2013考研數(shù)學(xué)三真題及答案

2013考研數(shù)三真題及答案一、選擇題1—8小題．每小題4分，共32分．、１．當(dāng)（A）（C）時(shí)，用表示比高階的無窮小，則下列式子中錯(cuò)誤的是（）（B）（D）【詳解】由高階無窮小的定義可知（A）（B）（C）都是正確的，對(duì)于（D）可找出反例，例如當(dāng)時(shí)，但而不是故應(yīng)該選（D）．2．函數(shù)（A）0的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）（B）1（C）2（D）3【詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以是函數(shù)是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)．，所以的可去間斷點(diǎn)．，所以所以不是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)．故應(yīng)該選（C）．３．設(shè)是圓域的第象限的部分，記，則（）（A）（B）（C）（D）【詳解】由極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算可知所以，應(yīng)該選（B）．為正項(xiàng)數(shù)列，則下列選擇項(xiàng)正確的是（）４．設(shè)（A）若（B）若（C）若，則收斂；收斂，則；收斂．則存在常數(shù)，使存在；收斂．（D）若存在常數(shù)，使存在，則【詳解】由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，可知選項(xiàng)（D）正確，故應(yīng)選（Ｄ）．此小題的（A）（B）選項(xiàng)想考查的交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的萊布尼茲條件，對(duì)于選項(xiàng)（A），但少一條件，顯然錯(cuò)誤．而萊布尼茲條件只是交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的充分條件，不是必要條件，選項(xiàng)（B）也不正確，反例自己去構(gòu)造．５．設(shè)Ａ，Ｂ，Ｃ均為階矩陣，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，則（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)．（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)．（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)．（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià)．【詳解】把矩陣A，C列分塊如下：，由于ＡＢ＝Ｃ，則可，同理可知矩知，得到矩陣C的列向量組可用矩陣A的列向量組線性表示．同時(shí)由于B可逆，即陣A的列向量組可用矩陣C的列向量組線性表示，所以矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)．應(yīng)該選（B）．6．矩陣（A）（C）與矩陣（B）（D）相似的充分必要條件是，為任意常數(shù)，為任意常數(shù)【詳解】注意矩陣是對(duì)角矩陣，所以矩陣A=與矩陣相似的充分必要條件是兩個(gè)矩陣的特征值對(duì)應(yīng)相等．從而可知，即，為任意常數(shù)，故選擇（B）．7．設(shè)是隨機(jī)變量，且，則，（A）（C）（B）（D）【詳解】若，則，，，．故選擇（A）．8．設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X和Y的概率分布分別為XP01/211/421/83P1/8YP-11/301/311/3則（）（A）（B）（C）（D）【詳解】，故選擇（C）．二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）9．設(shè)曲線和在點(diǎn)處有切線，則．【詳解】由條件可知．所以10．設(shè)函數(shù)是由方程確定，則．【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以．11．．【詳解】12．微分方程的通解為．【詳解】方程的特征方程為，其中，兩個(gè)特征根分別為，所以方程通解為為任意常數(shù)．13．設(shè)是三階非零矩陣，，則為其行列式，為元素的代數(shù)余子式，且滿足=．【詳解】由條件可知，其中為A的伴隨矩陣，從而可知，所以可能為或0．但由結(jié)論所以可知，可知,伴隨矩陣的秩只能為3，14．設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正分布，則．【詳解】．所以為．三、解答題15．（本題滿分10分）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，求常數(shù)．【分析】主要是考查時(shí)常見函數(shù)的馬克勞林展開式．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，所以，由于與是等價(jià)無窮小，所以．16．（本題滿分10分）設(shè)D是由曲線，直線及軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形，，求的值．分別是D繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，若【詳解】由微元法可知；；由條件，知．17．（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域D是由曲線【詳解】所圍成，求．．18．（本題滿分10分）設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為6000元，可變成本為20元/件，價(jià)格函數(shù)為位：元，Q是銷量，單位：件），已知產(chǎn)銷平衡，求：（P是單價(jià)，單（1）該的邊際利潤．（2）當(dāng)P=50時(shí)的邊際利潤，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義．（3）使得利潤最大的定價(jià)P．【詳解】（1）設(shè)利潤為，則，邊際利潤為（2）當(dāng)P=50時(shí)，Q=10000，邊際利潤為20．經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)P=50時(shí)，銷量每增加一個(gè)，利潤增加20．（3）令，得19．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，，且，證明（1）存在，使得（2）對(duì)（1）中的，存在，使得．【詳解】證明（1）由于，所以存在，當(dāng)時(shí)，有，又由于在上連續(xù)，且，由介值定理，存在，使得（2）函數(shù)在上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，．存在，使得20．（本題滿分11分）設(shè)，問當(dāng)為何值時(shí)，存在矩陣C，使得，并求出所有矩陣C．【詳解】顯然由則可知，如果C存在，則必須是2階的方陣．設(shè)，變形為，即得到線性方程組，要使C存在，此線性方程組必須有解，于是對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換如下，所以，當(dāng)時(shí)，線性方程組有解，即存在矩陣C，使得．此時(shí)，，所以方程組的通解為，也就是滿足的矩陣C為，其中為任意常數(shù)．21．（本題滿分11分）設(shè)二次型．記．（1）證明二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為；（2）若正交且為單位向量，證明在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為．【詳解】證明：（1）所以二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為．證明（2）設(shè)，由于則，所以為矩陣對(duì)應(yīng)特征值的特征向量；的特征向量；，所以為矩陣對(duì)應(yīng)特征值而矩陣A的秩，所以也是矩陣的一個(gè)特征值．故在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為．22．（本題滿分11分）設(shè)是二維隨機(jī)變量，X的邊緣概率密度為，在給定的條件下，Y的條件概率密度為（1）求（2）Y的的邊緣概率密度【詳解】（1）．的聯(lián)合概率密度；．的聯(lián)合概率密度：（2）Y的的邊緣概率密度：23．（本題滿分11分）設(shè)總體X的概