高考數學理科二輪復習每日一題規(guī)范練第五周含解析

2017年高考數學理科二輪復習每天一題規(guī)范練第五周含分析2017年高考數學理科二輪復習每天一題規(guī)范練第五周含分析13/13袀PAGE13膆膀袆莀袃肆羀羇薆肀莄蟻2017年高考數學理科二輪復習每天一題規(guī)范練第五周含分析每天一題規(guī)范練

第五周星期一2017年4月17日

[題目1](本小題滿分12分)在△ABC中，邊a，b，c的對角分

π別為A，B，C；且b＝4，A＝3，面積S＝23.(導學號55460194)

(1)求a的值；

(2)設f(x)＝2(cosCsinx－cosAcosx)，將f(x)圖象上所有點的橫

1坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變)獲取g(x)的圖象，求g(x)的單調增區(qū)

間．

練方法練規(guī)范練滿分練能力

π解：(1)在△ABC中，b＝4，A＝3，S＝23，

∴＝1＝1×4c×323，＝SbcsinA222則c＝2.(2分)π由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝16＋4－2×4×2cos＝12，3∴a＝12＝23.(4分)c·sinAπ(2)由正弦定理，a＝c，∴＝2sin31，＝＝sinAsinCsinCa232

π又由c<a，得0<C<A＝3，

π∴C＝6，(7分)

則＝ππππ2cossinx－coscosx＝2cossinx－sincosx＝f(x)6366π2sinx－6，

1將函數y＝f(x)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得函數g(x)＝

2sin2x－π6的圖象．(10分)令πππππ，k2k26263kZππ故g(x)的單調增區(qū)間為kπ－6，kπ＋3(k∈Z)．(12分)

第五周星期二2017年4月18日

[題目2](本小題滿分12分)為了參加市中學生運動會，某校從

四支較強的班級籃球隊A，B，C，D中選出12人組成校男子籃球隊，隊員本源以下表：

隊別ABCD

人數4323

(導學號55460195)

(1)從這12名隊員中隨機選出兩名，求兩人來自同一個隊的概率；

(2)比賽結束后，學校要評選出3名優(yōu)秀隊員(每一個隊員等可能被評為優(yōu)秀隊員)，設其中來自A隊的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學希望．

練方法練規(guī)范練滿分練能力解：(1)從這12名隊員中隨機選出兩名，兩人來自同一個隊記作事件A，C42＋C32＋C22＋C3213則P(A)＝C122＝66.(4分)ξ的所有可能的取值為0，1，2，3，(5分)

則

3C814

P(ξ＝0)＝C312＝55，P(ξ＝1)＝

12C4C828

C24C1812

C312＝55，P(ξ

313)＝C312＝55，(9分)C

∴隨機變量ξ的分布列為：

ξ0123P1428121555555551428121因此E(ξ)＝0×55＋1×55＋2×55＋3×55＝1.(12分)第五周星期三2017年4月19日[題目3](本小題滿分12分)已知函數y＝3x＋134的圖象上有一點列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，，Pn(xn，yn)，其中數列{xn}為等差數

列，滿足x2＝－7，x5＝－13.22(導學號55460196)

(1)求點Pn的坐標；

(2)若拋物線列C1，C2，，Cn分別以點P1，P2，，Pn為極點，

且任意一條的對稱軸均平行于y軸，Cn與y軸的交點為An(0，n2＋1)，

1記與拋物線Cn相切于點An的直線的斜率為kn，求數列kn＋1kn前n項的和Sn.

練方法練規(guī)范練滿分練能力

解：(1)設數列{x}的公差為d，則x5－2＝，nx3d1375∴－2－－2＝3d，則d＝－1，x1＝－2.(2分)53故xn＝－2＋(n－1)×(－1)＝－n－2，

135yn＝3xn＋4＝－3n－4，因此點n的坐標為n－n－3，－3n－5.(5分)PP242n＋3212n＋5(2)設Cn的方程為y＝ax＋2－4.將An(0，n2＋1)代入上式，整理得(a－1)·n2＋3n＋94＝0，∴a＝1.(7

分)

∴Cn的方程為：y＝x2＋(2n＋3)x＋n2＋1.

∴y′＝2x＋2n＋3，

由導數的幾何意義，kn＝y(tǒng)′|x＝0＝2n＋3.(9分)

11111－2n＋5，因此＝（＋）（＋＝22n＋32n52n3

1111111∴k1k2＋k2k3＋k3k4＋＋knkn＋1＝25－7＋1111117－9＋9－11＋＋－＝2n3＋52n11－1＝n.(12分)252n＋510n＋25

第五周星期四2017年4月20日

[題目4](本小題滿分12分)如圖，將邊長為2的正六邊形ABCDEF沿對角線BE翻折，連接AC、FD，形成以下列圖的多面體，且AC＝6.

(1)證明：平面ABEF⊥平面BCDE；

(2)求平面ABC與平面DEF所成二面角(銳角)的余弦值．

練方法練規(guī)范練滿分練能力

(1)證明：

正六邊形ABCDEF中，連接AC、BE，交點為G，

易知AC⊥BE，且AG＝CG＝3，

在多面體中，由AC＝6，知AG2＋CG2＝AC2，

故AG⊥GC，(2分)

又AG⊥BE，GC∩BE＝G，GC、BE在平面BCDE內，故AG⊥平面

BCDE.由于AG?平面ABEF，

∴平面ABEF⊥平面BCDE.(5分)

(2)解：

以G為坐標原點，分別為GC，GE，GA所在的直線為x軸，y軸，z

軸建立以下列圖的坐標系．

由AG＝CG＝3，BG＝1，GE＝3.

則A(0，0，3)，B(0，－1，0)，C(3，0，0)，D(3，2，0)，E(0，

3，0)，F(0，2，3)．→，－，－→＝，，－，→＝，－，→AB＝(0，(33)EF，13)AC0(013)FD→AC＝(3，0，－3)．(7分)

設平面ABC的法向量為n1＝(x，y，z)，

取z＝1，得n1＝(1，－3，1)．(9分)

同理可求平面DEF的一個法向量n2＝(1，3，1)．

n1·n21∴cos〈n1，n2〉＝＝－5.|n1|·|n2|

1故兩平面所成二面角(銳角)的余弦值為5.(12分)

第五周星期五2017年4月21日

x2y2[題目5](本小題滿分12分)已知橢圓C：a2＋b2＝1(a>b>c)的短

2軸長為2，離心率為2.過點M(2，0)的直線l與橢圓C訂交于A，B兩點，O為坐標原點．(導學號55460197)

(1)求橢圓C的方程；

→→(2)求OA·OB的取值范圍；

(3)若B點關于x軸的對稱點是N，證明：直線AN恒過必然點．

練方法練規(guī)范練滿分練能力

c2.∴a2＝2c2＝2(a2－b2)，則a2＝2b2(1)解：依題意，得b＝1，e＝＝2a＝2.x22故橢圓C的方程為2＋y＝1.(3分)

(2)解：依題意，過點M(2，0)的直線l的斜率存在，設為k.

則直線l的方程為y＝k(x－2)．

聯(lián)立消去y，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.(5分)

由＝64k4－4(8k2－2)(1＋2k2)>0，得k2<12，則0≤k2<12.

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

228k－28k則x1＋x2＝2，x1x2＝2.(7分)1＋2k1＋2k→→∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－2)(x2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋

x2)＋4k2＝10k2－2＝－7.1＋2k251＋2k2∵0≤k2<1，∴7<7≤7，221＋2k2

→→3故OA·OB的取值范圍是－2，2.(9分)

(3)證明：由對稱性可知N(x2，－y2)，定點在x軸上，直線AN：y－y1

1＋y21（x1－x2）12＋x21yyxyy＝(x－x1)，令y＝0得：x＝x1－＋2＝＝xyy2216k－416k2x1x2－（1＋2）2－21＋2k1＋2k2xx＝1.x1＋x2－4＝8k21＋2k2－4

∴直線AN恒過定點(1，0)．(12分)

第五周星期六2017年4月22日

lnx＋k[題目6](本小題滿分12分)已知函數f(x)＝ex(其中k∈R，

e＝是自然對數的底數)，f′(x)為f(x)的導函數．

(導學號55460198)

(1)當k＝2時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)若x∈(0，1]時，f′(x)＝0都有解，求k的取值范圍；

e－2＋1(3)若f′(1)＝0，試證明：對任意x>0，f′(x)<x2＋x恒建立．

練方法練規(guī)范練滿分練能力

(1)解：由

f(x)＝

lnx＋2ex，得

f′(x)＝

1－2x－xlnxxex，

1∴f′(1)＝－e，且

2f(1)＝e.故曲線

y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線為

21y－e＝－e(x－1)，

即x＋ey－3＝0.(3分)

(2)解：由f′(x)＝0得k＝1－xlnxF(x)＝1－xlnx≤，，令，∵xx0<x1x＋1∴′＝－2<0.因此函數F(x)在區(qū)間(0，1]上是減函數．F(x)x∵F(1)＝1，且x→0時，F(x)→＋∞，

故F(x)≥1，則k的取值范圍是[1，＋∞)．(6分)

1－xlnx－kx(3)證明：f′(x)＝xex，由f′(1)＝0，得k＝1.∴′＝1－xlnx－xe－2＋1x，x>0.需證f′(x)<恒建立，f(x)xex2＋xex

只需證明1－xlnx－x<(e－2＋1)．(8分)

設h(x)＝1－xlnx－x(x>0)，得h′(x)＝－lnx－2.

當x∈(0，e－2)時，h′(x)>0，h(x)是增函數；

當x∈(e－2，＋∞)時，h′(x)<0，h(x)是減函數．∴h(x)的最大值為h(e－2)＝e－2＋1，

故1－xlnx－x≤e－2＋1.(10分)

設φ(x)＝ex－(x＋1)，x>0，則φ′(x)＝ex－1.

∴當x>0時，φ′(x)>0，φ(x)在(0，＋∞)上是增函數．因此φ(x)>φ(0)

0.

故x∈(0，＋∞)時，φ(x)＝ex－(x＋1)>0，即ex>1，x＋1x∴1－x－xlnx≤e－2＋1<e(e－2＋1)．

e－2＋1因此，對任意x>0，f′(x)<恒建立．(12分)2x＋x

第五周星期日2017年4月23日

[題目7]請考生在1、2題中任選一題作答，若是多做，則按所

做的第一題計分．

1．(本小題滿分10分)選修4－4：坐標系與參數方程．

x＝4t2，在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(t為參數)，y＝4t

以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方

程為ρ(4cosθ＋3sinθ)－m＝0(其中m為常數)．(導學號55460036)

(1)若直線l與曲線C恰好有一個公共點，求實數m的值；

(2)若m＝4，求直線l被曲線C截得的弦長．

練方法練規(guī)范練滿分練能力

解：(1)直線l的極坐標方程可化為直角坐標方程：4x＋3y－m＝0，曲

線C的參數方程可化為一般方程：y2＝4x，(2分)

由可得y2＋3y－m＝0，

∵直線l和曲線C恰好有一個公共點，

9∴Δ＝9＋4m＝0，∴m＝－4.(5分)

(2)當m＝4時，直線l：4x＋3y－4＝0恰好過拋物線的焦點F(1，0)，

由可得4x2－17x＋4＝0，(7分)

設直線l與拋物線C的兩個交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，

17則x1＋x2＝4，

故直線l被拋物線C所截得的弦長為

1725|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋2＝4.(10分)

2.(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講．

已知a，b大于0，設x＝ab，y＝a2＋b2.求證：2

(1)xy≥ab；

(2)x＋y≤a＋b.

練方法練規(guī)范練滿分練能力

證明：(1)∵a>0，