銳角三角函數(shù)-知識講解

銳角三角函數(shù)—知識講解銳角三角函數(shù)—知識講解銳角三角函數(shù)—知識講解資料僅供參考文件編號：2022年4月銳角三角函數(shù)—知識講解版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：銳角三角函數(shù)—知識講解責(zé)編：康紅梅【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．結(jié)合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)定義；

2．會推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并熟練準(zhǔn)確的記住特殊角的三角函數(shù)值；

3．理解并能熟練運(yùn)用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．

銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；．

要點(diǎn)詮釋：

(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化．

(2)sinA，cosA，tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號，是一個(gè)整體，不能寫成，，

，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時(shí)習(xí)慣上省略∠A的角的記號“∠”，但對三個(gè)大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應(yīng)寫成“tan∠AEF”，不能寫成

“tanAEF”；另外，、、常寫成、、．

(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在．

(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0°<∠A<90°間變化時(shí)，，，tanA＞0．要點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°要點(diǎn)詮釋：

(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．

(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)：

、、的值依次為、、，而、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)；

②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．

要點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余關(guān)系：，；

(2)平方關(guān)系：；

(3)倒數(shù)關(guān)系：或；

(4)商數(shù)關(guān)系：．

要點(diǎn)詮釋：

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中，計(jì)算時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡便．

【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)值的求解策略1．（2016?安順）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理，可得AC、AB的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案．【答案】D．【解析】解：如圖：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC為直角三角形，∴tan∠B==，故選：D．【總結(jié)升華】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先求出AC、AB的長，再求正切函數(shù)．舉一反三：【高清課程名稱：銳角三角函數(shù)高清ID號：395948關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例1（1）-（2）】【變式】在中，，若，，則，，，，．【答案】5，，，，．類型二、特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算2．求下列各式的值：(1)（2015?茂名校級一模）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015?樂陵市模擬）sin60°﹣4cos230°+sin45°?tan60°；(3)（2015?寶山區(qū)一模）+tan60°﹣．【答案與解析】解：（1）原式==．(2)原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=；(3)原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=．【總結(jié)升華】熟記特殊角的三角函數(shù)值或借助兩個(gè)三角板推算三角函數(shù)值，先代入特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行化簡．舉一反三：【高清課程名稱：銳角三角函數(shù)高清ID號：395948關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例1（3）-（4）】【變式】在中，，若∠A=45°，則，，，，．【答案】45°，，，，．類型三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系3．（2015?河北模擬）已知△ABC中的∠A與∠B滿足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）試判斷△ABC的形狀．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案與解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是銳角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【總結(jié)升華】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．類型四、銳角三角函數(shù)的拓展探究與應(yīng)用4．如圖所示，AB是⊙O的直徑，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD與BC相交于點(diǎn)P，若弦CD＝6，試求cos∠APC的值．【答案與解析】連結(jié)AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACP＝90°，又∵∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴△PCD∽△PAB，∴．又∵CD＝6，AB＝10，∴在Rt△PAC中，．【總結(jié)升華】直角三角形中，銳角的三角函數(shù)等于兩邊的比值，當(dāng)這個(gè)比值無法直接求解，可結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，利用對應(yīng)線段成比例轉(zhuǎn)換，間接地求出這個(gè)比值．銳角的三角函數(shù)是針對直角三角形而言的，故可連結(jié)AC，由AB是⊙O的直徑得∠ACB＝90°，，PC、PA均為未知，而已知CD＝6，AB＝10，可考慮利用△PCD∽△PAB得．5．通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad)．如圖1①，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時(shí)．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：(1)sad60°＝________．(2)對于0＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是_______．(3)如圖1②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．【答案與解析】(1)1；(2)0＜sadA＜2；(3)如圖2所示，延長AC到D，使AD＝AB，連接BD．設(shè)AD＝AB＝5a，由得BC＝3a，∴，∴CD＝5a-4a＝a，，∴．【總結(jié)升華】(1)將60°角放