不等式與不等式組知識點與練習(xí)

不等式與不等式組知識點與練習(xí)不等式與不等式組知識點與練習(xí)不等式與不等式組知識點與練習(xí)不等式與不等式組知識點與練習(xí)編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:不等式與不等式組一、知識結(jié)構(gòu)圖二、知識要點（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符號（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。不等號主要包括：＞、＜、≥、≤、≠。2、不等式的解：使不等式左右兩邊成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。3、不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集（即未知數(shù)的取值范圍）。4、解不等式：求不等式的解集的過程，叫做解不等式。5、不等式的解集可以在數(shù)軸上表示，分三步進(jìn)行：①畫數(shù)軸②定界點③定方向。規(guī)律：用數(shù)軸表示不等式的解集，應(yīng)記住下面的規(guī)律：大于向右畫，小于向左畫，等于用實心圓點，不等于用空心圓圈。（二、）不等式的基本性質(zhì)不等式性質(zhì)1：不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變。用字母表示為：如果，那么；如果，那么；不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變。用字母表示為：如果，那么(或)；如果，不等號那么(或)；不等式的性質(zhì)3：不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負(fù)數(shù)，的方向改變。用字母表示為：如果，那么(或)；如果，那么(或)；解不等式思想——就是要將不等式逐步轉(zhuǎn)化為x>a或x＜a的形式。（注：①傳遞性：若a＞b,b＞c,則a＞c.②利用不等式的基本性質(zhì)可以解簡單的不等式）（三、）一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2、任何一個一元一次不等式都可以化為最簡形式：或（a≠0）的形式。3、解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1（特別要注意不等號方向改變的問題）。這與解一元一次方程類似，在解時要根據(jù)一元一次不等式的具體情況靈活選擇步驟。（四、）一元一次不等式組1、一元一次不等式組的概念：幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。不等式組中含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1。2、使不等式組中的每個不等式都成立的未知數(shù)的值叫不等式組的解，一個不等式組的所有的解組成的集合，叫這個不等式組的解集解(簡稱不等式組的解)。3、不等式組的解集可以在數(shù)軸上表示出來。求不等式組的解集的過程叫解不等式組。4、當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。5、一元一次不等式組的解法:解一元一次不等式組的一般步驟：①分別求出這個不等式組中各個不等式的解集；②利用數(shù)軸表示出各個不等式的解集；③找出公共部分；=4\*GB3④用不等式表示出這個不等式組的解集。如果這些不等式的解集的沒有公共部分，則這個不等式組無解(此時也稱這個不等式組的解集為空集)。6、求出各個不等式的解集后，確定不等式組的解的口訣：大大取大，小小取小，大小小大取中間，大大小小無處找。（五、）一元一次不等式（組）的應(yīng)用一般方法步驟：（1）審：分析題意，找出不等關(guān)系；（2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)；（3）列：列出不等式組；（4）解：解不等式組；（5）檢驗：從不等式組的解集中找出符合題意的答案；（6）答：寫出問題答案。1、不等式與不等式組不等式：①用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向相反。2、不等式的解集：①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。③求不等式解集的過程叫做解不等式。3、一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。4、一元一次不等式組：①關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。5、一元一次不等式解題的一般步驟：去分母、去括號，移項時候要變號，同類項合并好，再把系數(shù)來除掉，兩邊除（以）負(fù)數(shù)時，不等號改向別忘了．6、一元一次不等式組的解集：大大取較大，小小取較小，小大、大小取中間，小小、大大無處找．由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集通常有如下四種類型（其中a＜b）不等式組數(shù)軸表示解集順口溜x>bx>ax>bx>ax＞b大大取較大x<bx<ax<bx<ax＜a小小取較小x<bx>ax<bx>aa＜x＜b大小、小大中間找x>bx<ax>bx<a無解大大、小小解不了練習(xí)題一1．已知不等式3x-a≤0的正整數(shù)解恰是1，2，3，則a的取值范圍是。2．已知關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是。3．不等式組的整數(shù)解為。4．如果關(guān)于x的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，則a的值為。5．已知關(guān)于x的不等式組的解集為，那么a的取值范圍是。6．當(dāng)時，代數(shù)式的值不大于零7.若<１，則０（用“>”“=”或“”號填空）8.不等式>１，的正整數(shù)解是9.不等式>的解集為<３，則10.若>>，則不等式組的解集是11.若不等式組的解集是－１<<１，則的值為12.有解集２<<３的不等式組是（寫出一個即可）13.一罐飲料凈重約為３００g，罐上注有“蛋白質(zhì)含量”其中蛋白質(zhì)的含量為_____g若不等式組的解集為>３，則的取值范圍是練習(xí)題二判斷題（每題1分，共6分）a＞b，得a＋m＞b＋m（）由a＞3，得a＞（）x=2是不等式x＋3＞4的解（）由－＞－1，得－＞－a（）如果a＞b，c＜0，則ac2＞bc2（）如果a＜b＜0，則＜1（）填空題（每題2分，共34分）1、若a＜b，用“＞”號或“＜”號填空：a－5b－5；－－；－1＋2a－1＋2b；6－a6－b；2、x與3的和不小于－6，用不等式表示為；3、當(dāng)x時，代數(shù)式2x－3的值是正數(shù)；4、代數(shù)式＋2x的不大于8－的值，那么x的正整數(shù)解是；5、如果x－7＜－5，則x；如果－＞0，那么x；6、不等式ax＞b的解集是x＜，則a的取值范圍是；7、一個長方形的長為x米，寬為50米，如果它的周長不小于280米，那么x應(yīng)滿足的不等式為；練習(xí)題三一、選擇題1．下列不等式組中，是一元一次不等式組的是（）A．B．C．D．2．下列說法正確的是（）A．不等式組的解集是5<x<3B．的解集是－3<x<－2C．的解集是x=2D．的解集是x≠33．不等式組的最小整數(shù)解為（）A．－1B．0C．1D．44．在平面直角坐標(biāo)系中，點P（2x－6，x－5）在第四象限，則x的取值范圍是（）A．3<x<5B．－3<x<5C．－5<x<3D．－5<x<－35．不等式組的解集是（）A．x>2B．x<3C．2<x<3D．無解二、填空題6．若不等式組有解，則m的取值范圍是______．7．已知三角形三邊的長分別為2，3和a，則a的取值范圍是_____．8．將一筐橘子分給若干個兒童，如果每人分4個橘子，則剩下9個橘子；如果每人分6個橘子，則最后一個兒童分得的橘子數(shù)將少于3個，由以上可推出，共有_____個兒童，分_____個橘子．9．若不等式組的解集是－1<x<1，則（a+b）2006=______．三、解答題10．解不等式組（1）（2）eq\b\lc\{(\a\vs3\al(2x－3＜1，①,eq\f(x－1,2)＋2≥－x．②))11．若不等式組無解，求m的取值范圍．12、若關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(5－2x≥－1，,x－a＞2))無解，則a的取值范圍是________________．13、已知關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x－a≥0，,3－2x＞－1))的整數(shù)解共有5個，則a的取值范圍是_________．易錯點分析：易錯點1：誤認(rèn)為一元一次不等式組的“公共部分”就是兩個數(shù)之間的部分．例1解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x－1＞0，①,x＋2＜0．②))錯解：由①，得x＞1，由②，得x＜－2，所以不等式組的解集為－2＜x＜1．錯因剖析：解一元一次不等式組的方法是先分別求出不等式組中各個不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些不等式解集的公共部分．此題錯在對“公共部分”的理解上，誤認(rèn)為兩個數(shù)之間的部分為“公共部分”（即解集）．實際上，這兩部分沒有“公共部分”，也就是說此不等式組無解，而所謂“公共部分”的解是指“兩線重疊”的部分．此外，有些同學(xué)可能會受到解題順序的影響，把解集表示成1＜x＜－2或－2＜x＞1等，這些都是錯誤的．正解：由①，得x＞1．由②，得x＜－2，所以此不等式組無解．易錯點2：誤認(rèn)為“同向解集哪個表示范圍大就取哪個”．例2解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(5x＋12＞6－3x，①,eq\f(4＋x,3)－5＞2－eq\f(2(1＋x),3)．②))錯解：解不等式①，得x＞－eq\f(3,4)．解不等式②，得x＞5．由于x＞－eq\f(3,4)的范圍較大，所以不等式組的解集為x＞－eq\f(3,4)．錯因剖析：本例錯解中，由于對不等式組的解集理解得不深刻，在根據(jù)兩個解集的范圍確定不等式組的解集時，形成錯誤的認(rèn)識．其實在求兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集時，可歸納為以下四種基本類型（設(shè)a＜b），①eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x＞a，,x＞b，))②eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x＜a，,x＞b，))③eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x＞a，,x＜b，))④eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x＜a，,x＞b．))利用數(shù)可確定它們的解集分別為①x＞b，②x＜a，③a＜x＜b，④空集．也可以用下面的口訣來幫助記憶，“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了（空集）”．正解：解不等式①，得x＞－eq\f(3,4)．解不等式②，得x＞5．所以不等式組的解集為x＞5．易錯點3：混淆解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法．例3解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(eq\f(x,2)－2(x＋3)≤11，①,eq\f(3x,2)＋2(x＋3)≤3．②))錯解：由①＋②，得2x≤14，即x≤7，所以不等式組的解集為x≤7．錯因剖析：本例錯在將解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法混淆，誤將解二元一次方程組中的加減消元法用在解一元一次不等式組中．產(chǎn)生此類錯誤的根本原因是沒有正確區(qū)分解一元一次不等式組和解二元一次方程組的不同點，（1）解二元一次方程組時，兩個方程不是單獨(dú)存在的；（2）由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集，可歸納為“獨(dú)立解，集中到”，即獨(dú)立地解不等式組中的每一個不等式組中的每一個不等式，在解的過程中，各不等式彼此不發(fā)生關(guān)系，“組”的作用在最后，即每一個不等式的解集都要求出來后，再利用數(shù)軸從“公共部分”的角度去求“組”的解集．正解：由不等式①，得eq\f(3,2)x≥－17，即x≥－eq\f(34,3)．由不等式②，得eq\f(7,2)x≤－3，即x≤－eq\f(6,7)．所以原不等式組的解集為－eq\f(34,3)≤x≤－eq\f(6,7)．易錯點4：在去分母時，漏乘常數(shù)項．例4解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(2x－3＜1，①,eq\f(x－1,2)＋2≥－x．②))錯解：由①，得x＜2．在x－21＋2≥－x的兩邊同乘2，得x－1＋2≥－2x．于是有x≥－eq\f(1,3)，所以原不等式組的解集為2＞x≥－eq\f(1,3)．錯因剖析：解一元一次不等式組，需要先求出每一個不等式的解，最后找出它們的公共部分．對不等式進(jìn)行變形時，一定要使用同解變形，不然就容易出錯．本例的解答過程中沒有掌握不等式的運(yùn)算性質(zhì)，在去分母時漏乘了中間的一項．此外，還要注意在表示“大小小大中間取”這類不等式的解集時應(yīng)按一般順序，把小的那個數(shù)放在前面，大的那個數(shù)放在后面，用“＜”連接．正解：由①，得x＜2．在eq\f(x－1,2)＋2≥－x的兩邊同乘2，得x－1＋4≥－2x．于是有x≥－1，所以原不等式組的解集為－1≤x＜2．易錯點5：忽視不等式兩邊同乘（或除以）的數(shù)的符號，導(dǎo)致不等式方向出錯．例5解關(guān)于x的不等式（eq\f(1,2)－a）x＞1－2a．錯解：去分母，得(1－2a)x＞2(1－2a)．將不等式兩邊同時除以（1－2a），得x＞2．錯因剖析：在利用不等式的性質(zhì)解不等式時，如果不等式兩邊同乘（或除以）的數(shù)是含字母的式子，應(yīng)注意討論含字母的式子的符號．本例中不等式兩邊同乘(或除以)的(1－2a)，在不確定取值符號的情況下進(jìn)行約分，所以出錯．正解：將不等式變形，得(1－2a)x＞2(1－2a)．（1）當(dāng)1－2a＞0時，即a＜eq\f(1,2)時，x＞2；（2）當(dāng)1－2a＝0時，即a＝eq\f(1,2)時，不等式無解；（3）當(dāng)1－2a＜0時，即a＞eq\f(1,2)時，x＜2．例6如果關(guān)于x的不等式(2a－b)x＋a－5b＞0的解集是x＜eq\f(10,7)，則關(guān)于x的不等式ax＞b的解集是_________．錯解：因為不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜eq\f(10,7)，所以eq\f(5b－a,2a－b)＝eq\f(10,7)，則有eq\b\lc\{(\a\vs3\al(2a－b＝7，,5b－a＝10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(a＝5，,b＝3．))從而知ax＞b的解集是x＞eq\f(3,5)．錯因剖析：本題錯因有兩個，一是忽視了原不等式的不等號方向與解集的不等號方向正好相反；二是對含有字母系數(shù)的不等式?jīng)]有根據(jù)解集的情況確定字母系數(shù)的取值范圍，所以在解題時錯誤得出eq\b\lc\{(\a\vs3\al(2a－b＝7，,5b－a＝10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(a＝5，,b＝3．))從而錯誤得到ax＞b的解集是x＞eq\f(3,5)．正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜eq\f(10,7)，得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(2a－b＜0，,eq\f(5b－a,2a－b)＝eq\f(10,7)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(a＜0，,eq\f(b,a)＝eq\f(3,5)．))所以ax＞b的解集是x＜eq\f(3,5)．易錯點6：尋找待定字母的取值范圍時易漏特殊情況．例7若關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(5－2x≥－1，,x－a＞2))無解，則a的取值范圍是________________．錯解：由eq\b\lc\{(\a\vs3\al(5－2x≥－1，,x－a＞0，))得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x≤3，,x＞a．))又因為不等式組無解，所以a的取值范圍是a＞3．錯因剖析：由已知不等式的解集確定不等式組的解集時，可按“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了”的基本規(guī)律求解，但當(dāng)已知不等式組的解集而求不等式的解集中待定字母取值范圍時則不能完全套用此規(guī)律，還應(yīng)考慮特例，即a＝3，有x≤3及x＞3，而此時不等式組也是無解的．因此，本題錯在沒有考慮待定字母的取值范圍的特殊情況．正解：由eq\b\lc\{(\a\vs3\al(5－2x≥－1，,x－a＞0))得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x≤3，,x＞a．))又因為不等式組無解，所以a的取值范圍是a≥3．例8已知關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x－a≥0，,3－2x＞－1))的整數(shù)解共有5個，則a的取值范圍是_________．錯解：由eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x－a≥0，,3－2x＞－1))解得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x≥a，,x＜2．))又因為原不等式組的整數(shù)解共有5個，所以a≤x＜2，這5個整數(shù)解為－3，－2，－1，0，1，從而有a≤－3(或a＝－3)．錯因剖析：本題主要考查同學(xué)們是否會運(yùn)用逆向思維解決含有待定字母的一元一次不等式組的特解．上述解法錯在忽視a≤x＜2中有5個整數(shù)解時，a雖不唯一，但也有一定的限制，a的取值范圍在－3與－4之間，其中包括－3，但不應(yīng)包括－4，所以錯解在確定a的取值范圍時擴(kuò)大了解的范圍．正解：由eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x－a≥0，,3－2x＞－1))解得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x≥a，,x＜2．))又因為原不等式組的整數(shù)解共有5個，所以a≤x＜2．又知這5個整數(shù)解為－3，－2，－1，0，1．故a的取值范圍是－4＜a≤－3．總之，對于解一元一次不等式（組）問題，我們要深刻領(lǐng)會一元一次不等式（組）的基礎(chǔ)知識，熟悉這6個易錯點，牢固地掌握一元一次不等式（組）的解法和步驟，從而遠(yuǎn)離解一元一次不等式（組）的錯誤深淵．模擬試卷一、選擇題（共8小題，每小題4分，滿分32分）1．（2002?昆明）將不等式組的解集在數(shù)軸上表示，正確的是（） A． B． C． D．2．（2002?重慶）已知，關(guān)于x的不等式2x﹣a≥﹣3的解集如圖所示，則a的值等于（） A．0 B．1 C．﹣1 D．23．（2004?日照）已知關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（） A．a(chǎn)≤﹣1 B．a(chǎn)≥2 C．﹣1＜a＜2 D．a(chǎn)＜﹣1，或a＞24．不等式ax＞a的解集為x＞1，則a的取