專(zhuān)題06+導(dǎo)數(shù)的幾何意義靈活應(yīng)用(文)

專(zhuān)題06導(dǎo)數(shù)的幾何意義靈活應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景．2．理解導(dǎo)數(shù)的意義及幾何意義．3?能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=CC為常數(shù)，y=,y=2,y=3,y=,y=的導(dǎo)數(shù)．4?能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行某些函數(shù)的求導(dǎo).【知識(shí)要點(diǎn)】1?平均變化率及瞬時(shí)變化率1函數(shù)y=f從到的平均變化率用 表示,且=122函數(shù)y=f在=處的瞬時(shí)變化率是：0lim=limAx—0Ax—02?導(dǎo)數(shù)的概念1函數(shù)y=f在=0處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)y=f在=0處的瞬時(shí)變化率,記作00f或y，|=，即f=lim0 0 0AxtO【詳解】y=3的導(dǎo)數(shù)為y'=32，設(shè)切點(diǎn)為(m,m3),可得切線(xiàn)的斜率為3m2，切線(xiàn)的方程為y-山3=3山2(-m),若3=3m2(0-m),解得m=0,只有一解；

若3=3m2(0-m),可得山3=-2,只有一解；若3=3m2(1-m),可得2m3-3m21=0,i即為(m-1)2(2m1)=0,解得m=1或-」，有兩解;若3=3m2(-2-m),可得2m36m2-1=0,由f(m)=2m36m2-1,f'(m)=6m212m,當(dāng)-2VmV0時(shí)，f(m)遞減；當(dāng)m>0或mV-2時(shí)，f(m)遞增.可得f(0)=-1為極小值，f(-2)=7為極大值,則2m36m2-1=0有3個(gè)不等實(shí)數(shù)解.故選：C.練習(xí)3?過(guò)點(diǎn)A2,1作曲線(xiàn)的切線(xiàn)最多有A.3條B.2條C?1條D.0條【答案】A【解析】設(shè)切點(diǎn)為:二…，則切線(xiàn)方程為；'「7—因?yàn)檫^(guò)A2,1,所以■- ----"■'令￡.二二-?'- -'=￡二'-二工二?=.二二工二2三一m八-「兀所以g(x)=0有三個(gè)零點(diǎn)，即切線(xiàn)最多有3條，選A6與切線(xiàn)有關(guān)的范圍問(wèn)題f(盂)f(盂)={例6.已知弘丄=0<a<2工十1,若=1''十匸-：的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A._ln31「B._ln311C?1110,—D?\‘丄1L3'2eJL3，eJ(e丿L2e丿

【答案】B【解析】由分段函數(shù)畫(huà)出y=|f|的圖像，即直線(xiàn)y=ax+a與y=|f|的圖像有三個(gè)不同交點(diǎn)，:-…一二-心---，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)c,kc,kBc二罟,kAc一14，°<x<2時(shí),「=1'"十上:設(shè)切點(diǎn)為（t,in（t+1）），則切線(xiàn)方程為二「，過(guò)C-1,0,代入得t二e-1,即切點(diǎn)為:廠'":，兩個(gè)圖像要有三個(gè)交點(diǎn)，所以ln3<k<1，即In!<a<1，選3e 3eB【點(diǎn)睛】本題把方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函【點(diǎn)睛】本題把方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般適用于，兩個(gè)不同類(lèi)函數(shù)求零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，而且兩個(gè)函數(shù)均容易畫(huà)出，盡量使得只有一個(gè)函數(shù)帶有參數(shù)，即一個(gè)函數(shù)為定函數(shù),另一個(gè)函數(shù)為動(dòng)態(tài)函數(shù)，再根據(jù)要求找出合適位置的圖像及參數(shù)范圍。練習(xí)1?已知函數(shù)? ，若過(guò)點(diǎn)M（3,t）可作曲線(xiàn)y=f（x）的三條切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是A?（―9,18）B?（―18,18）C?（―18,6）D?（—6,6）

【答案】A【解析】由.■工二"-注，得■■■ ，設(shè)切點(diǎn)為，曲線(xiàn)fgd在點(diǎn)C,a3-3a）處的切線(xiàn)方程為［扌-加卜汕-打⑺-可，因?yàn)樵撉芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)M（3,t），所以「弗二汀“「?：，即_p有三個(gè)零點(diǎn)，即直線(xiàn)y=t和函數(shù)「一亠一的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，因?yàn)閊1.vl=-6.Yl.v-3），則g（x）在（F?=|3Z］單調(diào)遞減，在（0,3）上單調(diào)遞增，且當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值為g（0）=-9，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值為g（3）=—18，_-m練習(xí)2.已知定義在r丄,訂上的函數(shù)f（x），滿(mǎn)足八戸匚衛(wèi)，且當(dāng)x占,訂時(shí)f（x）=lnx，若函數(shù)= 在r丄,訂上有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.丄,兀In兀IeA.丄,兀In兀IeB.}jk7Tn:血范--{0}-C?朋」年-{0}[o,兀In兀]D?''工 -【答案】D【解析】"xG[1,xG[1,兀]時(shí)'f(x)=lnx，時(shí),-e[l:^]:/-e[l:^]:/；-=1叱=打兀）畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如圖，由圖知，冗，-—?：，g(x)零點(diǎn),就是y=f(x)與y=ax的交點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)與y二lnx相切的直線(xiàn)斜率為，所有直線(xiàn)與曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)的a的范圍是沁八叫故選D【方法點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式以及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題已知函數(shù)有零點(diǎn)方程有根求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：1直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；2分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；3數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.7已知切線(xiàn)求參數(shù)范圍例7?若直線(xiàn)■二:與曲線(xiàn)’ ：相切，則I：的值為()1A.B?iC.—D.【答案】C【解析】函數(shù)求導(dǎo)后由切線(xiàn)斜率可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入直線(xiàn)和曲線(xiàn)，由縱坐標(biāo)相等得到打二一—一］，從而得解【詳解】由.f〔門(mén)=-:,求導(dǎo)得=二由直線(xiàn)丁=X—瀉曲線(xiàn)心〕=王:-丄相切J可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)為X=:舗＞0）.故7一“噸一代:?整理得：j■二—加—2.故選C.所D-：：口：-2b=Una-lb=2：3氐一皿故選C.練習(xí)1?已知定義在;:上的函數(shù);：的圖像關(guān)于直線(xiàn)：：|對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)■時(shí)，「，過(guò)點(diǎn)C作曲線(xiàn)Ag的兩條切線(xiàn)，若這兩條切線(xiàn)互相垂直，則該函數(shù)；的最小值為（）1 3A. B? C? D?【答案】Bgj【解析】當(dāng)―:時(shí)， 川 ，可得函數(shù)打在「--、-：■:為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得函數(shù)的最小值為「、廠,進(jìn)而分析可得點(diǎn)幾兒作曲線(xiàn)「的兩條切線(xiàn)的斜率「」,設(shè)I右側(cè)的切點(diǎn)為⑴川"：：，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)m-a數(shù)的幾何意義可得、：：；=，卩?一】.■.：m-a1.分析可得當(dāng)「一7時(shí),即.分析可得當(dāng)「一7時(shí),【詳解】根據(jù)題意,則函數(shù)"在"F為增函數(shù),又由函數(shù),；;的圖象關(guān)于直線(xiàn).；舅對(duì)稱(chēng)，函數(shù),；:;在：小.;:為減函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為;點(diǎn)■上，作曲線(xiàn)...=:的兩條切線(xiàn)，則兩條切線(xiàn)的關(guān)于直線(xiàn)：二對(duì)稱(chēng)，即兩條切線(xiàn)的斜率互為相反數(shù)，若兩條切線(xiàn)互相垂直，切線(xiàn)的斜率-1，設(shè);■二:?右側(cè)的切點(diǎn)為'）■■-:「，因?yàn)?：,=—■■，所以導(dǎo)數(shù)./■則有:i，即:―二[，①?lài)?yán)加-0-又由切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)Y，可得—'，即-■>.'，解可得②聯(lián)立①②可得.=I則函數(shù)；?:的最小值為d」'=?，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線(xiàn)的斜率公式，屬于中檔題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：1已知切點(diǎn)'C, 求斜率，，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)2己知斜率「?求切點(diǎn)占陽(yáng)％））?即解方程3巳知切線(xiàn)過(guò)某點(diǎn)呻祖衍））不是切點(diǎn)求切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)f利用 廠…"求解“ 1 U7 ]練習(xí)2?已知曲線(xiàn)■'' ■' !，與直線(xiàn)'.相切，且滿(mǎn)足條件的?.值有且只有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.|i—.「B?、?C.|；—「D?-■【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)亠八…,求出切線(xiàn)方程為7汕心，將:二;:代入，可得：亠\宀亍只需使該方程丄八2 1z1有三個(gè)根即可，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)數(shù)^』廠廠匕的單調(diào)性，令其極大值大于零，極小值小于零列不等式可得結(jié)果【詳解】由題意得：D.，—,設(shè)切點(diǎn)八；'：則其切線(xiàn)的斜率為一；所以切線(xiàn)方程為一;;，_，又點(diǎn)::：:;在切線(xiàn)上，TOC\o"1-5"\h\z?] 1 口 2 1 1?一呂+尹一尹*玄=（』+皿-可（0"）艮即亠尹十訂023 1 2 1 2 1z1由題意得，方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，記^、￡_廠’人，a a則d—-泊，當(dāng)Z：時(shí)，令U】'」，解得—或'"/，令:解得八’、上,則函數(shù)A在「V上單調(diào)遞增，在:丁:上單調(diào)遞減，在1■■■■■上單調(diào)遞增,1f口 2j1 2 1???r:一;，叮=/■???要使方程「一廠亠嚴(yán)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，]a則:門(mén),解得-.■>/,實(shí)數(shù)?.的取值范圍是m，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值以及函數(shù)的零點(diǎn)，屬于難題對(duì)于與“三次函數(shù)”的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，往往考慮函數(shù)的極值符號(hào)來(lái)解決，設(shè)函數(shù)的極大值為「嚴(yán).：，極小值為/■：■■-,■：：一個(gè)零點(diǎn)V.M或g■-：!；兩個(gè)零點(diǎn);*、「或二￥二鳥(niǎo)三個(gè)零點(diǎn)gm且8導(dǎo)數(shù)幾何意義綜合例8?設(shè)過(guò)曲線(xiàn).：-m（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)為，總存在過(guò)曲線(xiàn)''''' "■上一點(diǎn)處的切線(xiàn)，使得I-■：，則實(shí)數(shù)「的取值范圍為（）A.|「；|B?—C.|一：汕?丨一：：|【答案】C【解析】分析：先設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義表現(xiàn)切線(xiàn)斜率，根據(jù)切線(xiàn)垂直得等量關(guān)系，最后根據(jù)任意性與存在性轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域包含問(wèn)題求解詳解：因?yàn)榍芯€(xiàn)- 的切點(diǎn)分別為小兒以而，所以-…?…：工 1[e1+1][=??2匸EKfJTjl=■1B +2匚口百JT?=因?yàn)椋籂?wèi)所以1 宦（0. 1} *口亡2cosjtj￡[a—2,u+2]因?yàn)?，所以I'1':7因此:.■-'-■.選C點(diǎn)睛:對(duì)于方程任意或存在性問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)值域包含關(guān)系，即I上」Qd「-兒:;的值域包含于：=八的值域;0?八7-2」.U的值域與.'的值域交集非空練習(xí)1?已知函數(shù);：■!=.■/..-■的圖象與直線(xiàn)：’?'?；「'：?恰有三個(gè)公共點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大分別為1「代，則I： ；A.B?C0D?1【答案】B恰有三個(gè)公共點(diǎn)即直線(xiàn)與;p的圖象相切于B,C兩點(diǎn),n小.◎；'1才..，「爲(wèi)且rWsin'Zx^廠（七）=2cos2x3=ifJfi=——-.?.r’二■' 7-jf3rr-2jt3一斗「一.故答案為：B點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題有兩種解決方法，一個(gè)是利用二分法求解，另一個(gè)是化原函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)來(lái)求解本題采用第二種方法，充分利用函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)性及相切的關(guān)系布列方程即可練習(xí)2?已知I：,2十.I是函數(shù)'=-.-I圖像上的兩個(gè)不同點(diǎn)且在第兩點(diǎn)處的切線(xiàn)互相平行，則的取值范圍是（）A.i.iB.i,‘C?cD?in【答案】D【解析】由題意當(dāng)》時(shí),；—一,當(dāng)―時(shí)，「".，：：?,因?yàn)樵贘兩點(diǎn)處的切線(xiàn)互相平行，且<>■：,所以以否則根據(jù)導(dǎo)數(shù)相等得出「兩點(diǎn)重合，所以在點(diǎn)宀"一;處切線(xiàn)的斜率為門(mén)r-丿-,在點(diǎn)■'■；■：.■：；處切線(xiàn)的斜率為「卩-所以1-—*,T"7=1即―r表示的曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)在第四象限的部分，如圖：表示這個(gè)曲線(xiàn)上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，由圖可知取值范圍是:...：；,故選D題時(shí)先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)并判斷，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的范圍，因此解本題的關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖形的幾何意義來(lái)求解9與最值有關(guān)切線(xiàn)問(wèn)題例9?點(diǎn)p是曲線(xiàn)「二上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)p到直線(xiàn)-的最短距離為（）打＜2【答案】D【解析】設(shè)戸二丁-此一-，因y/=2x-1，故切線(xiàn)的斜率k=2t-1，由題意當(dāng)切x t線(xiàn)與直線(xiàn)---平行時(shí)，切點(diǎn)P到這條直線(xiàn)的距離最小，所以2t-1=1，解ta—―———r住之得t=1，t=-1應(yīng)舍去，故P（1,1）到直線(xiàn)的距離血 ，故應(yīng)選D考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及但點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的綜合運(yùn)用【易錯(cuò)點(diǎn)晴】導(dǎo)數(shù)是研究和刻畫(huà)函數(shù)的單調(diào)性和極值等的重要工具，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)和髙考命題的重要內(nèi)容和考點(diǎn)本題以「二廠f所滿(mǎn)足等式條件為背景，考查的是函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的靈活運(yùn)用求解時(shí)先運(yùn)用求導(dǎo)法則求出函數(shù)「二"-l[1的導(dǎo)數(shù)為y/=2X-1，然后依據(jù)X題設(shè)求出切線(xiàn)與直線(xiàn)-■-■=-平行時(shí)，切點(diǎn)P到這條直線(xiàn)的距離最小，所以2t-1=1，解之得t=1，t=-1，求