2019屆中考數(shù)學(xué)圓切線證明綜合試題新人教

2019屆中考數(shù)學(xué)圓的切線證明綜合試題新人教版2019屆中考數(shù)學(xué)圓的切線證明綜合試題新人教版9/92019屆中考數(shù)學(xué)圓的切線證明綜合試題新人教版2019屆中考數(shù)學(xué)圓的切線證明綜合試題新人教版我們學(xué)習(xí)了直線和圓的地址關(guān)系，就出現(xiàn)了新的一類習(xí)題，就是證明素來(lái)線是圓的切線.在我們所學(xué)的知識(shí)范圍內(nèi)，證明圓的切線常用的方法有：一、若直線l過(guò)⊙O上某一點(diǎn)A，證明l是⊙O的切線，只需連OA，證明OA⊥l就行了，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”，難點(diǎn)在于如何證明兩線垂直.例1如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，交AC于E，B為切點(diǎn)的切線交OD延長(zhǎng)線于F.求證：EF與⊙O相切.證明：連接OE，AD.AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF與⊙O相切，OB⊥BF.0∴∠OEF=90.EF與⊙O相切.說(shuō)明：此題是經(jīng)過(guò)證明三角形全等證明垂直的例2如圖，AD是∠BAC的均分線，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=PD.求證：PA與⊙O相切.證明一：作直徑AE，連接EC.AD是∠BAC的均分線，∴∠DAB=∠DAC.PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直徑，0∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=90.0∴∠1+∠EAC=90.即OA⊥PA.PA與⊙O相切.證明二：延長(zhǎng)AD交⊙O于E，連接OA，OE.AD是∠BAC的均分線，⌒BE=CE，OE⊥BC.0∴∠E+∠BDE=90.OA=OE，∴∠E=∠1.PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,0∴∠1+∠PAD=90即OA⊥PA.∴PA與⊙O相切說(shuō)明：此題是經(jīng)過(guò)證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意知識(shí)的綜合運(yùn)用.例3如圖，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求證：DM與⊙O相切.證明一：連接OD.AB=AC，∴∠B=∠C.OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，DM⊥OD.DM與⊙O相切證明二：連接OD，AD.AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.DM是⊙O的切線說(shuō)明：證明一是經(jīng)過(guò)證平行來(lái)證明垂直的利用已知及圖上已知.

DC.證明二是經(jīng)過(guò)證兩角互余證明垂直的，解題中注意充分0例4如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且∠CAB=30，BD=OB，D在AB的延長(zhǎng)線上.求證：DC是⊙O的切線證明：連接OC、BC.OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等邊三角形.∴OB=BC.DOB=BD，∴OB=BC=BD.OC⊥CD.DC是⊙O的切線.說(shuō)明：此題是依照?qǐng)A周角定理的推論3證明垂直的，此題解法頗多，但這類方法較好.2例5如圖，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，且OA=OD·OP.求證：PC是⊙O的切線.證明：連接OC2∵OA=OD·OP，OA=OC，2∴OC=OD·OP，OCOPOD.OC又∵∠1=∠1，∴△OCP∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.∵CD⊥AB，0∴∠OCP=90.∴PC是⊙O的切線.說(shuō)明：此題是經(jīng)過(guò)證三角形相似證明垂直的例6如圖，ABCD是正方形，G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG交BD于E，交CD于F.求證：CE與△CFG的外接圓相切.解析：此題圖上沒(méi)有畫出△CFG的外接圓，但△CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點(diǎn)，為此我們?nèi)G的中點(diǎn)O，連接OC，證明CE⊥OC即可得解.證明：取FG中點(diǎn)O，連接OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中點(diǎn)，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.AD=CD，DE=DE，0∠ADE=∠CDE=45，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE與△CFG的外接圓相切二、若直線l與⊙O沒(méi)有已知的公共點(diǎn)，又要證明

l

是⊙O的切線，只需作

OA⊥l，A為垂足，證明OA是⊙O的半徑就行了，簡(jiǎn)稱：“作垂直；證半徑”例7如圖，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，⊙D與AB切于E點(diǎn).求證：AC與⊙D相切.證明一：連接DE，作DF⊥AC，F(xiàn)是垂足.∵AB是⊙D的切線，DE⊥AB.DF⊥AC，0∴∠DEB=∠DFC=90.AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）DF=DE.F在⊙D上.∴AC是⊙D的切線證明二：連接DE，AD，作DF⊥AC，F(xiàn)是垂足.AB與⊙D相切，∴DE⊥AB.AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC與⊙D相切.說(shuō)明：證明一是經(jīng)過(guò)證明三角形全等證明DF=DE的，證明二是利用角均分線的性質(zhì)證明DF=DE的，這類習(xí)題多數(shù)與角均分線有關(guān).例8已知：如圖，AC，BD與⊙O切于A、B，且求證：CD是⊙O的切線.證明一：連接OA，OB，作OE⊥CD，E為垂足.AC，BD與⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.AC∥BD，0∴∠1+∠2+∠3+∠4=180.0∵∠COD=90，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.0∵∠4+∠5=90.Rt△AOC∽R(shí)t△BDO.

0AC∥BD，若∠COD=90.OACOC.OBODOA=OB，ACOC.OAOD0又∵∠CAO=∠COD=90，∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD,OE=OA.E點(diǎn)在⊙O上.CD是⊙O的切線.證明二：連接OA，OB，作OE⊥CD于E，延長(zhǎng)DO交CA延長(zhǎng)線于F.∵AC，BD與⊙O相切，AC⊥OA，BD⊥OB.AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）OF=OD.0∵∠COD=90，CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，OE=OA.E點(diǎn)在⊙O上.CD是⊙O的切線.證明三：連接AO并延長(zhǎng)，作OE⊥CD于E，取CD中點(diǎn)F，連接OF.∵AC與⊙O相切，AC⊥AO.AC∥BD，AO⊥BD.BD與⊙O相切于B，∴AO的延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.AB是⊙O的直徑.AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.0∵∠COD=90，CF=DF，∴OF

1CD

CF

.2∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E點(diǎn)在⊙O上.∴CD是⊙O的切線說(shuō)明：證明一是利用相似三角形證明∠1=∠2，證明二是利用等腰三角形三線合一證明∠1=∠2.證明三是利用梯形的性質(zhì)證明∠1=∠2，這類方法必需先證明A、O、B三點(diǎn)共線.此題較難，需要同學(xué)們利用所學(xué)過(guò)的知識(shí)綜合求解.以上介紹的是證明圓的切線常用的兩種方法供同學(xué)們參照.以下是武漢市20072010中考題匯編：（2007中考）22．(此題8分)如圖，等腰三角形中，＝＝，＝12。以為直徑作⊙O交ABCACBC10ABBCAB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：直線EF是⊙O的切線；求CF:CE的值。

AFDGEBO

C(第22題圖)（2008中考）22．（此題8分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的均分線AD交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F．⑴求證：DE是⊙O的切線；⑵若AC3，求AF的值。AB5DFECDFAOB（2009中考）22．（此題滿分8分）如圖，Rt△ABC中，，以AB為直徑作⊙