大學(xué)物理《電磁感應(yīng)、電磁場(chǎng)》考試題及答案

大學(xué)物理《電磁感應(yīng)、電磁場(chǎng)》考試題及答案8-1一根無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線載有電流I,一矩形線圈位于導(dǎo)線平面內(nèi)沿垂直于載流導(dǎo)線方向以恒定速率運(yùn)動(dòng)(如圖所示)，則()線圈中無(wú)感應(yīng)電流線圈中感應(yīng)電流為順時(shí)針?lè)较蚓€圈中感應(yīng)電流為逆時(shí)針?lè)较蚓€圈中感應(yīng)電流方向無(wú)法確定題X-I圖分析與解由右手定則可以判斷，在矩形線圈附近磁場(chǎng)垂直紙面朝里，磁場(chǎng)是非均勻場(chǎng)，距離長(zhǎng)直載流導(dǎo)線越遠(yuǎn)，磁場(chǎng)越弱.因而當(dāng)矩形線圈朝下運(yùn)動(dòng)時(shí)，在線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流方向由法拉第電磁感應(yīng)定律可以判定.因而正確答案為(B).8-2將形狀完全相同的銅環(huán)和木環(huán)靜止放置在交變磁場(chǎng)中，并假設(shè)通過(guò)兩環(huán)面的磁通量隨時(shí)間的變化率相等，不計(jì)自感時(shí)則()銅環(huán)中有感應(yīng)電流，木環(huán)中無(wú)感應(yīng)電流銅環(huán)中有感應(yīng)電流，木環(huán)中有感應(yīng)電流銅環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大，木環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)小銅環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)小，木環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大分析與解根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，銅環(huán)、木環(huán)中的感應(yīng)電場(chǎng)大小相等，但在木環(huán)中不會(huì)形成電流.因而正確答案為(A).8-3有兩個(gè)線圈，線圈1對(duì)線圈2的互感系數(shù)為M21，而線圈2對(duì)線圈1的互感系數(shù)為mi2.若它們分別流過(guò)七和i2的變化電流且導(dǎo)號(hào)2，并設(shè)由七變化在線圈1中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢(shì)為：2，由七變化在線圈2中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢(shì)為21下述論斷正確的是().(A)1221(B)1221'2/'12(C)21下述論斷正確的是().(A)(B)1221'2/'12(C)1221'21V'12(D)1221'21V'121212di1212di因而正確答案為(D).2121分析與解教材中已經(jīng)證明M21=M12，電磁感應(yīng)定律'=21218-4對(duì)位移電流，下述四種說(shuō)法中哪一種說(shuō)法是正確的是()位移電流的實(shí)質(zhì)是變化的電場(chǎng)位移電流和傳導(dǎo)電流一樣是定向運(yùn)動(dòng)的電荷位移電流服從傳導(dǎo)電流遵循的所有定律位移電流的磁效應(yīng)不服從安培環(huán)路定理分析與解位移電流的實(shí)質(zhì)是變化的電場(chǎng).變化的電場(chǎng)激發(fā)磁場(chǎng)，在這一點(diǎn)位移電流等效于傳導(dǎo)電流，但是位移電流不是走向運(yùn)動(dòng)的電荷，也就不服從焦耳熱效應(yīng)、安培力等定律.因而正確答案為(A).8-5下列概念正確的是()感應(yīng)電場(chǎng)是保守場(chǎng)感應(yīng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線是一組閉合曲線(D)①=LI，因而線圈的自感系數(shù)與回路的電流成反比山=LI，回路的磁通量越大，回路的自感系數(shù)也一定大分析與解對(duì)照感應(yīng)電場(chǎng)的性質(zhì)，感應(yīng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線是一組閉合曲線.因而正確答案為(B).(D)8-6一鐵心、上繞有線圈100匝，已知鐵心、中磁通量與時(shí)間的關(guān)系為①=8.0x105sin100n(Wb>求在t=1.0x10-2s時(shí)，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).分析由于線圈有N匝相同回路，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于各匝回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，在此情況下，法拉第電磁感應(yīng)定律通常寫成4=-N竺=-業(yè)，其dtdt中w=N①稱為磁鏈.解線圈中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)4=—N亞=（2.51）cos（100n）dt當(dāng)t=1.0X10-2S時(shí)，4=2.51V.8-7有兩根相距為d的無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線，它們通以大小相等流向相反的電流，且電流均以幺的變化率增長(zhǎng).若有一邊長(zhǎng)為d的正方形線圈與兩導(dǎo)線處于dt同一平面內(nèi)，如圖所示.求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).dr尤題8-7圖分析本題仍可用法拉第電磁感應(yīng)定律4=—亞來(lái)求解.由于回路處在非均勻磁dt場(chǎng)中，磁通量就需用⑦=jB-dS來(lái)計(jì)算（其中B為兩無(wú)限長(zhǎng)直電流單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)S生的磁感強(qiáng)度B與B之和）.12為了積分的需要，建立如圖所示的坐標(biāo)系.由于B僅與x有關(guān)，即B=B（x），故取一個(gè)平行于長(zhǎng)直導(dǎo)線的寬為dx、長(zhǎng)為d的面元dS，如圖中陰影部分所示，則dS=ddx，所以，總磁通量可通過(guò)線積分求得（若取面元dS=dxdy，則上述積分實(shí)際上為二重積分）.本題在工程技術(shù)中又稱為互感現(xiàn)象，也可用公式Em=—Md.求解.解1穿過(guò)面元dS的磁通量為d⑦=B-dS=B-dS+B-dS=》*，）ddx—土ddx

因此穿過(guò)線圈的磁通量為也"」2dW」2d的dx=炊ln3d2n\x+d)d2nx2n4再由法拉第電磁感應(yīng)定律，有E=—dtE=—dt4)dt解2當(dāng)兩長(zhǎng)直導(dǎo)線有電流I通過(guò)時(shí)，穿過(guò)線圈的磁通量為①=^-ln32n4線圈與兩長(zhǎng)直導(dǎo)線間的互感為M=-=曜ln3I2n4當(dāng)電流以d變化時(shí)，線圈中的互感電動(dòng)勢(shì)為^dI

—M——=dtdi

dt試想：如線圈又以速率v沿水平向右運(yùn)動(dòng)，如何用法拉第電磁感應(yīng)定律求圖示位置的電動(dòng)勢(shì)呢？此時(shí)線圈中既有動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，又有感生電動(dòng)勢(shì).設(shè)時(shí)刻t,線圈左端距右側(cè)直導(dǎo)線的距離為號(hào)，則穿過(guò)回路的磁通量0=jB-dS=fG,4），它表S現(xiàn)為變量I和號(hào)的二元函數(shù)，將中代入E=—竺即可求解，求解時(shí)應(yīng)按復(fù)合函dt數(shù)求導(dǎo)，注意，其中竺=^dI

—M——=dtdi

dt8-8有一測(cè)量磁感強(qiáng)度的線圈，其截面積S=4.0cm2、匝數(shù)N=160匝、電阻R=50。.線圈與一內(nèi)阻R=30Q的沖擊電流計(jì)相連.若開始時(shí)，線圈的平i面與均勻磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B相垂直，然后線圈的平面很快地轉(zhuǎn)到與B的方向平行.此時(shí)從沖擊電流計(jì)中測(cè)得電荷值q=4.0x10—5C.問(wèn)此均勻磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B的值為多少？分析在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，閉合回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流與磁通量變化的快慢有關(guān)，而在一段時(shí)間內(nèi)，通過(guò)導(dǎo)體截面的感應(yīng)電量只與磁通量變化的大小有關(guān)，與磁通量變化的快慢無(wú)關(guān).工程中常通過(guò)感應(yīng)電量的測(cè)定來(lái)確定磁場(chǎng)的強(qiáng)弱.

解在線圈轉(zhuǎn)過(guò)90°角時(shí)，通過(guò)線圈平面磁通量的變化量為NBS△①=氣-氣=NBS-0=NBSNBS因此，流過(guò)導(dǎo)體截面的電量為q=△①R+RR+RB=q"+Ri）=0.050T

NS8-9如圖所示，一長(zhǎng)直導(dǎo)線中通有I=5.0A的電流，在距導(dǎo)線9.0cm處，放一面積為0.10cm2，10匝的小圓線圈，線圈中的磁場(chǎng)可看作是均勻的.今在1.0X10-2s內(nèi)把此線圈移至距長(zhǎng)直導(dǎo)線10.0cm處.求：（1）線圈中平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；（2）設(shè)線圈的電阻為1.0X10—2。，求通過(guò)線圈橫截面的感應(yīng)電荷.分析雖然線圈處于非均勻磁場(chǎng)中，但由于線圈的面積很小，可近似認(rèn)為穿過(guò)線荷.分析雖然線圈處于非均勻磁場(chǎng)中，但由于線圈的面積很小，可近似認(rèn)為穿過(guò)線圈平面的磁場(chǎng)是均勻的，因而可近似用斗=NBS來(lái)計(jì)算線圈在始、末兩個(gè)位置的磁鏈.解（1）在始、末狀態(tài)，通過(guò)線圈的磁鏈分別為平=NBS平=NBS=Np0IS2nr，材2i=NBS=性22nr2E=△①=地""At2nAt1rr2J=1.11x10-8V電動(dòng)勢(shì)的指向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?（2）通過(guò)線圈導(dǎo)線橫截面的感應(yīng)電荷為曰_d⑦E——dt8-10如圖（a）所示，把一半徑為R的半圓形導(dǎo)線OP置于磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，當(dāng)導(dǎo)線以速率v水平向右平動(dòng)時(shí)，求導(dǎo)線中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E的大小，哪一端電勢(shì)較高?題S-10閏分析本題及后面幾題中的電動(dòng)勢(shì)均為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，除仍可由E--亞求解外dt（必須設(shè)法構(gòu)造一個(gè)閉合回路），還可直接用公式E—i（vxB）?dl求解.l在用后一種方法求解時(shí)，應(yīng)注意導(dǎo)體上任一導(dǎo)線元dl上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)dE—（vxB）?dl.在一般情況下，上述各量可能是dl所在位置的函數(shù).矢量（vXB）的方向就是導(dǎo)線中電勢(shì)升高的方向.解1如圖（b）所示，假想半圓形導(dǎo)線OP在寬為2R的靜止形導(dǎo)軌上滑動(dòng)，兩者之間形成一個(gè)閉合回路.設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈氛?，任一時(shí)刻端點(diǎn)O或端點(diǎn)P距形導(dǎo)軌左側(cè)距離為x，則TOC\o"1-5"\h\zri\①—2Rx+—R2BI2JE—-竺—-2RB史—-2RvBdtdt由于靜止的形導(dǎo)軌上的電動(dòng)勢(shì)為零，則E=—2RvB.式中負(fù)號(hào)表示電動(dòng)勢(shì)的方

向?yàn)槟鏁r(shí)針，對(duì)OP段來(lái)說(shuō)端點(diǎn)P的電勢(shì)較高.解2建立如圖（C）所示的坐標(biāo)系，在導(dǎo)體上任意處取導(dǎo)體元dl,則dE=(yxB)?dl=vBsin90ocosOdl=vBcosORdOE=\dE=vBR"/2cosOdO=2RvB-n/2由矢量（vXB）的指向可知，端點(diǎn)P的電勢(shì)較高.解3連接OP使導(dǎo)線構(gòu)成一個(gè)閉合回路.由于磁場(chǎng)是均勻的，在任意時(shí)刻，穿過(guò)

回路的磁通量⑦=BS=常數(shù).由法拉第電磁感應(yīng)定律E=一空^可知，E=0dt又因E=E+EOPPO即E=-E=2RvBOPPO由上述結(jié)果可知，在均勻磁場(chǎng)中，任意閉合導(dǎo)體回路平動(dòng)所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為零；而任意曲線形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)就等于其兩端所連直線形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì).上述求解方法是疊加思想的逆運(yùn)用，即補(bǔ)償?shù)姆椒?8-11長(zhǎng)為L(zhǎng)的銅棒，以距端點(diǎn)r處為支點(diǎn)，以角速率3繞通過(guò)支點(diǎn)且垂直于銅棒的軸轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)與軸平行，求棒兩端的電勢(shì)差.BA11任11占x電電XXXXXX（a）lb）題K-II圖分析應(yīng)該注意棒兩端的電勢(shì)差與棒上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)是兩個(gè)不同的概念，如同電源的端電壓與電源電動(dòng)勢(shì)的不同.在開路時(shí)，兩者大小相等，方向相反（電動(dòng)勢(shì)的方向是電勢(shì)升高的方向，而電勢(shì)差的正方向是電勢(shì)降落的方向）.本題可直接用積分法求解棒上的電動(dòng)勢(shì)，亦可以將整個(gè)棒的電動(dòng)勢(shì)看作是。人棒與OB棒上電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，如圖（b）所示.而EOA和EOB則可以直接利用第8-2節(jié)例1給出的結(jié)果.解1如圖（a）所示，在棒上距點(diǎn)O為l處取導(dǎo)體元dl，則E=j（vxB）?dl=j聲—wlBdl=--^lB（L-2r）ABAB-r2因此棒兩端的電勢(shì)差為UAB=Eab=—2^lB（L-2r）當(dāng)L>2r時(shí)，端點(diǎn)A處的電勢(shì)較高解2將AB棒上的電動(dòng)勢(shì)看作是。人棒和OB棒上電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，如圖（b）所示.其中|E1=1Bg,|E=1口B（L-rI1oA2o^2則Eab=EOA|-\EB\=-2cdBL（L-2r）8-12如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的導(dǎo)體棒OP,處于均勻磁場(chǎng)中，并繞00,軸以角速度3旋轉(zhuǎn)，棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為。，磁感強(qiáng)度B與轉(zhuǎn)軸平行.求0P棒在圖示位置處的電動(dòng)勢(shì).題&-I2可分析如前所述，本題既可以用法拉第電磁感應(yīng)定律E=-竺計(jì)算（此時(shí)必須dt構(gòu)造一個(gè)包含0P導(dǎo)體在內(nèi)的閉合回路，如直角三角形導(dǎo)體回路OPQO），也可用E=j（vxB）?dl來(lái)計(jì)算.由于對(duì)稱性，導(dǎo)體OP旋轉(zhuǎn)至任何位置時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)l與圖示位置是相同的.

解1由上分析，得E=j(vxB)?dl解1由上分析，得=jvBsin90。cosadli=j(sin0w)BcosGo。-0)ll=口Bsin2仞Lldl=-口B（Lsin0>

02由矢量vXB的方向可知端點(diǎn)P的電勢(shì)較高.解2設(shè)想導(dǎo)體OP為直角三角形導(dǎo)體回路OPQO中的一部分，任一時(shí)刻穿過(guò)回路的磁通量中為零，則回路的總電動(dòng)勢(shì)d⑦八E=-￡=0=Ep+￡?@+Eqo顯然，Eqo=O,所以Ep=-Eq=Eqo=2coB（PQ七由上可知，導(dǎo)體棒OP旋轉(zhuǎn)時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)切割的磁感線數(shù)與導(dǎo)體棒QP等效.后者是垂直切割的情況.8-13如圖（a）所示，金屬桿AB以勻速v=2.0m?s-1平行于一長(zhǎng)直導(dǎo)線移動(dòng)，此導(dǎo)線通有電流I=40A.求桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，桿的哪一端電勢(shì)較高？題8-13VI分析本題可用兩種方法求解.（1）用公式E=j（vxB）?dl求解，建立圖（a）所示的坐標(biāo)系，所取導(dǎo)體元dl=dx，該處的磁感強(qiáng)度B=土.(2)用法拉第2nx電磁感應(yīng)定律求解，需構(gòu)造一個(gè)包含桿AB在內(nèi)的閉合回路.為此可設(shè)想桿入8在一個(gè)靜止的形導(dǎo)軌上滑動(dòng)，如圖(b)所示.設(shè)時(shí)刻t,桿AB距導(dǎo)軌下端CD的距離為y，先用公式⑦=jB?dS求得穿過(guò)該回路的磁通量，再代入公式E=-竺，Sdt即可求得回路的電動(dòng)勢(shì)，亦即本題桿中的電動(dòng)勢(shì).解1根據(jù)分析，桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=j(vxB)?血=dxl=—jumAvdx=-史ln11=—3.84x10-5V式中負(fù)號(hào)表ABAB0.1m2nx2兀示電動(dòng)勢(shì)方向由B指向A，故點(diǎn)A電勢(shì)較高.解2設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈稟BCD的正向，根據(jù)分析，在距直導(dǎo)線x處，取寬為dx、長(zhǎng)為y的面元dS，則穿過(guò)面元的磁通量為d⑦=B?dS=虬ydx2nx穿過(guò)回路的磁通量為①=jd⑦=jm^Lydx=—^^ln11S0.1m2nx2?；芈返碾妱?dòng)勢(shì)為廣d①aIdyalyE=—=——ln11=——o——=—3.84x10-5Vdt2nxdt2n由于靜止的形導(dǎo)軌上電動(dòng)勢(shì)為零，所以￡仲=E=-3.84x10-5V式中負(fù)號(hào)說(shuō)明回路電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，對(duì)AB導(dǎo)體來(lái)說(shuō)，電動(dòng)勢(shì)方向應(yīng)由B指向A，故點(diǎn)A電勢(shì)較高.8-14如圖(a)所示，在“無(wú)限長(zhǎng)”直載流導(dǎo)線的近旁，放置一個(gè)矩形導(dǎo)體線框，該線框在垂直于導(dǎo)線方向上以勻速率v向右移動(dòng)，求在圖示位置處，線框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向.題X1』圖分析本題亦可用兩種方法求解.其中應(yīng)注意下列兩點(diǎn)：1.當(dāng)閉合導(dǎo)體線框在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，線框中的總電動(dòng)勢(shì)就等于框上各段導(dǎo)體中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和.如圖(a)所示，導(dǎo)體eh段和fg段上的電動(dòng)勢(shì)為零［此兩段導(dǎo)體上處處滿足(vxB)?dl=0］，因而線框中的總電動(dòng)勢(shì)為E=f(vxB)?dl+J(vxB)?dl=f(vxB)?dl-f(vxB)?dl=E-E其等效電路如圖(b)所示.2.用公式E=-竺求解，式中中是線框運(yùn)動(dòng)至任意位置處時(shí)，穿過(guò)線框的磁通dt量.為此設(shè)時(shí)刻t時(shí)，線框左邊距導(dǎo)線的距離為號(hào)，如圖(c)所示，顯然號(hào)是時(shí)間t的函數(shù)，且有些=v.在求得線框在任意位置處的電動(dòng)勢(shì)E(亳)后，再dt令M=d，即可得線框在題目所給位置處的電動(dòng)勢(shì).解1根據(jù)分析，線框中的電動(dòng)勢(shì)為E=E廠%=f(vxB).dl-f(vxB).dl

efhgpIvf1四Ivf1=*J2d1-JO7)J2d12ndo2nW+1oaIvII=一Of_i_2\2n(d+1)由Ef>Eh可知，線框中的電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)閑fgh.解2設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榫€框回路的正向.根據(jù)分析，在任意位置處，穿過(guò)線框的磁通量為

相應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為aII,―/o2>dx2nG革g尸aIlig相應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為aII,―/o2>dx2nG革g尸aIlig+10~2ln12n(x+g)gdt2ng(g+11)令M=d，得線框在圖示位置處的電動(dòng)勢(shì)為「aIvllE=024十2nd（d+11）由E>0可知，線框中電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?*8-15有一長(zhǎng)為1,寬為b的矩形導(dǎo)線框架，其質(zhì)量為m,電阻為R.在t=0時(shí)，框架從距水平面y=0的上方h處由靜止自由下落，如圖所示.磁場(chǎng)的分布為：在y=0的水平面上方?jīng)]有磁場(chǎng)；在y=0的水平面下方有磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)，B的方向垂直紙面向里.已知框架在時(shí)刻q和匕的位置如圖中所示.求在下述時(shí)間內(nèi)，框架的速度與時(shí)間的關(guān)系：（1）qNt>0，即框架進(jìn)入磁場(chǎng)前；（2）t2NtNt］，即框架進(jìn)入磁場(chǎng)，但尚未全部進(jìn)入磁場(chǎng)；（3）t>t2，即框架全部進(jìn)入磁場(chǎng)后.題8—15圖分析設(shè)線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)（t1時(shí)刻）和全部進(jìn)入磁場(chǎng)（t2時(shí)刻）的瞬間，其速度分別為V10和v20.在情況（1）和（3）中，線框中無(wú)感應(yīng)電流，線框僅在重力作用下作落體運(yùn)動(dòng)，其速度與時(shí)間的關(guān)系分別為v=gt（tVt］）和v=V20+g

(t-t2)(t>t2).而在ti<t<t2這段時(shí)間內(nèi)，線框運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜，由于穿過(guò)線框回路的磁通量變化，使得回路中有感應(yīng)電流存在，從而使線框除受重力外，還受到一個(gè)向上的安培力孔，其大小與速度有關(guān)，即FA=FA。).根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，此時(shí)線框的運(yùn)動(dòng)微分方程為mg-Fa(v)=m題8—15圖分析設(shè)線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)（t1時(shí)刻）和全部進(jìn)入磁場(chǎng)（t2時(shí)刻）的瞬間，其速解(1)根據(jù)分析，在t<t1時(shí)間內(nèi)，線框?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng)，于是v1=gtv1=gt(t<t「其中t='時(shí)v=v=J2gh(2)線框進(jìn)入磁場(chǎng)后，受到向上的安培力為B2/2F=IlB=卡v根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可得線框運(yùn)動(dòng)的微分方程B2l2dvmg—v=m——Rdt令K=芝生，整理上式并分離變量積分，有mRJ勺史二=Jtdt%g—Kvt積分后將v10-k(t-t1)](3)線框全部進(jìn)入磁場(chǎng)后(t>t2)，作初速為匕。的落體運(yùn)動(dòng)，故有v=v+g(t—t)=—g—(—K\?2gh)-K(2-J勺史二=Jtdt%g—Kvt積分后將v10-k(t-t1)]8-16有一磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)，以恒定的變化率華在變化.把一塊質(zhì)dt量為m的銅，拉成截面半徑為r的導(dǎo)線，并用它做成一個(gè)半徑為R的圓形回路.圓形回路的平面與磁感強(qiáng)度B垂直.試證：這回路中的感應(yīng)電流為_mdBI=式中P為銅的電阻率，d為銅的密度.

解圓形回路導(dǎo)線長(zhǎng)為2nR，導(dǎo)線截面積為nr2,其電阻R'為R'在均勻磁場(chǎng)中，穿過(guò)該回路的磁通量為①=BS，由法拉第電磁感應(yīng)定律可得回解圓形回路導(dǎo)線長(zhǎng)為2nR，導(dǎo)線截面積為nr2,其電阻R'為R'在均勻磁場(chǎng)中，穿過(guò)該回路的磁通量為①=BS，由法拉第電磁感應(yīng)定律可得回I=—==—nR2——=R'R'dtRfdt2pdt而m=d2nRnr2，即nRr2=-^，代入上式可得2nd了mdBI=4npddt8-17半徑為R=2.0cm的無(wú)限長(zhǎng)直載流密繞螺線管，管內(nèi)磁場(chǎng)可視為均勻磁場(chǎng)，管外磁場(chǎng)可近似看作零.若通電電流均勻變化，使得磁感強(qiáng)度B隨時(shí)間的變化率尊為常量，且為正值，試求：（1）管內(nèi)外由磁場(chǎng)變化激發(fā)的感生電場(chǎng)dt分布；（2）如竺■dt大小和方向.=0.010T-s-1，求距螺線管中心、軸r=5.0分布；（2）如竺■dt大小和方向.分析變化磁場(chǎng)可以在空間激發(fā)感生電場(chǎng)，感生電場(chǎng)的空間分布與場(chǎng)源變化的磁場(chǎng)（包括磁場(chǎng)的空間分布以及磁場(chǎng)的變化率華等）密切相關(guān)，即dtJEdl=-』?.dS.在一般情況下，求解感生電場(chǎng)的分布是困難的.但對(duì)于本題SkSdt這種特殊情況，則可以利用場(chǎng)的對(duì)稱性進(jìn)行求解.可以設(shè)想，無(wú)限長(zhǎng)直螺線管內(nèi)磁場(chǎng)具有柱對(duì)稱性，其橫截面的磁場(chǎng)分布如圖所示.由其激發(fā)的感生電場(chǎng)也一定有相應(yīng)的對(duì)稱性，考慮到感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線為閉合曲線，因而本題中感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線一定是一系列以螺線管中心軸為圓心的同心、圓.同一圓周上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小相等，方向沿圓周的切線方向.圖中虛線表和VR和r>R兩個(gè)區(qū)k域的電場(chǎng)線.電場(chǎng)線繞向取決于磁場(chǎng)的變化情況，由楞次定律可知，當(dāng)些<0時(shí)，dt電場(chǎng)線繞向與B方向滿足右螺旋關(guān)系；當(dāng)理>0時(shí)，電場(chǎng)線繞向與前者相反.dt解如圖所示，分別在rVR和r>R的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)任取一電場(chǎng)線為閉合回路l(半徑為r的圓)，依照右手定則，不妨設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈氛?(1)rVR，E=jE-也=E-2nr=-—jBdS=-nr2竺lkkdtdt氣”2等r>R，E=jE-dl=E-2nr=-—jBdS=-nR2竺lkkdtdt「R2dBE=-k2rdt由于石>。，故電場(chǎng)線的繞向?yàn)槟鏁r(shí)針.(2)由于r>R，所求點(diǎn)在螺線管外，因此R2dBE=-—

k2rdt將r、R、的數(shù)值代入，可得e=-4.0x10-5V-m-1，式中負(fù)號(hào)表示E的方向是dtkk逆時(shí)針的.8-18在半徑為R的圓柱形空間中存在著均勻磁場(chǎng)，B的方向與柱的軸線平行.如圖(a)所示，有一長(zhǎng)為l的金屬棒放在磁場(chǎng)中，設(shè)B隨時(shí)間的變化率竺dt為常量.試證：棒上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為

(af(b)題(af(b)分析變化磁場(chǎng)在其周圍激發(fā)感生電場(chǎng)，把導(dǎo)體置于感生電場(chǎng)中，導(dǎo)體中的自由電子就會(huì)在電場(chǎng)力的作用下移動(dòng)，在棒內(nèi)兩端形成正負(fù)電荷的積累，從而產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì).由于本題的感生電場(chǎng)分布與上題所述情況完全相同，故可利用上題結(jié)果，由E=\Ek-dl計(jì)算棒上感生電動(dòng)勢(shì).此外，還可連接OP、OQ，設(shè)想PQOP構(gòu)成一個(gè)閉合導(dǎo)體回路，用法拉第電磁感應(yīng)定律求解，由于OP、OQ沿半徑方向，與通過(guò)該處的感生電場(chǎng)強(qiáng)度％處處垂直，故Ek?dl=0，OP、OQ兩段均無(wú)電動(dòng)勢(shì)，這樣，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出的閉合回路的總電動(dòng)勢(shì)，就是導(dǎo)體棒PQ上的電動(dòng)勢(shì).證1由法拉第電磁感應(yīng)定律，有E=EE=EPQAd⑦

dt=SdB=虹Jr2-

dtdt2trdB證2由題8-17可知，在rVR區(qū)域，感生電場(chǎng)強(qiáng)度的大小Ek2dt設(shè)PQ上線元dx處，％的方向如圖（b）所示，則金屬桿PQ上的電動(dòng)勢(shì)為E=E-dr=jEcosOdx=j仁也預(yù)2-"/2jldrdBPQkk02dt-虹\；R2-Q/2J2dt2'討論假如金屬棒PQ有一段在圓外，則圓外一段導(dǎo)體上有無(wú)電動(dòng)勢(shì)？該如何求解？8-19截面積為長(zhǎng)方形的環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)，其尺寸如圖（a）所示，共有N匝（圖中僅畫出少量幾匝），求該螺繞環(huán)的自感匚逮（b）題&一19圖分析如同電容一樣，自感和互感都是與回路系統(tǒng)自身性質(zhì)（如形狀、匝數(shù)、介質(zhì)等）有關(guān)的量.求自感1的方法有兩種：1.設(shè)有電流I通過(guò)線圈，計(jì)算磁場(chǎng)穿過(guò)自身回路的總磁通量，再用公式L=-計(jì)算L.2.讓回路中通以變化率已知I的電流，測(cè)出回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E，由公式L=\ElI計(jì)算L.式中E和空都LdI/dtLdt較容易通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，所以此方法一般適合于工程中.此外，還可通過(guò)計(jì)算能量的方法求解.解用方法1求解，設(shè)有電流I通過(guò)線圈，線圈回路呈長(zhǎng)方形，如圖（b）所示，由安培環(huán)路定理可求得在％VrV%范圍內(nèi)的磁場(chǎng)分布為1B=業(yè)2nx由于線圈由N匝相同的回路構(gòu)成，所以穿過(guò)自身回路的磁鏈為=Nf%冬hdx=*lnRr2nx2兀R1iL=凹鼻InRI2nRi若管中充滿均勻同種磁介質(zhì)，其相對(duì)磁導(dǎo)率為ur，則自感將增大ur倍.8-20如圖所示，螺線管的管心、是兩個(gè)套在一起的同軸圓柱體，其截面積分別為S1和S2,磁導(dǎo)率分別為氣和氣，管長(zhǎng)為1,匝數(shù)為N,求螺線管的自感.（設(shè)管的截面很?。┧膢?三|題X-20圖分析本題求解時(shí)應(yīng)注意磁介質(zhì)的存在對(duì)磁場(chǎng)的影響.在無(wú)介質(zhì)時(shí)，通電螺線管內(nèi)的磁場(chǎng)是均勻的，磁感強(qiáng)度為B。，由于磁介質(zhì)的存在，在不同磁介質(zhì)中磁感強(qiáng)度分別為七B0和七B0.通過(guò)線圈橫截面的總磁通量是截面積分別為S1和S2的兩部分磁通量之和.由自感的定義可解得結(jié)果.解設(shè)有電流I通過(guò)螺線管，則管中兩介質(zhì)中磁感強(qiáng)度分別為TOC\o"1-5"\h\zNN,B=/nl=/——I,B=/nl=/——I111L222L通過(guò)N匝回路的磁鏈為中=中+中=NBS+NBS121122則自感WN2L=L+L=竺=——aS+aS12Il11228-21有兩根半徑均為a的平行長(zhǎng)直導(dǎo)線，它們中心距離為d.試求長(zhǎng)為1的一對(duì)導(dǎo)線的自感（導(dǎo)線內(nèi)部的磁通量可略去不計(jì)）.題M-2I圖分析兩平行長(zhǎng)直導(dǎo)線可以看成無(wú)限長(zhǎng)但寬為d的矩形回路的一部分.設(shè)在矩形回路中通有逆時(shí)針?lè)较螂娏鱅,然后計(jì)算圖中陰影部分（寬為d、長(zhǎng)為1）的磁通量.該區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)可以看成兩無(wú)限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線分別在該區(qū)域產(chǎn)生的磁場(chǎng)的疊加.解在如圖所示的坐標(biāo)中，當(dāng)兩導(dǎo)線中通有圖示的電流I時(shí)，兩平行導(dǎo)線間的磁感強(qiáng)度為穿過(guò)圖中陰影部分的磁通量為①=jB-dS=jd-aBldr=此ln^―^

Sa兀a則長(zhǎng)為1的一對(duì)導(dǎo)線的自感為L(zhǎng)=①=plind-aI兀a如導(dǎo)線內(nèi)部磁通量不能忽略，則一對(duì)導(dǎo)線的自感為L(zhǎng)=L1+2L2.L1稱為外自感,即本題已求出的L,L稱為一根導(dǎo)線的內(nèi)自感.長(zhǎng)為1的導(dǎo)線的內(nèi)自感L=叩,228兀有興趣的讀者可自行求解.8-22如圖所示，在一柱形紙筒上繞有兩組相同線圈AB和AB',每個(gè)線圈的自感均為L(zhǎng),求：（1）A和A'相接時(shí)，B和B'間的自感1；（2）A'和B1相接時(shí)，A和B'間的自感1.2題S-22圖分析無(wú)論線圈AB和A：8'作哪種方式連接，均可看成一個(gè)大線圈回路的兩個(gè)部分，故仍可從自感系數(shù)的定義出發(fā)求解.求解過(guò)程中可利用磁通量疊加的方法，如每一組載流線圈單獨(dú)存在時(shí)穿過(guò)自身回路的磁通量為中，則穿過(guò)兩線圈回路的磁通量為2中；而當(dāng)兩組線圈按（1）或（2）方式連接后，則穿過(guò)大線圈回路的總磁通量為2①±2中，“土”取決于電流在兩組線圈中的流向是相同或是相反.解（1）當(dāng)A和A'連接時(shí)，AB和A，B'線圈中電流流向相反，通過(guò)回路的磁通量亦相反，故總通量為氣=20-20=0，故L=0.1（2）當(dāng)A'和B連接時(shí)，AB和A，B'線圈中電流流向相同，通過(guò)回路的磁通量亦相同，故總通量為0=20+20=40，故L=—2=4—=4L.2II本題結(jié)果在工程實(shí)際中有實(shí)用意義，如按題（1）方式連接，則可構(gòu)造出一個(gè)無(wú)自感的線圈．8一23如圖所示，一面積為4.0cm2共50匝的小圓形線圈A，放在半徑為20cm共100匝的大圓形線圈B的正中央，此兩線圈同心、且同平面.設(shè)線圈A內(nèi)各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度可看作是相同的.求：（1）兩線圈的互感；（2）當(dāng)線圈B中電流的變化率為—50A?s-1時(shí)，線圈A中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向.題8-23圖分析設(shè)回路I中通有電流I1，穿過(guò)回路II的磁通量為中以，則互感M=M21=

O21I1；也可設(shè)回路II通有電流I2，穿過(guò)回路I的磁通量為①12，則M=M=吃.12I2雖然兩種途徑所得結(jié)果相同，但在很多情況下，不同途徑所涉及的計(jì)算難易程度會(huì)有很大的不同.以本題為例，如設(shè)線圈B中有電流I通過(guò)，則在線圈A中心、處的磁感強(qiáng)度很易求得，由于線圈A很小，其所在處的磁場(chǎng)可視為均勻的，因而穿過(guò)線圈A的磁通量中^BS.反之，如設(shè)線圈A通有電流I，其周圍的磁場(chǎng)分布是變化的，且難以計(jì)算，因而穿過(guò)線躁的磁通量也就很難求得，由此可見，計(jì)算互感一定要善于選擇方便的途徑.解(1)設(shè)線圈B有電流I通過(guò)，它在圓心、處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B0=NB今I穿過(guò)小線圈A的磁鏈近似為W=NBS=NN紀(jì)S

AA0AAB2RA則兩線圈的互感為M=Ka=NN"o'a=6.28x10-6HIAB2R(2)E=-M凹=3.14x10-4VAdt互感電動(dòng)勢(shì)的方向和線圈B中的電流方向相同.8-24如圖所示，兩同軸單匝線圈A、C的半徑分別為R和r，兩線圈相距為d.若r很小，可認(rèn)為線圈A在線圈C處所產(chǎn)生的磁場(chǎng)是均勻的?求兩線圈的互感.若線圈C的匝數(shù)為N匝，則互感又為多少？解設(shè)線圈A中有電流I通過(guò)，它在線圈C所包圍的平面內(nèi)各點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度近似為b=（七iR2）

2R2+d2為2穿過(guò)線圈C的磁通為W=BS="o'R）—nr2C2R2+d2為2則兩線圈的互感為睥W/nr2R2

M=—=r0\I2R2+d2為2若線圈C的匝數(shù)為N匝，則互感為上述值的N倍.8一25如圖所示，螺繞環(huán)A中充滿了鐵磁質(zhì)，管的截面積S為2.0cm2，沿環(huán)每厘米繞有100匝線圈，通有電流I1=4.0X10-2A，在環(huán)上再繞一線圈C，共10匝，其電阻為0.10。，今將開關(guān)S突然開啟，測(cè)得線圈C中的感應(yīng)電荷為2.0X10-3C.求：當(dāng)螺繞環(huán)中通有電流％時(shí)，鐵磁質(zhì)中的B和鐵磁質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率％.題區(qū)圖分析本題與題8-8相似，均是利用沖擊電流計(jì)測(cè)量電磁感應(yīng)現(xiàn)象中通過(guò)回路的電荷的方法來(lái)計(jì)算磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度.線圈C的磁通變化是與環(huán)形螺線管中的電流變化相聯(lián)系的.解當(dāng)螺繞環(huán)中通以電流I1時(shí)，在環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B=aanI

0r11則通過(guò)線圈C的磁鏈為w=NBS=NaanIS

c220r11設(shè)斷開電源過(guò)程中，通過(guò)C的感應(yīng)電荷為qc，則有1A1（八）NaanISqc=-r牛=-rMJ-w—2%11由此得相對(duì)磁導(dǎo)率一Rqc一=199NSanI

20118-26一個(gè)直徑為0.01m，長(zhǎng)為0.10m的長(zhǎng)直密繞螺線管，共1000匝線圈，總電阻為7.76Q.求：(1)如把線圈接到電動(dòng)勢(shì)E=2.0V的電池上，電流穩(wěn)定后，線圈中所儲(chǔ)存的磁能有多少？磁能密度是多少？*(2)從接通電路時(shí)

算起，要使線圈儲(chǔ)存磁能為最大儲(chǔ)存磁能的一半，需經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？分析單一載流回路所具有的磁能，通常可用兩種方法計(jì)算：（1）如回路自感為L(zhǎng)（已知或很容易求得），則該回路通有電流I時(shí)所儲(chǔ)存的磁能W=2L12通常稱為自感磁能.（2）由于載流回路可在空間激發(fā)磁場(chǎng)磁能實(shí)際是儲(chǔ)存于即W=jwdV，式B2'因而采用這磁場(chǎng)之中，因而載流回路所具有的能量又可看作磁場(chǎng)能量，中七為磁場(chǎng)能量密度，積分遍及磁場(chǎng)存在的空間.由于通常