初二數(shù)學(xué)一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

初二數(shù)學(xué)一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)初二數(shù)學(xué)一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)初二數(shù)學(xué)一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月初二數(shù)學(xué)一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)基本概念1、變量：在一個(gè)變化過程中可以取不同數(shù)值的量。常量：在一個(gè)變化過程中只能取同一數(shù)值的量。例題：在勻速運(yùn)動(dòng)公式中,表示速度,表示時(shí)間,表示在時(shí)間內(nèi)所走的路程,則變量是________,常量是_______。在圓的周長公式C=2πr中，變量是________，常量是_________.2、函數(shù)：一般的，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。*判斷Y是否為X的函數(shù)，只要看X取值確定的時(shí)候，Y是否有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)例題：下列函數(shù)（1）y=πx(2)y=2x-1(3)y=EQ\F(1,x)(4)y=2-1-3x(5)y=x2-1中，是一次函數(shù)的有（）（A）4個(gè)（B）3個(gè)（C）2個(gè)（D）1個(gè)3、定義域：一般的，一個(gè)函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。4、確定函數(shù)定義域的方法：（1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；（2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零；（3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開放方數(shù)大于等于零；（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零；（5）實(shí)際問題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。例題：下列函數(shù)中，自變量x的取值范圍是x≥2的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=·函數(shù)中自變量x的取值范圍是___________.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是（）A.B.C.D.5、函數(shù)的圖像一般來說，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象．6、函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。7、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來）。8、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。9、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx(k不為零)=1\*GB3①k不為零=2\*GB3②x指數(shù)為1=3\*GB3③b取零當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減?。馕鍪剑簓=kx（k是常數(shù)，k≠0）必過點(diǎn)：（0，0）、（1，k）走向：k>0時(shí)，圖像經(jīng)過一、三象限；k<0時(shí)，圖像經(jīng)過二、四象限增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸例題：.正比例函數(shù)，當(dāng)m時(shí)，y隨x的增大而增大.若是正比例函數(shù)，則b的值是（）B.C.D..函數(shù)y=(k-1)x，y隨x增大而減小，則k的范圍是()A.B.C.D.東方超市鮮雞蛋每個(gè)元，那么所付款y元與買鮮雞蛋個(gè)數(shù)x（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式是_______________．平行四邊形相鄰的兩邊長為x、y，周長是30，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是__________．10、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y=kx＋b即y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b(k不為零)=1\*GB3①k不為零=2\*GB3②x指數(shù)為1=3\*GB3③b取任意實(shí)數(shù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0，b）和（-，0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長度得到.（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)（2）必過點(diǎn)：（0，b）和（-，0）（3）走向：k>0，圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0，圖象經(jīng)過第二、四象限b>0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0，圖象經(jīng)過第三、四象限直線經(jīng)過第一、二、三象限直線經(jīng)過第一、三、四象限直線經(jīng)過第一、二、四象限直線經(jīng)過第二、三、四象限（4）增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.（6）圖像的平移：當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位；當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.例題：若關(guān)于x的函數(shù)是一次函數(shù)，則m=，n..函數(shù)y=ax+b與y=bx+a的圖象在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致位置正確的是（）將直線y＝3x向下平移5個(gè)單位，得到直線；將直線y＝-x-5向上平移5個(gè)單位，得到直線.若直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(),則____________.已知函數(shù)y＝3x+1，當(dāng)自變量增加m時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值增加（）Ａ．3m+1Ｂ．3mＣ．mＤ．3m－111、一次函數(shù)y=kx＋b的圖象的畫法.根據(jù)幾何知識(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：（0，b），.即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0的點(diǎn).b>0b<0b=0k>0經(jīng)過第一、二、三象限經(jīng)過第一、三、四象限經(jīng)過第一、三象限圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大k<0經(jīng)過第一、二、四象限經(jīng)過第二、三、四象限經(jīng)過第二、四象限圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小若m＜0,n＞0,則一次函數(shù)y=mx+n的圖象不經(jīng)過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限12、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系一次函數(shù)y=kx＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長度而得到（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）.13、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系（1）兩直線平行：k1=k2且b1b2（2）兩直線相交：k1k2（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b214、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（2）將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；（3）解方程得出未知系數(shù)的值；（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.15、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.16、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（?。┯?時(shí)，求自變量的取值范圍.17、一次函數(shù)與二元一次方程組（1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=的圖象相同.（2）二元一次方程組的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)y=和y=的圖象交點(diǎn).一次函數(shù)自變量x和因變量y有如下關(guān)系：y=kx+b（k為任意不為零實(shí)數(shù)，b為任意實(shí)數(shù)）則此時(shí)稱y是x的一次函數(shù)。特別的，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。即：y=kx（k為任意不為零實(shí)數(shù)）定義域：自變量的取值范圍，自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義；要與實(shí)際有意義。一次函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)： b>0 b<0 b=0k>0 經(jīng)過第一、二、三象限 經(jīng)過第一、三、四象限 經(jīng)過第一、三象限 圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大k<0 經(jīng)過第一、二、四象限 經(jīng)過第二、三、四象限 經(jīng)過第二、四象限 圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小一次函數(shù)的性質(zhì)的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k即：y=kx+b（k≠0)（k為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù)）2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的截距。為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角)形。取。象。交。減一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)1．作法與圖形：通過如下3個(gè)步驟（1）列表[一般取兩個(gè)點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線]；（2）描點(diǎn)；（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)）2．性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點(diǎn)。3．函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變量過程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。4．k，b與函數(shù)圖像所在象限：y=kx時(shí)當(dāng)k＞0時(shí)，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。y=kx+b時(shí)：當(dāng)k>0,b>0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，三象限。當(dāng)k>0,b<0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三，四象限。當(dāng)k<0,b<0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過二，三，四象限。當(dāng)k<0,b>0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，四象限。當(dāng)b＞0時(shí)，直線必通過一、二象限；當(dāng)b＜0時(shí)，直線必通過三、四象限。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，直線通過原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。這時(shí)，當(dāng)k＞0時(shí)，直線只通過一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，直線只通過二、四象限。4、特殊位置關(guān)系當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時(shí)，其函數(shù)解析式中K值（即一次項(xiàng)系數(shù)）相等當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時(shí)，其函數(shù)解析式中K值互為負(fù)倒數(shù)（即兩個(gè)K值的乘積為-1）確定一次函數(shù)的表達(dá)式已知點(diǎn)A（x1，y1）；B（x2，y2），請(qǐng)確定過點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。（1）設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式（也叫解析式）為y=kx+b。（2）因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②（3）解這個(gè)二元一次方程，得到k，b的值。（4）最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用1.當(dāng)時(shí)間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。常用公式（不全，希望有人補(bǔ)充）1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求與x軸平行線段的中點(diǎn)：|x1-x2|/23.求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|y1-y2|/24.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（注：根號(hào)下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）5.求兩一次函數(shù)式圖像交點(diǎn)坐標(biāo)：解兩函數(shù)式兩個(gè)一次函數(shù)y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2兩式任一式得到y(tǒng)=y0則(x0,y0)即為y1=k1x+b1與y2=k2x+b2交點(diǎn)坐標(biāo)6.求任意2點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]7.求任意2點(diǎn)的連線的一次函數(shù)解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母為0，則分子為0)kb++在一、二、三象限+-在一、三、四象限-+在一、二、四象限--在二、三、四象限8.若兩條直線y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b29.如兩條直線y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1應(yīng)用一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)是：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小。利用一次函數(shù)的性質(zhì)可解決下列問題。一、確定字母系數(shù)的取值范圍例1.已知正比例函數(shù)，則當(dāng)m=______________時(shí)，y隨x的增大而減小。解：根據(jù)正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)，得且m<0，即且，所以。二、比較x值或y值的大小例2.已知點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，且y1>y2，則x1與x2的大小關(guān)系是（）A.x1>x2B.x1<x2C.x1=x2D.無法確定解：根據(jù)題意，知k=3>0，且y1>y2。根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)“當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大”，得x1>x2。故選A。三、判斷函數(shù)圖象的位置例3.一次函數(shù)y=kx+b滿足kb>0，且y隨x的增大而減小，則此函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解：由kb>0，知k、b同號(hào)。因?yàn)閥隨x的增大而減小，所以k<0。所以b<0。故一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限。故選A.典型例題:例1.一個(gè)彈簧，不掛物體時(shí)長12cm,掛上物體后會(huì)伸長，伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比例.如果掛上3kg物體后，彈簧總長是，求彈簧總長是y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式.如果彈簧最大總長為23cm，求自變量x的取值范圍.分析：此題由物理的定性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的定量問題，同時(shí)也是實(shí)際問題，其核心是彈簧的總長是空載長度與負(fù)載后伸長的長度之和，而自變量的取值范圍則可由最大總長→最大伸長→最大質(zhì)量及實(shí)際的思路來處理.解：由題意設(shè)所求函數(shù)為y=kx+12則=3k+12，得k=∴所求函數(shù)解析式為y=+12由23=+12得：x=22∴自變量x的取值范圍是0≤x≤22【考點(diǎn)指要】一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)在中考說明中是C級(jí)知識(shí)點(diǎn)，特別是根據(jù)問題中的條件求函數(shù)解析式和用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式在中考說明中是D級(jí)知識(shí)點(diǎn).它常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇題、填空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中，大約占有8分左右.解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.例2.如果一次函數(shù)y=kx+b中x的取值范圍是-2≤x≤6，相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是-11≤y≤9.求此函數(shù)的的解析式。解：（1）若k＞0，則可以列方程組-2k+b=-116k+b=9解得k=b=-6，則此時(shí)的函數(shù)關(guān)系式為y=—6（2）若k＜0，則可以列方程組-2k+b=96k+b=-11解得k=b=4，則此時(shí)的函數(shù)解析式為y=+4【考點(diǎn)指要】此題主要考察了學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，若k＞0，則y隨x的增大而增大；若k＜0，則y隨x的增大而減小。一次函數(shù)解析式的幾種類型①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數(shù)b=0）③y-y1=k(x-x1)[點(diǎn)斜式]（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個(gè)點(diǎn)）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[兩點(diǎn)式]（（x1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點(diǎn)）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分別為直線在x、y軸上的截距）解析式表達(dá)局限性：①所需條件較多（3個(gè)）；②、③不能表達(dá)沒有斜率的直線（平行于x軸的直線）；④參數(shù)較多，計(jì)算過于煩瑣；⑤不能表達(dá)平行于坐標(biāo)軸的直線和過圓點(diǎn)的直線。傾斜角：x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜角。設(shè)一直線的傾斜角為a，則該直線的斜率k=tg(a)形如y=kx(k為常數(shù)，且k不等于0），y就叫做x的正比例函數(shù).正比例函數(shù)屬于一次函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式.即當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b若b=0，則此為正比例函數(shù).圖像做法1.列表2.描點(diǎn)3.連線(一定要經(jīng)過坐標(biāo)軸的原點(diǎn))其次，正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過原點(diǎn)和（1，k）[或(2