(完整版)圓的方程知識點總結和典型例題

圓的方程知識點總結和經典例題1．圓的定義及方程定義平面內與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標準方程(x—a)2+(y—b)2=r2(r>0)圓心：(a,b)，半徑：r一般X2+v2+Dx+Ev+F=0(D2+E2—圓心:(二￥二2)，方程4F>0)半徑：討D2+E2—4F求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設哪一種圓的方程都要列出系數的三個獨立方程．對于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓時易忽視D2+E2—4F>0這一條件.2．點與圓的位置關系點M(x0,y0)與圓(x—a)2^(y—b)2=r2的位置關系：若M(x0,y0)在圓外，則(x0—a)2+(y0—b)2>r2.若M(x0，y0)在圓上%x0—a)2+(y0—b)2三r2.⑶若M(x0,y0)在圓內，則(x0—a)2+(y0—b)2<r2.3．直線與圓的位置關系(1)直線與圓的位置關系的判斷方法設直線l：Ax+By+C=0(A2+B2工0),圓：(x—a)2+(y—b)2=r2(r>0)，d為圓心(a,b)到直線l的距離，聯立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為力.方法位置關系幾何法代數法相交d<r/>0相切d=rJ=0相離d>r/<01.幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半卜徑r的大小關系判斷.2．代數法：根據直線方程與圓的方程組成的方程組解的個數來判斷．3．直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關系來判斷直線與圓的位置關系，但有一定的局限性，必須是過定點的直線系．(2)過一點的圓的切線方程的求法1．當點在圓上時，圓心與該點的連線與切線垂直，從而求得切線的斜率，用直線的點斜式方程可求得圓的切線方程．2．若點在圓外時，過這點的切線有兩條，但在用設斜率來解題時可能求出的切線只有一條，這是因為有一條過這點的切線的斜率不存在．33)求弦長常用的三種方法33)求弦長常用的三種方法利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,弦長l之間的關系r2=d2+^2)2解題．利用交點坐標若直線與圓的交點坐標易求出,求出交點坐標后,直接用兩點間距離公式計算弦長.利用弦長公式設直線l：y=kx+b，與圓的兩交點(X],yj,(x2，y2),將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數的關系得弦長l=、j1+kx]—x2='J(1+k2)[(X]+x2)2—4X]X2].4.圓與圓的位置關系(1)圓與圓位置關系的判斷方法設圓O]：(x—a])2+(y—b])2=r](r1>0),圓O2：(x—a?)2+(y—b2)2=r2(r2>0).方法位置關系幾何法：圓心距d與r1，r2的關系代數法：兩圓方程聯立組成方程組的解的情況外離d>r+r2無解外切d=r,+r2一組實數解相交r,—r21<d<r]+r2兩組不冋的實數解內切d=r1—r2(rD一組實數解內含0Wd<r1—r2|(r1^r?)無解易誤點：兩圓相切問題易忽視分兩圓內切與外切兩種情形.1.判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數的取值范圍有以下幾個步驟：化成圓的標準方程,寫出圓心和半徑；計算兩圓圓心的距離d；通過d,r1+r2,r1—r2的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數的范圍必要時可借助于圖形,數形結合.應用幾何法判定兩圓的位置關系或求字母參數的范圍是非常簡單清晰的,要理清圓心距與兩圓半徑的關系.(2)兩圓相交有關問題1．圓系方程￥<r￥<r?【答案】DCC．4D.4爭一般地過圓C]：x2+y2+D]X+E]y+F]=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓的方程可設為：x2+y2+D]x+E]y+F]+^(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0@H—1)，然后再由其他條件求出久，即可得圓的方程.2．兩圓相交時，公共弦所在的直線方程若圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D]—D2)x+(E]—E2)y+F]—F2=0.公共弦長的求法代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長.幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據勾股定理求解.5.對稱問題(1)點關于點成中心對稱通常利用中點坐標公式點P(x,y)關于Q(a,b)的對稱點為P'(2a—x,2b—y).(2)點關于直線成軸對稱曲線關于點、曲線關于直線成中心對稱或軸對稱與圓有關的最值問題的常見解法形如〃=口形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.x—a形如t=ax+by形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.形如(x—a)2+(y—b)2形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.7.典型例題直線3x+4y—5=0與圓x2+y2=1的位置關系是()A.相交B.相切C.相離D.無法判斷【解析】圓心(0,0)到直線3x+4y—5=0的距離d=咗:啟=1，又圓x2+y2=1的半徑r=1,：.d=r,故直線與圓相切.直線3x+4y+12=0與圓(x—1)2+(y+1)2=9的位置關系是()A.過圓心B.相切C.相離D.相交但不過圓心解析】圓心(1,-解析】圓心(1,-1)到直線3x+4y+12=0的距離d=卩X1+4X(-1)+12求過點(1,—7)且與圓x2+y2=25相切的直線方程.【解析】由題意知切線斜率存在，設切線的斜率為k,則切線方程為y+7=k(x－1)，－k－743即kx—y—k—7=0.：?^^=5，解得k=g或k=—4??:所求切線方程為y+7=3(x—1)或y+7=—4(x—1),即4x—3y—25=0或3x+4y+25=0.過點力(4,—3)作圓C：(x—3)2+(y—1)2=1的切線，求此切線的方程.【解析】因為(4—3)2+(—3—1)2=17>1,所以點A在圓外.(1)若所求切線的斜率存在，設切線斜率為k，則切線方程為y+3=k(x—4)．因為圓心C(3,1)到切線的距離等于半徑，半徑為1,所以3k—1—3—4所以3k—1—3—4k\；'也+1=1,即k+4=k2+1,所以k2+8k+16=k2+1,解得k=15￥?所以切線方程為y+3=15T(x—4)，即15x+8y—36=0.(2)若直線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x=4的距離也為1,這時直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x=4.綜上，所求切線方程為15x+8y—36=0或x=4.5.求直線l：3x+y—6=0被圓C：x2+y2—2y—4=0截得的弦長5.【解析】圓C：x2+y2—2y—4=0可化為x2+(y—1)2=5，其圓心坐標為(0,1),半徑r=\竹.TOC\o"1-5"\h\z3X0+1—6；10點(0,1)到直線I的距離為d=3+=—1=2、事2—d2=1，所以截得的弦長為*10.6.直線x+2y—5+\；5=0被圓x2+y2—2x—4y=0截得的弦長為()6.A．1B．2【解析】圓的方程可化為C:(x—l)2+(y—2)2=5,其圓心為C(l,2),半徑r如圖所示，取弦AB的中點F,連接CF,則CF丄AB,圓心C到直線AB的距離d=CP=距離d=CP=I2+22=1.在RtAACP中，AP故直線被圓截得的弦長AB=4.兩圓x2+y2=9和x2+y2—8x+6y+9=0的位置關系是()A.外離B.相交C.內切DC.內切【解析】兩圓x2+y2=9和x2+y2—8x+6y+9=0的圓心分別為(0,0)和(4,—3),半徑分別為3和4.所以兩圓的圓心距d=\：42+(—3)2=5.又4—3<5<3+4,故兩圓相交．圓O：X2+y2—2x=0和圓O2：X2+y2—4y=0的位置關系為()A.外離B.相交C.外切D.內切【解析】圓O］的圓心坐標為(1,0),半徑長廠］=1;圓O2的圓心坐標為(0,2),半徑長r2=2;1=r2—r1<O1O2=\.I3<r1+r2=3,即兩圓相交.求兩圓x2+y2—2x+10y—24=0和x2+y2+2x+2y—8=0的公共弦所在直線的方程及公共弦長．Ix2+y2—2x+10y—24=0,【解析】聯立兩圓的方程得方程組］,,,兩式相減得lx2+y2+2x+2y—8=0,x—2y+4=0,此為兩圓公共弦所在直線的方程.法一：設兩圓相交于點A,B,則A,B兩點滿足方程組x—2y+4=0,Ix=—4,x2+y2+2x+2y—8=0,解得|y=0所以AB='(—4—0)2+(0—2)2=2逅，即公共弦長為2事5.法二：由x2+y2—2x+10y—24=0,得(x—1)2+(y+5)2=50，其圓心坐標為(1,—5)，半徑長r=5\迂，圓心到直線x—2y+4=0的距離為d=|1—|1—W；—：4=3逅設公共弦長為21,由勾股定理得r2=d2+12，即50=【解析】【解析】設Q(x,y),P(a,b),由中點坐標公式得【解析】【解析】設Q(x,y),P(a,b),由中點坐標公式得(3廬)2+12,解得1=\；3,故公共弦長21=2遠.求圓C1：兀2+尹2=1與圓C2：兀2+尹2—2兀一2尹+1=0的公共弦所在直線被圓25C3：(x—1)2+(y—1)2=~4所截得的弦長.作差【精彩點撥】|聯立圓c2的方程――?|得公共弦所在的直線圓心C3到公共弦的距離〃—--圓的半徑廠—->弦長=2寸n_d【解析】設兩圓的交點坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B的坐標是方程組X2+y2=1,x2+y2-2x-2y+1=0的解’兩式相減得x+yT=°?因為A,B兩點的坐標滿足x+y—1=0,所以AB所在直線方程為x+y-1=0,即C1,C2的公共弦所在直線方程為x+y—1=0,圓C3的圓心為(1,1),其到直線AB的距離圓C3的圓心為(1,1),其到直線AB的距離d=由條件知r2—d2=25

T23T,所以直線AB被圓C3截得弦長為2X12已知圓C與圓(x—1)2+y2=1關于直線y=—x對稱，則圓C的方程為()A.(x+1)2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+(y+1)2=1D.x2+(y—1)2=1【解析】由已知圓(x—1)2+y2=1得圓心C](1,0),半徑長r1=1.設圓心C1(1,0關于直線y=—x對稱的點為(a,b),廠＜島(-1)=-1,fa=0,則解得S所以圓C的方程為x2+(y+1)2=1.a+1blb=—1.I—_=2當動點P在圓x2+y2=2上運動時，它與定點A(3,1)連線中點Q的軌跡方程為.aa＋3aa＋3x=2，f^=2x_3,b+1e=2，所以(b=2y-1.點P(2x—3,2y—1)滿足圓x2+y2=2的方程，所以(2x—3)2+(2y—1)2=2,化簡得|x化簡得|xl]2+(y即為點Q的軌跡方程．13.(1ZABC的頂點坐標分別是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程；(2"ABC的頂點坐標分別是A(0,0),B(5,0),C(0,12),求它的內切圓的方程．【解答】解：(1)設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，①因為A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程①，氣5-a)2-bCl-b)2=r2于是(7-afl'-3-f.)2=r2，可解得a=2,b=-3,r=25,,js-8-b)'2=r2所以AABC的外接圓的方程是(x-2)2+(y+3)2=25.(2)VABC三個頂點坐標分別為A(0,0),B(5,0),C(0,12),???AB丄AC,AB=5,AC=12,BC=13,???△ABC內切圓的半徑r==2，圓心(2,2),2-?△ABC內切圓的方程為(x-2)2+(y-2)2=4.14.已知圓C:X2+(y+1)2=5，直線l:mx-y+1=0(m^R)(1)判斷直線l與圓C的位置關系；(2)設直線I與圓C交于A、B兩點，若直線l的傾斜角為120°，求弦AB的長.【解答】解：(1)由于直線l的方程是mx-y+1=0，即y-仁mx，經過定點H(0，1)，而點H到圓心C(0,-1)的距離為2,小于半徑i5，故點H在圓的內部，故直線l與圓C相交，故直線和圓恒有兩個交點.(2)