力學(xué)課件41、角量表示、轉(zhuǎn)動(dòng)定律

一、剛體的運(yùn)動(dòng)剛體：在討論問(wèn)題時(shí)可以忽略由于受力而引起的======形狀和體積的改變的物體的理想模型。（用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)討論）4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述剛體在運(yùn)動(dòng)中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。（下一頁(yè)）1、平動(dòng)：一、剛體的運(yùn)動(dòng)剛體：在討論問(wèn)題時(shí)可以忽略由于受力而引起的=12、轉(zhuǎn)動(dòng)：對(duì)點(diǎn)、對(duì)軸（只討論定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）一般剛體的運(yùn)動(dòng)是既有平動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)：質(zhì)心的平動(dòng)加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心都在一條固定不動(dòng)的直線（轉(zhuǎn)軸）上。各質(zhì)元的線量一般不同（因?yàn)榘霃讲煌┑橇浚ń俏灰?、角速度、角加速度）都相同。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體內(nèi)所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸（下一頁(yè))）2、轉(zhuǎn)動(dòng)：對(duì)點(diǎn)、對(duì)軸（只討論定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）一般剛體的運(yùn)動(dòng)是既有平2二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸參考方向各質(zhì)元的線量（速度、加速度）一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同∴描述剛體整體的運(yùn)動(dòng)用角量最方便。（下一頁(yè)）二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸參考方向各質(zhì)3剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中所用的角量關(guān)系如下：角量方向規(guī)定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定。加速轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致減速轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反（下一頁(yè)）線速度與角速度的關(guān)系：角速度角加速度剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中所用的角量關(guān)系如下：角量方向規(guī)定為沿軸方向，指向4在剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)（角加速度是常量）時(shí)，相應(yīng)公式:（下一頁(yè)）非勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)：（例如T1-18）類似于勻變速直線運(yùn)動(dòng)，但是切記！在剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)（角加速度是常量）時(shí)，（下一頁(yè)）非勻變速5線量速度、加速度角量角速度、角加速度三、角量與線量的關(guān)系一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上各質(zhì)點(diǎn)的角量都相同；各點(diǎn)的線速度

v與各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離

r

成正比，距離越遠(yuǎn)，線速度越大；同樣，距離越遠(yuǎn)處，其切向加速度和法向加速度也越大。。（下面作一下課本P149，T4-2）P112例1、P113例2，請(qǐng)同學(xué)們課下自己看看。線量速度、加速度角量角速度、角加速度三、角量與線量的關(guān)系6求：⑴t=6·0s時(shí)的轉(zhuǎn)速；

⑵角加速隨時(shí)間變化的規(guī)律；⑶啟動(dòng)后6·0s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。解：⑴根據(jù)題意轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化關(guān)系，將t=6·0s代入，即得：（下一頁(yè)）課本P149，T4-2，某種電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)后轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化式中的關(guān)系為：求：⑴t=6·0s時(shí)的轉(zhuǎn)速；解：⑴根據(jù)題意轉(zhuǎn)速隨7⑶

t=6·0s時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為則t=6·0s時(shí)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)下面學(xué)習(xí)“轉(zhuǎn)動(dòng)定律”⑵角加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律為：⑶t=6·0s時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為則t=6·084-2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面方向：右手螺旋法則（下一頁(yè)）=力×力臂力矩大?。?1)力f

在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)(2)力f

在轉(zhuǎn)動(dòng)平面外取其在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力產(chǎn)生力矩。4-2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面9課本P116例1

有一大型水壩高110m、長(zhǎng)1000m，水深100m，水面與大壩表面垂直。求水作用在大壩上的力以及這個(gè)力對(duì)通過(guò)大壩基點(diǎn)Q且與x軸平行的軸的力矩。分析：這是由壓強(qiáng)求壓力，但是壓強(qiáng)是隨著水深變化的量，不能用“壓強(qiáng)×表面積”來(lái)計(jì)算；然而在水深相同y處，壓強(qiáng)P相等，可在此處取一高為dy，長(zhǎng)為壩長(zhǎng)L的表面積dA=Ldy，其上壓強(qiáng)為P=P0+g（h-y），可認(rèn)為是個(gè)不變量，則此面積元上的水壓力dF=PdA。又由于水作用在壩面上的力方向均相同，所以垂直作用在大壩表面上的合力，由水底到水面積分可求得。同樣，求力矩也要在水深為y

處，先求出dF的力矩dM=ydF，再積分求得合力矩。解：（下一頁(yè)）課本P116例1有一大型水壩高110m、長(zhǎng)1000m，水10合力矩為問(wèn)題：如遇特大洪水，為保證大壩安全，用什么措施可減少水壩所受的力矩？——水深不可改變，即水壓力的大小改變不了；但正壓力的方向是可以改變的。大壩迎水表面修建得坡度緩一些，水壓力對(duì)大壩基點(diǎn)Q的力矩即可減少。（下一頁(yè)）合力矩為問(wèn)題：如遇特大洪水，為保證大壩安全，用什么措施可減少11對(duì)mi用牛頓第二定律：切向分量式為：Fisini+fisini=miait二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律zOrimifiiFii兩邊乘以riait=ri（下一頁(yè)）在剛體上任取一質(zhì)量元△mi，受到外力Fi，內(nèi)力fi

。外力矩內(nèi)力矩對(duì)mi用牛頓第二定律：切向分量式為：Fisini+fi12對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和：一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零，所以有令J＝∑miri2，稱為剛體對(duì)于定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用M表示合外力矩則有M＝J只與剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于剛體上的合外力矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律∑Firisini+∑firisini

=(∑miri2)∑Firisini

=（∑miri2）（下一頁(yè)）對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和：一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零，所以有令13M＝J與地位相當(dāng)m:反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，J:反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置剛體的形狀（下一頁(yè)）

力矩M是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。力F是使物體平動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生加速度的原因。M＝J與地位相當(dāng)m:反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，J:反映剛體14····ZOamamaamm●一可忽略質(zhì)量的輕質(zhì)平面正方形框架，邊長(zhǎng)為a，其四個(gè)頂點(diǎn)上分別有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，求此質(zhì)點(diǎn)系繞垂直于正方形平面且過(guò)其中心的軸OZ的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。Z’Z”●若轉(zhuǎn)軸平移至正方形的一個(gè)頂點(diǎn)●若轉(zhuǎn)軸平移至正方形的一邊中點(diǎn)（下一頁(yè)）例如：····ZOamamaamm●一可忽略質(zhì)量的輕質(zhì)平面正方形框15若質(zhì)量連續(xù)分布在（SI）中，J的單位：kgm2質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。面分布（下一頁(yè)）若質(zhì)量連續(xù)分布在（SI）中，J的單位：kgm2質(zhì)量為線分布16解:J是可加的，所以若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。ROdm注意只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，才能較簡(jiǎn)便地用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（下一頁(yè)）1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻細(xì)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。在圓環(huán)上任取質(zhì)量元

dm解:J是可加的，所以若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。ROd172、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤

的===轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過(guò)盤心。解：任取半徑為r寬為dr的同心細(xì)圓環(huán),（下一頁(yè)）可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其厚度l無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是

。2、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l的均勻圓盤的===轉(zhuǎn)動(dòng)慣183、求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx（下一頁(yè)）3、求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同ABLXABL/2194、求半徑為R、質(zhì)量為

m的球體繞其直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。ORrZm解：在球體上沿垂直于轉(zhuǎn)軸OZ取一半徑====為r、高為dz

的小球臺(tái)，其質(zhì)量為：其繞OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：（下一頁(yè)）（見P121表4-2）4、求半徑為R、質(zhì)量為m的球體繞其直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量20四、平行軸定理前例3中JC表示相對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，=======JA表示相對(duì)通過(guò)棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。=======兩軸平行，相距L/2?？梢姡和茝V上述結(jié)論，若有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則有：J＝JC＋md2。（下一頁(yè)）這個(gè)結(jié)論稱為平行軸定理。四、平行軸定理前例3中JC表示相對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量21例：右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？(棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、圓半徑為R）（下一頁(yè)）解：棒mL饒其端點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Z球饒Z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量球繞其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例：右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？22五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用例１、一個(gè)質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體ｍ由靜止下落高度ｈ時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。解：（下一頁(yè)）（滑輪的慣性不能忽略）mg五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用例１、一個(gè)質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ23例2、一個(gè)飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)在制動(dòng)飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來(lái)。

求閘瓦對(duì)輪子的壓力N為多大？

（假設(shè)飛輪的質(zhì)量都集中在

輪緣上）μ=0.50.F0（下一頁(yè)）解：飛輪勻減速制動(dòng)時(shí)有角加速度例2、一個(gè)飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每24外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。0Nfr（下一頁(yè)）外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。0Nfr（下一頁(yè)）25例3、一根長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過(guò)程，外力矩為重力對(duì)O的力矩。棒上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺角時(shí)，重力矩為：（下一頁(yè)）XOdmgdmxLl例3、一根長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑26重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。必須是勻質(zhì)細(xì)直棒。mgCdmgXOdmxc（下一頁(yè)）重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣27（下一頁(yè)）則積分得（下一頁(yè)）則積分得28m2m1aaMR如圖，一細(xì)而輕的繩索跨過(guò)一定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1

和m2的物體，且m1＞m2。設(shè)定滑輪是一質(zhì)量為M，半徑為R的圓盤。繩的質(zhì)量略去不計(jì)，且繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。試求物體的加速度和繩的張力。如果略去滑輪的運(yùn)動(dòng)，將會(huì)得到什么結(jié)果？解：分別作出滑輪M、物體m1和m2的受力圖。m1gT1m2gT2T1T2應(yīng)用牛頓第二定律對(duì)M：（T1–T2）R=J⑶

應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律（下一頁(yè)）對(duì)m1：m1g–T1=m1a⑴對(duì)m2：T2–m2g=m2a⑵NP（N、P是對(duì)平衡力）故m1和m2兩物體運(yùn)動(dòng)的加速度大小相等，但方向相反。由于繩索質(zhì)量不計(jì)，且長(zhǎng)度不變，m2m1aaMR如圖，一細(xì)而輕的繩索跨過(guò)一定滑輪，繩的兩端分29且由角量與線量的關(guān)系，有：a=R⑷解聯(lián)立方程組⑴、⑵、⑶和⑷，可得：如果略去滑輪的運(yùn)動(dòng)，即T1=T2=T、J=0，有：（下一頁(yè)）且由角量與線量的關(guān)系，有：a=R⑷解聯(lián)30本次課重要概念：1、掌握角量與線量的關(guān)系。2、力矩、理解其意義并會(huì)計(jì)算；3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，要求理解它的物理意義；不要求死記硬背其計(jì)算及其公式，常用了也就記住了。若考試時(shí)需要，可把公式提供給你。4、轉(zhuǎn)動(dòng)定律，要求象對(duì)待牛頓定律那樣對(duì)待之。（下一頁(yè)思考、作業(yè)）本次課重要概念：（下一頁(yè)思考、作業(yè)）31作業(yè)：P150，T4---5、7、13ByeBye!力矩與力的關(guān)系及區(qū)別；合外力為零，合外力矩是否一定也為零；反之，合外力不為零，合外力矩是否也一定不為零？思考：作業(yè)：ByeBye!力矩與力的關(guān)系及區(qū)別32一、剛體的運(yùn)動(dòng)剛體：在討論問(wèn)題時(shí)可以忽略由于受力而引起的======形狀和體積的改變的物體的理想模型。（用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)討論）4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述剛體在運(yùn)動(dòng)中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。（下一頁(yè)）1、平動(dòng)：一、剛體的運(yùn)動(dòng)剛體：在討論問(wèn)題時(shí)可以忽略由于受力而引起的=332、轉(zhuǎn)動(dòng)：對(duì)點(diǎn)、對(duì)軸（只討論定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）一般剛體的運(yùn)動(dòng)是既有平動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)：質(zhì)心的平動(dòng)加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心都在一條固定不動(dòng)的直線（轉(zhuǎn)軸）上。各質(zhì)元的線量一般不同（因?yàn)榘霃讲煌┑橇浚ń俏灰?、角速度、角加速度）都相同。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體內(nèi)所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸（下一頁(yè))）2、轉(zhuǎn)動(dòng)：對(duì)點(diǎn)、對(duì)軸（只討論定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）一般剛體的運(yùn)動(dòng)是既有平34二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸參考方向各質(zhì)元的線量（速度、加速度）一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同∴描述剛體整體的運(yùn)動(dòng)用角量最方便。（下一頁(yè)）二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸參考方向各質(zhì)35剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中所用的角量關(guān)系如下：角量方向規(guī)定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定。加速轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致減速轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反（下一頁(yè)）線速度與角速度的關(guān)系：角速度角加速度剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中所用的角量關(guān)系如下：角量方向規(guī)定為沿軸方向，指向36在剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)（角加速度是常量）時(shí)，相應(yīng)公式:（下一頁(yè)）非勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)：（例如T1-18）類似于勻變速直線運(yùn)動(dòng)，但是切記！在剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)（角加速度是常量）時(shí)，（下一頁(yè)）非勻變速37線量速度、加速度角量角速度、角加速度三、角量與線量的關(guān)系一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上各質(zhì)點(diǎn)的角量都相同；各點(diǎn)的線速度

v與各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離

r

成正比，距離越遠(yuǎn)，線速度越大；同樣，距離越遠(yuǎn)處，其切向加速度和法向加速度也越大。。（下面作一下課本P149，T4-2）P112例1、P113例2，請(qǐng)同學(xué)們課下自己看看。線量速度、加速度角量角速度、角加速度三、角量與線量的關(guān)系38求：⑴t=6·0s時(shí)的轉(zhuǎn)速；

⑵角加速隨時(shí)間變化的規(guī)律；⑶啟動(dòng)后6·0s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。解：⑴根據(jù)題意轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化關(guān)系，將t=6·0s代入，即得：（下一頁(yè)）課本P149，T4-2，某種電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)后轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化式中的關(guān)系為：求：⑴t=6·0s時(shí)的轉(zhuǎn)速；解：⑴根據(jù)題意轉(zhuǎn)速隨39⑶

t=6·0s時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為則t=6·0s時(shí)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)下面學(xué)習(xí)“轉(zhuǎn)動(dòng)定律”⑵角加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律為：⑶t=6·0s時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為則t=6·0404-2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面方向：右手螺旋法則（下一頁(yè)）=力×力臂力矩大小：(1)力f

在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)(2)力f

在轉(zhuǎn)動(dòng)平面外取其在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力產(chǎn)生力矩。4-2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面41課本P116例1

有一大型水壩高110m、長(zhǎng)1000m，水深100m，水面與大壩表面垂直。求水作用在大壩上的力以及這個(gè)力對(duì)通過(guò)大壩基點(diǎn)Q且與x軸平行的軸的力矩。分析：這是由壓強(qiáng)求壓力，但是壓強(qiáng)是隨著水深變化的量，不能用“壓強(qiáng)×表面積”來(lái)計(jì)算；然而在水深相同y處，壓強(qiáng)P相等，可在此處取一高為dy，長(zhǎng)為壩長(zhǎng)L的表面積dA=Ldy，其上壓強(qiáng)為P=P0+g（h-y），可認(rèn)為是個(gè)不變量，則此面積元上的水壓力dF=PdA。又由于水作用在壩面上的力方向均相同，所以垂直作用在大壩表面上的合力，由水底到水面積分可求得。同樣，求力矩也要在水深為y

處，先求出dF的力矩dM=ydF，再積分求得合力矩。解：（下一頁(yè)）課本P116例1有一大型水壩高110m、長(zhǎng)1000m，水42合力矩為問(wèn)題：如遇特大洪水，為保證大壩安全，用什么措施可減少水壩所受的力矩？——水深不可改變，即水壓力的大小改變不了；但正壓力的方向是可以改變的。大壩迎水表面修建得坡度緩一些，水壓力對(duì)大壩基點(diǎn)Q的力矩即可減少。（下一頁(yè)）合力矩為問(wèn)題：如遇特大洪水，為保證大壩安全，用什么措施可減少43對(duì)mi用牛頓第二定律：切向分量式為：Fisini+fisini=miait二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律zOrimifiiFii兩邊乘以riait=ri（下一頁(yè)）在剛體上任取一質(zhì)量元△mi，受到外力Fi，內(nèi)力fi

。外力矩內(nèi)力矩對(duì)mi用牛頓第二定律：切向分量式為：Fisini+fi44對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和：一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零，所以有令J＝∑miri2，稱為剛體對(duì)于定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用M表示合外力矩則有M＝J只與剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于剛體上的合外力矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律∑Firisini+∑firisini

=(∑miri2)∑Firisini

=（∑miri2）（下一頁(yè)）對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和：一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零，所以有令45M＝J與地位相當(dāng)m:反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，J:反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置剛體的形狀（下一頁(yè)）

力矩M是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。力F是使物體平動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生加速度的原因。M＝J與地位相當(dāng)m:反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，J:反映剛體46····ZOamamaamm●一可忽略質(zhì)量的輕質(zhì)平面正方形框架，邊長(zhǎng)為a，其四個(gè)頂點(diǎn)上分別有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，求此質(zhì)點(diǎn)系繞垂直于正方形平面且過(guò)其中心的軸OZ的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。Z’Z”●若轉(zhuǎn)軸平移至正方形的一個(gè)頂點(diǎn)●若轉(zhuǎn)軸平移至正方形的一邊中點(diǎn)（下一頁(yè)）例如：····ZOamamaamm●一可忽略質(zhì)量的輕質(zhì)平面正方形框47若質(zhì)量連續(xù)分布在（SI）中，J的單位：kgm2質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。面分布（下一頁(yè)）若質(zhì)量連續(xù)分布在（SI）中，J的單位：kgm2質(zhì)量為線分布48解:J是可加的，所以若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。ROdm注意只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，才能較簡(jiǎn)便地用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（下一頁(yè)）1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻細(xì)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。在圓環(huán)上任取質(zhì)量元

dm解:J是可加的，所以若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。ROd492、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤

的===轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過(guò)盤心。解：任取半徑為r寬為dr的同心細(xì)圓環(huán),（下一頁(yè)）可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其厚度l無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是

。2、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l的均勻圓盤的===轉(zhuǎn)動(dòng)慣503、求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx（下一頁(yè)）3、求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同ABLXABL/2514、求半徑為R、質(zhì)量為

m的球體繞其直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。ORrZm解：在球體上沿垂直于轉(zhuǎn)軸OZ取一半徑====為r、高為dz

的小球臺(tái)，其質(zhì)量為：其繞OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：（下一頁(yè)）（見P121表4-2）4、求半徑為R、質(zhì)量為m的球體繞其直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量52四、平行軸定理前例3中JC表示相對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，=======JA表示相對(duì)通過(guò)棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。=======兩軸平行，相距L/2?？梢姡和茝V上述結(jié)論，若有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則有：J＝JC＋md2。（下一頁(yè)）這個(gè)結(jié)論稱為平行軸定理。四、平行軸定理前例3中JC表示相對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量53例：右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？(棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、圓半徑為R）（下一頁(yè)）解：棒mL饒其端點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Z球饒Z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量球繞其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例：右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？54五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用例１、一個(gè)質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體ｍ由靜止下落高度ｈ時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。解：（下一頁(yè)）（滑輪的慣性不能忽略）mg五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用例１、一個(gè)質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ55例2、一個(gè)飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)在制動(dòng)飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來(lái)。

求閘瓦對(duì)輪子的壓力N為多大？

（假設(shè)飛輪的質(zhì)量都集中在

輪緣上）μ=0.50.F0（下一頁(yè)）解：飛輪勻減速制動(dòng)時(shí)有角加速度例2、一個(gè)飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每56外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。0Nfr（下一頁(yè)）外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。0Nfr（下一頁(yè)）57例3、一根長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。