初中數學競賽輔導講義及習題解答第24講幾何的定值與最值

第二十四講

幾何的定值與最值幾何中的定值問題，是指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，的某些幾何性質或地址關系不變的一類問題，解幾何定值問題的基本方法是：變量，運用特別地址、極端地址，直接計算等方法，先研究出定值，再給出證明．

或幾何元素間分清問題的定量及幾何中的最值問題是指在必然的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量(如線段長度、角度大小、圖形面積)等的最大值或最小值，求幾何最值問題的基本方法有：1．特別地址與極端地址法；2．幾何定理(公義)法；3．數形結合法等．注：幾何中的定值與最值近來幾年廣泛出現于中考競賽中，由冷點變?yōu)闊狳c．這是由于這類問題擁有很強的研究性(目標不明確)，解題時需要運用動向思想、數形結合、特別與一般相結合、邏輯推理與合情想象相結合等思想方法．【例題就解】【例1】如圖，已知AB=10，P是線段AB上任意一點，在AB的同側分別以AP和PB邊作等邊△APC和等邊△BPD，則CD長度的最小值為．

為思路點撥

如圖，作

CC′⊥

AB

于C，DD

′⊥

AB

于

D

′，DQ⊥CC

′，CD2=DQ

2+CQ

2，DQ=

1

AB2一常數，當

CQ

越小，

CD

越小，本例也可設

AP=x

，則

PB=10x

，從代數角度研究

CD

的最小值．注：從特別地址與極端地址的研究中易獲取啟示，

常能找到解題打破口，

特別地址與極端地址是指：中點處、垂直地址關系等；端點處、臨界地址等．【例2】如圖，圓的半徑等于正三角形ABC的高，此圓在沿底邊AB轉動，切點為T，圓交AC、BC于M、N，則關于全部可能的圓的地址而言，⌒MTN為的度數（）A．從30°到60°變動B．從60°到90°變動C．保持30°不變D．保持60°不變思路點撥

先考慮當圓心在正三角形的極點

C時，其弧的度數，再證明一般狀況，從而作出判斷．注：幾何定值與最值問題，一般都是置于動向背景下，動與靜是相對的，我們能夠研究問題1中的變量，考慮當變化的元素運動到特定的地址，

使圖形變化為特別圖形時，

研究的量獲取定值與最值．【例3】直線DP

如圖，已知平行四邊形交CB的延長線于

ABCD，AB=a，BC=Q，求AP+BQ的最小值．

b(

a>

b)，

P

為

AB

邊上的一動點，思路點撥設AP=x，把AP、BQ分別用x的代數式表示，運用不等式a2b22ab(當且僅當ab時取等號)來求最小值．⌒【例4】如圖，已知等邊△與BM訂交于K，直線CB

ABC與AM

內接于圓，在劣弧訂交于點N，證明：線段

AB上取異于AK和BN

A、B的乘積與

的點M，設直線ACM點的選擇沒關．思路點撥即要證AK·BN是一個定值，在圖形中△ABC的邊長是一個定值，說明AK·BN與AB相關，從圖知AB為△ABM與△ANB的公共邊，作一個英勇的猜想，AK·BN=AB2，從而我們的證明目標更加明確．注：只要研究出定值，那么解題目注明確，定值問題就轉變?yōu)橐话愕膸缀巫C明問題．【例5】已知△XYZ是直角邊長為1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三個極點分別在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三邊上，求△ABC直角邊長的最大可能值．思路點撥極點Z在斜邊上或直角邊CA(或CB)上，當極點經過幾何不等關系求出直角邊的最大值，當極點Z在(AC建立x，y的關系式，運用代數的方法求直角邊的最大值．

Z或

在斜邊AB上時，取xy的中點，CB)上時，設CX=x，CZ=y

，注：數形結合法解幾何最值問題，即合適地采用變量，建立幾何元素間的函數、方程、不等式等關系，再運用相應的代數知識方法求解．常有的解題路子是：利用一元二次方程必然有解的代數模型，運用鑒識式求幾何最值；構造二次函數求幾何最值．2學力訓練1．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P為邊BC上任意一點（可與B點或C點重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B′、C′、D′，則BB′+CC′+DD′的最大值為，最小值為．2．如圖，∠AOB=45°，角內有一點P，PO=10，在角的兩邊上有兩點Q，R(均不一樣樣于點O)，則△PQR的周長的最小值為．3．如圖，兩點A、B在直線MN外的同側，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運動，則PAPB的最大值等于．4．如圖，A點是半圓上一個三均分點，B點是弧AN的中點，P點是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1，則AP+BP的最小值為()A．1B．2C．2D．3125．如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為4的正方形，動點P從A點出發(fā)，沿看圓柱的側面搬動到BC的中點S的最短距離是()A．212B．2142C．412D．2426．如圖、已知矩形ABCD，R，P戶分別是DC、BC上的點，E，F分別是AP、RP的中點，當P在BC上從B向C搬動而R不動時，那么以下結論建立的是()A．線段EF的長逐漸增大B．線段EF的長逐漸減小C．線段EF的長不改變D．線段EF的長不能夠確定7．如圖，點C是線段AB上的任意一點(C點不與A、B點重合)，分別以AC、BC為邊在直線AB的同側作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，AE與CD訂交于點M，BD與CE訂交于點N．(1)求證：MN∥AB；3(2)若AB的長為l0cm，當點的長度最長?若存在，請確定

C

在線段AB上搬動時，可否存在這樣的一點C，使線段C點的地址并求出MN的長；若不存在，請說明原由．

MN(2002

年云南省中考題

)8．如圖，定長的弦的垂足，求證：無論

ST在一個以AB為直徑的半圓上滑動，ST滑到什么地址，∠SPM是必然角．

M是

ST

的中點，

P是

S

對

AB

作垂線9．已知△ABC是⊙O的內接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點，P為直線AB上一點，過點P作BC的平行線交直線BT于點E，交直線AC于點F．當點P在線段AB上時(如圖)，求證：PA·PB=PE·PF；當點P為線段BA延長線上一點時，第(1)題的結論還建立嗎?若是建立，請證明，若是不能夠立，請說明原由．10．如圖，已知；邊長為AB上的一點P，使矩形

4的正方形截去一角成為五邊形PNDM有最大面積，則矩形

ABCDE，其中AF=2PNDM的面積最大值是

，

BF=l(

，在)A．8

B．12

C．

25

D．14211．如圖，AB是半圓的直徑，線段CA上AB于點A，線段DB上AB于點B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圓上的一個動點，則封閉圖形ACPDB的最大面積是()A．22B．12C．32D．3212．如圖，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在邊AB、AC上分別取點D、E，使線段DE將△ABC分成面積相等的兩部分，試求這樣線段的最小長度．413．如圖，ABCD是一個邊長為1的正方形，U、V分別是AB、CD上的點，AV與DU訂交于點P，BV與CU訂交于點Q．求四邊形PUQV面積的最大值．14．利用兩個相同的噴水器，修建一個矩形花壇，的噴水地域是半徑為l0米的圓，問如何設計

使花壇全部都能噴到水．已知每個噴水器(求出兩噴水器之間的距離和矩形的長、寬)，才能使矩形花壇的面積最大

?15．某住處小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民生活質量，要建一個八邊形居民廣場(平面圖如圖所示)．其中，正方形MNPQ與四個相同矩形(圖中陰影部分)的面積的和為800平方米．(1)設矩形的邊AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代數式表示y為．(2)現計劃在正方形地域上建雕塑和花壇，平均每平方米造價為2100元；在四個相同的矩形地域上鋪設花崗巖地坪，平均每平方米造價為105元；在四個三角形地域上鋪設草坪，平均每平方米造價為40元．①設該工程的總造價為S(元)，求S關于工的函數關系式．②若該工程的銀行貸款為235000元，僅靠銀行貸款可否完成該工程的建設任務?若能，請列出設計方案；若不能夠，請說明原由．③若該工程在銀行貸款的基礎上，又增加資本73000元，問可否完成該工程的建設任務若能，請列出全部可能的設計方案；若不能夠，請說明原由．

?16．某房地產公司擁有一塊“缺角矩形”荒地

ABCDE

，邊長和方向如圖，欲在這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公寓，請劃出這塊地基，并求地基的最大面積

(精確到

1m2)

．5參照答案6第二十五講輔助圓在辦理平面幾何中的好多問題時，常需要借助于圓的性質，問題才得以解決．而我們需要的圓其實不存在(有時題設中沒有涉及圓；有時誠然題設涉及圓，但是此圓其實不是我們需要用的圓)，這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實質存在的圓找出來，增加輔助圓的常有方法有：1．利用圓的定義增加輔助圓；2．作三角形的外接圓；3．運用四點共圓的判斷方法：若一個四邊形的一組對角互補，則它的四個極點共圓．同底同側張等角的三角形，各極點共圓．若四邊形ABCD的對角線訂交于P，且PA·PC=PB·PD，則它的四個極點共圓．若四邊形ABCD的一組對邊AB、DC的延長線訂交于P，且PA·PB＝PC·PD，則它的四個極點共圓．【例題求解】【例1】如圖，直線

AB

和

AC

與⊙

O分別相切于

B、C，P

為圓上一點，

P到

AB

、AC

的距7離分別為4cm、6cm，那么P到BC的距離為．思路點撥連DF，EF，搜尋PD、PE、PF之間的關系，證明△PDF∽△PFE，而發(fā)現P、D、B、與P、E、C、F分別共圓，打破角是解題的要點．注：圓擁有豐富的性質：圓的對稱性；等圓或同圓中不一樣樣名稱量的轉變；與圓相關的角；圓中比率線段．合適發(fā)現并添出輔助圓，就為圓的豐富性質的運用創(chuàng)立了條件，由于圖形的復雜性，有時在圖中其實不需畫出圓，可謂“圖中無圓，心中有圓”．【例2】如圖，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點P，且PB=4，PD=3，則AD·DC等于()A．6B．7C．12D．16思路點撥作出以P點為圓心、PA長為半徑的圓，為訂交弦定理的應用創(chuàng)立了條件．注：到一個定點等距離的幾個點在同一個圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法．【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ，求證：△ABC的外心O與A，P，Q四點共圓．思路點撥先作出△ABC的外心O，連PO、OQ，將問題轉變?yōu)樽C明角相等．8【例4】如圖，P是⊙O外一點，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線，AD⊥PO于D．求證：PBPC．PDCD思路點撥因所證比率線段不是對應邊，故不能夠經過判斷△PBD與△PCD相似證明．PA2=PD·PO=PB·PC，B、C、O、D共圓，這樣連OB，就得多對相似三角形，以此達到證明的目的．注：四點共圓既是一類問題，又是平面幾何中一個重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著相同重要的地位，這是由于，某四點共圓，不但與這四點相聯系的條件集中或轉移，而且可直接運．用圓的性質為解題服務．【例5】如圖，在△ABC中，高BE、CF訂交于H，且∠BHC=135°，G為△ABC內的一點，且GB=GC，∠BGC＝3∠A，連結HG，求證：HG均分∠BHF．思路點撥經計算可得∠A=45°，△ABE，△BFH皆為等腰直角三角形，只要證∠GHB=GHF=22.5°．由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC，得B、G、H、C四點共圓，運用圓中角轉變靈便的特點證明．注：好多直線形問題借助輔助圓，常能降低問題的難度，使問題獲取簡解、巧解或新解．學力訓練2，P為正方形內一點，且∠1．如圖，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cmOPB=45°，PA：PB=5：14，則PB的長為．2．如圖，在ABC中，AB=AC=2，BC個不一樣樣的l、P2，P100，記△邊上有100點PmiBPiPiC（i=1，2，100），則m1APi2m2m100=．3．設△ABC三邊上的高分別為AD、BE、CF，且其垂心H不與任一極點重合，則由點A、9B、C、D、E、F、H中某四點能夠確定的圓共有()A．3個B．4個C．5個D．6個4．如圖，已知OA=OB=OC，且∠AOB=k∠BOC，則∠ACB是∠BAC的()A．1k倍B．是k倍C．2kD．12k5．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=998，CD=1001，AD=1999，點P在線段AD上，滿足條件的∠BPC=90°的點P的個數為()．A．01C．21D．不小于3的整數6．如圖，AD、BE是銳角三角形的兩條高，S△ABC=18，S△DEC=2，則COSC等于()A．3B．1C．2D．33347．如圖；已知H是△ABC三條高的交點，連結DF，DE，EF，求證：H是△DEF的內心．8．如圖，已知△ABC中，A