離散數(shù)學(xué)必備知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

離散數(shù)學(xué)必備知識(shí)點(diǎn)總結(jié)離散數(shù)學(xué)必備知識(shí)點(diǎn)總結(jié)離散數(shù)學(xué)必備知識(shí)點(diǎn)總結(jié)xxx公司離散數(shù)學(xué)必備知識(shí)點(diǎn)總結(jié)文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度總結(jié)離散數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)命題邏輯→，前鍵為真，后鍵為假才為假；<—>，相同為真，不同為假；主析取范式：極小項(xiàng)(m)之和；主合取范式：極大項(xiàng)(M)之積；求極小項(xiàng)時(shí)，命題變?cè)目隙?，否定為0，求極大項(xiàng)時(shí)相反；求極大極小項(xiàng)時(shí)，每個(gè)變?cè)蜃冊(cè)姆穸ㄖ荒艹霈F(xiàn)一次，求極小項(xiàng)時(shí)變?cè)粔蚝先≌?，求極大項(xiàng)時(shí)變?cè)粔蛭鋈〖伲磺蠓妒綍r(shí)，為保證編碼不錯(cuò)，命題變?cè)詈冒碢,Q,R的順序依次寫；真值表中值為1的項(xiàng)為極小項(xiàng)，值為0的項(xiàng)為極大項(xiàng)；n個(gè)變?cè)灿袀€(gè)極小項(xiàng)或極大項(xiàng)，這為(0~-1)剛好為化簡(jiǎn)完后的主析取加主合??；永真式?jīng)]有主合取范式，永假式?jīng)]有主析取范式；推證蘊(yùn)含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前鍵為真推出后鍵為真，假定前鍵為假推出后鍵也為假)10.命題邏輯的推理演算方法：P規(guī)則，T規(guī)則①真值表法；②直接證法；③歸謬法；④附加前提法；謂詞邏輯一元謂詞：謂詞只有一個(gè)個(gè)體，一元謂詞描述命題的性質(zhì)；多元謂詞：謂詞有n個(gè)個(gè)體，多元謂詞描述個(gè)體之間的關(guān)系；全稱量詞用蘊(yùn)含→，存在量詞用合取^;既有存在又有全稱量詞時(shí)，先消存在量詞，再消全稱量詞；集合N，表示自然數(shù)集，1,2,3……，不包括0；基：集合A中不同元素的個(gè)數(shù)，|A|；冪集：給定集合A，以集合A的所有子集為元素組成的集合，P(A)；若集合A有n個(gè)元素，冪集P(A)有個(gè)元素，|P(A)|==；集合的分劃：(等價(jià)關(guān)系)①每一個(gè)分劃都是由集合A的幾個(gè)子集構(gòu)成的集合；②這幾個(gè)子集相交為空，相并為全(A)；集合的分劃與覆蓋的比較：分劃：每個(gè)元素均應(yīng)出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次在子集中；覆蓋：只要求每個(gè)元素都出現(xiàn)，沒有要求只出現(xiàn)一次；關(guān)系若集合A有m個(gè)元素，集合B有n個(gè)元素，則笛卡爾A×B的基數(shù)為mn，A到B上可以定義種不同的關(guān)系；若集合A有n個(gè)元素，則|A×A|=，A上有個(gè)不同的關(guān)系；全關(guān)系的性質(zhì)：自反性，對(duì)稱性，傳遞性；空關(guān)系的性質(zhì)：反自反性，反對(duì)稱性，傳遞性；全封閉環(huán)的性質(zhì)：自反性，對(duì)稱性，反對(duì)稱性，傳遞性；前域(domR)：所有元素x組成的集合；后域(ranR)：所有元素y組成的集合；自反閉包：r(R)=RU;對(duì)稱閉包：s(R)=RU;傳遞閉包：t(R)=RUUU……等價(jià)關(guān)系：集合A上的二元關(guān)系R滿足自反性，對(duì)稱性和傳遞性，則R稱為等價(jià)關(guān)系；偏序關(guān)系：集合A上的關(guān)系R滿足自反性，反對(duì)稱性和傳遞性，則稱R是A上的一個(gè)偏序關(guān)系；covA={<x,y>|x,y屬于A，y蓋住x}；極小元：集合A中沒有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；極大元：集合A中沒有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；前提：B是A的子集上界：A中的某個(gè)元素比B中任意元素都大，稱這個(gè)元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某個(gè)元素比B中任意元素都小，稱這個(gè)元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上確界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下確界：最大的下界(若存在就一定唯一)；函數(shù)若|X|=m,|Y|=n,則從X到Y(jié)有種不同的關(guān)系，有種不同的函數(shù)；在一個(gè)有n個(gè)元素的集合上，可以有種不同的關(guān)系，有種不同的函數(shù)，有n!種不同的雙射；若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，則從X到Y(jié)有種不同的單射；單射：f:X-Y，對(duì)任意,屬于X,且≠，若f()≠f()；滿射：f:X-Y，對(duì)值域中任意一個(gè)元素y在前域中都有一個(gè)或多個(gè)元素對(duì)應(yīng)；雙射：f:X-Y，若f既是單射又是滿射，則f是雙射；復(fù)合函數(shù)：fog=g(f(x));設(shè)函數(shù)f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是單射，則fog也是單射；②如果f,g都是滿射，則fog也是滿射；③如果f,g都是雙射，則fog也是雙射；④如果fog是雙射，則f是單射，g是滿射；代數(shù)系統(tǒng)二元運(yùn)算：集合A上的二元運(yùn)算就是到A的映射；集合A上可定義的二元運(yùn)算個(gè)數(shù)就是從A×A到A上的映射的個(gè)數(shù)，即從從A×A到A上函數(shù)的個(gè)數(shù)，若|A|=2,則集合A上的二元運(yùn)算的個(gè)數(shù)為==16種；判斷二元運(yùn)算的性質(zhì)方法：①封閉性：運(yùn)算表內(nèi)只有所給元素；②交換律：主對(duì)角線兩邊元素對(duì)稱相等；③冪等律：主對(duì)角線上每個(gè)元素與所在行列表頭元素相同；④有幺元：元素所對(duì)應(yīng)的行和列的元素依次與運(yùn)算表的行和列相同；⑤有零元：元素所對(duì)應(yīng)的行和列的元素都與該元素相同；同態(tài)映射：<A,*>,<B,^>,滿足f(a*b)=f(a)^f(b),則f為由<A,*>到<B,^>的同態(tài)映射；若f是雙射，則稱為同構(gòu)；群廣群的性質(zhì)：封閉性；半群的性質(zhì)：封閉性，結(jié)合律；含幺半群(獨(dú)異點(diǎn))：封閉性，結(jié)合律，有幺元；群的性質(zhì)：封閉性，結(jié)合律，有幺元，有逆元；群沒有零元；阿貝爾群(交換群)：封閉性，結(jié)合律，有幺元，有逆元，交換律；循環(huán)群中幺元不能是生成元；任何一個(gè)循環(huán)群必定是阿貝爾群；格與布爾代數(shù)格：偏序集合A中任意兩個(gè)元素都有上、下確界；格的基本性質(zhì)：1)自反性a≤a對(duì)偶:a≥a2)反對(duì)稱性a≤b^b≥a=>a=b對(duì)偶:a≥b^b≤a=>a=b3)傳遞性a≤b^b≤c=>a≤c對(duì)偶:a≥b^b≥c=>a≥c4)最大下界描述之一

a^b≤a對(duì)偶avb≥aA^b≤b對(duì)偶avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b=>c≤a^b對(duì)偶c≥a,c≥b=>c≥avb6)結(jié)合律a^(b^c)=(a^b)^c

對(duì)偶av(bvc)=(avb)vc7)

等冪律a^a=a對(duì)偶ava=a8)吸收律a^(avb)=a對(duì)偶av(a^b)=a9)

a≤b<=>a^b=aavb=b10)a≤c,b≤d=>a^b≤c^davb≤cvd11)保序性b≤c=>a^b≤a^cavb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)

對(duì)偶a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c<=>av(b^c)≤(avb)^c分配格：滿足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；分配格的充要條件：該格沒有任何子格與鉆石格或五環(huán)格同構(gòu)；

5.鏈格一定是分配格，分配格必定是模格；全上界：集合A中的某個(gè)元素a大于等于該集合中的任何元素，則稱a為格<A,<=>的全上界，記為1；(若存在則唯一)全下界：集合A中的某個(gè)元素b小于等于該集合中的任何元素，則稱b為格<A,<=>的全下界，記為0；(若存在則唯一)有界格：有全上界和全下界的格稱為有界格，即有0和1的格；補(bǔ)元：在有界格內(nèi)，如果a^b=0,avb=1，則a和b互為補(bǔ)元；有補(bǔ)格：在有界格內(nèi)，每個(gè)元素都至少有一個(gè)補(bǔ)元；有補(bǔ)分配格(布爾格)：既是有補(bǔ)格，又是分配格；布爾代數(shù)：一個(gè)有補(bǔ)分配格稱為布爾代數(shù)；圖論鄰接：兩點(diǎn)之間有邊連接，則點(diǎn)與點(diǎn)鄰接；關(guān)聯(lián)：兩點(diǎn)之間有邊連接，則這兩點(diǎn)與邊關(guān)聯(lián)；平凡圖：只有一個(gè)孤立點(diǎn)構(gòu)成的圖；簡(jiǎn)單圖：不含平行邊和環(huán)的圖；無向完全圖：n個(gè)節(jié)點(diǎn)任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都有邊相連的簡(jiǎn)單無向圖；有向完全圖:n個(gè)節(jié)點(diǎn)任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都有邊相連的簡(jiǎn)單有向圖；無向完全圖有n(n-1)/2條邊，有向完全圖有n(n-1)條邊；r-正則圖：每個(gè)節(jié)點(diǎn)度數(shù)均為r的圖；握手定理：節(jié)點(diǎn)度數(shù)的總和等于邊的兩倍；任何圖中，度數(shù)為奇數(shù)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)必定是偶數(shù)個(gè)；任何有向圖中，所有節(jié)點(diǎn)入度之和等于所有節(jié)點(diǎn)的出度之和；每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)至少為2的圖必定包含一條回路；可達(dá)：對(duì)于圖中的兩個(gè)節(jié)點(diǎn),，若存在連接到的路，則稱與相互可達(dá)，也稱與是連通的；在有向圖中，若存在到的路，則稱到可達(dá)；強(qiáng)連通：有向圖章任意兩節(jié)點(diǎn)相互可達(dá)；單向連通：圖中兩節(jié)點(diǎn)至少有一個(gè)方向可達(dá)；弱連通：無向圖的連通；(弱連通必定是單向連通)點(diǎn)割集：刪去圖中的某些點(diǎn)后所得的子圖不連通了，如果刪去其他幾個(gè)點(diǎn)后子圖之間仍是連通的，則這些點(diǎn)組成的集合稱為點(diǎn)割集；割點(diǎn)：如果一個(gè)點(diǎn)構(gòu)成點(diǎn)割集，即刪去圖中的一個(gè)點(diǎn)后所得子圖是不連通的，則該點(diǎn)稱為割點(diǎn)；關(guān)聯(lián)矩陣：M(G)，是與關(guān)聯(lián)的次數(shù)，節(jié)點(diǎn)為行，邊為列；無向圖：點(diǎn)與邊無關(guān)系關(guān)聯(lián)數(shù)為0，有關(guān)系為1，有環(huán)為2；有向圖：點(diǎn)與邊無關(guān)系關(guān)聯(lián)數(shù)為0，有關(guān)系起點(diǎn)為1終點(diǎn)為-1，關(guān)聯(lián)矩陣的特點(diǎn)：無向圖：①行：每個(gè)節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊，即節(jié)點(diǎn)的度；②列：每條邊關(guān)聯(lián)的節(jié)點(diǎn)；有向圖：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.鄰接矩陣：A(G)，是鄰接到的邊的數(shù)目，點(diǎn)為行，點(diǎn)為列；17.可達(dá)矩陣：P(G)，至少存在一條回路的矩陣，點(diǎn)為行，點(diǎn)為列；P(G)=A(G)+(G)+(G)+(G)可達(dá)矩陣的特點(diǎn)：表明圖中任意兩節(jié)點(diǎn)之間是否至少存在一條路，以及在任何節(jié)點(diǎn)上是否存在回路；A(G)中所有數(shù)的和：表示圖中路徑長度為1的通路條數(shù)；(G)中所有數(shù)的和：表示圖中路徑長度為2的通路條數(shù)；(G)中所有數(shù)的和：表示圖中路徑長度為3的通路條數(shù)；

(G)中所有數(shù)的和：表示圖中路徑長度為4的通路條數(shù)；P(G)中主對(duì)角線所有數(shù)的和：表示圖中的回路條數(shù)；布爾矩陣：B(G)，到有路為1，無路則為0，點(diǎn)為行，點(diǎn)為列；代價(jià)矩陣：鄰接矩陣元素為1的用權(quán)值表示，為0的用無窮大表示，節(jié)點(diǎn)自身到自身的權(quán)值為0；生成樹：只訪問每個(gè)節(jié)點(diǎn)一次，經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)和邊構(gòu)成的子圖；構(gòu)造生成樹的兩種方法：深度優(yōu)先；廣度優(yōu)先；深度優(yōu)先：①選定起始點(diǎn)；②選擇一個(gè)與鄰接且未被訪問過的節(jié)點(diǎn)；③從出發(fā)按鄰接方向繼續(xù)訪問，當(dāng)遇到一個(gè)節(jié)點(diǎn)所有鄰接點(diǎn)均已被訪問時(shí)，回到該節(jié)點(diǎn)的前一個(gè)點(diǎn)，再尋求未被訪問過的鄰接點(diǎn)，直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問過一次；廣度優(yōu)先：①選定起始點(diǎn)；②訪問與鄰接的所有節(jié)點(diǎn),,……,,這些作為第一層節(jié)點(diǎn)；③在第一層節(jié)點(diǎn)中選定一個(gè)節(jié)點(diǎn)為起點(diǎn)；④重復(fù)②③，直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問過一次；最小生成樹：具有最小權(quán)值(T)的生成樹；構(gòu)造最小生成樹的三種方法：克魯斯卡爾方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克魯斯卡爾方法①將所有權(quán)值按從小到大排列；②先畫權(quán)值最小的邊，然后去掉其邊值；重新按小到大排序；③再畫權(quán)值最小的邊，若最小的邊有幾條相同的，選擇時(shí)要滿足不能出現(xiàn)回路，然后去掉其邊值；重新按小到大排序；④重復(fù)③，直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問過一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在圖中取一回路，去掉回路中最大權(quán)值的邊得一子圖；②在子圖中再取一回路，去掉回路中最大權(quán)值的邊再得一子圖；③重復(fù)②，直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問過一次；（3）普利姆算法①在圖中任取一點(diǎn)為起點(diǎn)，連接邊值最小的鄰接點(diǎn)；②以鄰接點(diǎn)為起點(diǎn)，找到鄰接的最小邊值，如果最小邊值比鄰接的所有邊值都小(除已連接的邊值)，直接連接，否則退回，連接現(xiàn)在的最小邊值(除已連接的邊值)；③重復(fù)操作，直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問過一次；關(guān)鍵路徑例2求PERT圖中各頂點(diǎn)的最早完成時(shí)間,最晚完成時(shí)間,緩沖時(shí)間及關(guān)鍵路徑.解：最早完成時(shí)間TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12最晚完成時(shí)間TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0緩沖時(shí)間TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0關(guān)鍵路徑:v1-v3-v7-v8歐拉路：經(jīng)過圖中每條邊一次且僅一次的通路；歐拉回路：經(jīng)過圖中每條邊一次且僅一次的回路；歐拉圖：具有歐拉回路的圖；單向歐拉路：經(jīng)過有向圖中每條邊一次且僅一次的單向路；歐拉單向回路：經(jīng)過有向圖中每條邊一次且僅一次的單向回路；（1）無向圖中存在歐拉路的充要條件：①連通圖；②有0個(gè)或2個(gè)奇數(shù)度節(jié)點(diǎn)；（2）無向圖中存在歐拉回路的充要條件：①連通圖；②所有節(jié)點(diǎn)度數(shù)均為偶數(shù)；（3）連通有向圖含有單向歐拉路的充要條件：①除兩個(gè)節(jié)點(diǎn)外，每個(gè)節(jié)點(diǎn)入度=出度；②這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)中，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的入度比出度多1，另一個(gè)節(jié)點(diǎn)的入；度比出度少1；連通有向圖含有單向歐拉回路的充要條件：圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的出度=入度；哈密頓路：經(jīng)過圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)一次且僅一次的通路；哈密頓回路：經(jīng)過圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)一次且僅一次的回路；哈密頓圖：具有哈密頓回路的圖；判定哈密頓圖（沒有充要條件）必要條件：任意去掉圖中n個(gè)節(jié)點(diǎn)及關(guān)聯(lián)的邊后，得到的分圖數(shù)目小于等于n；充分條件：圖中每一對(duì)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)之和都大于等于圖中的總節(jié)點(diǎn)數(shù)；哈密頓圖的應(yīng)用：安排圓桌會(huì)議；方法：將每一個(gè)人看做一個(gè)節(jié)點(diǎn)，將每個(gè)人與和他能交流的人連接，找到一條經(jīng)過每個(gè)節(jié)點(diǎn)一次且僅一次的回路(哈密頓圖)，即可；平面圖：將圖形的交叉邊進(jìn)行改造后，不會(huì)出現(xiàn)邊的交叉，則是平面圖；面次：面的邊界回路長度稱為該面的次；一個(gè)有限平面圖，面的次數(shù)之和等于其邊數(shù)的兩倍；歐拉定理：假設(shè)一個(gè)連通平面圖有v個(gè)節(jié)點(diǎn)，e條邊，r個(gè)面，則v-e+r=2；判斷是平面圖的必要條件：(若不滿足，就一定不是平面圖)設(shè)圖G是v個(gè)節(jié)點(diǎn)，e條邊的簡(jiǎn)單連通平面圖，若v>=3，則e<=3v-6；同胚：對(duì)于兩個(gè)圖G1,G2，如果它們是同構(gòu)的，或者通過反復(fù)插入和除去2度節(jié)點(diǎn)可以變成同構(gòu)的圖，則稱G1，G2是同胚的；判斷G是平面圖的充要條件：圖G不含同胚于或K5的子圖；二部圖：①無向圖的節(jié)點(diǎn)集合可