.解析：A＝{－1,2}，B＝?時，m＝0；B＝{－1}時，m＝1；B＝{2}時，m＝－.答案：0,1，－13．(2012·蘇北四市調(diào)研)已知集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x，a∈R}，存在a∈R，使得集合A中所有整數(shù)元素的和為28，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：不等式x2＋a≤(a＋1)x可化為(x－a)(x－1)≤0，由題意知不等式的解集為{x|1≤x≤a}．A中所有整數(shù)元素構(gòu)成以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，其前7項和為＝28，所以7≤a<8，即實數(shù)a的取值范圍是[7,8)．答案：[7,8)14．(2012·安徽名校模擬)設(shè)集合Sn＝{1,2,3，…，n}，若X?Sn，把X的所有元素的乘積稱為X的容量(若X中只有一個元素，則該元素的數(shù)值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為0)．若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱X為Sn的奇(偶)子集．則S4的所有奇子集的容量之和為________．解析：∵S4＝{1,2,3,4}，∴X＝?，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的為X＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分別為1,3,3，所以S4的所有奇子集的容量之和為7.答案：71．(2012·杭州十四中月考)若集合A＝，B＝{－2，－1,1,2}，全集U＝R，則下列結(jié)論正確的是()A．A∩B＝{－1,1}C．A∪B＝(－2,2)B．(?UA)∪B＝[－1,1]D．(?UA)∩B＝[－2,2]解析：選A∵x∈∴A∩B＝{－1,1}．，∴y∈[－1,1]，2．設(shè)A是自然數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k2?A，且?A，那么k是A的一個“酷元”，給定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，設(shè)M?S，且集合M中的兩個元素都是“酷元”，那么這樣的集合M有()A．3個C．5個B．4個D．6個解析：選C由36－x2>0，解得－6<x<6.又因為x∈N，所以S＝{0,1,2,3,4,5}．依題意，可知若k是集合M的“酷元”是指k2與都不屬于集合M.顯然k＝0,1都不是“酷元”．若k＝2，則k2＝4；若k＝4，則＝2.所以2與4不同時在集合M中，才能成為“酷元”．顯然3與5都是集合S中的“酷元”．綜上，若集合M中的兩個元素都是“酷元”，則這兩個元素的選擇可分為兩類：(1)只選3與5，即M＝{3,5}；(2)從3與5中任選一個，從2與4中任選一個，即M＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．所以滿足條件的集合M共有5個．3．(2013·河北質(zhì)檢)已知全集U＝R，集合M＝{x|x＋a≥0}，N＝{x|log2(x－1)<1}，若M∩(?UN)＝{x|x＝1，或x≥3}，那么()A．a(chǎn)＝－1C．a(chǎn)＝1B．a(chǎn)≤1D．a(chǎn)≥1解析：選A由題意得M＝{x|x≥－a}，N＝{x|1<x<3}，所以?UN＝{x|x≤1，或x≥3}，又M∩(?UN)＝{x|x＝1，或x≥3}，因此－a＝1，a＝－1.4．給定集合A，若對于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下三個結(jié)論：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}為閉集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}為閉集合；③若集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合．其中正確結(jié)論的序號是________．解析：①中，－4＋(－2)＝－6?A，所以不正確；②中設(shè)n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，則n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正確；③令A(yù)1＝{－4,0,4}，A2＝{－2,0,2}，則A1，A2為閉集合，但A1∪A2不是閉集合，所以③不正確．答案：②5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)若A∩B＝[1,3]，求實數(shù)m的值；(2)若A??RB，求實數(shù)m的取值范圍．解：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[1,3]，∴得m＝3.(2)?RB＝{x|x＜m－2，或x＞m＋2}．∵A??RB，∴m－2＞3或m＋2＜－1.∴m＞5或m＜－3.即m的取值范圍為(－∞，－3)∪(5，＋∞)．6．(2012·衡水模擬)設(shè)全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(?IM)∩N；(2)記集合A＝(?IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)∵M(jìn)＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，∴?IM＝{x|x∈R且x≠－3}，∴(?IM)∩N＝{2}．(2)A＝(?IM)∩N＝{2}，∵A∪B＝A，∴B?A，∴B＝?或B＝{2}，當(dāng)B＝?時，a－1>5－