2020-2021學年廣東省廣州市海珠區(qū)九年級（上）期末數學試卷

2020-2021學年廣東省廣州市海珠區(qū)九年級（上）期末數學試卷一．選擇題（共10小題）1．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）下列圖案是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）在如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長為1，點A、O、D都在格點上，點O是△ABO和△DCO的位似中心，則△ABO與△DCO的周長比為（）A．5：2 B．25：4 C．4：25 D．2：53．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，△ABC繞點A逆時針旋轉40°得到△ADE，∠BAC＝50°，則∠DAC的度數為（）A．10° B．15° C．20° D．25°4．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，在⊙O中，弦AB的長為8，圓心O到AB的距離為3，則⊙O半徑為（）A．6 B．5 C．4 D．35．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）把拋物線y＝﹣4x2向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝﹣4（x+2）2﹣3 B．y＝﹣4（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣4（x﹣3）2+2 D．y＝﹣4（x﹣3）2﹣26．（3分）（武漢模擬）關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0有一個根為0，則m的值應為（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．17．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）某市經濟發(fā)展勢頭進一步向好，2020年第一季度該地區(qū)生產總值約為5229億元，第三季度生產總值約為6508億元，設二，三季度平均每季度增長率為x，依題意列出方程正確的是（）A．5229（1+x）＝6508 B．5229（1﹣x）＝6508 C．5229（1+x）2＝6508 D．6508（1﹣x）2＝52298．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．a＜0 B．4a+2b+c＞0 C．c＞0 D．當x＝1時，函數有最小值9．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，AB，BC，CD分別與⊙O相切于E、F、G三點，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，則OF的長為（）A． B． C． D．510．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，平行于BC的線段DE把△ABC分成面積相等的兩部分，則若AD＝1，則BD的長為（）A． B．1 C． D．二．填空題（共6小題）11．（3分）（2021?海州區(qū)校級一模）點A（﹣2，3）關于原點對稱的點的坐標是．12．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）已知關于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的兩個實數根分別為x1，x2，則x1+x2＝．13．（3分）（2020?南通模擬）圓錐的底面半徑為2，母線長為6，則它的側面積為．14．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）在某一時刻，測得一根高為1.2m的竹竿的影長為3m，同時測得一棟樓的影長為60m，則這棟樓的高度為m．15．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）若拋物線y＝2x2﹣3x+c與直線y＝x+1沒有交點，則c的取值范圍是．16．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F分別在線段BC，CD上，且CF＝3，CE＝2，若點M，N分別在線段AB，AD上運動，P為線段MF上的點，在運動過程中，始終保持∠PEB＝∠PFC，則線段PN的最小值為．三．解答題（共9小題）17．（2020秋?海珠區(qū)期末）解方程：x2﹣10x+16＝0．18．（2020秋?海珠區(qū)期末）在如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的三個頂點都在格點上，在圖中畫出將△ABC繞點C按順時針方向旋轉90°后得到的△A'B'C'．19．（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，AB為⊙O直徑，點C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足為E．求證：DE為⊙O切線．20．（2020秋?海珠區(qū)期末）已知拋物線y＝a（x﹣1）2+k且經過點A（﹣1，0）、B（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）直接寫出不等式a（x﹣1）2+k≥3的解集．21．（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點P，且PD＜PC．（1）求證：△PAD∽△PCB；（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．22．（2020秋?海珠區(qū)期末）某電商店鋪銷售一種兒童服裝，其進價為每件50元，現在的銷售單價為每件80元，每周可賣出200件，雙十二期間，商家決定降價讓利促銷，經過市場調查發(fā)現，單價每降低1元，每周可多賣出20件．（1）若想滿足每周銷售利潤為7500元，同時盡可能讓利于顧客，則銷售單價為多少元？（2）銷售單價應為多少元，該店鋪每周銷售利潤最大？最大銷售利潤為多少元？23．（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E，F分別在邊AD，CD上，且AE＝2，CF＝1，分別連接BE，BF交AC于點G，H．（1）若平行四邊形ABCD的面積為24，求△AEG的面積；（2）求的值．24．（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，在⊙O中，弦AB的長為6，∠AOB＝60°，⊙O上一動點C從點B出發(fā)以每秒個單位沿圓周逆時針運動，運動時間為t（秒）（0≤t≤16），點B關于AC的對稱點為B'，射線CB'與⊙O另一交點為D．（1）直接寫出⊙O的半徑長；（2）當四邊形ABCD的面積為時，求t值；（3）當點C運動到12秒時停止，在點C運動的過程中求△BCD的內心M所經過的路徑長．25．（2020秋?海珠區(qū)期末）已知拋物線C1：y＝ax2﹣2ax﹣2，點O為平面直角坐標系原點，點A坐標為（5，1）．（1）若拋物線C1過點A，求拋物線解析式；（2）若拋物線C1與線段OA有交點，求a的取值范圍；（3）把拋物線C1沿直線OA方向平移|t|個單位（規(guī)定：射線OA方向為正方向）得到拋物線C2，若對于拋物線C2，當﹣2≤x≤3時，y隨x的增大而增大，求t的取值范圍．

2020-2021學年廣東省廣州市海珠區(qū)九年級（上）期末數學試卷答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）下列圖案是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形．【分析】一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．根據中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．解：A、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；D、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故選：C．【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．2．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）在如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長為1，點A、O、D都在格點上，點O是△ABO和△DCO的位似中心，則△ABO與△DCO的周長比為（）A．5：2 B．25：4 C．4：25 D．2：5【考點】勾股定理；位似變換．【分析】先利用位似的性質得到△ABO∽△DCO，相似比為2：5，然后根據相似三角形的性質求解．解：∵點O是△ABO和△DCO的位似中心，∴△ABO∽△DCO，相似比為OA：OD＝2：5，∴△ABO與△DCO的周長比為2：5．故選：D．【點評】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．位似圖形必須是相似形，對應點的連線都經過同一點；對應邊平行或共線．3．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，△ABC繞點A逆時針旋轉40°得到△ADE，∠BAC＝50°，則∠DAC的度數為（）A．10° B．15° C．20° D．25°【考點】旋轉的性質．【分析】利用角的和差定義求解即可．解：由旋轉的性質可知，∠BAD＝40°，∵∠BAC＝50°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝50°﹣40°＝10°，故選：A．【點評】本題考查旋轉變換，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．4．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，在⊙O中，弦AB的長為8，圓心O到AB的距離為3，則⊙O半徑為（）A．6 B．5 C．4 D．3【考點】勾股定理；垂徑定理．【分析】連接OA，由題意得：OC⊥AB于C，OC＝3，再由垂徑定理得AC＝BCAB＝4，然后由勾股定理求出OA的長即可．解：連接OA，如圖：由題意得：OC⊥AB于C，OC＝3，AB＝8，∴AC＝BCAB＝4，∴OA5，即⊙O半徑為5，故選：B．【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．5．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）把拋物線y＝﹣4x2向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝﹣4（x+2）2﹣3 B．y＝﹣4（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣4（x﹣3）2+2 D．y＝﹣4（x﹣3）2﹣2【考點】二次函數圖象與幾何變換．【分析】根據“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．解：把拋物線y＝﹣4x2向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線的解析式為：y＝﹣4（x+2）2﹣3．故選：A．【點評】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵．6．（3分）（武漢模擬）關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0有一個根為0，則m的值應為（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．1【考點】一元二次方程的定義；一元二次方程的解．【分析】把x＝0代入已知方程，列出關于m的新方程，通過解新方程可以求得m的值．解：∵關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0有一個根為0，∴m2﹣4＝0且m﹣2≠0，解得，m＝﹣2．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義和一元二次方程的定義．解題時，注意一元二次方程的二次項系數一定不能等于零．7．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）某市經濟發(fā)展勢頭進一步向好，2020年第一季度該地區(qū)生產總值約為5229億元，第三季度生產總值約為6508億元，設二，三季度平均每季度增長率為x，依題意列出方程正確的是（）A．5229（1+x）＝6508 B．5229（1﹣x）＝6508 C．5229（1+x）2＝6508 D．6508（1﹣x）2＝5229【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【分析】根據該市2020年第一季度及第三季度生產總值，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．解：依題意得：5229（1+x）2＝6508．故選：C．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．8．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．a＜0 B．4a+2b+c＞0 C．c＞0 D．當x＝1時，函數有最小值【考點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數的最值．【分析】利用拋物線開口方向可對A選項進行判斷；利用函數圖象得到x＝2時，y＜0，則可對B選項進行判斷；利用拋物線與y軸的交點位置可對C選項錯誤；根據拋物線的對稱性得到對稱軸，然后根據二次函數的性質可對D選項進行判斷．解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，所以A選項錯誤；∵x＝2時，y＜0，∴4a+2b+c＜0，所以B選項錯誤；∵拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，∴c＜0，所以C選項錯誤；∵拋物線與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），與x軸的另一個交點坐標為（3，0），∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴當x＝1時，函數有最小值，所以D選項正確．故選：D．【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大?。攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置．當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．常數項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點個數由△決定：△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．9．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，AB，BC，CD分別與⊙O相切于E、F、G三點，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，則OF的長為（）A． B． C． D．5【考點】切線的性質．【分析】連接OF，如圖，利用切線長定理和切線的性質得∠OBC∠ABC，∠BCO∠BCD，OF⊥BC，再利用平行線的性質得到∠OBC+∠BCO＝90°，則可利用勾股定理計算出BC＝5，然后利用面積法計算出OF．解：連接OF，如圖，∵AB，BC，CD分別與⊙O相切于E、F、G三點，∴BO平分∠ABC，CO平分∠BCD，OF⊥BC，∴∠OBC∠ABC，∠BCO∠BCD，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠OBC+∠BCO（∠ABC+∠BCD）180°＝90°，∵∠BOC＝90°，∴BC5，∵OF?BCOB?OC，∴OF．故選：B．【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了切線長定理和平行線的性質．10．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，平行于BC的線段DE把△ABC分成面積相等的兩部分，則若AD＝1，則BD的長為（）A． B．1 C． D．【考點】相似三角形的判定與性質．【分析】由平行于BC的直線DE把△ABC分成面積相等的兩部分，可知△ADE與△ABC相似，且面積比為，則相似比為，，可求出AB的長，則DB的長可求出．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成面積相等的兩部分，∴S△ADE＝S四邊形DBCE，∴，∴，∵AD＝1，∴AB．∴DB＝AB﹣AD．故選：D．【點評】本題考查了相似三角形的判定，相似三角形的性質，面積比等于相似比的平方的逆用等．二．填空題（共6小題）11．（3分）（2021?海州區(qū)校級一模）點A（﹣2，3）關于原點對稱的點的坐標是（2，﹣3）．【考點】關于原點對稱的點的坐標．【分析】根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（﹣2，3）關于原點O的對稱點是P′（2，﹣3）解：根據兩個點關于原點對稱，∴點P（﹣2，3）關于原點對稱的點的坐標是（2，﹣3）；故答案為（2，﹣3）．【點評】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，運用時要熟練掌握，可以不用圖畫和結合坐標系，只根據符號變化直接寫出對應點的坐標．12．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）已知關于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的兩個實數根分別為x1，x2，則x1+x2＝4．【考點】根與系數的關系．【分析】直接根據根與系數的關系求解．解：∵關于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的兩個實數根分別為x1，x2，∴x1+x2＝4，故答案為4．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2，x1?x2．13．（3分）（2020?南通模擬）圓錐的底面半徑為2，母線長為6，則它的側面積為12π．【考點】圓錐的計算．【分析】根據圓錐的底面半徑為2，母線長為6，直接利用圓錐的側面積公式求出它的側面積．解：根據圓錐的側面積公式：πrl＝π×2×6＝12π，故12π．【點評】此題主要考查了圓錐側面積公式．熟練地應用圓錐側面積公式求出是解決問題的關鍵．14．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）在某一時刻，測得一根高為1.2m的竹竿的影長為3m，同時測得一棟樓的影長為60m，則這棟樓的高度為24m．【考點】相似三角形的應用；平行投影．【分析】根據同一時刻物高與影長成正比即可得出結論．解：設這棟樓的高度為hm，∵在某一時刻，測得一根高為1.2m的竹竿的影長為3m，同時測得一棟樓的影長為60m，∴，解得h＝24．故24．【點評】本題考查的是相似三角形的應用，熟知同一時刻物高與影長成正比是解答此題的關鍵．15．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）若拋物線y＝2x2﹣3x+c與直線y＝x+1沒有交點，則c的取值范圍是c＞3．【考點】一次函數的性質；一次函數圖象上點的坐標特征；二次函數圖象與系數的關系；二次函數圖象上點的坐標特征．【分析】根據兩個函數的圖象沒有交點，則兩個函數關系式組成方程組無解，從而得出答案．解：因為拋物線y＝2x2﹣3x+c與直線y＝x+1沒有交點，所以一元二次方程2x2﹣3x+c＝x+1沒有實數根，即2x2﹣4x+c﹣1＝0無實數根，所以16﹣8（c﹣1）＜0，解得，c＞3，故c＞3．【點評】本題考查二次函數、一次函數圖象上點的坐標特征，理解兩個函數圖象沒有公共點的意義是解決問題的關鍵．16．（3分）（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F分別在線段BC，CD上，且CF＝3，CE＝2，若點M，N分別在線段AB，AD上運動，P為線段MF上的點，在運動過程中，始終保持∠PEB＝∠PFC，則線段PN的最小值為．【考點】正方形的性質．【分析】根據四邊形對角互補得：C、E、P、F四點共圓，取EF的中點為O，以EF為直徑作圓O，如圖1，連接OP，ON，根據三角形三邊關系可知：PN≥ON﹣OP，因為OP為定值，當O、N、P三點共線，且ON⊥AD時，ON最小，PN最小，如圖2，根據勾股定理可得結論．解：如圖1，∵∠PEB＝∠PFC，∠PEB+∠CEP＝180°，∴∠CEP+∠CFP＝180°，∴C、E、P、F四點共圓，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴EF是直徑，取EF的中點為O，以EF為直徑作圓O，如圖1，連接OP，ON，∵PN≥ON﹣OP，∵OP是定值，OPEF，即當O、N、P三點共線，且ON⊥AD時，ON最小，PN最小，如圖2，PN最小，延長NO交BC于Q，則OQ⊥CE，∴EQEC＝1，由勾股定理得：OQ，∴PN＝6；即線段PN的最小值為．故．【點評】本題考查正方形的性質，圓周角定理，三角形的三邊關系，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造圓O，確定PN最小值時PN的位置是關鍵．三．解答題（共9小題）17．（2020秋?海珠區(qū)期末）解方程：x2﹣10x+16＝0．【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】直接利用因式分解法解方程得出答案．解：x2﹣10x+16＝0（x﹣2）（x﹣8）＝0，x﹣2＝0或x﹣8＝0，解得：x1＝2，x2＝8．【點評】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎題型．18．（2020秋?海珠區(qū)期末）在如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的三個頂點都在格點上，在圖中畫出將△ABC繞點C按順時針方向旋轉90°后得到的△A'B'C'．【考點】作圖﹣旋轉變換．【分析】利用網格特點和旋轉的性質畫出A、B的對應點A′、B′即可．解：如圖，△A'B'C'為所作．【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．19．（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，AB為⊙O直徑，點C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足為E．求證：DE為⊙O切線．【考點】垂徑定理；圓周角定理；切線的判定．【分析】連接OC，如圖，由AC平分∠EAB得到∠BAC＝∠EAC，加上∠OAC＝∠ACO，則∠EAC＝∠ACO，于是可判斷OC∥AE，根據平行線的性質得OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到結論．證明：連接OC，如圖，∵AC平分∠EAB，∴∠BAC＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AE，∵AE⊥DC，∴OC⊥ED，∴DE是⊙O的切線．【點評】本題考查了切線的判定，平行線的判定與性質，等腰三角形的性質，熟練掌握切線的判定是解題的關鍵．20．（2020秋?海珠區(qū)期末）已知拋物線y＝a（x﹣1）2+k且經過點A（﹣1，0）、B（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）直接寫出不等式a（x﹣1）2+k≥3的解集．【考點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數與不等式（組）．【分析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式即可求解；（2）畫出拋物線大致的圖象，過點B作直線m交拋物線于點D，則點D的坐標為（2，3），即可求解．解：（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式得，解得，故拋物線的表達式為y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）畫出拋物線大致的圖象如下，過點B作直線m交拋物線于點D，由拋物線的表達式知，函數的對稱軸為x＝1，則點D的坐標為（2，3），則不等式a（x﹣1）2+k≥3的解集為0≤x≤2．【點評】本題考查的是二次函數與不等式（組）和待定系數法求二次函數解析式，解題的關鍵是確定函數圖象的交點，根據交點處圖象之間的位置關系，確定不等式的解．21．（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點P，且PD＜PC．（1）求證：△PAD∽△PCB；（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．【考點】圓周角定理；相交弦定理．【分析】（1）根據圓周角定理得出∠A＝∠C，∠D＝∠B，再根據相似三角形的判定推出即可；（2）根據相似得出比例式，再求出答案即可．（1）證明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等），∴△PAD∽△PCB；（2）解：∵△PAD∽△PCB，∴，∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，∴，解得：PD＝4或6．【點評】本題考查了相交弦定理，圓周角定理，相似三角形的性質和判定等知識點，能正確運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵．22．（2020秋?海珠區(qū)期末）某電商店鋪銷售一種兒童服裝，其進價為每件50元，現在的銷售單價為每件80元，每周可賣出200件，雙十二期間，商家決定降價讓利促銷，經過市場調查發(fā)現，單價每降低1元，每周可多賣出20件．（1）若想滿足每周銷售利潤為7500元，同時盡可能讓利于顧客，則銷售單價為多少元？（2）銷售單價應為多少元，該店鋪每周銷售利潤最大？最大銷售利潤為多少元？【考點】一元二次方程的應用；二次函數的應用．【分析】（1）設銷售單價為x元,則每件附中的利潤為(x﹣50)元，每周能賣出(20+200)件，根據總利潤等于每件的利潤乘以銷售量，列出關于x的方程，求解并作出取舍即可．（2）設該店鋪每周銷售利潤為W元，根據總利潤等于每件的利潤乘以銷售量，列出W關于x的二次函數關系式，根據二次函數的性質可得答案．解:（1）設銷售單價為x元,由題意得:(x﹣50)×(20+200)＝7500,整理得：﹣x2+140x﹣4875＝0,解得:x1＝65,x2＝75,∵盡可能讓利于顧客,∴x2＝75不符合題意,∴x＝65．∴銷售單價為65元．（2）設該店鋪每周銷售利潤為W元，由題意得:W＝(x﹣50)×(20+200)＝﹣20x2+2800x﹣90000,∵a＝﹣20＜0,拋物線開口向下，對稱軸為直線x70,∴當x＝70時,W有最大值，最大值為:﹣20×702+2800×70﹣90000＝8000(元),∴銷售單價應為70元，該店鋪每周銷售利潤最大,最大銷售利潤為8000元．【點評】本題考查了一元二次方程和二次函數在銷售問題中的應用，理清題中的數量關系并熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．23．（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E，F分別在邊AD，CD上，且AE＝2，CF＝1，分別連接BE，BF交AC于點G，H．（1）若平行四邊形ABCD的面積為24，求△AEG的面積；（2）求的值．【考點】平行四邊形的性質；相似三角形的判定與性質．【分析】（1）根據平行四邊形的性質及相似三角形的判定得△AEG～△CBG，然后由相似三角形的性質及面積公式可得答案；（2）根據相似三角形的判定和性質可得答案．解：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEG＝∠GBC，∠EAG＝∠BCG，∴△AEG～△CBG，∴，∴，∴S△BGC＝16S△AGE，∵△ABG和△AGE分別以BG、GE為底時，兩三角形高相等，∴，∴S△ABG＝4S△AGE，∴S△ABC四邊形ABCD＝S△BGD+S△ADG＝20S△AGE＝24，∴S△AGE．（2）∵DE＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝6，DF＝CD﹣CF＝3，∴，∴△DEF～△DAC，∴EF∥AC，∴∠BGH＝∠BEF，∠BHG＝∠BFE，∴△BGH～△BEF，∴．【點評】本題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．24．（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，在⊙O中，弦AB的長為6，∠AOB＝60°，⊙O上一動點C從點B出發(fā)以每秒個單位沿圓周逆時針運動，運動時間為t（秒）（0≤t≤16），點B關于AC的對稱點為B'，射線CB'與⊙O另一交點為D．（1）直接寫出⊙O的半徑長；（2）當四邊形ABCD的面積為時，求t值；（3）當點C運動到12秒時停止，在點C運動的過程中求△BCD的內心M所經過的路徑長．【考點】圓的綜合題．【分析】（1）根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得△AOB是等邊三角形，可得結論；（2）分兩種情況：DC是直徑和BC是直徑時，計算其圓心角，利用弧長公式及路程，速度，時間的關系可得結論；（3）根據等角對等邊可得：在點C的運動過程中MA永遠保持不變，由于點C是從點B出發(fā)，所以點M也是從點B出發(fā)，以MA為半徑運動了90度的圓心角，點M所經過的路徑長即是這個弧長．解：（1）如圖1，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OB＝AB＝6，即⊙O的半徑長為6；（2）如圖2，連接BC，BD，BD交OA于點N，∵∠AOB＝60°，∴∠ACB∠AOB＝30°，∵點B關于AC的對稱點為B'，∴∠BCA＝∠B'CA＝30°，∴，∴OA⊥BD，BN＝DN，∴∠ABD＝∠OBD＝30°，∴ANAB＝3，BN＝DN＝3，∴BD＝6，∴S△ABD9，∵四邊形ABCD的面積為，∴S△BDC＝27918，如圖3，延長DO交⊙O于點C'，連接BC'，則∠DBC'＝90°，∵∠AOB＝∠AOD＝60°，∴∠BOC'＝60°，∴∠BDC'＝30°，∴BC'＝6，∴S△C'BD18，∴C與C'重合，∴t4；如圖4，當BC是直徑時，t12，綜上，t的值是4或6；（3）由（2）知：當點C運動到12秒時恰好運動到如圖4所示，C在BO的延長線上，在這個過程中，總有