2017年高考理科數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)3卷

理科數(shù)學(xué)試題絕密★啟用前2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(III卷)理科數(shù)學(xué)(適用地區(qū)：云南、廣西、貴州、四川)注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。 2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合A=，B=，則AB中元素的個數(shù)為A．3 B．2 C．1 D．02．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則∣z∣=A． B． C． D．23．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)4．(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為A．-80 B．-40 C．40 D．805．已知雙曲線C：(a＞0,b＞0)的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點，則C的方程為A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯誤的是A．f(x)的一個周期為?2π B．y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱C．f(x+π)的一個零點為x= D．f(x)在(,π)單調(diào)遞減7．執(zhí)行右面的程序框圖，為使輸出的值小于91，則輸入的正整數(shù)的最小值為A．5 B．4 C．3 D．28．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A． B． C． D．9．等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．若成等比數(shù)列，則前6項的和為A．-24 B．-3 C．3 D．810．已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A． B． C． D．11．已知函數(shù)有唯一零點，則a=A． B． C． D．112．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足約束條件，則的最小值為__________．14．設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．15．設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是_________。16．a(chǎn)，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最小值為60°；其中正確的是________。（填寫所有正確結(jié)論的編號）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點，且ADAC,求△ABD的面積．18．（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？學(xué)科*網(wǎng)19．（12分）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值．20．（12分）已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C與A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．（1）證明：坐標(biāo)原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點P（4，-2），求直線l與圓M的方程．21．（12分）已知函數(shù)=x﹣1﹣alnx．（1）若，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，﹤m，求m的最小值．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。22．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為．設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C．（1）寫出C的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ+sinθ)-=0，M為l3與C的交點，求M的極徑．23．[選修45：不等式選講]（10分）已知函數(shù)求不等式的解集；若不等式的解集非空，求的取值范圍。絕密★啟用前2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(3卷)理科數(shù)學(xué)注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。 2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合A=，B=，則AB中元素的個數(shù)為A．3 B．2 C．1 D．0【解析】B.定義法2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則∣z∣=A． B． C． D．2【解析】選C.定義法。3．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【解析】選A圖像法。4．(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為A．-80 B．-40 C．40 D．80【解析】選C公式法。利用二項式定理的通項公式。(2-)5中，其通項為。所以當(dāng)或，兩項系數(shù)相加得40.5．已知雙曲線C：(a＞0,b＞0)的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點，則C的方程為A． B． C． D．【解析】選B定義法。直接利用漸近線與焦點的定義求解。6．設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯誤的是A．f(x)的一個周期為?2π B．y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱C．f(x+π)的一個零點為x= D．f(x)在(,π)單調(diào)遞減【解析】選D.排除法A正確；，最低點，B正確；，則，C正確。選D。7．執(zhí)行下面的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為A．5 B．4 C．3 D．2【解析】選D排除法。（求最小值，則從最小值開始排除）若n=2，則輸出的S為90，合題意，選D。8．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A． B． C． D．【解析】選B。軸截面。。則其體積為。9．等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則前6項的和為A．-24 B．-3 C．3 D．8【解析】選A定義法。等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義。把代入得。所以.10．已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A． B． C． D．【解析】選A定義法、公式法。由直線與圓相切的定義和點到直線的距離公式得。11．已知函數(shù)有唯一零點，則a=A． B． C． D．1【解析】選C.解法一：導(dǎo)數(shù)法,所以x=1是函數(shù)的極值點，所以,代入得。解法二：圖像法。，如圖。要只有一個公共點，則，代入得.解法三：由條件，，得：∴，即為的對稱軸，由題意，有唯一零點，∴的零點只能為，即，解得．12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2【解析】選A.坐標(biāo)法，參數(shù)法（圓的參數(shù)方程）如圖建立直角坐標(biāo)系。則圓的半徑為,則圓上的動點，A（-2，1），B（-2，0），D（0，1），把坐標(biāo)代入中得，所以，所以。所以的最大值為3.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足約束條件，則的最小值為__________．【解析】.圖像法。由題，畫出可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)為，則直線縱截距越大，值越?。蓤D可知：在處取最小值，故．14．設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．【解析】定義法。由已知兩式相除得15．設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是_________?！窘馕觥?分類討論?；蚧?，解得或或。所以的范圍為。16．a(chǎn)，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最小值為60°；其中正確的是________。（填寫所有正確結(jié)論的編號）【解析】②③.如圖。解法一：坐標(biāo)法。由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．以為坐標(biāo)原點，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則，，直線的方向單位向量，．點起始坐標(biāo)為，直線的方向單位向量，．設(shè)點在運動過程中的坐標(biāo)，其中為與的夾角，．那么在運動過程中的向量，．設(shè)與所成夾角為，則．故，所以=3\*GB3③正確，=4\*GB3④錯誤．設(shè)與所成夾角為，.當(dāng)與夾角為時，即，．∵，∴．∴．∵．∴，此時與夾角為．∴=2\*GB3②正確，①錯誤．解法二：由題意，是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線，由，又AC⊥圓錐底面，在底面內(nèi)可以過點B，作，交底面圓于點D，如圖所示，連結(jié)DE，則DE⊥BD，，連結(jié)AD，等腰△ABD中，,當(dāng)直線AB與a成60°角時，，故，又在中，，過點B作BF∥DE，交圓C于點F，連結(jié)AF，由圓的對稱性可知,為等邊三角形，，即AB與b成60°角，②正確，①錯誤.由最小角定理可知③正確。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點，且ADAC,求△ABD的面積．【解析】（1）由得，即，又，∴，得.由余弦定理.又∵代入并整理得，故.（也可由得得）。（2）解法一：∵，由余弦定理.∵，即為直角三角形，則，得.由勾股定理.又，則，.解法二：由，而.18．（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？學(xué)科*網(wǎng)【解析】=1\*GB2⑴易知需求量可取,,.則分布列為：=2\*GB2⑵=1\*GB3①當(dāng)時：，此時，當(dāng)時取得.=2\*GB3②當(dāng)時：此時，當(dāng)時取得.=3\*GB3③當(dāng)時，,此時.=4\*GB3④當(dāng)時，.，n=500時，其最大值為440.綜上所述：當(dāng)時，取到最大值為.解法二：解：（1）由題意得，可取的分布列為（2）①當(dāng)時，若，則若時，則若時，則的分布列為∴，∴當(dāng)時，（元）②當(dāng)時，若，則若時，則若時，則的分布列為∴（元）綜上，當(dāng)為瓶時，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值。19．（12分）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值．【解析】=1\*GB2⑴取中點為，連接，；為等邊三角形∴∴.∴,即為等腰直角三角形，為直角又為底邊中點∴令，則易得：，∴由勾股定理的逆定理可得即又∵由面面垂直的判定定理可得=2\*GB2⑵由題意可知即,到平面的距離相等即為中點以為原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，易得：，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，解得，解得若二面角為，易知為銳角，則.20．（12分）已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C與A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．（1）證明：坐標(biāo)原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點P（4，-2），求直線l與圓M的方程．【解析】⑴顯然，當(dāng)直線斜率為時，直線與拋物線交于一點，不符合題意．設(shè)，，，聯(lián)立：得，恒大于，，．∴，即在圓上．⑵若圓過點，則化簡得解得或.①當(dāng)時，圓心為，，，半徑則圓②當(dāng)時，圓心為，，，半徑則圓.所以，時，圓；或時，.21．（12分）已知函數(shù)