高考數(shù)學(xué)知識點總結(jié)精華版

高中數(shù)學(xué)第一章-集榆林教學(xué)資源網(wǎng)考試內(nèi)容考試要求：榆林教學(xué)資源網(wǎng)htt一、知識結(jié)

§01.集合與簡易邏 知識要（）（一）AA②空集是任何集合的子集，記為AAB，同時BAAB.如果AB，BC，那么AC.[注]：①Z={整數(shù) Z={全體整數(shù)}SAA也是有限集.（×）（例：S=NANCsA③空集的補集是全集 1{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐標(biāo)軸上的點集②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的點集③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的點集.例：xy2x3y

②點集與數(shù)集的交集是.（例：A={(x，y)|y B={y|y 則A∩B=2：①n個元素的子集有2n個 ②n個元素的真子集有2n－1個③n2n－2個3：⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題逆命題②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題逆否命題.例：①若ab5，則a2或b3應(yīng)是真命題.解：逆否：a2b3a+b=5，成立，所以此命題為真x1且y

xy解：逆否：x+y x=1或y=

xy3,xy3x1且y2的既不是充分，又不是必要條件⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍 B{x|xA,且xB} B{x|xA或xB}補：CUA{xU,且xA}AA,A,AU,CUAUBBA, BB; BA, B

AB,BCAC;BA BA B交換律ABBAABB結(jié)合律ABCABCABCABA

BC

A

AC);A

BC

AB

AA, A A A等冪律AAAAA求補律：A∩CUA=φA∪CUA=UCUU=φ反演律：CU(A∩B)= CU(A∪B)=AAcard(A)card(φ)card(A)card(B)card(A C)card(A)card(B)card(C) B)card C)card card(UA)=card(U)-整式不等式的解法根①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了方便③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點（為什么xxxxx1xm-3-x+m-xm--x+m則不等式a0xna1xn1a2xn2an0(0)(a00的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號確定.特例①一元一次不等式ax>b解的；②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的yax2bx（a0）ax2bxcxx ax2bxc0(a0)的解集 或xx bxx 2aRax2bxc0(a0)的解集 1

fg(x)

>0

fg(x)

fg(x)

≥0

fg(x)

f(x)0

f(x)g(x)0;f(x)0f(x)g(x)

g(x)axbcaxbc(c0)定義法：用“零點分區(qū)間法”分類根的“布”：根據(jù)判別式和定理分析列式解之根的“非布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之（三）簡1、命題的定義：可以判斷真語句叫做命題“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞題是簡單命題；由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成題是復(fù)合命題。構(gòu)成復(fù)合命題的形式：pq(記作“p∨q”)；pq(記作“p∧q”)；非p(記作“┑q逆命題若q則逆命題若q則逆否命題┐q互互 逆為 原命題若p則否命題“pq”Pq“pq”pq互原命題：若P則 一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題6、如果已知pq那么說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。pqqpp是qp?q.高中數(shù)學(xué)第二章-函考試內(nèi)容了解的概念，理解函數(shù)的概念 §02.函 知識要

（一）與函與一一

指數(shù)（二）f(x)Ix1<x2f(x1)>f(x2),f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).fx（2）)f(x)f(x

f(x)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形，偶函數(shù)y軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也fx是偶函數(shù)f(x)

f(|x|)x0f(0)0⑴偶函數(shù)f(x)f設(shè)（ab）為偶函數(shù)上一點，則（ab）也是圖象上一點.yyx21在[1,1上不是偶函數(shù)f(x)f(xf(xf(x)0f(x)0

ff

1⑵奇函數(shù)f(x)f設(shè)（ab）為奇函數(shù)上一點，則（a,b）也是圖象上一點.yx3在[1,1上不是奇函數(shù)f(x)f(xf(xf(x)0f(x)0對稱變換：①yf（x）y對稱yf（

ff(

1②y=f（x）x稱y（x（xx）x xxb22x1bfx1

x1b

x2b22在進(jìn)行xf（x）=

1

Af[f（x）]BAB Bf(xff(xBf(x的值域RBRAx|x1BA①f(xy)f(x)f(y)f(xy)

f(x)f(f(xy)x

f(y)f(x)f[(xy)yf(x)②f

)f(x)f(y)f(xy)f(x)f(yf(x)fxy)fxf y2|x|→|x|y

1

1→ →

1→ →2

2

2xxx▲(-x▲x2x3y|2x22x1|→|y|關(guān)▲x2x3y2x12x

7x

{值域{y|y2yR}→值域x（三）指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1的圖象和性(1)（2）（0，+∞）（0，1（5）R（5）在Ry=logax的圖象和性質(zhì):logalogalogaalog

N)loga

logaNMNMMNMN底公logaMloga nlogaM1 log Nlogb質(zhì)g1 b（0，+∞）locxn1 n M0N0a0a1b0b1c0c1a1a2...an0且1）對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象和性質(zhì):（4）（4）x0,1yx1,x0,1時yx1,y⑵：當(dāng)M0時，取“+n是偶數(shù)時且M0Mn0M0

⑴

a2

a

lg而logax2yax（a0a1）ylogax互為反函數(shù)a1ylogaxax軸；當(dāng)0a1時，則相反（四）注⑴ab0logablogalogb⑵：當(dāng)M0時，取“+n是偶數(shù)時且M0Mn0M0

a2

a

中o0而logax2yax（a0a1）ylogax互為反函數(shù)a1ylogaxax軸；當(dāng)0a1時，則相反的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被開方數(shù)不小于0；③對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1；④零指⑺.奇偶性的判定法：首先定義域是否關(guān)于原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關(guān)系：①f(-x)=f(x)為偶函數(shù)f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)f(-x)-f(x)=0為偶f(x)+f(-x)=0為奇f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1高中數(shù)第三章數(shù)列nn等差數(shù)列的前n等差數(shù)列的前n項等比數(shù)列的前nanan1an 遞推公式anan1d；anamnanan1q；an通項公式ana1(nana1qn1（a1,q0Aank2（n,kN*,nk0Gankank(ankank（n,kN*,nk0前n項SSnnn(aa nan(n1) na1(qSa1qnn1 1 a1a重要性amanapaq(m,n,p,qNmnpamanapaq(m,n,p,qN*,mnp

等差、{an}為APan1and(常數(shù) an1q(常數(shù) n通項公（n-1d=（n-kd=aaqn1a 求和公sn(a1an)nan(n1) dn2(ad qs qn 1 1 1中項公式A=a G2ab。推廣：a2 1m+n=p+q則amanapm+n=p+qamanapaq2若{knA.P（knN則{akn若{kn成等比數(shù)列（knN則{akn3sns2nsns3ns2n成等差數(shù)列sns2nsns3ns2n成等比數(shù)列4dana1aman(mn)n1 mnqn1 qnm (m5anan1d(n2d為常數(shù)②2anan1an1(n2anknbnk為常數(shù)①anan1qn

q為常數(shù)且n②a2n

(n2，

0注①：i.b ，是a、b、c成等比的雙非條件，即b a、b、c等比數(shù)列ii.b （ac＞0）→為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要

b

aca、b、c等比數(shù)列的必要不充分

b

ac0a、b、c等比數(shù)列的充要ancqncq為非零常數(shù)④正數(shù)列an}成等比的充要條件是數(shù)列l(wèi)ogxan}（x1）成等比數(shù)列

as1a1(n⑷數(shù)列{n}

項和n與通項n的關(guān)系：

s s

(n[注]ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→d0，則是等差數(shù)列充分條件）.②等差a}n項和SAn2Bndn2ad

dd 2

d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列kk2SkS2kSkS3kS2k②若等差數(shù)列的項數(shù)為2②若等差數(shù)列的項數(shù)為2 ，nnN 偶 奇 S

anan1；2n1nNS2n12n1anS奇S偶anS奇S n常用公式：①1+2+3…+nnn2②122232n2nn12n6nn1③132333n3

[注]：熟悉常用通項：9，99，999，

10n1；5，55，555，…

9nar，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為1rna(1r)n1n年后總產(chǎn)量為：aa(1r)a(1r)

...a(1

a[a(1r)n1(1 .na(1r)n元.

a(1

a(1

...a(1r)

a(1r)[1(1r)12]1(1r) ⑶分期付款應(yīng)用題：a為分期付款方式為a元；m為m個月將款全部付清；r為年利率

x1rm

a1

x1

x1

x1

xa1 r

x

1rman2pan1qan（p、q為二階常數(shù)）用特證根方法求解具體步驟：①寫出特征方程x2Pxq（x2an2xan1），并設(shè)二根x1x2x1x2可設(shè)ancxnc

xx

ccn)xn；③由初始值a1,a2確定c,c1 2

1anPan1r（P、r為常數(shù)）nan2Pan1qa的形式，再用特征根方法求an；④ann1（公式法），c1,c2由a1,a2確定

x

x)

nPxxx

P

r

r)r

(a

r)Pn1

(a

1P

P Pn1a1Pn2rPrran1Pan

an

nSnd0時，有最大值.Snn

0,

0n

dn2

d)nn的值2的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和.

12

,34

,...(2n1)2

d1，d2的最小公倍數(shù).

n

(ana同一常數(shù)。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證

an

)nN

am在等差數(shù)列｛an｝中,Sn的最值問題：(1)a1>0,d<0時，滿足

0msm取最大值.am

0msm取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,（三）裂項相消法:適用于

a其中anan1

錯位相減法:適用于anbn其中

an}是等差數(shù)列bn是各項不為0的等比數(shù)倒序相加法:n項和公式的推導(dǎo)方法1）:1+2+3+...+n

2）1+3+5+...+(2n-1)=n3）1323n3

n(n4）122232n21n(n1)(2n61 n(n

1n

n

n(n

1(

1n 1

(qp

1q

(p高中數(shù)學(xué)第四章-三角函考試內(nèi)容考試要求y=Asin(ωx+φ)A.ω、φ的物理意義．a(chǎn)rcsinx\arc-cosx\arctanx§04.三角函 知識要▲y3241x 23①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角的終邊重合）：|▲y3241x 23

SIN\COS三角函數(shù)值大小關(guān)系1234表示第一、二、三、⑦若角x軸對稱，則角的關(guān)系：360k⑧若角y軸對稱，則角的關(guān)系：360k180⑨若角的終邊在一條直線上，則角的關(guān)系：180k⑩角的終邊互相垂直，則角的關(guān)系：360k角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2180°= 注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零、弧度與角度互換公式：1rad＝180 1°＝3、弧長公式：l||r

1lr1||ya的終邊ya的終邊rox

Prcscry

sinyr

cosxr

tanyx

cotxy

secrxyPTyPT MAy+o-+-xy-y+o-+-xy-+o+-xy--o++x Ox正弦、余割

余弦、正割

正切、余切

正弦線 正切線：

(3o<x2,則f(x)f(x)f(x)x|xR且xk1kZ f(x)x|xR且xkkf(x)x|xR且xk1kZ f(x)x|xR且xkk8sin

sin2cos22

公式組 公式組 tanx=sincos

sin(2kx)sincos(2kx)cos

sin(x)sincos(x)cos

x=cossin

1+tan2x

tan(2kx)tan

tan(x)tan

cot(2kx)cot

cot(x)cot公式組 公式組 公式組sin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)cotx

sin(2x)sinxcos(2x)cosxtan(2x)tanxcot(2x)cot

sin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)cot（二）公式組 公式組cos()coscossinsincos()coscossinsin

sin22sinsin()sincoscossinsin()sincoscossin

tan2sin2

2tan1tan21costan()

tantan1tantantantan1tantan

cos11cos21cos11cos12

sin

1cos公式組 公式組 公式組sincos1sinsin2cossin1sinsin2coscos1coscos22tansin 1tan221tan2cos 1tan2

sinsin2sincos

cos(1)sintan(1)cot2cos(1)sin2 sinsin2cossin 2

tan() tan

coscos2coscos1tan2

coscos2sinsin

sin()2 2sin15cos75624

,sin75cos15

62,tan15cot7524

3,tan75cot152310.ysinyytan（A、RRx|xR且xk1kZ x|xR且xkkRRR當(dāng)0當(dāng)0[2k,2k]上為增函 [2k,2上為減函（kZ；2k上為增函[2k2k1上為減函（kZk,k 上為增函數(shù)（kZkk1上為減數(shù)（kZ 2k (A), 2k (A) 2k (A), 2k3 (A) 上為減函數(shù)（kZysinxysinx的單調(diào)性正好相反；ycosxycosx的單調(diào)性也同樣相反.yf在[ab上遞增（減），yf(x在[ab上遞減（增▲xOysinxycosx的周期是▲xOysin(xycos(x（0）的周期T2ytanx2（T2

T2，如圖，翻折無效ysin(xxk（kZ），對稱中心（k,0）ycos(xx2（kZ），對稱中心（k1,0）；ytan(x的對稱中心（k,0 ycos2x原 ycos(2x)cos⑤當(dāng)tan·tan1k(kZtan·tan1,k(kZ ycosxysinx2k是同一函數(shù),y(x2 2 2ytanxR上為增函數(shù).（×）[只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.ytanx同樣也是錯誤的

（偶都要），f(x)f(x)f(x)f(x奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.ytanxytan(x1是非奇非偶.（定義域不關(guān)于原點對稱3奇函數(shù)特有性質(zhì)：若0xfxf(0)0.（0x的定義域，則無此性質(zhì)yxysinxysinx為周期函數(shù)（Tyxycosx是周期函數(shù)（如圖）；ycosx為周期函數(shù)（Tycos2x1的周期為（如圖），2yf(x)5f(xk),kR

y=|cos2x+1/2|⑩yacosbsin

sin(cosba2a2ba2b

y11、三角函數(shù)圖象的作法１）y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2f1||，相位x初相（x＝0| 位）．（A＞0，ω＞0時以上公式可去絕對值符號由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)|A|＞1）或縮短（當(dāng)0＜|A|＜1）到原來的y＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（y/Ay＝sinx的圖象上的點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的|1|y＝sinωx的圖象，叫做周期變換x軸的伸縮變換．(用ωx替換的圖象，叫做相位變換x軸方向的平移．(x＋φx)y軸方向的平移．（y+(-b)y）x軸量伸縮量的區(qū)別。II.競賽知識要點一.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集：a的取值范 解 a的取值范 解①sinxa的解 ②cosxa的解a a a

a a

a x|xkarccosa,ktanxa的解集x|xkarctanakcotxa的解集x|xkarccotak

sin

sin33sin4sin3

sin2sin2sinsincoscos2cos4...cos2組

2n1sin

cos2cos2 kcos2kcos2cos4cos8cos2nk

2nsinnncos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)k

sin((n1)d)cos(xnd)sindnnsin(xkd)k

sin((n1)d)sin(xnd)sindtan()

tantantantantantan1tantantantantantan角函數(shù)不等sinx＜x＜tanx,x(0,2

f(x)sinx在(0xABC，則x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycos高中數(shù)學(xué)第五章-平面向考試內(nèi)容考試要求§05.平面向 知識要(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法AB；字母表示：a；坐標(biāo)表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(4)a＝O｜a｜＝O.aO為單位向量x1相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）y 相反向量：a=-bb=-a平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱為共線向量ab(x1x2,y1y2abb(ab)ca(bABBCab(x1x2,y1y2abaABBA,OBOAa|a||||a|>0a與a<0a與a=0a0a(x,(a)()aa(ab)aa//baabab0ab|a||b|cos(a,abx1x2y1abb(a)ba(b)(a(ab)cacb a|a|即|a|=xλ2，使a∥ba＝λb(b≠0x1y2－x2y1＝O.a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.設(shè)點P分有向線段P

所成的比為λPP＝λPPOP＝

OP＋ 1

1

1

y 1當(dāng)λ＝1時，得中點公式 2 OP＝（OPOP） yy 2

設(shè)點P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到點P′（x′，y′，yy則OP＝OP+a或xyy曲線y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為

sin

sin

sin

設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為ha，hb，hc，半周長為P，外接圓、內(nèi)切圓的半徑為 PPaPbPPPaPbP⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下圖]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-AEF[注]43個是旁心.AEF

[海式A F

cOcO Ia

D 圖 圖 圖1IS△ABC2IS△ABC的一個旁心，S△=1/2（b+c-a）ra重心：三角形三條中線交點旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點⑸已知⊙O是△ABCBC=a，AC=b，AB=c[注：s為△ABC的半周長,abc2則：①AE=sa=1/2（b+c-②BN=sb=1/2（a+c-③FC=sc=1/2（a+b-綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊（Rt△ABC，cr=abc2

ab

（⑹在△ABC中，有下列等式成立tanAtanBtanCtanAtanBtanCABC所以tanABtanC，所以

tanAtan1tanAtan

tanC，⑺在△ABC中，DBCAD2

BDDC證明：在△ABCDAD2AB2BD22ABBDcosBAB2BC2AC在△ABC中，由余弦定理有cosB

AAD2

BDDC（斯德瓦定理12b22c2a2b12b22c2a2bbcpp

AD是∠Ata

p2appa2appapbp⑻△ABC

p為半周長c2a2b2△ABC∠A+∠B2c2a2b2△ABC∠A+∠B＜2c2a2b2△ABC∠A+∠B＞2

a2b2c2，得在鈍角△ABCcosC0a2b2c20a2b2⑼平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和ab2ab22(a2b2空間向具有大小和方向的量叫做向注：⑴空間的一個平移就是一個向⑵向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向⑶空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算abOBOAABabBAOAOB OP 運算律：⑴加法交換律abb ⑵加法結(jié)合(abcab ⑶數(shù)乘分配(ab)a共線向 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重些向量叫做共線向量或平行向量．a(chǎn)平行于b 當(dāng)說向量a、b共線（或a//b）時，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能平行直線共線向量定理及其推 共線向量定理：空間任意兩個向量a、b（b0）ab的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb推論：如果l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零a的直線，那么對于任意一OP在直線l上的要條件是存在實數(shù)t其中向量a叫做直線l的方向向

OP

ta已知平面和向量a，作OAa，如果直線OA平行于或在內(nèi)，那么說向量a平行于平面，記a//．如果兩個向量ab不共線p與向量ab共面的充要條件是存在實數(shù)xypxa間任一點O，有OPOMxMA 空間向量基本定理如果三個abc不共面么對空間任一向p在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組xyz，使ppxayb推論：設(shè)O,A,BC是不共面的四點，則對空間任一點有序?qū)峹yz，空間向量的夾角及其已知兩非零ab，在空間任取O，作OAa,OBbAOB叫做向a與b的夾角，記a,b；且規(guī)定0a,b，顯然有a,bba；若a,baab

，則稱a與b互相垂直向量的模設(shè)OAa，則有向線段OA的長度叫做向a的長度或模，記作|a|向量的數(shù)量積：ab|a||b|cosa,b已知向ABa和軸l，e是l上與l同方向的單位向量A在l上的射A作點B在l上的射影B，AB叫做向量AB在軸l上或在e上的正射影.可以證AB的長度|AB||AB|cosae|ae|空間向量數(shù)量積的（1）ae|a|cosa,e．（2）abab0．（3）|a|2aa空間向量數(shù)量積運（1）(ab(ab)ab．（2）abba（交換律）（3）abc)abac（分配律空間向量的坐標(biāo)運a=(a1,a2,a3bb1b2b3ab(a1b1,a2b2,a3b3

a(a1,a2,a3)(

aba1b1a2b2a3a∥bab

,a

(R)a1a2a

abababab 1

b b

1 2 3aa2a22123aa (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：aa2a22123a

2 b2 b2b2b cosa,b

a 1 a2a2aa2a2a (x2x1(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)a所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作aa叫做平面的法向量n是平面的法向量，AB是平面AB到平面的距離為|ABn||nn1n2分別是二面角l中平面n1n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大?。╪1n2n1n2反方，則為其夾角）.a平面ABaCDCDEa件是存在有序?qū)崝?shù)對ABCDCEAB與平面相交

ABCDCE求解若▲▲CD ▲BnAC高中數(shù)學(xué)第六章-不等考試內(nèi)容§06.不等 知識要（1）不等（等）號的定義ab0abab0abab0a不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；不等式abba（對稱性abbcac（傳遞性abacbc（加法單調(diào)性abcdacbd（同向不等式相加abcdacbd（異向不等式相減a.b,c0acabc0acbc（乘法單調(diào)性ab0cd0acbd（同向不等式相乘(9)ab00cdab（異向不等式相除

abab011（倒數(shù)關(guān)系 ab0anbn(nZ,且n1（平方法則nab0 nb(nZ,且n1)（開方法則n（1）若aR,則|a|0a2若a、bR則a2b22ab(或a,b

b22|ab|2ab（a=bab.（a=b2xyRxySxyP1P是定值,x=y時，S2S是定值,x=y時，P的值最大若a、b、cRabc3abc（a=b=c3若ab0,則ba2（a=b a0時|x|ax2a2xa或x |x|ax2a2ax

21a

ab

ab2

a2a22均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)

ab(ab

2a2b2（a=b

(ab)

a2b ab a2b2 abc

(a,bcRabc時取等a2a2a21(aaa)2 (acbd)2a2b2)(c2d21

1(n1n(n1n1n(n1n(n1n1n(nn nn 21nn②n1n nn 21nn

若a1a2a3,anRb1b2b3bnR;（a1b1a2b2a3b3anbn)2(a2a2a2a2)(b2b2b2b2 當(dāng)且僅當(dāng)a1a2a3an 若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點1x2),f(x1x2)(x1)f(x2) f(x1x2)f(x1)f(x2) 特例①一元一次不等式ax>b解的；f(x)0f(x)g(x)

f(x)0f(x)g(x)

g(x)f(x)g(xf(x)g(x) f(x)g(x)fg(x)f g(x)f

f(x) f或g(xf或

f(x)g(x)g(x)f(x)af(x)ag(x)(a1)f(x)

af(x)ag(x)(0a1)f(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgf(x)

f(x)

af(x)

g(x)(a1)g(x) f(x)

af(x)

g(x)(0a1)g(x)f(x) 1應(yīng)用分類思想去絕對值 2應(yīng)用數(shù)形思想3|f(x)||f(x)|g(x)g(x)f(x)f(x)g(x)或f(x)|f(x|g(x)g(x)0f(x)g(x)或f(x)注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)( (1x)(1x)123(2 1x2)(1x 1x2)(1x22②yx(1x)y () y 2 類似于 ，③|

1||x||1|x與1同號，故取等 高中數(shù)學(xué)第七章-直線和圓的方考試內(nèi)容§07.直線和圓的方 知識要一、直線方直線的傾斜角：一條直線向上的方向與x軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與x軸0，故直線傾斜角的范圍是01800注：①當(dāng)90x2x1時，直線lx軸，它的斜率不存在特別地，當(dāng)直線經(jīng)過兩點(a,0)0b)xyab(a0b0)xy y2x2y2x2y2x2(x0則不是這條線 附：直線系：對于直線的斜截式方程ykxb，當(dāng)k,b均為確定的數(shù)值時，它表示一條確定的直線k,b變化時，對應(yīng)的直線也會變化.①當(dāng)b為定植k變化時，它們表示過定點（0b）的直線束.k為定值b變l1l2k1k2l1和l2是兩條不重合的直線.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都會導(dǎo)致結(jié)論的錯誤.（一般的結(jié)論是：對于兩條直線l1,l2y軸上的縱截距是b1,b2，則l1l2k1k2，且b1b2或l1,l2A1B2B1A2是平行的必要不充分條件，且C1C2）推論：如果兩條直線l1,l2的傾斜角為1,2則l1l212兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線l1和l2的斜率分別為k1k2，則有l(wèi)1l2k1k21這里的前提是l1,l2的斜率都存在l1l2k10，且l2k20，且l1的斜率不存在.（A1B2A2B10是垂直的充要⑴直線l1到l2的角（方向角）；直線l1到l2的角，是指直線l1繞交點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與l2角，它的范圍是(0，當(dāng)90

⑵兩條相交直線l1與l2的夾角：兩條相交直線l1與l2的夾角，是指由l1與l2相交所成的四個角中最小的正角又稱為l1和l2所成的角，它的取值范圍是0,2，當(dāng)90，則有l(wèi)1:A1xB1yC1

的交點的直線系方程AxByC

xBy

)

為參數(shù)，l2:A2xB2yC2A2xB2yC20不包括在內(nèi)A2A2B

P(x

,y

，直線lAxByC0P到lddAx0By0C(x2x1)2(y2y1(x2x1)2(y2y1x2P(x,y)Ox2P(x,y)P1P2所成的比為即P1P

其中P1(x1,y1),P2(x2,y21,y

1直線的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率kP(xyP(x

)的直線的斜率公式：ky2y1 (xx 1

x2x1x2y1y2（x軸垂直）時，直線的傾斜角＝90A2Bl1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2d，dC1CA2B注；與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(m?R,與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.( (A,B不全為 注：①曲線、直線關(guān)于一直線（yxb）對稱的解法：yx，xy.f(x,y)=0y=x–2f(y+2xC:f(x,y)=0關(guān)于點(a,b)f(ax2b二、圓的方⑴曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線Cf(x,y)0①曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解②以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形M(x,yf(x,y)0(x,y)是f(x,y)0f(x,y)0的解所對應(yīng)的點是曲線上的點.Cf(x,y)=0P0(x0y)Cf(x0圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點C(ab)r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(xa)2yb)2r2rx2y2r2注：特殊圓的方程：①與x軸相切的圓方程(xa)2(yb)2 [rb,圓心(a,b)或y軸相切的圓方程(xa)2(yb)2

③與x軸y軸都相切的圓方程(xa)2(ya)2 圓的一般方程x2y2DxEyF0D2E當(dāng)D2E24F0時，方程表示一個圓，其中圓心CD,ED2E 2 D2E24F0時，方程表示一個點D,E 2D2E24F0時，方程無圖形（稱虛圓ybrsinxaybrsin（②方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是B0AC0D2E24AF0（AxyB

xx)(xx

yy)(yy21

用向量可征M(x0y0及圓Cxa)2(yb)2r2M在圓C內(nèi)x0a)2y0b)2rM在圓C上（x0a)2y0b)2rM在圓C外x0a)2y0b)2r設(shè)圓圓C：(xa)2(yb)2r2(r0) 直線l：AxByC0(A2B2A2BAaBb圓心C(a,A2BAaBbdrl與Cx2y2D1xE1yF1附：若兩圓相切，則

2D2xE2yF2

相減為公切線方程drl與C1:x2y2D1xE1yF1C2:x2y2D2xE2yF2有兩個交點，則其公共弦方程為(D1D2)xE1E2yF1F2)0drl與Cx2y2D1xE1yF1附：若兩圓相離，則

2D2xE2yF2

相減為圓心O1O2的連線的中與線方程AxBxC

x（y）的一元二次方程，其判別式為0l與C相切0l與C相交0l與C相離x2y2D1xE1yF10x2y2D2xE2yF20相減，不表示直線x2y2r2kykx1k2rx2y2DxEyF

y的切線方程為xxyyDxx0Eyy0F0 ①一般方程若點(x0,y0)在圓上，則(x–a)(x0–a)+(yb)(y0–b)=R2.x2y2r2P(x0y0A方程為x0xy0yr2y1y0k(x1x0②若點(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則 byk(ax)，聯(lián)立求出k切線方程 R2RR2

D②求切點弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.已知O②x2y2DxEyF0…ABCD為圓為方程為

A

) (xa)2(yb R …BC的方程即③代②，①②相切即為所求4Cf(x,y)=0曲線Cf(x,y)=0的解（純粹性f(x,y)=0C上（完備性）f(x,y)=0CC叫做f(x,y)=0的曲線。 高中數(shù)學(xué)第八章-圓錐曲線方考試內(nèi)容§08.圓錐曲線方程知識要一、橢圓方程1.PF1PF22aF1F2方程為橢圓PF1PF22aF1F2無軌跡PF1PF22aF1F2以F1,F2為端點的線i.xx2y2

1(ab

.ii.yy

x

1(ab0)a b

x y

a bxa

1(A0,B0).③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程 a

1的參數(shù)方程為ybsin（一象限是屬于02(a,0)(0,b或(0,a)(b,0.②軸：對稱軸：xy軸；長軸長2a，短軸長2b.(c,0)(c,0(0,c)(0c).④焦距：F1Fx

2c,cy

.⑤準(zhǔn)線：xa2a2b2

y2c2

.⑥離心率：ec(0e1.a設(shè)P(x0,y0)為橢 a b

1(ab0F1,F21aex0,PF2a由橢圓方程的第二定義可以推出P(x0y0

x2yb a

1(ab0F1,F2為上、下焦點1aey0,PF2a由橢圓方程的第二定義可以推出由橢圓第二定義可知

歸結(jié)起來為“左加右減pF1e(x0c)aex0(x00),pF2e(cx0)ex0a(x0N(acosbsin方程的軌跡為橢圓x軸且過焦點的弦叫做通經(jīng).d

a

(c,2a2

b)和 a22a

yb

1(ab0的離心率是e

c(ca

a2a2b2

y t(tb0ab0的離心率也是ea

稱此方程為共離心率的橢圓系方程x y ⑸若P是橢圓 a

1上的點F1,F2為焦點，若F1PF2，則PF1F2的面積為

（2

2a可得）.若是雙曲線，則面積為b2cot2二、雙曲線方程1.

▲(bcos,bsin)(acos,asinPF1PFPF1PFPF1PF

2aF1F22aF1F22aF1F2以F1,F2

NN的軌跡是橢x2y2

y x ⑴①雙曲線a⑵①i.x

1(a,b b a b

1(ab0).一般方程

1(AC0)(a,0

x2c2

x

02a2

y20b02ii.焦點在y軸上：頂點：(0,a),(0,a) 焦點：(0,c),(0,c).準(zhǔn)線方程：y2c

yx

0y x

xa xba b

0ybtan或yasec 2a②軸x,y為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2b，焦距 ③離心率e

（兩準(zhǔn)線的距離2b

x y通 ⑤參數(shù)關(guān)系ca

b,e ⑥焦點半徑公式：對于雙曲線方 a b

1（F1,F2MF

ex0

MF

0

構(gòu)成滿MF1MF2

（0yMxyMyMxyMx雙曲線不帶符號

ey0ey0ey0ey0x2y2a2yx，離心率e2x2y2⑷共軛雙曲線以已知雙曲線的虛軸為實軸實軸為虛軸的雙曲線叫做已知雙曲線的共軛雙曲線 a bx2y

x2y2a b

.a b.x y⑸共漸近線的雙曲線系方程 (

x y0)的漸近線方程

0xy0a x y

a b 它的雙曲線方程可設(shè) a

(0)▲y43▲y43215x3y2xp(3,2) 解：令雙曲線的方程為 y(

(3,1

x y 1 4

區(qū)域①：無切線，22區(qū)域②：即定點在雙曲線上，1條切線，23條；區(qū)域③：2條切線，24條；區(qū)域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，12條；0、2、3、4條2P2a

yb

11：Pm=nPm︰PFPFPF簡證：d1e dPFe

=mn三、拋物線方程p0y22y22x22x22OxOx▲Ox▲OxF(p2F(p2F(0,p2F(0,p2x2x2y2y2x0,yx0,yxR,yxR,yxyePFp PFp PFp PFp

2bycx頂點

4acb

b)y22pxp0則焦點半徑PFxPx22pyp0則焦點半徑為PFyP x2pty22px（x22py）的參數(shù)方程為y2

x2（或y2pt

）（t為參數(shù)四、圓錐曲線的定義圓錐曲線的定義：平面內(nèi)到定點F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡.當(dāng)0e1時，軌跡為橢圓；當(dāng)e1當(dāng)e1當(dāng)e0時，軌跡為圓（ec，當(dāng)c0ab時a圓錐曲線方程具有對稱性.例如：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對原點的一條直線與雙曲線的交點是關(guān)于原點對稱的.AB=CD,AD與BC的中點重合即可.注：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性1．到兩定點F1,F2的距e的點的軌跡e跡方程x2y2 1( ba b2x2y2a b2ybsin(參數(shù)為離心角ybtan(參數(shù)為離心角x2pt2(t為參數(shù)y2|x| (0,b) x軸，yx軸，y軸2a,xF1(c,0),F1(c,0),F(p2 （c=a2b2 （c=a2b2ec(0eaec(eaax=cax=cx2y=±barar(exrx22ba2baacacP橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的其他形式及相應(yīng)性質(zhì)y2=ax與x2=ay的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程考試內(nèi)

高中數(shù)學(xué)第九章 幾考試要.掌握直線和平面垂直的判定定理§09.幾何知識要一、平面注：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內(nèi)34部分.（①兩個平面平行，②兩個平面相交13個平面.（①三條直線在一個平面內(nèi)平行，②三條直線不在一個平面內(nèi)[注]01個8部分.（X、Y、Z三個方向二、空間直.a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi)④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點⑤在平面影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形ababab的位置關(guān)系為相交或平行或異面異面直線判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（個平面內(nèi)的兩條直線1 121 12（直線與直線所成角0,90（斜線與平面成角090

（向量與向量所成角[0,180推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直l1l2是異面直線，則過l1l2PP且與l1l2都平行平面有一個或沒有，但與l1l2距離相等的點在同一平面內(nèi).（L1L2L1L2平行的平面）三 直線與平面平行、直線與平面垂直直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（“線線平行，線面平行[注]a與平面a（×）（平面外一條直線a與平面a與平面（×）（平面外一條直線a與平面平行，則a（√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面.（×）（可能在此平面內(nèi)⑤平行于同一直線的兩個平面平行.（×）（兩個平面可能相交⑦直線l與平面所成角相等，則.（×）（可能相交OaA只有一個平面和一條直線垂直 OaAPAaAOaPO（三垂線定理），得不出PO.aPOPOOA.三垂線定理的逆定理亦成立[注]：垂線在平面的射影為一個點一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線四 平面平行與平面垂直兩個平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面BθMBθMOOOA、OB分別垂直于l1,l2，因為PMOAPMOBPMOAPMOB兩異面直線任意兩點間的距離公式：lm2n2d22mncos（為鈍取減，綜上，都取加則必有0 2 21五 棱錐、棱柱SCh（Ch是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的②斜棱住側(cè)面積：SC1l（C1是斜棱柱直截面周長，l是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為⑵{四棱柱{平行六面體{直平行六面體{長方體{正四棱柱{正方體{直四棱柱{平行六面體}={直平行六面體

直平行六

矩

長方 正四棱

②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的多邊形③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形注：①棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱.（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖②（直棱柱定義）定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，則cos2cos2cos2推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側(cè)面所成的角為，則cos2cos2cos22.②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的棱柱才行③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（×）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直.（兩條邊可能相交，可能不相V棱柱

3V棱柱[注]：i.正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形S1Ch2

（底面周長為C，斜高為h'

S側(cè)

Scos（側(cè)面與底面成的二面角為l b 以知clcosab，all b

1a2

①，

1l2

②，cosa

③

S

Scos注：S為任意多邊形的面積（可分別多個三角形的方法①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高①棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心④棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心0I是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑bac全等bacEFEFHG簡證：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令A(yù)Ba,ADc,AC DBCACABbaADcBCADbcD

，已知acb0bac acbc0則BCAD0空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊形一定是矩形 ACO，則ooACBOACAC平面OOBACBOFGH90°EFGH形EFGHEFFG S4R2V

4R33PP點的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù)AB點的經(jīng)度.R3aVr2h（R3aV1r2h（rh為高3V1Sh（Sh為高3ah

6a，S3a2，S 3得3a26a3a2R13a2RR 2a/43 2a 6a3

1

R33

RS底②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式間a與bb與ca與c共線.（×）[當(dāng)b0時，不成立]abc共面即它們所在直線共面.（×）ab，則存在小任一實數(shù)ab.（×）[與b0a為非零向量，則0a0.（√）[這里用到b(b0a,b(b0，ab的充要條件是存在實數(shù)（具有唯一性aba使之平行于平面a在a與a∥abPab共面的充要條件是存在實數(shù)對x、yPxayb②空間．O．，則OPxOAyOBzOC(xyz1PABC四點共面的充要條件（OP1yz)OAyOBzOCAPyABzACP、A、B、C四點共面）zpxaybzc推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、zOPxOAyOBzOC(這里隱含 ABCDABbACcADdQ是△BCDD D AQ

(abc)用AQAMMQ即證 3a=(a1,a2,a3bb1b2b3ab(a1b1,a2b2,a3b3

a(a1,a2,a3)(

aba1b1a2b2a3a∥bab

,a

(R)a1a2a

abababab 1

b b

1 2 3aa2a22123aa (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：aa2a22123a

2 b2 b2b2b cosa,b

a 1 a2a2aa2a2a (x2x1(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)a所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作aa叫做平面的法向量n的法向量，ABAB的距離為|ABn||nn1n2分別是二面角l中平面n1n2是所求二面角的平面角或其補角大小（n1n2n1n2反方，則為其夾角a平面ABaCDCDEa∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對ABCDCE.（ABCDCE求解若存在即證畢，若不存在，AB與平面相交）.▲▲CD ▲BnAC一、四

II.競賽知識④12720°△ABC △ △ BD AD△ABC △ △ BD AD（ABCDBC=AD=a，AC=BD=b，AB=CD=cVR，內(nèi)接球rh），則有 b b2c2a2c2a2b23222O①等腰四面體的體積可表示為V D2a2a2b2c②等腰四面體的外接球半徑可表示為R 2a2b2a2b2c3④h=二、空間正余弦定理幾何知識要一、知識提（一）⒈平面的基本性 ⑴三個公理及公理三的三個推論和它們的用途．⑵斜二測畫法⑴公理四（平行線的傳遞性）．⑶異面直線所成的角：定義（求法）⒊直線和平面平 直線和平面的位置關(guān)系、直線和平面平行的判定與性質(zhì)（二）直線與平面的平行和垂直的證明思路（見附圖（三）（四）球OOA、OB、OC，若∠AOB=∠AOCA在平面∠BOC上的射影在∠BOC已知:M－AB－N中，AEM，BFN,∠EAB=1,∠ABF=2AEBF所成的角為，則coscos1cos2;ABDCABDC成2，設(shè)∠ABC=3,cos1cos2=cos3S射＝Scos,其中正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為Scos=S底已知:長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為,cos2+cos2+cos2=1;方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為,cos2+cos2+cos2S直棱柱側(cè)= (c表示底面周長，表示側(cè)棱長 S棱柱全=S底+S1棱錐的體積:V棱錐=ShS，h3V4R3S4R2A、B間的距離求法：（1）3AB的長，（2）計算球心角∠AOB的弧度數(shù)；(3)AB高中數(shù)學(xué)第十章-排列組合二項定考試內(nèi)容考試要求§10.排列組合二項定理一、兩個原理的排列mn個元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……nmmnm·m·…m例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法 （解：mn種二、排列nm(m≤n)個元素，nm個元素⑵相同排列如果；兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同⑶排列數(shù)nnm(m≤n)nm個元素的一個排列.n個不同mAm表示.nAmn(n1)(nm1)

(n

(mn,n,mN注意：nn!(n 規(guī)定0!=AmAmAmCm1Am

Am

規(guī)定C0Cn 的排列問題對含有相同元素求排列個數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個不同元素 nn1+n2+……nk,S的排列個數(shù)等于n

n1!n2!..nk 三、組合Cmn

n(n1)(nm

Cm Am m!(nAm⑶兩個公式：①CmCnm; ②Cm1CmC nmn-mnn-m個元素的方法是一一nn-m個元素的唯一的一個組合.（或者從n+1個不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含球選法有Cm1C1Cm1一類是不含紅球的選法有Cm nn+1m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取nm-1Cm1nnmCmCm1CmCmn⑷排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別nm個元素

C0C1C2n

kkkk②常用的證明組合等式方法例裂項求和法.如：123

（n1

12!3!

(n

(n

(n1)!導(dǎo)數(shù)法 iii.數(shù)學(xué)歸納法 iv.倒序求和法遞推法（即用

m遞推）如C3C3C3C3C4

構(gòu)造二項式.如(C0)2(C1)2(Cn)2C 證明：這里構(gòu)造二項式 )2n其中xn的系數(shù)，左邊C

Cn

四、排列、組合綜合I.①直接法 ②排除法Anm1Am個.Anm1是一個“整體排列”Am則是“局部排列 又例n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數(shù)為A2

1A2 nA、BAn1A2n1nA2An1 22

mn1時有意義2nm⑥調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時，可用此法.nAnm(mn個元素nmAnmAmm

種排列方法例如：nm解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…nn！m??；解法二：（比例分配法）AnAm Cn

knkn個，共有

(k AA.C.1，2，3，42243（間的順序問題了）又例如將200名運動員平均分成兩組，其中兩名選手必在一組的概率是多少 注意：分組與插空綜合.例如：n個元素全排列，其中某mAnm

mAmn–m+1≥m,mn1時有意義

2⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題

3x412的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將1211個空隙中任選三個3塊摸板，把球分成4個組.每法所得球的數(shù)目依次為3,x4顯然3x412，故 3,x4）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解(y1,y2,y3,y4)，對應(yīng)著惟一的種在12個球之 隔板的方式（如 所示）故方程的解和插板的方法一一對應(yīng).即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù)C3x個數(shù)，即用a1a2,...anaixi1

aCn1nkrrArAkr nm個元素的排列，其中某個元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，固定在某一位置上：Am1；不在某一位置上：AmAm1或

m

1Am1（aAm

⑩指定元素排列組合問題排列CrCkrAk；組合CrCkrrnr r從nk個不同元素作排列（或組合），rCA排列CkAk；組合Cknr iiink個不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個排列（或組合）rsC后ACsCksAkCsCksII.

①均勻不分組：將n個不同元素分成不的m組，假定其中r組元素個數(shù)相等，不管是否分盡，其分種數(shù)為A/Ar（其中A為非均勻不分組中分法數(shù)）.如果再有K組均勻分組應(yīng)再除以Ak 例：102、4、4，其分法種數(shù)為

2C4C4A21575. 1、1、2、2、2、2，其分法種數(shù)為

1C1C2C2C2C2/A2 m②非均勻分組:n個不同元素分組，各組元素數(shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為Am例：102、3、5C2C3C5A3種 1092、3、4，參加不同的勞動，則安排方法有

2C3C4A3 C2C4C例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4，參加三種不同勞動，分法種數(shù)為10 4A A2④非均勻不分組：將n個不同元素分成不的m組，每組元素數(shù)目均不相同，且不考慮各組間順序，n管是否分盡，其分法種數(shù)為An

Cn-C

…n-(m1m2...mk-1…例：102、3、5，其分法種數(shù)為C2C3C525201061、2、3，其分法種數(shù)為C1C2C312600

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