人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)培優(yōu)和競(jìng)賽教程5、用十字相乘法把二次三項(xiàng)式分解因式

5、用十字相乘法把二次三項(xiàng)式分解因式【知識(shí)精讀】對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法，重點(diǎn)是運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解。掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的兩個(gè)數(shù)，即把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且其和等于一次項(xiàng)系數(shù)。對(duì)于二次三項(xiàng)（a、b、c都是整數(shù)，且）來說，如果存在四個(gè)整數(shù)滿足，并且，那么二次三項(xiàng)式即可以分解為。這里要確定四個(gè)常數(shù)，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的類型復(fù)雜，因此一般要借助畫十字交叉線的辦法來確定。下面我們一起來學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解?！痉诸惤馕觥?.在方程、不等式中的應(yīng)用例1.已知：，求x的取值范圍。分析：本題為二次不等式，可以應(yīng)用因式分解化二次為一次，即可求解。解：例2.如果能分解成兩個(gè)整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的值，并把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。分析：應(yīng)當(dāng)把分成，而對(duì)于常數(shù)項(xiàng)-2，可能分解成，或者分解成，由此分為兩種情況進(jìn)行討論。解：（1）設(shè)原式分解為，其中a、b為整數(shù)，去括號(hào)，得：將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，得：解得：此時(shí)，原式（2）設(shè)原式分解為，其中c、d為整數(shù)，去括號(hào)，得：將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，得：解得：此時(shí)，原式2.在幾何學(xué)中的應(yīng)用例.已知：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬為x、y，周長(zhǎng)為16cm，且滿足，求長(zhǎng)方形的面積。分析：要求長(zhǎng)方形的面積，需借助題目中的條件求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。解：或又解得：或∴長(zhǎng)方形的面積為15cm2或3、在代數(shù)證明題中的應(yīng)用例.證明：若是7的倍數(shù)，其中x，y都是整數(shù)，則是49的倍數(shù)。分析：要證明原式是49的倍數(shù)，必將原式分解成49與一個(gè)整數(shù)的乘積的形式。證明一：∵是7的倍數(shù)，7y也是7的倍數(shù)（y是整數(shù)）∴是7的倍數(shù)而2與7互質(zhì)，因此，是7的倍數(shù)，所以是49的倍數(shù)。證明二：∵是7的倍數(shù)，設(shè)（m是整數(shù)）則又∵∵x，m是整數(shù)，∴所以，也是整數(shù)是49的倍數(shù)。4、中考點(diǎn)撥例1.把分解因式的結(jié)果是________________。解：說明：多項(xiàng)式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，繼續(xù)分解徹底。例2.因式分解：_______________解：說明：分解系數(shù)時(shí)一定要注意符號(hào)，否則由于不慎將造成錯(cuò)誤。5、題型展示例1.若A.1能分解為兩個(gè)一次因式的積，則m的值為（）B.-1C.D.2解：-6可分解成或，因此，存在兩種情況：由（1）可得：故選擇C。，由（1）可得：說明：對(duì)二元二次多項(xiàng)式分解因式時(shí)，要先觀察其二次項(xiàng)能否分解成兩個(gè)一次式乘積，再通過待定系數(shù)法確定其系數(shù)，這是一種常用的方法。例2.已知：a、b、c為互不相等的數(shù)，且滿足。求證：證明：說明：抓住已知條件，應(yīng)用因式分解使命題得證。例3.若解：∴當(dāng)有一因式有一因式時(shí)，。求a，并將原式因式分解。，即說明：由條件知，時(shí)多項(xiàng)式的值為零，代入求得a，再利用原式有一個(gè)因式是，分解時(shí)盡量出現(xiàn)，從而分解徹底。【實(shí)戰(zhàn)模擬】1.分解因式：（1）（2）（3）2.在多項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式的因式？3.已知多項(xiàng)式4.分解因式：5.已知：有一個(gè)因式，求k的值，并把原式分解因式。，求的值?！驹囶}答案】1.（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式2.解：∴其中是多項(xiàng)式的因式。說明：先正確分解，再判斷。3.解：設(shè)則解得：且說明：待定系數(shù)法是處理多項(xiàng)式問題的一個(gè)重要辦法，所給多項(xiàng)式是三次式，已知有一個(gè)一次因式，則另一個(gè)因式為二次式，由多項(xiàng)式乘法法則可