第十六章分式知識點和典型例習題

第十六章分式知識點和典型例習題第十六章分式知識點和典型例習題第十六章分式知識點和典型例習題資料僅供參考文件編號：2022年4月第十六章分式知識點和典型例習題版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：第十六章分式知識點和典型例習題【知識網(wǎng)絡】【思想方法】1．轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學思想方法，應用非常廣泛，運用轉(zhuǎn)化思想能把復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，本章很多地方都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加減運算的基本思想：異分母的分式加減法、同分母的分式加減法；解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從而得到分式方程的解等．2．建模思想本章常用的數(shù)學方法有：分解因式、通分、約分、去分母等，在運用數(shù)學知識解決實際問題時，首先要構建一個簡單的數(shù)學模型，通過數(shù)學模型去解決實際問題，經(jīng)歷“實際問題———分式方程模型———求解———解釋解的合理性”的數(shù)學化過程，體會分式方程的模型思想，對培養(yǎng)通過數(shù)學建模思想解決實際問題具有重要意義．3．類比法本章突出了類比的方法，從分數(shù)的基本性質(zhì)、約分、通分及分數(shù)的運算法則類比引出了分式的基本性質(zhì)、約分、通分及分式的運算法則，從分數(shù)的一些運算技巧類比引出了分式的一些運算技巧，無一不體現(xiàn)了類比思想的重要性，分式方程解法及應用也可以類比一元一次方程．第一講分式的運算【知識要點】1.分式的概念以及基本性質(zhì);2.與分式運算有關的運算法則3.分式的化簡求值(通分與約分)4.冪的運算法則【主要公式】1.同分母加減法則:2.異分母加減法則:;3.分式的乘法與除法:,4.同底數(shù)冪的加減運算法則:實際是合并同類項5.同底數(shù)冪的乘法與除法;am●an=am+n;am÷an=am－n6.積的乘方與冪的乘方:(ab)m=ambn,(am)n=amn7.負指數(shù)冪:a-p=a0=18.乘法公式與因式分解:平方差與完全平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2（一）、分式定義及有關題型題型一：考查分式的定義【例1】下列代數(shù)式中：，是分式的有： .題型二：考查分式有意義的條件【例2】當有何值時，下列分式有意義（1） （2） （3） （4） （5）題型三：考查分式的值為0的條件【例3】當取何值時，下列分式的值為0.（1） （2） （3）題型四：考查分式的值為正、負的條件【例4】（1）當為何值時，分式為正；（2）當為何值時，分式為負；（3）當為何值時，分式為非負數(shù).練習：1．當取何值時，下列分式有意義：（1） （2） （3）2．當為何值時，下列分式的值為零：（1） （2）3．解下列不等式（1） （2）（二）分式的基本性質(zhì)及有關題型1．分式的基本性質(zhì)：2．分式的變號法則：題型一：化分數(shù)系數(shù)、小數(shù)系數(shù)為整數(shù)系數(shù)【例1】不改變分式的值，把分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1） （2）題型二：分數(shù)的系數(shù)變號【例2】不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的首項的符號變?yōu)檎?（1） （2） （3）題型三：化簡求值題【例3】已知：，求的值.提示：整體代入，①，②轉(zhuǎn)化出.【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.練習：1．不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1） （2）2．已知：，求的值.3．已知：，求的值.4．若，求的值.5．如果，試化簡.（三）分式的運算1．確定最簡公分母的方法：①最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪.2．確定最大公因式的方法：①最大公因式的系數(shù)取分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)；②取分子、分母相同的字母因式的最低次冪.題型一：通分【例1】將下列各式分別通分.（1）；（2）；（3）；（4）題型二：約分【例2】約分：（1）；（3）；（3）.題型三：分式的混合運算【例3】計算：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）題型四：化簡求值題【例4】先化簡后求值（1）已知：，求分子的值；（2）已知：，求的值；（3）已知：，試求的值.題型五：求待定字母的值【例5】若，試求的值.練習：1．計算（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）.2．先化簡后求值（1），其中滿足.（2）已知，求的值.3．已知：，試求、的值.4．當為何整數(shù)時，代數(shù)式的值是整數(shù)，并求出這個整數(shù)值.（四）、整數(shù)指數(shù)冪與科學記數(shù)法題型一：運用整數(shù)指數(shù)冪計算【例1】計算：（1） （2）（3） （4）題型二：化簡求值題【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.題型三：科學記數(shù)法的計算【例3】計算：（1）；（2）.練習：1．計算：（1）（2）（3）（4）2．已知，求（1），（2）的值.第二講分式方程【知識要點】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程產(chǎn)生增根的原因3.分式方程的應用題【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知數(shù);2.解分式方程的關健是化分式方程為整式方程;方程兩邊同乘以最簡公分母.3.解分式方程的應用題關健是準確地找出等量關系,恰當?shù)卦O末知數(shù).（一）分式方程題型分析題型一：用常規(guī)方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）；（2）；（3）；（4）提示易出錯的幾個問題：①分子不添括號；②漏乘整數(shù)項；③約去相同因式至使漏根；④忘記驗根.題型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）；（2）提示：（1）換元法，設；（2）裂項法，.【例3】解下列方程組題型三：求待定字母的值【例4】若關于的分式方程有增根，求的值.【例5】若分式方程的解是正數(shù)，求的取值范圍.提示：且，且.題型四：解含有字母系數(shù)的方程【例6】解關于的方程提示：（1）是已知數(shù)；（2）.題型五：列分式方程解應用題練習：1．解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）（5） （6）（7）2．解關于的方程：（1）；（2）.3．如果解關于的方程會產(chǎn)生增根，求的值.4．當為何值時，關于的方程的解為非負數(shù).5．已知關于的分式方程無解，試求的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，通常的方法是去分母，并且要檢驗，但對一些特殊的分式方程，可根據(jù)其特征，采取靈活的方法求解，現(xiàn)舉例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：二、化歸法例2．解方程：三、左邊通分法例