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ReviewReviewChap1數(shù)值計(jì)算中的誤差誤差誤差限有效數(shù)字用微分計(jì)算函數(shù)值誤差計(jì)算方法的數(shù)值穩(wěn)定性Chap1數(shù)值計(jì)算中的誤差誤差誤差限有效誤差誤差限有效數(shù)字1)
定義1.1:稱(chēng)為的絕對(duì)誤差(簡(jiǎn)稱(chēng)誤差)。設(shè)是準(zhǔn)確值,是的近似值2)
定義1.2:若,則稱(chēng)是x的誤差限。稱(chēng)單位量上的誤差為x的相對(duì)誤差。3)
定義1.3:
定義1.4:
若,則稱(chēng)是x的相對(duì)誤差限。4)
定義1.5:
如果近似值x的誤差限是它的某一位的半個(gè)單位,就稱(chēng)它準(zhǔn)確到這一位。若該位到x左邊第一位非零數(shù)字共有n位,則稱(chēng)它有n位有效數(shù)字。5)例1.5題1.1誤差誤差限有效數(shù)字1)定義1.1:稱(chēng)用微分計(jì)算函數(shù)值誤差相對(duì)誤差誤差例1.9已知的近似值x,一元函數(shù)值的近似值為1)2)已知自變量誤差和求二元函數(shù)值u
=
f
(x,y)的誤差和例1.10,例1.11用微分計(jì)算函數(shù)值誤差相對(duì)誤差誤差例1.9已知的近3)和、差、積、商的誤差例1.10,例1.11,題1.53)和、差、積、商的誤差例1.10,例1.11,題1.計(jì)算方法的數(shù)值穩(wěn)定性1)求根公式的數(shù)值穩(wěn)定性2)遞推法的數(shù)值穩(wěn)定性數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的幾個(gè)原則避免相近數(shù)相減;避免小除數(shù),大乘數(shù);避免大數(shù)吃小數(shù);采用數(shù)值穩(wěn)定的算法;減少運(yùn)算次數(shù).題1.9,題1.10題1.7計(jì)算方法的數(shù)值穩(wěn)定性1)求根公式的數(shù)值穩(wěn)定性2)遞推法的數(shù)值Chap2插值法與最小二乘法多項(xiàng)式插值Lagrange插值公式插值余項(xiàng)Newton插值公式Hermite插值分段插值三次樣條函數(shù)Chap2插值法與最小二乘法多項(xiàng)式插值Ln次多項(xiàng)式插值問(wèn)題:求作一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式,使之滿(mǎn)足插值條件f(x)的滿(mǎn)足插值條件(2.1)的n次插值多項(xiàng)式插值區(qū)間插值節(jié)點(diǎn)已知上的函數(shù)在點(diǎn)上的函數(shù)值被插值函數(shù)n次多項(xiàng)式插值問(wèn)題:求作一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式Lagrange插值公式插值余項(xiàng)求作一個(gè)1次已知函數(shù)在點(diǎn)上的函數(shù)值,
多項(xiàng)式,使得1)線(xiàn)性插值Lagrange插值公式插值余項(xiàng)求作一個(gè)1次已知函數(shù)2)拋物插值已知函數(shù)在點(diǎn)上的函數(shù)值,求作
一個(gè)2次多項(xiàng)式,使得2)拋物插值已知函數(shù)在點(diǎn)3)n次Lagrange插值滿(mǎn)足n次Lagrange插值基函數(shù)的性質(zhì):●●
是n次式;●題2.1題2.23)n次Lagrange插值滿(mǎn)足n次Lagrange4)Lagrange插值余項(xiàng)
定理2.2
:設(shè)的n+1階導(dǎo)數(shù)在上存在,則其中與有關(guān)。例2.4,題2.54)Lagrange插值余項(xiàng)定理2.2:設(shè)Newton插值公式1)差商、差商的計(jì)算例2.52)Newton插值公式誤差例2.7,例2.8題2.6,題2.7差商與微商的關(guān)系Newton插值公式1)差商、差商的計(jì)算例2.52)Hermite插值3次Hermite插值3次Hermite插值基函數(shù)(插值基函數(shù)的性質(zhì))插值余項(xiàng)例2.9,題2.8,題2.10混合型Hermite插值Hermite插值3次Hermite插值3次Hermite插分段插值1)分段線(xiàn)性插值2)分段3次Hermite插值(如何確定其解析式,光滑性,誤差估計(jì)?)題2.11,題2.123次樣條函數(shù)1)
什么是3次樣條函數(shù),3次樣條插值2)比較3次多項(xiàng)式插值(不含導(dǎo)數(shù)條件),分段3次Hermite插值,3次樣條插值分段插值1)分段線(xiàn)性插值2)分段3次Hermite插Chap3數(shù)值積分與數(shù)值微分機(jī)械求積公式插值型求積公式復(fù)合求積公式Gauss求積公式數(shù)值微分Chap3數(shù)值積分與數(shù)值微分機(jī)械求積公式機(jī)械求積公式求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)例3.1,題3.1,題3.2代數(shù)精度:若一個(gè)機(jī)械求積公式對(duì)準(zhǔn)確成立,但對(duì)不準(zhǔn)確成立,就說(shuō)它具有m次代數(shù)精度.●利用代數(shù)精度定義構(gòu)造求積公式●題3.11機(jī)械求積公式求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)例3.1,題3.1,題3.2插值型求積公式1)求積系數(shù)2)求積系數(shù)具有n+1個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度.3)中矩形公式、梯形公式、Simpson公式是插值型求積公式(各自的代數(shù)精度).4)Newton-Cotes公式:一類(lèi)節(jié)點(diǎn)等距分布的插值型求積公式.(n為奇數(shù)時(shí),代數(shù)精度為n;n為偶數(shù)時(shí),代數(shù)精度為n+1)插值型求積公式1)求積系數(shù)2)求積系數(shù)具有n+1個(gè)梯形公式余項(xiàng)記Simpson公式余項(xiàng)梯形公式余項(xiàng)記Simpson公式余項(xiàng)復(fù)合求積公式(復(fù)合求積的思想)1)復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形求積公式的余項(xiàng)為2)復(fù)合Simpson公式復(fù)合Simpson求積公式的余項(xiàng)為題3.5,題3.6復(fù)合求積公式(復(fù)合求積的思想)1)復(fù)合梯形公式復(fù)Gauss求積公式1)什么是Gauss求積公式?2)Gauss點(diǎn)的性質(zhì)?
定理3.4:
是Gauss點(diǎn)的充分必要條件是以為零點(diǎn)的多項(xiàng)式與所有次數(shù)不超過(guò)n-1的多項(xiàng)式正交,即例3.7,例3.8,例3.9,例3.10,題3.9,題3.10,題3.11Gauss求積公式1)什么是Gauss求積公式?2)數(shù)值微分在點(diǎn)a處以h為步長(zhǎng)的向前差商
在點(diǎn)a處以h為步長(zhǎng)的向后差商
在點(diǎn)a處以2h為步長(zhǎng)的中心差商
例3.111)中心差商公式2)Richardson外推例3.12數(shù)值微分在點(diǎn)a處以h為步長(zhǎng)的向Chap4方程求根不動(dòng)點(diǎn)迭代法Newton迭代法簡(jiǎn)化Newton迭代法弦截法Newton下山法Chap4方程求根不動(dòng)點(diǎn)迭代法Newto不動(dòng)點(diǎn)迭代法1)求的根等價(jià)于求的不動(dòng)點(diǎn)2)不動(dòng)點(diǎn)迭代格式3)迭代收斂條件
定理4.1:設(shè)是閉區(qū)間上的壓縮函數(shù),則在
中有唯一不動(dòng)點(diǎn),且對(duì)任意,迭代公式(4.5)都收斂.(全局收斂)
推論:設(shè),且1)總有;2)存在,使則定理4.1結(jié)論成立.(全局收斂)不動(dòng)點(diǎn)迭代法1)求的根等價(jià)于求
定理4.3:設(shè)在其不動(dòng)點(diǎn)附近有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù),且
則存在的某個(gè)領(lǐng)域,使得,迭代(4.5)均收斂.(局部收斂)迭代不收斂的條件題4.44)迭代收斂速度記
,
若,且存在正常數(shù),使
定義4.3:,則稱(chēng)(4.5)為p階收斂的.若,則稱(chēng)(4.5)是線(xiàn)性收斂的;若,則稱(chēng)(4.5)是平方收斂的.定理4.3:設(shè)在其不動(dòng)點(diǎn)附近有連
定理4.4:若在的根鄰近有連續(xù)的1階導(dǎo)數(shù),
且,則當(dāng)時(shí)迭代公式(4.5)為線(xiàn)性收斂.若在鄰近有連續(xù)的2階導(dǎo)數(shù),則當(dāng)時(shí)迭代公式(4.5)為平方收斂.例4.4,例4.5,例4.6,題4.2,題4.3,題4.5定理4.4:若在Newton迭代求近似根的Newton迭代公式:1)迭代控制條件2)收斂性單根,則當(dāng)時(shí)(4.11)平方收斂.
定理4.5:設(shè)在鄰近二次連續(xù)可微,是的3)Newton迭代與開(kāi)方法例4.7,題4.8例4.8,題4.7Newton迭代求近似根的Ne簡(jiǎn)化Newton迭代法弦截法Newton下山法1)簡(jiǎn)化Newton迭代法2)弦截法3)Newton下山法例4.9例4.10例4.11簡(jiǎn)化Newton迭代法弦截法Newton下山法1)Chap5線(xiàn)性代數(shù)方程組數(shù)值解法迭代法迭代法的收斂性Gauss消去法矩陣的LU分解及應(yīng)用方程組的條件數(shù)與誤差分析Chap5線(xiàn)性代數(shù)方程組數(shù)值解法迭代法迭迭代法考慮線(xiàn)性方程組Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代迭代法考慮線(xiàn)性方程組Jacobi迭代Gauss-Seidel考慮線(xiàn)性方程組A
x
=
b,將A
進(jìn)行分解A
=
D
+
L+
U,Jacobi迭代的矩陣表示:Gauss-Seidel迭代的矩陣表示:或SOR迭代的矩陣表示:考慮線(xiàn)性方程組Ax=b,將A進(jìn)行分解A=定理:SOR方法收斂的必要條件是.證明:假設(shè)SOR方法收斂,則有設(shè)的特征值為,則而A=-L-UD定理:SOR方法收斂的必要條件是迭代法的收斂性迭代收斂基本定理:對(duì)任意和任意的初始向量,迭代公式(5.18)收斂的充要條件是.例5.6,題5.3定理5.3:設(shè)G是(5.18)的迭代矩陣,且它的某一種范數(shù)滿(mǎn)足,則對(duì)任意的初值,迭代公式(5.18)均收斂.例5.5定理5.4:設(shè)A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),則其Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式均收斂.例5.7題5.2迭代法的收斂性迭代收斂基本定理:對(duì)任意定理:設(shè)對(duì)稱(chēng)正定,且,則解的SOR方法收斂.證明:SOR迭代法的迭代矩陣為設(shè)是G的一個(gè)特征值,相應(yīng)的特征向量為x,則記,則p>0.(因?yàn)锳正定,D亦正定)又記,則有.且定理:設(shè)對(duì)稱(chēng)正定,且,則解證明于是而故當(dāng)時(shí),SOR方法收斂.特別的,當(dāng)時(shí),SOR方法就是GS方法,從而當(dāng)A是對(duì)稱(chēng)正定矩陣時(shí),GS方法收斂.于是而故當(dāng)時(shí)Gauss消去法1)順序Gauss消去法2)列主元Gauss消去法例5.8題5.7例5.10題5.7矩陣的LU分解及應(yīng)用A=L
U,
其中L是單位下三角陣,U是上三角陣1)計(jì)算矩陣行列式2)解方程組3)求矩陣的逆例5.11題5.9Gauss消去法1)順序Gauss消去法2)列主元G方程組的條件數(shù)與誤差分析定義5.7:稱(chēng)數(shù)為矩陣A的關(guān)于解方程1組的條件數(shù).例5.13題5.10
設(shè)x是方程組的精確解,y是其近似解.稱(chēng)為y的剩余向量,則成立不等式(定理5.7)當(dāng)方程組良態(tài)時(shí),可以用來(lái)估計(jì)近似解y的誤差.方程組的條件數(shù)與誤差分析定義5.7:稱(chēng)數(shù)Chap7常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法Euler法改進(jìn)Euler法Runge-Kutta法收斂性與穩(wěn)定性Chap7常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法Euler(7.1)(7.2)數(shù)值求解一階常微分方程的初值問(wèn)題:Euler公式:(步進(jìn)式,單步方法,顯式格式)記,則Euler公式的局部截?cái)嗾`差:總體截?cái)嗾`差:(Euler法是1階方法)Euler法的三種分析解釋:差商逼近微商,數(shù)值積分,Taylor級(jí)數(shù)法(7.1)數(shù)值求解一階常微分方程的初值問(wèn)題:Euler公式隱式Euler公式:(單步法,隱式格式,1階方法)兩步隱式Euler公式:(兩步方法,顯式格式,2階方法)梯形公式:改進(jìn)Euler公式:或(2階方法)隱式Euler公式:(單步法,隱式格式,1階方法)兩步經(jīng)典4階R-K公式:(4階方法)例7.1例7.3例7.4題7.1題7.2如何討論數(shù)值方法的階?!!經(jīng)典4階R-K公式:(4階方法)例7.1例7.3收斂性與穩(wěn)定性
定理7.1:設(shè)關(guān)于y滿(mǎn)足Lipschitz條件,是1中任意固定的點(diǎn)(T>0是常數(shù)).則對(duì)Euler法的總1體截?cái)嗾`差有
1)收斂性題7.5收斂性與穩(wěn)定性定理7.1:設(shè)關(guān)于2)穩(wěn)定性對(duì)模型方程,下列方法的穩(wěn)定性區(qū)域?yàn)轱@式Euler公式隱式Euler公式或改進(jìn)Euler公式梯形公式經(jīng)典4階R-K法題7.62)穩(wěn)定性對(duì)模型方程Theroadtowisdom?Well,it’splainandsimpletoexpress:ErranderranderragainbutlessandlessandlessPIETHEIN,Grooks(1966)Theroadtowisdom?ReviewReviewChap1數(shù)值計(jì)算中的誤差誤差誤差限有效數(shù)字用微分計(jì)算函數(shù)值誤差計(jì)算方法的數(shù)值穩(wěn)定性Chap1數(shù)值計(jì)算中的誤差誤差誤差限有效誤差誤差限有效數(shù)字1)
定義1.1:稱(chēng)為的絕對(duì)誤差(簡(jiǎn)稱(chēng)誤差)。設(shè)是準(zhǔn)確值,是的近似值2)
定義1.2:若,則稱(chēng)是x的誤差限。稱(chēng)單位量上的誤差為x的相對(duì)誤差。3)
定義1.3:
定義1.4:
若,則稱(chēng)是x的相對(duì)誤差限。4)
定義1.5:
如果近似值x的誤差限是它的某一位的半個(gè)單位,就稱(chēng)它準(zhǔn)確到這一位。若該位到x左邊第一位非零數(shù)字共有n位,則稱(chēng)它有n位有效數(shù)字。5)例1.5題1.1誤差誤差限有效數(shù)字1)定義1.1:稱(chēng)用微分計(jì)算函數(shù)值誤差相對(duì)誤差誤差例1.9已知的近似值x,一元函數(shù)值的近似值為1)2)已知自變量誤差和求二元函數(shù)值u
=
f
(x,y)的誤差和例1.10,例1.11用微分計(jì)算函數(shù)值誤差相對(duì)誤差誤差例1.9已知的近3)和、差、積、商的誤差例1.10,例1.11,題1.53)和、差、積、商的誤差例1.10,例1.11,題1.計(jì)算方法的數(shù)值穩(wěn)定性1)求根公式的數(shù)值穩(wěn)定性2)遞推法的數(shù)值穩(wěn)定性數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的幾個(gè)原則避免相近數(shù)相減;避免小除數(shù),大乘數(shù);避免大數(shù)吃小數(shù);采用數(shù)值穩(wěn)定的算法;減少運(yùn)算次數(shù).題1.9,題1.10題1.7計(jì)算方法的數(shù)值穩(wěn)定性1)求根公式的數(shù)值穩(wěn)定性2)遞推法的數(shù)值Chap2插值法與最小二乘法多項(xiàng)式插值Lagrange插值公式插值余項(xiàng)Newton插值公式Hermite插值分段插值三次樣條函數(shù)Chap2插值法與最小二乘法多項(xiàng)式插值Ln次多項(xiàng)式插值問(wèn)題:求作一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式,使之滿(mǎn)足插值條件f(x)的滿(mǎn)足插值條件(2.1)的n次插值多項(xiàng)式插值區(qū)間插值節(jié)點(diǎn)已知上的函數(shù)在點(diǎn)上的函數(shù)值被插值函數(shù)n次多項(xiàng)式插值問(wèn)題:求作一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式Lagrange插值公式插值余項(xiàng)求作一個(gè)1次已知函數(shù)在點(diǎn)上的函數(shù)值,
多項(xiàng)式,使得1)線(xiàn)性插值Lagrange插值公式插值余項(xiàng)求作一個(gè)1次已知函數(shù)2)拋物插值已知函數(shù)在點(diǎn)上的函數(shù)值,求作
一個(gè)2次多項(xiàng)式,使得2)拋物插值已知函數(shù)在點(diǎn)3)n次Lagrange插值滿(mǎn)足n次Lagrange插值基函數(shù)的性質(zhì):●●
是n次式;●題2.1題2.23)n次Lagrange插值滿(mǎn)足n次Lagrange4)Lagrange插值余項(xiàng)
定理2.2
:設(shè)的n+1階導(dǎo)數(shù)在上存在,則其中與有關(guān)。例2.4,題2.54)Lagrange插值余項(xiàng)定理2.2:設(shè)Newton插值公式1)差商、差商的計(jì)算例2.52)Newton插值公式誤差例2.7,例2.8題2.6,題2.7差商與微商的關(guān)系Newton插值公式1)差商、差商的計(jì)算例2.52)Hermite插值3次Hermite插值3次Hermite插值基函數(shù)(插值基函數(shù)的性質(zhì))插值余項(xiàng)例2.9,題2.8,題2.10混合型Hermite插值Hermite插值3次Hermite插值3次Hermite插分段插值1)分段線(xiàn)性插值2)分段3次Hermite插值(如何確定其解析式,光滑性,誤差估計(jì)?)題2.11,題2.123次樣條函數(shù)1)
什么是3次樣條函數(shù),3次樣條插值2)比較3次多項(xiàng)式插值(不含導(dǎo)數(shù)條件),分段3次Hermite插值,3次樣條插值分段插值1)分段線(xiàn)性插值2)分段3次Hermite插Chap3數(shù)值積分與數(shù)值微分機(jī)械求積公式插值型求積公式復(fù)合求積公式Gauss求積公式數(shù)值微分Chap3數(shù)值積分與數(shù)值微分機(jī)械求積公式機(jī)械求積公式求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)例3.1,題3.1,題3.2代數(shù)精度:若一個(gè)機(jī)械求積公式對(duì)準(zhǔn)確成立,但對(duì)不準(zhǔn)確成立,就說(shuō)它具有m次代數(shù)精度.●利用代數(shù)精度定義構(gòu)造求積公式●題3.11機(jī)械求積公式求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)例3.1,題3.1,題3.2插值型求積公式1)求積系數(shù)2)求積系數(shù)具有n+1個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度.3)中矩形公式、梯形公式、Simpson公式是插值型求積公式(各自的代數(shù)精度).4)Newton-Cotes公式:一類(lèi)節(jié)點(diǎn)等距分布的插值型求積公式.(n為奇數(shù)時(shí),代數(shù)精度為n;n為偶數(shù)時(shí),代數(shù)精度為n+1)插值型求積公式1)求積系數(shù)2)求積系數(shù)具有n+1個(gè)梯形公式余項(xiàng)記Simpson公式余項(xiàng)梯形公式余項(xiàng)記Simpson公式余項(xiàng)復(fù)合求積公式(復(fù)合求積的思想)1)復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形求積公式的余項(xiàng)為2)復(fù)合Simpson公式復(fù)合Simpson求積公式的余項(xiàng)為題3.5,題3.6復(fù)合求積公式(復(fù)合求積的思想)1)復(fù)合梯形公式復(fù)Gauss求積公式1)什么是Gauss求積公式?2)Gauss點(diǎn)的性質(zhì)?
定理3.4:
是Gauss點(diǎn)的充分必要條件是以為零點(diǎn)的多項(xiàng)式與所有次數(shù)不超過(guò)n-1的多項(xiàng)式正交,即例3.7,例3.8,例3.9,例3.10,題3.9,題3.10,題3.11Gauss求積公式1)什么是Gauss求積公式?2)數(shù)值微分在點(diǎn)a處以h為步長(zhǎng)的向前差商
在點(diǎn)a處以h為步長(zhǎng)的向后差商
在點(diǎn)a處以2h為步長(zhǎng)的中心差商
例3.111)中心差商公式2)Richardson外推例3.12數(shù)值微分在點(diǎn)a處以h為步長(zhǎng)的向Chap4方程求根不動(dòng)點(diǎn)迭代法Newton迭代法簡(jiǎn)化Newton迭代法弦截法Newton下山法Chap4方程求根不動(dòng)點(diǎn)迭代法Newto不動(dòng)點(diǎn)迭代法1)求的根等價(jià)于求的不動(dòng)點(diǎn)2)不動(dòng)點(diǎn)迭代格式3)迭代收斂條件
定理4.1:設(shè)是閉區(qū)間上的壓縮函數(shù),則在
中有唯一不動(dòng)點(diǎn),且對(duì)任意,迭代公式(4.5)都收斂.(全局收斂)
推論:設(shè),且1)總有;2)存在,使則定理4.1結(jié)論成立.(全局收斂)不動(dòng)點(diǎn)迭代法1)求的根等價(jià)于求
定理4.3:設(shè)在其不動(dòng)點(diǎn)附近有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù),且
則存在的某個(gè)領(lǐng)域,使得,迭代(4.5)均收斂.(局部收斂)迭代不收斂的條件題4.44)迭代收斂速度記
,
若,且存在正常數(shù),使
定義4.3:,則稱(chēng)(4.5)為p階收斂的.若,則稱(chēng)(4.5)是線(xiàn)性收斂的;若,則稱(chēng)(4.5)是平方收斂的.定理4.3:設(shè)在其不動(dòng)點(diǎn)附近有連
定理4.4:若在的根鄰近有連續(xù)的1階導(dǎo)數(shù),
且,則當(dāng)時(shí)迭代公式(4.5)為線(xiàn)性收斂.若在鄰近有連續(xù)的2階導(dǎo)數(shù),則當(dāng)時(shí)迭代公式(4.5)為平方收斂.例4.4,例4.5,例4.6,題4.2,題4.3,題4.5定理4.4:若在Newton迭代求近似根的Newton迭代公式:1)迭代控制條件2)收斂性單根,則當(dāng)時(shí)(4.11)平方收斂.
定理4.5:設(shè)在鄰近二次連續(xù)可微,是的3)Newton迭代與開(kāi)方法例4.7,題4.8例4.8,題4.7Newton迭代求近似根的Ne簡(jiǎn)化Newton迭代法弦截法Newton下山法1)簡(jiǎn)化Newton迭代法2)弦截法3)Newton下山法例4.9例4.10例4.11簡(jiǎn)化Newton迭代法弦截法Newton下山法1)Chap5線(xiàn)性代數(shù)方程組數(shù)值解法迭代法迭代法的收斂性Gauss消去法矩陣的LU分解及應(yīng)用方程組的條件數(shù)與誤差分析Chap5線(xiàn)性代數(shù)方程組數(shù)值解法迭代法迭迭代法考慮線(xiàn)性方程組Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代迭代法考慮線(xiàn)性方程組Jacobi迭代Gauss-Seidel考慮線(xiàn)性方程組A
x
=
b,將A
進(jìn)行分解A
=
D
+
L+
U,Jacobi迭代的矩陣表示:Gauss-Seidel迭代的矩陣表示:或SOR迭代的矩陣表示:考慮線(xiàn)性方程組Ax=b,將A進(jìn)行分解A=定理:SOR方法收斂的必要條件是.證明:假設(shè)SOR方法收斂,則有設(shè)的特征值為,則而A=-L-UD定理:SOR方法收斂的必要條件是迭代法的收斂性迭代收斂基本定理:對(duì)任意和任意的初始向量,迭代公式(5.18)收斂的充要條件是.例5.6,題5.3定理5.3:設(shè)G是(5.18)的迭代矩陣,且它的某一種范數(shù)滿(mǎn)足,則對(duì)任意的初值,迭代公式(5.18)均收斂.例5.5定理5.4:設(shè)A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),則其Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式均收斂.例5.7題5.2迭代法的收斂性迭代收斂基本定理:對(duì)任意定理:設(shè)對(duì)稱(chēng)正定,且,則解的SOR方法收斂.證明:SOR迭代法的迭代矩陣為設(shè)是G的一個(gè)特征值,相應(yīng)的特征向量為x,則記,則p>0.(因?yàn)锳正定,D亦正定)又記,則有.且定理:設(shè)對(duì)稱(chēng)正定,且,則解證明于是而故當(dāng)時(shí),SOR方法收斂.特別的,當(dāng)時(shí),SOR方法就是GS方法,從而當(dāng)A是對(duì)稱(chēng)正定矩陣時(shí),GS方法收斂.于是而故當(dāng)時(shí)Gauss消去法1)順序Gauss消去法2)列主元Gau
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