2020版新高考理科數(shù)學(xué)專項(xiàng)26：“20題、21題”

專項(xiàng)小測(cè)：“20題、21題”時(shí)間：45分鐘滿分：24分20.(12分)在全國(guó)第五個(gè)“扶貧日”到來(lái)之際，某省開(kāi)展“精準(zhǔn)脫貧，攜手同行”的主題活動(dòng)，某貧困縣調(diào)查基層干部走訪貧困戶數(shù)量．A鎮(zhèn)有基層干部50人，B鎮(zhèn)有基層干部80人，C鎮(zhèn)有基層干部70人，每人都走訪了不少貧困戶．按照分層抽樣，從A，B，C三鎮(zhèn)共選40名基層干部，統(tǒng)計(jì)他們走訪貧困戶的數(shù)量，并將完成走訪數(shù)量分成5組：[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，繪制成如下頻率分布直方圖．(1)求這40人中共有多少人來(lái)自B鎮(zhèn)，并估計(jì)三鎮(zhèn)基層干部共走訪多少貧困戶．(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(2)如果把走訪貧困戶達(dá)到或超過(guò)25戶視為工作出色，以頻率估計(jì)概率，從三鎮(zhèn)的所有基層干部中隨機(jī)選取4人，記這4人中工作出色的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：(1)A，B，C三鎮(zhèn)分別有基層干部50人，80人，70人，共200人，利用分層抽樣的方法選40人，則B鎮(zhèn)應(yīng)選取80×＝16(人)．(2分)40名基層干部走訪貧困戶的平均數(shù)量＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋50×0.1＝28.5.

(4分)用樣本估計(jì)總體，得三鎮(zhèn)所有基層干部走訪貧困戶的總數(shù)量為28.5×200＝5700(戶)．

(6分)(2)由頻率分布直方圖得，從三鎮(zhèn)的所有基層干部中隨機(jī)挑選1人，其工作出色的概率為.

(7分)易知X的所有可能取值為0,1,2,3,4，且X～B，則P(X＝4)＝4＝，P(X＝3)＝C×1×3＝，P(X＝2)＝C×2×2＝，P(X＝1)＝C×3×1＝，P(X＝0)＝4＝，

(10分)所以X的分布列為X43210PE(X)＝×4＝.

(12分)21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax，a∈R.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，使lnx1＋lnx2－m＞0，求m的最大值．思路分析：(1)求導(dǎo)，分a≤0和a＞0討論單調(diào)性；(2)由函數(shù)的零點(diǎn)，得lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0，結(jié)合已知條件，得＞，不妨設(shè)0＜x1＜x2，則ln＜，令t＝，則t∈(0,1)，lnt＜，構(gòu)造函數(shù)g(t)＝lnt－(0＜t＜1)，求導(dǎo)后再分m≤1、1＜m≤2、m＞2討論求解．解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－a.當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝＞0，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＜0.所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

(4分)(2)因?yàn)閘nx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0，即lnx1＝ax1，lnx2＝ax2.兩式相減得lnx1－lnx2＝a(x1－x2)，即a＝.由已知lnx1＋lnx2＞m，得a(x1＋x2)＞m.因?yàn)閤1＞0，x2＞0，所以a＞，即＞.

(6分)不妨設(shè)0＜x1＜x2，則ln＜.令t＝，則t∈(0,1)，所以lnt＜，即lnt－＜0恒成立．

(7分)設(shè)g(t)＝lnt－(0＜t＜1)．則g′(t)＝.令h(t)＝t2＋2(1－m)t＋1，則h(0)＝1，h(t)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸方程為t＝m－1，方程t2＋2(1－m)t＋1＝0的判別式Δ＝4m(m－2)．

(8分)①當(dāng)m≤1時(shí)，h(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)0＜t＜1時(shí)，h(t)＞h(0)＝1，所以g′(t)＞0.g(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以g(t)＜g(1)＝0在(0,1)上恒成立．(9分)②當(dāng)1＜m≤2時(shí)，Δ＝4m(m－2)≤0，h(t)≥0在(0,1)上恒成立，所以g′(t)＞0，g(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以g(t)＜g(1)＝0在(0,1)上恒成立．(10分)③當(dāng)m＞2時(shí)，h(t)在(0,1)上單調(diào)遞減，因?yàn)閔(0)＝1，h(1)＝4－2m＜0，所以存在t0∈(0,1)，使得h(t0)＝0.當(dāng)t∈(0，t0)時(shí)，h(t)＞0，g′(t)＞0；當(dāng)t∈(t0,1)時(shí)，h(t)＜0，g′(t)＜0.所以g(t)在(0，t0)上單調(diào)遞增，在(t0,