結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第六章-多自由度系統(tǒng)振動(dòng)

第六章章多多自由由度系系統(tǒng)振振動(dòng)(一)§6-1用剛度度法與與柔度度法列列運(yùn)動(dòng)動(dòng)微分分方程程1．剛度度法圖示簡(jiǎn)簡(jiǎn)支梁梁，剛剛度系系數(shù)kij定義為為：使質(zhì)量量mj的位移移xj＝1而其余余質(zhì)量量位移移xi＝0(i≠j)時(shí)在xi處所需需要（（施加加）的的力。。一般情情況下下，若若各質(zhì)質(zhì)量均均有位位移x1、x2、...、xn，則則在xi處所需需力的的總和和為：：設(shè)每一一質(zhì)量量mi上作用用的外外力為為Fi(t)，對(duì)每每一質(zhì)質(zhì)量運(yùn)運(yùn)用牛牛頓第第二定定律，，可得得運(yùn)動(dòng)動(dòng)微分分方程程：用矩陣陣符號(hào)號(hào)可寫(xiě)寫(xiě)成：：〈例〉求圖示示五自自由度度系統(tǒng)統(tǒng)的剛剛度矩矩陣。。解：首先用力力使m1產(chǎn)生單位位移移，并用力使使其余質(zhì)量不不動(dòng)，則需要要給m1的力為k1與k2的彈性力和，即k11＝k1+k2。此時(shí)m2需加力為k2，沿x的負(fù)方向，即k21＝-k2，其余質(zhì)量不不必施加任何何力，即k31＝k41＝k51＝0。用類(lèi)似方法可可得其余剛度度系數(shù)，于是是有：利用功的互等等原理可知，，剛度矩陣是是對(duì)稱(chēng)陣，即即有kij＝kji，于是上述剛剛度矩陣為：⒉柔度法柔度系數(shù)aij定義為：在第j個(gè)質(zhì)量上作用用單位力時(shí)在在第i個(gè)質(zhì)量上產(chǎn)生生的位移。于是：若在第j個(gè)質(zhì)量上作用用有力F，則在第i個(gè)質(zhì)量上產(chǎn)生生的位移將是是aij*F；

若在第j個(gè)質(zhì)量上作用的是慣性力，方向與坐標(biāo)相反，則在第i個(gè)質(zhì)量上產(chǎn)生的位移將是；若所有質(zhì)量都都有慣性力，，則：若所有質(zhì)量都都有慣性力，，則：寫(xiě)成矩陣形式式為：或?qū)懗桑涸趧偠染仃嘯K]非奇異條件下下，柔度矩陣陣[A]與剛度矩陣[K]存在如下的互互逆關(guān)系：與剛度矩陣類(lèi)類(lèi)似，有aij＝aji?！蠢登髨D示三自由由度簡(jiǎn)支梁柔柔度矩陣。已已知梁的EI、L。解：利用簡(jiǎn)支支梁在單位集集中力作用下下的撓度公式式其他柔度影響響系數(shù)：mm2mPL柔度矩陣為：?jiǎn)栴}：[A]中元素是否一一定為正？〈例〉求圖示三自由由度系統(tǒng)的剛剛度矩陣和柔柔度矩陣。解：易得剛度矩矩陣為：m1上加單位力，，各質(zhì)量的位位移分別為：：m2上加單位力，，各質(zhì)量的位位移分別為：：〈例〉求圖示三自由由度系統(tǒng)的剛剛度矩陣和柔柔度矩陣。m3上加單位力，，各質(zhì)量的位位移分別為：：柔度矩陣為：〈例〉求圖示三自由由度系統(tǒng)的剛剛度矩陣和柔柔度矩陣。對(duì)彈性系統(tǒng)來(lái)來(lái)說(shuō)，總存在在剛度矩陣，，但不一定存存在柔度矩陣陣，當(dāng)系統(tǒng)中中存在剛體位位移（模態(tài)））時(shí)，就是這這種情況，此此時(shí)，剛度矩矩陣是奇異的的，矩陣行列列式等于零，，因而不存在在逆矩陣。如本例中的k1=0拉格朗日方程程在建立多度度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)學(xué)微分方程時(shí)時(shí)是非常有效效的。設(shè)廣義坐標(biāo)qj，則拉格朗日日方程可表為為：§6-2用拉格朗日方方程列振動(dòng)微微分方程式中：Qj為對(duì)應(yīng)于廣義義坐標(biāo)qj的廣義力。對(duì)于保守系統(tǒng)統(tǒng)，L＝T－－U，有(T為系統(tǒng)動(dòng)能，，U為勢(shì)能，L稱(chēng)為拉氏函數(shù)數(shù))〈例〉求圖示三自由由度系統(tǒng)的運(yùn)運(yùn)動(dòng)微分方程程。解：系統(tǒng)動(dòng)能能為：勢(shì)能為：拉氏函數(shù)：〈例〉求圖示三自由由度系統(tǒng)的運(yùn)運(yùn)動(dòng)微分方程程。同樣可以以求出另另外兩個(gè)個(gè)微分方方程：〈例〉求圖示兩兩自由度度系統(tǒng)的的運(yùn)動(dòng)微微分方程程。解：質(zhì)量m的位置坐坐標(biāo)為系統(tǒng)動(dòng)能能為：一般來(lái)說(shuō)說(shuō)，拉格格朗日方方程對(duì)于于剛度矩矩陣或柔柔度矩陣陣不易求求出的振振動(dòng)系統(tǒng)統(tǒng)更能顯顯示其優(yōu)優(yōu)越性。。LmMkxφx系統(tǒng)勢(shì)能為：：φx系統(tǒng)拉氏函數(shù)數(shù)為：φx鄒經(jīng)湘老老師書(shū)P52““動(dòng)能T與廣義坐坐標(biāo)無(wú)關(guān)關(guān)(因質(zhì)量是是常數(shù))”說(shuō)法是存存疑的。。在上一章章，我們們已討論論了二自自由度系系統(tǒng)的固固有頻率率與主振振型，現(xiàn)現(xiàn)在我們們來(lái)討論論n自由度系系統(tǒng)的情情況。n自由度度系統(tǒng)自自由振動(dòng)動(dòng)微分方方程為：：§6-3固有頻率率與主振振型（特特征值與與特征向向量）非零解條條件為：：非零解條條件為：：此式稱(chēng)為為系統(tǒng)的的頻率方方程或特特征方程程，對(duì)于于正定或或半正定定實(shí)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩陣[M]與與[K]，它有有n個(gè)正正的實(shí)根根ωi(i＝1,2,...,n)，特特征值λλi等于固有有頻率ωωi的平方，，即將ωi代入(*)式即可得得到n個(gè)主振型型(特征向量量){u}i對(duì)任意j，同樣樣有§6-4主振型（（特征向向量）的的正交性性特征對(duì)滿足特征矩陣方程：將(a)式兩邊邊轉(zhuǎn)置后后右乘{(lán)u}j，得(c)(d)兩式相減減，得：：若i≠j，則ωi≠ωj，于是說(shuō)明各個(gè)個(gè)主振型型關(guān)于[M]與[K]存在加權(quán)權(quán)正交性性。Mi與Ki分別稱(chēng)為為第i階模態(tài)質(zhì)質(zhì)量與模模態(tài)剛度度。用前面兩兩自由度度例子說(shuō)說(shuō)明有時(shí)，系系統(tǒng)的頻頻率方程程或特征征方程會(huì)會(huì)出現(xiàn)重重根的情情況，此此時(shí)，按按前面的的方法就就不能唯唯一確定定特征向向量。§6-5等固有頻頻率（重重特征值值）的情情況設(shè)λ1＝λ2＝λr，{u}1與{u}2是對(duì)應(yīng)的特特征向量，，即有則{u}1與{u}2的線性組合合{u}r＝（a{u}1＋b{u}2）也是特征征值λr的特征向量量。事實(shí)上上，有另外，由特特征向量的的正交性，，有由此即可求求出重特征征值的特征征向量{u}1和{u}2。具有重特征征值的系統(tǒng)統(tǒng)，有時(shí)又又稱(chēng)為“簡(jiǎn)簡(jiǎn)并”系統(tǒng)統(tǒng)或“退化化”系統(tǒng)。?！蠢登髨D示三自自由度系統(tǒng)統(tǒng)的特征對(duì)對(duì)（固有模模態(tài)）。解：特征矩矩陣方程為為：頻率方程為為：將代入特征矩陣方程，求出：將代入特征矩陣方程，求出：先求，它有兩個(gè)元素可任選，取再求,它滿足關(guān)于[M]與[K]的正交性條件：取u13＝1，則u33＝0，u23＝－1可以檢驗(yàn)特特征向量關(guān)關(guān)于質(zhì)量矩矩陣和剛度度矩陣的正正交性各階振型物物理意義描描述如何？？振動(dòng)微分方方程§6-6主振型矩陣陣與標(biāo)準(zhǔn)振振型矩陣通常既是靜靜力耦合的的又是動(dòng)力力耦合的，，在二自由由度系統(tǒng)時(shí)時(shí)曾經(jīng)采用用主坐標(biāo)變變換，得以以解耦，所所采用的變變換矩陣[U]＝[{u}1{u}2]我們稱(chēng)為主振振型矩陣，對(duì)對(duì)n自由度系統(tǒng)，，主振型矩陣陣為：{u}i為系統(tǒng)的第i階主振型或模模態(tài)向量。利用主坐標(biāo)變變換：{x}＝[U]{y}代入到振動(dòng)微分方程，并前乘，有利用振型的正交性，不難證明都是對(duì)角陣。實(shí)際上，按分塊矩陣乘法，有

同理，有：于是，微分方方程得以解耦耦。將各個(gè){u}i分別除以相應(yīng)的模態(tài)質(zhì)量的平方根，構(gòu)成的振型矩陣稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)振型矩陣，此時(shí)有我們稱(chēng)為模態(tài)態(tài)質(zhì)量歸一化化的特征向量量。無(wú)阻尼系統(tǒng)振振動(dòng)微分方程程為§