文科經(jīng)管類微積分(00002)市公開課一等獎(jiǎng)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——微積分大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第三十九講二元函數(shù)基本概念腳本編寫：教案制作：§7.1二元函數(shù)基本概念一、鄰域二、二元函數(shù)概念三、二元函數(shù)極限四、二元函數(shù)連續(xù)性上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二、多元函數(shù)概念

引例:圓柱體體積二元函數(shù)微積分

下面在一元函數(shù)微積分基礎(chǔ)上,來研究多元函數(shù)微積分.因從一元函數(shù)到二元函數(shù)將見面臨一些新問題,而從二元函數(shù)到二元以上多元函數(shù),可完全類推;

需首先介紹一些空間故下面主要研究二元要研究二元函數(shù),現(xiàn)就必備知識(shí)作解析幾何知識(shí).簡(jiǎn)單介紹.函數(shù)微積分及其應(yīng)用.空間直角坐標(biāo)系（三維直角坐標(biāo)系）右手原則（縱軸）（橫軸）（豎軸）O平面平面平面O三個(gè)坐標(biāo)平面分空間為八個(gè)卦限（演示）

ⅢⅣⅠ

ⅡⅤⅥⅦⅧ三個(gè)坐標(biāo)平面八個(gè)卦限

空間點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)表示:二、空間中點(diǎn)直角坐標(biāo)

(稱為點(diǎn)M

坐標(biāo))xyz空間中兩點(diǎn)間距離：?兩點(diǎn)間距離點(diǎn)M到原點(diǎn)距離平面直角坐標(biāo)系

oxy平面內(nèi)任取一點(diǎn)O——原點(diǎn)

過O點(diǎn)另作一垂線——y軸（縱軸）

過O點(diǎn)做一直線——x軸（橫軸）兩坐標(biāo)軸分平面為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限

實(shí)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)點(diǎn)P，記作，分別稱數(shù)x為點(diǎn)P橫坐標(biāo)，數(shù)y為點(diǎn)P縱坐標(biāo)。平面內(nèi)點(diǎn)p與實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)一一對(duì)應(yīng)

ⅠⅡⅢⅣP(x,y)xyoxyP(x,y)xy平面內(nèi)點(diǎn)p與實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)一一對(duì)應(yīng)

一、區(qū)域1.鄰域

設(shè)P0(x0,y0)是xOy平面上一個(gè)點(diǎn),d是某一正數(shù).點(diǎn)集U(P0,d)U(P0,d){P||PP0|<d}去心鄰域U(P0,d){P|0<|PP0|<d},

。簡(jiǎn)記為U(P0).。下頁稱為點(diǎn)P0(x0,y0)d鄰域,簡(jiǎn)記為U(P0).2.區(qū)域內(nèi)點(diǎn)：Ｅ內(nèi)部點(diǎn).邊界點(diǎn)E邊界上點(diǎn).

顯然,E內(nèi)點(diǎn)屬于E.邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)下頁平面上區(qū)域，通慣用字母D、G…表示。2.區(qū)域:在平面直角坐標(biāo)系中，由一條或幾條曲線所圍成xoy平面一個(gè)部分稱為區(qū)域。圍成區(qū)域曲線，稱為區(qū)域邊界。包含全部邊界區(qū)域，稱為閉區(qū)域；不包含邊界區(qū)域，稱為開區(qū)域；只包含部分邊界區(qū)域，稱為半開半閉區(qū)域。D是閉區(qū)域D是開區(qū)域假如一個(gè)區(qū)域能夠被包圍在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心某個(gè)圓內(nèi)，則稱此區(qū)域?yàn)橛薪鐓^(qū)域，不然稱其為無界區(qū)域.區(qū)域舉例

D4={(x,y)|1x2+y24}.

D3={(x,y)|1<x2+y2<4}.

D1={(x,y)|x+y>0}.

D2={(x,y)|x+y0}.

下頁開區(qū)域閉區(qū)域開區(qū)域無界區(qū)域無界區(qū)域有界區(qū)域有界區(qū)域閉區(qū)域二、二元函數(shù)概念二元函數(shù)定義設(shè)D是xoy平面上一個(gè)點(diǎn)集.假如對(duì)于每個(gè)點(diǎn)P(x,y)D,變量z按照一定法則總有確定值和它對(duì)應(yīng),則稱z是變量x,y二元函數(shù)(或點(diǎn)P函數(shù)),記為z=f(x,y)(或z=f(P)).在定義中,D是定義域,

x和y是自變量,z是因變量.下頁

z=ln(x+y)是二元函數(shù),其定義域?yàn)閧(x,y)|x+y>0}(無界開區(qū)域).

下頁二、二元函數(shù)概念二元函數(shù)定義設(shè)D是平面上一個(gè)點(diǎn)集.假如對(duì)于每個(gè)點(diǎn)P(x,y)D,變量z按照一定法則總有確定值和它對(duì)應(yīng),則稱z是變量x,y二元函數(shù)(或點(diǎn)P函數(shù)),記為z=f(x,y)(或z=f(P)).函數(shù)舉例函數(shù)舉例zarcsin(x2+y2)是二元函數(shù),其定義域?yàn)?/p>

{(x,y)|x2+y21}(有界閉區(qū)域).下頁二、二元函數(shù)概念二元函數(shù)定義設(shè)D是平面上一個(gè)點(diǎn)集.假如對(duì)于每個(gè)點(diǎn)P(x,y)D,變量z按照一定法則總有確定值和它對(duì)應(yīng),則稱z是變量x,y二元函數(shù)(或點(diǎn)P函數(shù)),記為z=f(x,y)(或z=f(P)).值域

{z|z=f(x,y),(x,y)D}.二元函數(shù)圖形

當(dāng)(x,y)

在D中變動(dòng)時(shí),點(diǎn)M(x,y,z)在空間中變動(dòng),當(dāng)(x,y)取遍D中一切點(diǎn)時(shí),M(x,y,z)在三維空間中"織"出一片曲面.

按二元函數(shù)定義，對(duì)于任意

(x,y)D.能夠唯一確定實(shí)數(shù)z,從而確定了空間一個(gè)點(diǎn)M(x,y,z).

值域

{z|z=f(x,y),(x,y)D}.二元函數(shù)圖形

按二元函數(shù)定義，對(duì)于任意

(x,y)D.能夠唯一確定實(shí)數(shù)z,從而確定了空間一個(gè)點(diǎn)M(x,y,z).

即二元函數(shù)表示空間中一片曲面,定義域D是該曲面在xoy平面上投影.例3求球心在點(diǎn)

半徑為R球面方程.尤其地,以原點(diǎn)為球心,R為半徑球面方程為M0MROxyz二元函數(shù)極限和連續(xù)性

證實(shí)二元函數(shù)極限不存在方法1、找出兩條不一樣路徑使得點(diǎn)P沿這兩條路徑趨向于時(shí)，f(x,y)極限不相等.2、找一條特殊路徑（y=kx)使得f(x,y)極限不存在.解當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿x軸(y=0)趨于(0,0)時(shí),得但當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿拋物線趨于(0,0)時(shí),卻得（2）二元函數(shù)極限求法極限四則運(yùn)算法則以及極限變量替換法均仍成立。二元函數(shù)極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)情況類似.=12=2.

例2.

解:首頁是一個(gè)數(shù)計(jì)算以下極限

二元函數(shù)極限計(jì)算

×?換元時(shí)與不能相互制約因?yàn)槎貥O限值不受動(dòng)點(diǎn)趨向于定點(diǎn)方式影響！四、二元函數(shù)連續(xù)性設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域D內(nèi)有定義,P0(x0,y0)D.假如二元函數(shù)連續(xù)性定義則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù).函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù):是指函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù).此時(shí)稱f(x,y)是D內(nèi)連續(xù)函數(shù).下頁函數(shù)間斷點(diǎn)

若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不連續(xù),則P0稱為函數(shù)f(x,y)間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)可能是孤立點(diǎn)也可能是曲線上點(diǎn).曲線x2+y2-1=0上點(diǎn).間斷點(diǎn)舉例下頁有洞曲面有縫曲面四、二元函數(shù)連續(xù)性

ABCDz=f(x,y)xz

0y二元函數(shù)二元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

性質(zhì)1(最大值和最小值定理)

在有界閉區(qū)域D上二元連續(xù)函數(shù),在D上一定有最大值和最小值.二元連續(xù)函數(shù)和、差、積、商(分母不為零)均為連續(xù)函數(shù),二元連續(xù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù).下頁二元初等函數(shù)連續(xù)性一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù).(1)二元初等函數(shù)是可用一個(gè)式子所表示二元函數(shù),而這個(gè)式子是由二元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所組成.比如sin(x+y)是由sinu與u=x+y復(fù)合而成,它是二元初等函數(shù).(2)所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)區(qū)域或閉區(qū)域.說明:下頁由x和y基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算組成一個(gè)式子函數(shù)此結(jié)論對(duì)研究二元函數(shù)連續(xù)性和求極限很有幫助.例3.初等函數(shù)定義域內(nèi)點(diǎn)二元初等函數(shù)連續(xù)性一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù).例4.

二元函數(shù)極限計(jì)算——計(jì)算以下極限1.4.(2)(4)6.(1)(3)7.(3)8.(1)(2)(3)(4)3.10.作業(yè)P68高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——微積分大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第四十講

偏導(dǎo)數(shù)腳本編寫：教案制作：§7.2偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁§7.2偏導(dǎo)數(shù)這種改變率稱之為偏導(dǎo)數(shù).在研究一元函數(shù)時(shí),已經(jīng)看到了函數(shù)關(guān)于自變量改變率(導(dǎo)數(shù))主要性.對(duì)于二元函數(shù)也一樣有一個(gè)處于主要地位函數(shù)改變率問題.因二元函數(shù)有兩個(gè)自變量,且這兩個(gè)自變量是彼此無關(guān),故可考慮函數(shù)關(guān)于其中一個(gè)自變量改變率,此時(shí)將另一個(gè)自變量看作不變.一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)某一鄰域內(nèi)有定義,假如極限存在,則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x偏導(dǎo)數(shù),記作類似地,可定義函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)y偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義下頁偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)下頁一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)定義偏導(dǎo)函數(shù)假如函數(shù)zf(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y函數(shù),它就稱為函數(shù)zf(x,y)對(duì)x偏導(dǎo)函數(shù),記作類似地,可定義函數(shù)zf(x,y)對(duì)y偏導(dǎo)函數(shù),記作偏導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù).下頁3.偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算(1).要求函數(shù)?(x,y)對(duì)自變量x偏導(dǎo)數(shù),只須將自變量由偏導(dǎo)數(shù)定義知：

用一元函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)x求導(dǎo)；(2).要求函數(shù)?(x,y)對(duì)自變量y偏導(dǎo)數(shù),只須將自變量y看成常數(shù)，x看成常數(shù),

用一元函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)y求導(dǎo).偏導(dǎo)數(shù)求法（2）多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法因?yàn)槎嘣瘮?shù)偏導(dǎo)數(shù)定義中極限是一元函數(shù)極限問題，所以說多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)其實(shí)質(zhì)是“在固定其它自變量前提下，對(duì)某一個(gè)自變量求導(dǎo)數(shù)”問題。所以，多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算一樣，成立四則運(yùn)算法則；例1.

求解:在點(diǎn)(1,2)處偏導(dǎo)數(shù).例1.

求解法2:在點(diǎn)(1,2)處偏導(dǎo)數(shù).例11求函數(shù)在點(diǎn)(1,0)處偏導(dǎo)數(shù).例3求解:此題用解法一太繁,只能用解法二.因求讓固定,令則所以當(dāng)時(shí),所以

例1.

求zx2sin2y偏導(dǎo)數(shù).

解:

下頁(1).要求函數(shù)?(x,y)對(duì)自變量x偏導(dǎo)數(shù),只須將自變量用一元函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)x求導(dǎo)；(2).要求函數(shù)?(x,y)對(duì)自變量y偏導(dǎo)數(shù),只須將自變量y看成常數(shù)，x看成常數(shù),

用一元函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)y求導(dǎo).例1.求例2.求偏導(dǎo)數(shù).三元以上偏導(dǎo)數(shù)可類似定義.求時(shí),求對(duì)一階導(dǎo)數(shù).比如,對(duì)三元函數(shù)可把都看作常量,

例3.證:

下頁分段形式多元函數(shù)在分段點(diǎn)上求偏導(dǎo)數(shù)，因?yàn)槎嘣侄?/p>

函數(shù)普通不是多元初等函數(shù)，故普通只能用“定義法”求偏

導(dǎo)數(shù)值。多元函數(shù)可偏導(dǎo)性與連續(xù)性關(guān)系“可偏導(dǎo)”未必“連續(xù)”

“連續(xù)”未必“可偏導(dǎo)”因?yàn)閷?duì)于一元函數(shù)而言，“連續(xù)”未必“可導(dǎo)”，而一元函數(shù)是二元函數(shù)特例，故普通而言，連續(xù)二元函數(shù)未必可偏導(dǎo)。分段點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)要用定義求二、高階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)假如函數(shù)zf(x,y)偏導(dǎo)數(shù)也含有偏導(dǎo)數(shù),則它們偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)zf(x,y)二階偏導(dǎo)數(shù).其中和稱為混合偏導(dǎo)數(shù).類似地可定義三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù).下頁函數(shù)zf(x,y)二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè):解:

例6.設(shè)zx3y23xy3xy1,求z全部二階偏導(dǎo)數(shù).此例中兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)是相等.下頁解:

例6.設(shè)zx3y23xy3xy1,求z全部二階偏導(dǎo)數(shù).下頁

例7.證:下頁xz

y0

由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)幾何意義：z=f(x,y)L：L=tan3.偏導(dǎo)數(shù)幾何意義.y=y0同理，.MTx固定

y=y0M

z=f(x,y)Lx=x0固定

x=x0Tx3.偏導(dǎo)數(shù)幾何意義.xz

y0M

由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)幾何意義：z=f(x,y)L=tan.x=x0固定

x=x0TxTy3.偏導(dǎo)數(shù)幾何意義.xz

y01.(1)(3)2.(3)(5)(6)3.(2)(3)4.(2)(3)6.7.8.5.9.作業(yè)P7310.高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——微積分大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第四十一講

全微分腳本編寫：教案制作：一、全微分定義二、全微分計(jì)算§7.3全微分及其應(yīng)用上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁實(shí)例:正方形金屬薄片受熱后面積改變量.設(shè)邊長(zhǎng)由x0變到x0+Dx,(2):Dx高階無窮小,當(dāng)|Dx|很小時(shí)可忽略(1):Dx線性函數(shù),且為DA主要部分(2)(1)∵正方形面積A=x02A=x02復(fù)習(xí)一元函數(shù)微分再如,既輕易計(jì)算又是很好近似值問題:全部函數(shù)改變量是否都有這個(gè)線性主部?它是什么?怎樣求?當(dāng)|Dx|很小時(shí),(2)是Dx高階無窮小,o(Dx)(1)(2)微分定義函數(shù)y=f(x)在x0某一鄰域內(nèi)有定義,定義x0和x0+Dx都在領(lǐng)域內(nèi).假如成立(其中A與Dx無關(guān)).則稱f(x)在x0

可微,而且把A

·

Dx稱為f(x)在x0微分,記為dy或df(x),即比如

dcosx(cosx)Dx

sinxdx

dyf

(x)Dx,

函數(shù)改變量改變情況.?x?y則其面積為S=xy，是x和y二?S=(x+?x)(y+?y)－xy=y?x+x?y+?x?y一.全微分概念本節(jié)研究二元函數(shù)在兩個(gè)自變量都有微小改變時(shí)，如圖所表示矩形長(zhǎng)和寬為x和y,函數(shù).若邊長(zhǎng)x和y分別取得微小改變量?x和?y，則面積S也對(duì)應(yīng)有一個(gè)改變量而?x?y較高階無窮小量,故可將它略去,(當(dāng)?x→0,?y→0時(shí))是比而用?x、?y線性xyxyxyyx部分y?x+x?y近似表示?S，類似于一元函數(shù)微分，y?x+x?y也稱為S全微分dS..全微分定義其中A、B不依賴于x、y而僅與x、y相關(guān),則稱函數(shù)zf(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)可微分,而稱AxBy為函數(shù)zf(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)全微分,記作dz,即

dzAxBy.

假如函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分,那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.

下頁假如函數(shù)zf(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)全增量

zf(xx,

yy)f(x,

y)可表示為可微分與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù),

但可微分必連續(xù).

這是因?yàn)?假如z=f(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)可微,則

zf(xx,

yy)f(x,

y)AxByo(r),所以函數(shù)z=f(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)處連續(xù).下頁

zf(xx,

yy)f(x,

y)假如函數(shù)zf(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)簡(jiǎn)明證實(shí):尤其當(dāng)y0時(shí)有f(xx,

y)f(x,

y)Axo(|x|).

設(shè)函數(shù)zf(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)可微分.于是有

zf(xx,

yy)f(x,

y)AxByo(r),所以返回定理返回

zf(xx,

yy)f(x,

y)AxByo(r),注意:

該定理逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:假如函數(shù)zf(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)定理注：可偏導(dǎo)不一定可微,見下面反例.

同理,注：可偏導(dǎo)不一定可微,見下面反例.

所以若二元函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)時(shí)，則該二元

函數(shù)必定可微.

因?yàn)槿艨善珜?dǎo)必可微，而“可微必定是連續(xù)”

，于是有可偏導(dǎo)必定連續(xù)，這與原來結(jié)論“可偏導(dǎo)未必連續(xù)”矛盾！

“可偏導(dǎo)”未必“可微”函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可偏導(dǎo)疊加原理按著習(xí)慣,x、y分別記作dx、dy,并分別稱為自變量微分,這么函數(shù)z=f(x,

y)全微分可寫作二元函數(shù)全微分等于它兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)微分符合疊加原理.

疊加原理也適合用于二元以上函數(shù),比如uf(x,

y,

z)全微分為下頁

例1.

計(jì)算函數(shù)zx2yy2全微分.

解:所以dz

例2.

計(jì)算函數(shù)zexy在點(diǎn)(2,1)處全微分.

解:所以dz2xydx(x22y)dy

.e2dx2e2dy

.

下頁（4）多元函數(shù)全微分計(jì)算實(shí)例

例3.

解:首頁1.(1)(3)(5)2.3.4.(1)6.8.作業(yè)P80高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——微積分大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第四十二講多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)腳本編寫：教案制作：§7.4多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則一、二元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t定理.

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),

在點(diǎn)t可導(dǎo),

則復(fù)合函數(shù)簡(jiǎn)明說明：且有鏈?zhǔn)椒▌t(全導(dǎo)數(shù)公式)都存在,且在對(duì)應(yīng)于(x,y)點(diǎn)(u,v)處,函數(shù)z=?(u,v)定理

若u=φ(x,y),v=Ψ(x,y)在點(diǎn)(x,y)處偏導(dǎo)數(shù)可微,則復(fù)合函數(shù)z=?(φ(x,y),Ψ(x,y))對(duì)x及y偏導(dǎo)數(shù)都存在,且注1

此定理也可稱為求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t.記憶可用上圖所表示鏈子來記.定理中等式數(shù)為自變量個(gè)數(shù)；每一個(gè)等式中項(xiàng)數(shù)為中間變量個(gè)數(shù).z到x路徑有兩條,一條是“z→u→x”,一條是“z→v→x”;z到y(tǒng)路徑也有兩條,一條是“z→u→y”,一條是“z→v→y”.設(shè)zf(u,v),而uj(x,y),vy(x,y),則

例1.解:e

usinve

usinvex

y[ysin(xy)cos(xy)],1e

ucosvyex

y[xsin(xy)cos(xy)].1e

ucosvx下頁推廣:1)中間變量多于兩個(gè)情形.

比如,例3.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:推廣:1)中間變量多于兩個(gè)情形.比如,例3.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:先依據(jù)定義畫出中間變量，再畫自變量，最終按求導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)求導(dǎo)．一些中間變量也是最終變量情況：例3設(shè)求解:

在該例中，我們清楚看出與含意是不一樣.顯然不等于.

復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)即使是各種多樣，求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)公式也不完全相同，但借助函數(shù)結(jié)構(gòu)圖,都能夠直接寫出給定復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)公式.注1

此定理也可稱為求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t.記憶可用上圖所表示鏈子來記.定理中等式數(shù)為自變量個(gè)數(shù)；每一個(gè)等式中項(xiàng)數(shù)為中間變量個(gè)數(shù).z到x路徑有兩條,一條是“z→u→x”,一條是“z→v→x”;z到y(tǒng)路徑也有兩條,一條是“z→u→y”,一條是“z→v→y”.例2.解:例2設(shè),其中z=f(u,v)為可微函數(shù),求解令，可得二元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：其中不能再詳細(xì)計(jì)算了，這是因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)f僅是抽象函數(shù)記號(hào)，沒有詳細(xì)給出函數(shù)表示式.多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：引入記號(hào):提醒:提醒:解:

例4.設(shè)wf(xyz,xyz),f含有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),令uxyz,vxyz

,則wf(u,v).下頁1.2.(1)(3)(5)3.(1)4.6.7.8.5.作業(yè)P8413.高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——微積分大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第四十三講隱函數(shù)求導(dǎo)法則腳本編寫：教案制作：§7.5隱函數(shù)求導(dǎo)法則上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁若方程確定了函數(shù)我們有以下方法求函數(shù)對(duì)導(dǎo)數(shù)：1.先把函數(shù)顯化再求導(dǎo)。2.將方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，比如：兩邊對(duì)求導(dǎo)，得：注意這時(shí)是函數(shù)一、復(fù)習(xí)一元隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)兩邊對(duì)x求導(dǎo)復(fù)習(xí)一元隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)解:兩邊對(duì)x求導(dǎo)假如利用上一節(jié)二元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式也有:令則要分清方程與函數(shù)定理:則則

令解法二:要分清方程與函數(shù)定理:二元隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：設(shè)是由方程zvyx所確定隱函數(shù)，且求解：對(duì)方程兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)得，于是所以一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，二元隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：設(shè)是由方程所確定隱函數(shù)，且求解：對(duì)方程兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)得，于是所以由方程F(x,y,z)0確定隱函數(shù)zz(x,y)偏導(dǎo)數(shù)為下頁說明:類似可得其中令則要分清方程與函數(shù)由方程F(x,y,z)0確定隱函數(shù)zf(x,y)偏導(dǎo)數(shù)為設(shè)F(x,y,z)x2y2z24z,解:例2.則Fx2x,Fz2z4,首頁要分清方程與函數(shù)例2.設(shè)方法二:

直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo),再對(duì)x求導(dǎo),二元隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：要分清方程與函數(shù)例求由方程所確定隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)解：對(duì)方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)有，即所以將上式兩端同乘得，例求由方程所確定隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)解：對(duì)方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)有，即所以將上式兩端同乘得，例求由方程所確定隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)由方程F(x,y,z)0確定隱函數(shù)zf(x,y)偏導(dǎo)數(shù)為解：設(shè)則1.3.5.7.8.作業(yè)P8812.高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——微積分大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第四十四講多元函數(shù)極值及其求法腳本編寫：教案制作：一、多元函數(shù)極值及最大值、最小值§7.7多元函數(shù)極值及其求法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁極值定義設(shè)二元函數(shù)uf(P)在點(diǎn)P0某個(gè)鄰域U(P0)內(nèi)有定義.

假如對(duì)于U(P0)內(nèi)任何異于P0點(diǎn)P都有f(P)<f(P0),則稱函數(shù)在點(diǎn)P0有極大值f(P0);一、多元函數(shù)極值及最大值、最小值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值點(diǎn)稱為極值點(diǎn).

假如對(duì)于U(P0)內(nèi)任何異于P0點(diǎn)P都有f(P)>f(P0),則稱函數(shù)在點(diǎn)P0有極小值f(P0);下頁提醒:當(dāng)(x,

y)=(0,0)時(shí),z=0,而當(dāng)(x,

y)(0,0)時(shí),z0.

所以z=0是函數(shù)極小值.提醒:當(dāng)(x,

y)=(0,0)時(shí),z=0,而當(dāng)(x,

y)(0,0)時(shí),z0.所以z=0是函數(shù)極大值.提醒:因?yàn)樵邳c(diǎn)(0,0)處函數(shù)值為零,而在點(diǎn)(0,0)任一鄰域內(nèi),總有使函數(shù)值為正點(diǎn),也有使函數(shù)值為負(fù)點(diǎn).

例1.函數(shù)z3x24y2在點(diǎn)(0,0)處有極小值.例3.函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處既不取得極大值也不取得極小值.例2.下頁一定有極大值,即證:

因二元函數(shù)?(x,y)在點(diǎn)處有極值，故固定時(shí),一元函數(shù)在點(diǎn)處也取得極值必要條件設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)含有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)(x0,y0)處有極值,則它在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)必定為零:故不妨設(shè)在點(diǎn)處取得極大值,所以有比如,函數(shù)

在點(diǎn)(0,0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是零,所以點(diǎn)(0,0)是駐點(diǎn)。但點(diǎn)(0,0)既不是函數(shù)極大值點(diǎn)也不是函數(shù)極小值點(diǎn).（稱駐點(diǎn)）

駐點(diǎn)極值點(diǎn)注意：定理1（必要條件）

問題：怎樣判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？則f(x,y)在(x0,y0)處是否取得極值條件以下:

(1)B2AC<0時(shí)含有極值,且當(dāng)A<0時(shí)有極大值,當(dāng)A>0時(shí)有極小值;

(2)B2AC>0時(shí)沒有極值;(3)B2AC0時(shí)可能有極值,也可能沒有極值.

下頁同一元函數(shù)類似，有以下取得極值充分條件設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又

令極值求法第一步解方程組求得一切實(shí)數(shù)解,即可得一切駐點(diǎn).下頁設(shè)函數(shù)zf(x,y),fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0,令(1)B2AC<0時(shí)含有極值,且當(dāng)A<0時(shí)有極大值,當(dāng)A>0時(shí)有極小值;

(2)B2AC>0時(shí)沒有極值;第二步對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0),求出第三步定出

符號(hào),

判定f(x0,y0)是否是極值、是極大值還是極小值.

例4.

求函數(shù)f(x,y)x3y33x23y29x極值.得x=1,

-3;

y=0,2.

函數(shù)駐點(diǎn)為(1,0)、(1,2)、(3,0)、(3,2).求得二階偏導(dǎo)數(shù)為在點(diǎn)(1,0)處,

在點(diǎn)(1,2)處,126>0,下頁所以函數(shù)在(1,0)處有極小值f(1,0)5;所以f(1,2)不是極值;解:

求駐點(diǎn)解方程組126<0,又fxx12>0,在點(diǎn)(3,0)處,126>0,

例4.

求函數(shù)f(x,y)x3y33x23y29x極值.得x=1,

-3;

y=0,2.

函數(shù)駐點(diǎn)為(1,0)、(1,2)、(3,0)、(3,2).在點(diǎn)(3,2)處,126<0,又fxx12<0,下頁求得二階偏導(dǎo)數(shù)為所以f(3,0)不是極值;所以函數(shù)在(3,2)處有極大值f(3,2)31.解:

求駐點(diǎn)解方程組實(shí)際應(yīng)用問題中最大值和最小值求法實(shí)際問題中,假如函數(shù)f(x,y)最大值(最小值)普通一定存在,假如函數(shù)只有一個(gè)駐點(diǎn),那么該駐點(diǎn)處函數(shù)值就是函數(shù)f(x,y)最大值(最小值).同一元函數(shù)類似

例5.

某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為8m3有蓋長(zhǎng)方體水箱,問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取多少時(shí),才能使用料最省.解:此水箱所用材料面積為下頁長(zhǎng)寬高,

例5.

某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為8m3有蓋長(zhǎng)方體水箱,問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取多少時(shí),才能使用料最省.解:此水箱所用材料面積為依據(jù)題意,水箱所用材料面積S最小值一定存在,

所以,

S在D內(nèi)唯一駐點(diǎn)(2,2)處一定取得最小值,下頁,二元函數(shù)最值實(shí)際應(yīng)用問題解題步驟:（1）依據(jù)題意,列出目標(biāo)函數(shù)解析式;（3）求出目標(biāo)函數(shù)駐點(diǎn)(通常為唯一駐點(diǎn)）；（4）判斷該駐點(diǎn)即為所求最值點(diǎn)；(因?yàn)橛蓡栴}實(shí)際意義可知，最值點(diǎn)必定存在，同時(shí)駐點(diǎn)是唯一，故該駐點(diǎn)即為最值點(diǎn)）（5）算出目標(biāo)函數(shù)最值。（2）列出目標(biāo)函數(shù)最值點(diǎn)必要條件:兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為零方程組；多產(chǎn)品多原因最大利潤(rùn)問題舉例例某工廠生產(chǎn)同一個(gè)產(chǎn)品分銷兩個(gè)獨(dú)立市場(chǎng)，其總成本函數(shù)為其中兩個(gè)市場(chǎng)價(jià)格函數(shù)分別為

工廠追求最大利潤(rùn)，求此時(shí)投放每個(gè)市場(chǎng)產(chǎn)量？解由題設(shè)，兩個(gè)市場(chǎng)收益函數(shù)分別為

從而，工廠利潤(rùn)函數(shù)

從而，工廠利潤(rùn)函數(shù)

由可得駐點(diǎn)

依題意，該問題有最大利潤(rùn)；而利潤(rùn)函數(shù)有惟一駐點(diǎn)（8,2）可知，當(dāng)投放每個(gè)市場(chǎng)產(chǎn)量分別為8和2時(shí)工廠可取得最大利潤(rùn)。ABCDz=f(x,y)f在頂點(diǎn)A、B、C、D處有極大值xz

0y普通函數(shù)最大值和最小值求法解例5先求函數(shù)在D內(nèi)駐點(diǎn)，解方程組普通函數(shù)在閉區(qū)域內(nèi)最大值和最小值求法為最小值.求函數(shù)在有界閉區(qū)域上最大、最小值普通步驟為：※※先求函數(shù)在開區(qū)域上極大、極小值點(diǎn);再求函數(shù)在邊界上極大、極小值點(diǎn);※將所求出極值(及邊界上特殊點(diǎn)函數(shù)值)進(jìn)行比較,即可得出函數(shù)最大、最小值.作業(yè)P971.(1)(3)(4)3.7.高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——微積分大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第四十五講多元函數(shù)條件極值及其求法腳本編寫：教案制作：一、條件極值拉格朗日乘數(shù)法§7.7多元函數(shù)條件極值及其求法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二元函數(shù)最值實(shí)際應(yīng)用問題解題步驟及其原理（1）依據(jù)題意,列出目標(biāo)函數(shù)解析式;（3）求出目標(biāo)函數(shù)駐點(diǎn)(通常為唯一駐點(diǎn)）；（4）判斷該駐點(diǎn)即為所求最值點(diǎn)；(因?yàn)橛蓡栴}實(shí)際意義可知，最值點(diǎn)必定存在，同時(shí)駐點(diǎn)是唯一，故該駐點(diǎn)即為最值點(diǎn)）（5）算出目標(biāo)函數(shù)最值。實(shí)例1.某企業(yè)經(jīng)過電視和報(bào)紙兩種形式作廣告，已知銷售收入R（萬元）與電視廣告費(fèi)x（萬元），報(bào)紙廣告費(fèi)y（萬元）有以下關(guān)系：R(x,y)=15+14x+32y–8xy–2x2–10y2;假如廣告費(fèi)用不限，求最正確廣告策略。解：利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=L(x,y)=R(x,y)-(x+y)=15+13x+31y–8xy–2x2–10y2;（2）列出目標(biāo)函數(shù)最值點(diǎn)必要條件:兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為零方程組；五.二元函數(shù)條件最值應(yīng)用問題在實(shí)例1中，某企業(yè)經(jīng)過電視和報(bào)紙兩種形式作廣告，已知銷售收入R（萬元）與電視廣告費(fèi)x（萬元），報(bào)紙廣告費(fèi)y（萬元）有以下關(guān)系：R(x,y)=15+14x+32y–8xy–2x2–10y2;假如廣告費(fèi)用只能花去1.5萬元

，求此時(shí)最正確廣告策略。實(shí)例1中原來解答是因?yàn)?.75+1.25=2萬元，超出廣告費(fèi)用允許數(shù)額1.5萬元，原解答不符題意。此時(shí)該怎樣求解?

三.條件極值

前面研究極值問題,除了自變量須在定義域內(nèi)取值外,無其它限制條件;但在實(shí)際中碰到大多極值問題,除了自變量須在定義域內(nèi)取值外,我們常將前者稱為無條件極值,后者稱為條件極值.還對(duì)各自變量有一定約束條件.二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對(duì)自變量有附加條件極值稱為條件極值.上述問題就是求函數(shù)Vxyz在條件2(xyyzxz)a2下最大值問題,這是一個(gè)條件極值問題.比如,求表面積為a2而體積為最大長(zhǎng)方體體積問題.設(shè)長(zhǎng)方體三棱長(zhǎng)為x,y,z,則體積Vxyz.又因假定表面積為a2,所以自變量x,y,z還必須滿足附加條件2(xyyzxz)a2.下頁求條件極值方法(1)將條件極值化為無條件極值比如,求Vxyz在條件2(xyyzxz)a2下最大值.有時(shí)能夠把條件極值問題化為無條件極值問題.這就把求條件極值問題轉(zhuǎn)化成了求無條件極值問題.下頁二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對(duì)自變量有附加條件極值稱為條件極值.三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值求法:方法1代入法.求一元函數(shù)無條件極值問題.對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制比如,轉(zhuǎn)化很不輕易！有時(shí)候要想與上題那樣，從φ(x,y)=0中解出y=ψ(x),方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)

故故有則方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,可確定隱函數(shù)設(shè)

記極值點(diǎn)必滿足引入輔助函數(shù)極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)必滿足引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用結(jié)構(gòu)拉格朗日函數(shù)求極值方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.方法2拉格朗日乘數(shù)法.則極值點(diǎn)必滿足例某企業(yè)經(jīng)過電視和報(bào)紙兩種形式作廣告，已知銷售收入R（萬元）與電視廣告費(fèi)x（萬元），報(bào)紙廣告費(fèi)y（萬元）有以下關(guān)系：R(x,y)=15+14x+32y–8xy–2x2–10y2;解：利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=L(x,y)=R(x,y)-(x+y)=15+13x+31y–8xy–2x2–10y2;約束條件函數(shù)為(x,y)=x+y-1.5=0.此時(shí)拉格朗日函數(shù)

F(x,y,)=L(x,y)+·(x,y)

=15+13x+31y–8xy–2x2–10y2+·(x+y-1.5)

這個(gè)拉格朗日函數(shù)駐點(diǎn)滿足方程：解得該方程組唯一解：x0=0,y0=1.5.()這是唯一駐點(diǎn)，又由題意L(x,y)一定存在最大值，故L(0,1.5)=39(萬元)必定是所求最大值。最正確廣告策略為：投入報(bào)紙廣告費(fèi)1.5萬元，不投入電視廣告費(fèi)，可使所得利潤(rùn)值最大。最大利潤(rùn)值為L(zhǎng)(0,1.5)=39(萬元).若廣告費(fèi)只能花去1.5萬元,求最正確廣告策略（90年考研試題）(1)將條件極值化為無條件極值(2)用拉格朗日乘數(shù)法在多數(shù)情況下較難把條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值,需要用一個(gè)求條件極值專用方法,這就是拉格朗日乘數(shù)法.下頁求條件極值方法二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對(duì)自變量有附加條件極值稱為條件極值.拉格朗日乘數(shù)法要找函數(shù)zf(x,y)在條件j(x,y)0下可能極值點(diǎn),能夠先組成輔助函數(shù)F(x,y,λ)f(x,y)lj(x,y),然后解方程組上述方程組解(x,y)就是所要求極值點(diǎn),下頁例34求周長(zhǎng)為a而面積最大長(zhǎng)方形.解：設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬分別為x、y,則其面積為S=xy.令函數(shù)F(x,y,λ)=xy+λ(2x+2y-a)，則由方程組因問題本身有最大值且駐點(diǎn)唯一,故問題變?yōu)樵诩s束條件2x+2y=a下求函數(shù)S=xy最大值.故周長(zhǎng)為a而面積最大長(zhǎng)方形是邊長(zhǎng)等于是最大值點(diǎn).正方形.拉格朗日乘數(shù)法要找函數(shù)zf(x,y)在條件j(x,y)0下可能極值點(diǎn),能夠先組成輔助函數(shù)F(x,y,λ)f(x,y)lj(x,y),例7.

求表面積為a2而體積為最大長(zhǎng)方體體積.

解:設(shè)長(zhǎng)方體三個(gè)棱長(zhǎng)分別為x,y,z,則問題就是求函數(shù)Vxyz在條件2(xyyzxz)=a2下最大值.組成輔助函數(shù)因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在,這是唯一可能極值點(diǎn).F(x,y,z,λ)xyzl(2xy2yz2xza2),結(jié)束解方程組假如區(qū)域D能夠表示為不等式X型區(qū)域下頁則稱區(qū)域D為X型區(qū)域.作與y軸同向射線,從下至上穿過D.則y是由下方曲線

變到上方曲線.平面區(qū)域不等式表示法（平行直線束表示法）將平面區(qū)域看為無窮條含有某種共同性質(zhì)垂直或者水平直線（或線段）組合。例2用不等式表示定義域.解:應(yīng)滿足所以其定義域是不含圓周圓域11那么D聯(lián)立不等式應(yīng)該怎樣表示呢?－1－1因?yàn)镈邊界是即所以D由圍成．例2用不等式表示定義域.解:11那么D聯(lián)立不等式應(yīng)該怎樣表示呢?－1－1因?yàn)镈邊界是即所以D由圍成．D中點(diǎn)橫坐標(biāo)x在之間改變時(shí),點(diǎn)縱坐標(biāo)y在與之間改變,所以能夠表示為:1－1－11例1把如圖所表示長(zhǎng)方形區(qū)域用不等式表示出來．解：當(dāng)x在之間改變時(shí),當(dāng)y也在之間改變,所以該區(qū)域能夠表示成注意方域與圓域區(qū)分.Y型區(qū)域假如區(qū)域D能夠表示為不等式下頁則稱區(qū)域D為Y型區(qū)域.作與x軸同向射線,從左至右穿過D.則x是由下方曲線

變到上方曲線.作業(yè)P685.作業(yè)P9910.9.為已知常數(shù)13.高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——微積分大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第四十六講二重積分概念與性質(zhì)腳本編寫：教案制作：預(yù)備知識(shí)：直徑概念：特點(diǎn)：平頂.曲頂柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂.１．曲頂柱體體積柱體體積=底面積╳高x0z

y..x0z

yDi.x0z

yV..小平頂柱體體積iz=f(x,y)小曲頂柱體體積

一、引例三、二重積分性質(zhì)§7.8二重積分概念與性質(zhì)二、二重積分概念上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、引例曲頂柱體假定D是平面上一個(gè)區(qū)域，z=f(x,y)>0為定義在D上給定二元函數(shù)。以區(qū)域D邊界為母線，生成一個(gè)垂直于坐標(biāo)平面柱面，它與函數(shù)圖像曲面

z=f(x,y),平面區(qū)域D所圍成封閉立體，稱之為曲頂柱體。1.曲頂柱體體積下頁提醒:對(duì)應(yīng)地把曲頂柱體分成了n個(gè)小曲頂柱體.用曲線網(wǎng)把D分成小區(qū)域:

s1,s2,

,sn

.用小平頂柱體體積近似代替小曲頂項(xiàng)柱體體積Vi

:Vif(xi,hi)si.用小平頂柱體體積之和近似代替整個(gè)曲頂柱體體積:

f(xi,hi)si(xi,hi)下頁1.曲頂柱體體積提醒:對(duì)應(yīng)地把曲頂柱體分成了n個(gè)小曲頂柱體.提醒:其中l(wèi)為各小區(qū)域直徑最大值.用曲線網(wǎng)把D分成小區(qū)域:

s1,s2,

,sn

.用小平頂柱體體積近似代替小頂項(xiàng)柱體體積Vi

:Vif(xi,hi)si.用小平頂柱體體積之和近似代替整個(gè)曲頂柱體體積:

將分割加細(xì),取極限,求得曲頂柱體體積準(zhǔn)確值:f(xi,hi)si(xi,hi)下頁1.曲頂柱體體積二、二重積分概念

設(shè)函數(shù)f(x,y)在界閉區(qū)域D上有界.將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

s1,s2,

,sn

,其中si表示第i個(gè)小區(qū)域,也表示它面積.

在第i個(gè)小區(qū)域si上任取一點(diǎn)(xi,hi),作和總是存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上二重積分,記作設(shè)l為各小區(qū)域直徑中最大值,假如極限二重積分定義下頁f(x,

y)———被積函數(shù),f(x,

y)ds——被積表示式,

ds————面積元素,

x,

y————積分變量,

D————積分區(qū)域.—————積分號(hào),下頁二、二重積分概念二重積分定義在直角坐標(biāo)系下，我們常采取平行于坐標(biāo)軸直xyO則小區(qū)域面積為其邊長(zhǎng)分別為和線來劃分D(如圖).此時(shí)小區(qū)域形狀為小矩形,設(shè)矩形區(qū)域si邊長(zhǎng)為xi和yi,則sixiyi.

所以在直角坐標(biāo)系中,面積元素ds記作dxdy.直角坐標(biāo)系中二重積分二、二重積分概念二重積分定義其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中面積元素.首頁直角坐標(biāo)系中二重積分二、二重積分概念二重積分定義當(dāng)z=f(x,

y)0時(shí),f(x,

y)在區(qū)域D上二重積分表示以曲面z=f(x,

y)為頂、區(qū)域D為底曲頂柱體體積V.二重積分幾何意義一個(gè)有限數(shù)．

三、二重積分性質(zhì)

性質(zhì)1

性質(zhì)2

下頁

性質(zhì)3

當(dāng)時(shí),性質(zhì)4(區(qū)域可加性)

假如閉區(qū)域D劃分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2,則三、二重積分性質(zhì)

性質(zhì)1

性質(zhì)2

性質(zhì)4

性質(zhì)3

假如閉區(qū)域D劃分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2,則下頁此性質(zhì)幾何意義是：以Ｄ為底、以1為高平頂柱體體積在數(shù)值上等于柱體底面積.性質(zhì)5(單調(diào)性)假如在D上,f(x,y)g(x,y),則有不等式性質(zhì)5(單調(diào)性)設(shè)M、m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上最大值和最小值,

s為D面積,則有假如在D上,f(x,y)g(x,y),則有不等式性質(zhì)6(估值定理)

證:因?yàn)樗栽O(shè)M、m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上最大值和最小值,

s為D面積,則有設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),

s為D面積,則在D上最少存在一點(diǎn)(x,h)使得下式成立:性質(zhì)6(估值定理)

性質(zhì)7(二重積分中值定理)

證:因?yàn)樗訢1x0z

yD２性質(zhì)8:xyD性質(zhì)8幾何意義：xyzxyz一邊是樓房，一邊是地下室．則區(qū)域D內(nèi)點(diǎn)(x,y)均滿足x+y≥1,從而例1比較以下二重積分大小：0y

x112x+y=1x+y>1P(a,b).xyoab

平面直角坐標(biāo)系是最簡(jiǎn)單最慣用一個(gè)坐標(biāo)系，但不是唯一一個(gè)坐標(biāo)系.有時(shí)用別坐標(biāo)系比較方便.還有什么坐標(biāo)系呢？5浬（1）距離：5浬；（2）方向：東偏北20o.ox20o極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化

極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系是兩種不一樣坐標(biāo)系，當(dāng)平面內(nèi)既建立極坐標(biāo)系又建立直角坐標(biāo)系時(shí),平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)M現(xiàn)有極坐標(biāo)又有直角坐標(biāo).所以有．解以x=rcos,y=rsin代入，得

，所以，以極點(diǎn)為圓心、半徑為1圓極坐標(biāo)方程為r=1,(0<2).例6化圓直角坐標(biāo)方程為極坐標(biāo)方程．以直角坐標(biāo)方程F(x,y)=0表示曲線，馬上能夠轉(zhuǎn)化為以極坐標(biāo)表示方程：

F(x,y)=0F(rcos,rsin)=0有了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式能夠發(fā)覺，有時(shí)以極坐標(biāo)表示方程，遠(yuǎn)比以直角坐標(biāo)表示方程簡(jiǎn)單．例化直角坐標(biāo)方程解:方程為為極坐標(biāo)方程．以x=rcos,y=rsin代入，得

即所以極坐標(biāo)方程為4.平面區(qū)域極坐標(biāo)表示法實(shí)例將平面區(qū)域視為分布在某個(gè)角度內(nèi)無窮條射線（段）束組合.Ｄ稱為“曲邊三角形”或“曲邊扇形”．曲邊極坐標(biāo)方程為r=r()，D最小極角為，最大極角為．此時(shí)，D:0rr(),

.xyDr=r()0普通情況下,用極坐標(biāo)表示D時(shí),總是首先確定取值范圍.若積分區(qū)域D如圖，即：極點(diǎn)在D外，而D是由兩個(gè)“曲邊扇形”相減而成。作以0為起點(diǎn)射線過D，先碰到曲邊為r=r1()，后遇曲邊為r=r2(),最大，最小極角分別為,,0xyr=r2()r=r1()D:r1()rr2(),

．思索:

以下各圖域D中,答:改變范圍是什么?y0xr=r()0xyr=r()高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——微積分大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第四十七講二重積分計(jì)算腳本編寫：教案制作：一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二重積分計(jì)算法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁我們首先討論在Ｘ型區(qū)域上二重積分.假如區(qū)域D能夠表示為不等式X型區(qū)域下頁則稱區(qū)域D為X型區(qū)域.作與y軸同向射線,從下至上穿過D.則y是由下方曲線

變到上方曲線.一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分1.直角坐標(biāo)系下二重積分計(jì)算.由二重積分幾何意義知,當(dāng)f(x,y)0時(shí),如圖若點(diǎn)x處截面面積為A(x),則體積x0axA(x)三、二重積分計(jì)算b由幾何意義知,以D為底曲頂柱體體積V.

如圖.過點(diǎn)x0作平面x=x0,截面是平面x=x0上,以z=f

(x0,y)為曲邊曲邊梯形.

zx0yDz=f

(x,y)z=f

(x0,y)x0abzx0yDz=f

(x,y)z=f

(x0,y)x0ab由定積分幾何意義,曲頂柱體體積為右端稱為先對(duì)y,再對(duì)x計(jì)算標(biāo)準(zhǔn):

由里到外.

即先將x看作常數(shù),以y為積分變量,求里層積分.

得到結(jié)果是只含x,不含y函數(shù)式,再求外層積分(以x為積分變量).二次積分(累次積分).曲頂柱體體積為注1.

公式

雖是在條件f(x,y)0下得到,這只是為幾何上說明方便而引入，實(shí)際上，對(duì)普通f(x,y)公式都成立.

注2.

習(xí)慣上常將右端二次積分記作即——這是先對(duì)y再對(duì)x累次積分.同學(xué)們一定要注意要把x看作為常數(shù).對(duì)y積分時(shí)

2－1－21假如D是X型區(qū)域:j1(x)yj2(x),axb,則計(jì)算二重積分步驟(1)畫出積分區(qū)域D草圖;(2)用聯(lián)立不等式表示積分區(qū)域D;(3)把二重積分表示為二次積分:(4)計(jì)算二次積分.下頁先對(duì)y后對(duì)x二次積分例1.xy0y=xy=x2x為確定累次積分上、下限,作與y軸同向射線,從下至上穿過D.則y是由下方曲線y=x2變到上方曲線y=x.解:

先畫區(qū)域D圖形.xy0y=xy=x2x現(xiàn)在討論Ｙ型區(qū)域上二重積分.Y型區(qū)域假如區(qū)域D能夠表示為不等式下頁則稱區(qū)域D為Y型區(qū)域.作與x軸同向射線,從左至右穿過D.則x是由下方曲線

變到上方曲線.一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分因?yàn)槟軌驅(qū)⒍x區(qū)域D

看成為Y型區(qū)域：故類似地還能夠化為另一個(gè)先后積分次序累次積分：xy0y=xy=x211法2:作與x軸同向射線,從左至右穿過D.y則x是從左方曲線x=y變到右方曲線y=x2.即例1.xy0y=xy=x211y假如D是X型區(qū)域:j1(x)yj2(x),axb,則計(jì)算二重積分步驟假如D是Y型區(qū)域:y1(y)xy2(y),cyd,則(1)畫出積分區(qū)域D草圖;(2)用聯(lián)立不等式表示積分區(qū)域D;(3)把二重積分表示為二次積分:(4)計(jì)算二次積分.下頁先對(duì)x后對(duì)y二次積分先對(duì)y后對(duì)x二次積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

有區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y型區(qū)域。下頁(3)若D既是x—型區(qū)域,又是y—型區(qū)域.則既可先對(duì)x積分,又可先對(duì)y積分.

當(dāng)用某次序算二重積分不好算時(shí),可改換積分次序,可能好算.此時(shí),例7計(jì)算其中D由所圍成.解:假如先對(duì)y積分,則可寫成但計(jì)算起來很繁瑣,而假如先對(duì)x積分,則有分析:積分區(qū)域可表示為DD1+D2,其中積分區(qū)域也可表示為下頁例2.計(jì)算其中D是拋物線所圍成閉區(qū)域.

及直線例2.計(jì)算其中D是拋物線所圍成閉區(qū)域.

解:及直線例3.

求解：因?yàn)槭恰胺e不出”，怎么辦？要改換積分次序.先畫積分區(qū)域D圖形.由積分表示式知，D：y

x1,0y1畫曲線x=y和x=1，直線y=0,y=1.如圖：故原式=yx0Dy

=x

選擇適當(dāng)積分次序，有時(shí)能使積分變得簡(jiǎn)便，易行。在作題時(shí)，當(dāng)按某一次序積分極難，或不可行時(shí)，可改換積分次序。并請(qǐng)同學(xué)們注意：凡遇等不能用初等函數(shù)表示積分,均須更換積分次序.但在更換積分次序時(shí),必須