安培力和洛倫茲力的關(guān)系

24.(20分)對(duì)于同一物理問題，常常可以從宏觀與微觀兩個(gè)不同角度進(jìn)行研究，找出其內(nèi)在聯(lián)系，從而更加深刻地理解其物理本質(zhì)。(1)一段橫截面積為S、長為l的直導(dǎo)線，單位體積內(nèi)有n個(gè)自由電子，電子電量為e。該導(dǎo)線通有電流時(shí)，假設(shè)自由電子定向移動(dòng)的速率均為v。(a)求導(dǎo)線中的電流I；(b)將該導(dǎo)線放在勻強(qiáng)磁場中，電流方向垂直于磁感應(yīng)強(qiáng)度B，導(dǎo)線所受安培力大小為F安，導(dǎo)線內(nèi)自由電子所受洛倫茲力大小的總和為F，推導(dǎo)F安=F。(2)正方體密閉容器中有大量運(yùn)動(dòng)粒子，每個(gè)粒子質(zhì)量為m，單位體積內(nèi)粒子數(shù)量n為恒量。為簡化問題，我們假定：粒子大小可以忽略；其速率均為v，且與器壁各面碰撞的機(jī)會(huì)均等；與器壁碰撞前后瞬間，粒子速度方向都與器壁垂直，且速率不變。利用所學(xué)力學(xué)知識(shí)，導(dǎo)出器壁單位面積所受粒子壓力f與m、n和v的關(guān)系。(注意：解題過程中需要用到、但題目沒有給出的物理量，要在解題時(shí)做必要的說明).AqneSvAt一24.(1)(a)設(shè)At時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)體橫截面的電量為Aq，由電流定乂，有：I=~~=—-——=ne^vAtAt(b)每個(gè)自由電子所受的洛侖茲力：F洛=evB設(shè)導(dǎo)體中共有N個(gè)自由電子：N=n?Sl導(dǎo)體內(nèi)自由電子所受洛侖茲力大小的總和：F=NF洛小、1-evB由安培力公式，有：F、=B1I=B1?neSv安得：「安=F(2)一個(gè)粒子每與器壁碰撞一次，給器壁的沖量為：Al=2mv由題設(shè)可知，其內(nèi)的粒子在At時(shí)間內(nèi)有t如答圖3，以器壁上的面積S為底，以vAt為高構(gòu)成柱體「1…1/6與器壁S發(fā)生碰撞，碰壁粒子總數(shù)為：N=-nSvAt61由題設(shè)可知，其內(nèi)的粒子在At時(shí)間內(nèi)有tAt時(shí)間內(nèi)粒子給器壁的沖量為：I=NAl=3nSmv2At面積為S的器壁受到粒子壓力為：F=二AtF1器壁單位面積所受粒子壓力為：f=-=-nmv2S3安培力與洛侖茲力的關(guān)系楊興國運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中受到洛侖茲力，通電導(dǎo)線在磁場中受到安培力，導(dǎo)線中的電流是由大量自由電子的定向移動(dòng)形成的，安培力與洛侖茲力之間必定存在密切的關(guān)系，可以認(rèn)為安培力是洛侖茲力的宏觀表現(xiàn)，洛侖茲力是安培力的微觀實(shí)質(zhì)，但不能認(rèn)為安培力是導(dǎo)線上自由電子所受洛侖茲力的合力，也不能認(rèn)為安培力是通過自由電子與導(dǎo)線的晶格骨架碰撞產(chǎn)生的.圖中，通電導(dǎo)線置于靜止的磁場之中，導(dǎo)線通有電流I，長為dl的導(dǎo)線元，所受的安培力為IdlXB.從微觀的角度看，導(dǎo)線中的自由電子以速度v向右運(yùn)動(dòng)，在洛侖茲力f=-evXB的作用下，以圓周運(yùn)動(dòng)的方式向?qū)Ь€下方側(cè)向偏移，使導(dǎo)線下側(cè)出現(xiàn)負(fù)電荷的積累；在導(dǎo)線中產(chǎn)生側(cè)向的霍耳電場，霍耳電場對(duì)自由電子有作用力，阻礙自由電子作側(cè)向運(yùn)動(dòng).經(jīng)過一段時(shí)間后，自由電子受到的洛侖茲力與霍耳電場力N平衡，自由電子只沿導(dǎo)線方向作定向運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，-eE+(-evXB)=0，霍耳電場的場強(qiáng)導(dǎo)線內(nèi)有帶負(fù)電的自由電子和帶正電的晶格，均勻?qū)Ь€內(nèi)部的電荷體密度為零，自由電子所帶電量與晶格骨架所帶電量等量異號(hào)，若單位體積內(nèi)自由電子的個(gè)數(shù)為n,導(dǎo)線的橫截面積為S，則在導(dǎo)線元dl中，自由電子電量為-enSdl，晶格骨架所帶的電量為在討論安培力時(shí)，可以認(rèn)為品格均勻分布，排列有序.霍耳電場在導(dǎo)線元dl內(nèi)也是均勻的，在導(dǎo)線元dl通有電流I時(shí)，晶格骨架所受的力為將(3.13.5)、(3.13.6)兩式代入，有考慮到自由電子的定向運(yùn)動(dòng)與電流元的關(guān)系可將(3.13.7)式改寫為df=IdlXB，即為(3.13.3)式.如果通電導(dǎo)線在靜磁場運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為u(圖3.13-3).在導(dǎo)線中的自由電子，相對(duì)于參考系的速度為u+v，受洛侖茲力-e(u+v)XB，同樣令在導(dǎo)線中產(chǎn)生霍耳電場.當(dāng)霍耳電場的場強(qiáng)為E=-(u+v)XB時(shí)，自由電子沒有側(cè)向偏移，仍沿導(dǎo)線方向作定向運(yùn)動(dòng)，通電導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)時(shí)，晶格骨架隨之運(yùn)動(dòng)，也受到洛侖茲力，晶格骨架受到的力為通過上面的論述可以看出：無論磁場中的通電導(dǎo)線是否運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)線中作定向運(yùn)動(dòng)的自由電子均在洛侖茲力的作用下，使導(dǎo)線表面的電荷分布發(fā)生變化，在導(dǎo)線內(nèi)產(chǎn)生霍耳電場，平衡時(shí)，自由電子在側(cè)向受到的合力為零，仍沿導(dǎo)線方向作定向運(yùn)動(dòng)，沒有偏向偏移，不會(huì)在側(cè)向與晶格碰撞產(chǎn)生安培力.帶正電的晶格所受合力不為零，導(dǎo)線的晶格骨架所受到各力的合力即為安培力.5.2洛侖茲力與安培力的關(guān)系趙凱華比較一下洛侖茲力公式(4.41)和安培力公式(4.34)，可以看出二者很相似。這里的qv與電流元Idl相當(dāng)。這并不是偶然的，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)電荷就是一個(gè)瞬時(shí)的電流元。載流導(dǎo)線中包含了大量自由電子，下面我們來證明，導(dǎo)線受的安培力就是作用在各自由電子上洛侖茲力的宏觀表現(xiàn)。如圖4-50所示，考慮一段長度為△】的金屬導(dǎo)線，它放置在垂直紙面向內(nèi)的磁場中(在圖中用“X''表示磁感應(yīng)線方向)。設(shè)導(dǎo)線中通有電流I，其方向向上。從微觀的角度看，電流是由導(dǎo)體中的自由電子向下作定向運(yùn)動(dòng)形成的。設(shè)自由電子的定向運(yùn)動(dòng)速度為u，導(dǎo)體單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)(叫做自由電子數(shù)密度)為n，每個(gè)電子所帶的電量為-e(e=1.60X10-19庫侖)。按照定義，電流強(qiáng)度是單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)線截面的電量。現(xiàn)在我們看看，在時(shí)間間隔△內(nèi)通過導(dǎo)線某一截面B的電量有多少。因?yàn)樵跁r(shí)間△上內(nèi)每個(gè)電子由于定向運(yùn)動(dòng)而向下移動(dòng)了距離u^t.我們可以在截面S之上相距u^t的地方取另一截面S'.在這兩個(gè)截面之間是一段體積^V=Su^t的柱體(這里心又代表截面的面積).不難看出，凡是處在這個(gè)柱體內(nèi)的電子，在時(shí)間間隔△［后都將通過截面S；凡是位于這個(gè)柱體之外的電子，在時(shí)間間隔△「內(nèi)都不會(huì)通過S.所以在時(shí)間間隔△「內(nèi)通過S的電子數(shù)等于這個(gè)柱體內(nèi)的全部電子數(shù)，它應(yīng)是□△V=nSu^t而在時(shí)間間隔△「內(nèi)通過S的電量^q應(yīng)等于上述這個(gè)數(shù)目再乘以每個(gè)電子的電量e(這里只考慮數(shù)值，暫不管它的正負(fù))，即子是電流強(qiáng)度由于這里電子的定向速度u與磁感應(yīng)強(qiáng)度B垂直，sir0=1，每個(gè)電子由于定向運(yùn)動(dòng)受到的洛侖茲力為feuB雖然這個(gè)力作用在金屬內(nèi)的自由電子上，但是自由電子總是與金屬的晶體點(diǎn)陣不斷碰撞的，自由電子獲得的動(dòng)量，最終都會(huì)傳遞給金屬的晶格骨架。宏觀上看起來將是金屬導(dǎo)線本身受到這個(gè)力。整個(gè)長度為△l的這段導(dǎo)線的體積為S^l,共中包含自由電子的總數(shù)為nS^l,每個(gè)電子受力f=euB，所以這段導(dǎo)線最終受到的總力為根據(jù)式(4.43)，上面括弧中的量剛好是宏觀的電流強(qiáng)度I，故最后得到力的大小為這正好與安培力的公式符合。請讀者自己驗(yàn)證一下，力的方向也是符合的。應(yīng)當(dāng)指出，導(dǎo)體內(nèi)的自由電子除定向運(yùn)動(dòng)之外，還有無規(guī)的熱運(yùn)動(dòng)。由于熱運(yùn)動(dòng)速度v朝各方向的幾率相等，在任何一個(gè)宏觀體積內(nèi)平均說來，各自由電子熱運(yùn)動(dòng)速度的矢量和Ev為0.而洛侖茲力與v和B都垂直，由熱運(yùn)動(dòng)引起的洛侖茲力朝各方向的幾率也是相等的。傳遞給晶格骨架后迭加起來，其宏觀效果也等于0.即對(duì)于宏觀的安培力F來說，電子的熱運(yùn)動(dòng)沒有貢獻(xiàn)，所以在上述初步的討論中我們可以不考慮它。梁燦斌328電流是由電荷的定向運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，因此磁場中的載流導(dǎo)體內(nèi)的每一定向運(yùn)動(dòng)的電荷，都要受到洛倫茲力.由于這些電荷(例如金屬導(dǎo)體中的自由電子)受到導(dǎo)體的約束，而將這個(gè)力傳遞給導(dǎo)體，表現(xiàn)為載流導(dǎo)體受到一個(gè)磁場力，通常稱為安培力，下面我們從運(yùn)動(dòng)電荷所受的洛倫茲力導(dǎo)出安培力公式.圖5-45表示一固定不動(dòng)的電流元，其電流強(qiáng)度為I，橫截面為dS，長為dl，設(shè)在電流元范圍內(nèi)有相同的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，則金屬載流導(dǎo)體內(nèi)每一定向運(yùn)動(dòng)的電子所受到的洛倫茲力為v為電子定向漂移速度，與電流密度矢量j反向(j=-nev，n為導(dǎo)體單位體積的自由電子數(shù))，電流元內(nèi)作定向運(yùn)動(dòng)的自由電子數(shù)N=-ndSdl，因而電流元內(nèi)作定向運(yùn)動(dòng)的電子所受的合力為在電流元的條件下，我們用dl來表示其中電流密度的方向，并注意到電流強(qiáng)度I=jdS，于是上式表示為：式(5.57)為電流元Idl內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)的電子所受到的合磁場力，如前所述，這個(gè)力被傳遞給載流導(dǎo)體，表現(xiàn)為電流元這個(gè)載流導(dǎo)體所受到的磁場力.通常稱式(5.517)為安培力公式.式(5.57)由式(5.4)推導(dǎo)而得.但在歷史上式(5.57)首先是由實(shí)驗(yàn)得出的，因此不少作者將式(5.57)做為基本實(shí)驗(yàn)定律.由式(5-57)原則上可以求得任意形狀的電流在磁場中所受的合力，即求積分l為在磁場中的導(dǎo)線長度.如果有興趣的話，我們來探討一下金屬載流導(dǎo)體(例如金、銅、鋁、銀、鎳等)中，定向運(yùn)動(dòng)的電子所受到的洛倫茲力是怎樣成為載流導(dǎo)體的安培力的.現(xiàn)設(shè)有如講述“霍爾效應(yīng)'‘時(shí)的圖5-44b所示的載流導(dǎo)體，以及如圖所示的電流I，所加的外磁場B，因?yàn)檩d流導(dǎo)體中每一個(gè)定向運(yùn)動(dòng)的電子，都要受到一個(gè)洛倫茲力fL顯然，fL沿+z方向，這導(dǎo)至導(dǎo)體的A側(cè)出現(xiàn)負(fù)電荷，而在A'側(cè)出現(xiàn)正電荷的堆積，結(jié)果將在載流導(dǎo)體上下兩側(cè)產(chǎn)生一個(gè)UAA<0的電位差，以及一個(gè)沿+z的橫向電場§.最后，當(dāng)Et=vB之后，導(dǎo)體中定向運(yùn)動(dòng)的電子所受到的橫向電場力與磁場力(洛倫茲力)平衡，這時(shí)，，載流導(dǎo)體中作定向運(yùn)動(dòng)而形成電流的電子的運(yùn)動(dòng)狀況，與外磁場B不存在時(shí)相同(沿-z方向運(yùn)動(dòng)).與外磁場B不存在時(shí)的區(qū)別，在于載流導(dǎo)體內(nèi)部出現(xiàn)了橫向電場Et.我們來分析一下受力關(guān)系.載流導(dǎo)體中定向運(yùn)動(dòng)的電子在z軸方向受到兩個(gè)力的作用，一為洛倫茲力，fL…xB，沿北方向"為穩(wěn)恒電場E所給予的電場力LeE，"方向。兩者等值反向，使電子不出現(xiàn)z軸方向的位移.我們知道穩(wěn)恒電場力遵從牛頓第三定律，因此，該電子將給A，A'兩側(cè)的負(fù)、正電荷以一個(gè)指向+z的反作用力.顯然這個(gè)力的數(shù)值和方向正好等于外磁場給予運(yùn)動(dòng)電子的洛倫茲力，也就是說，外磁場作用在運(yùn)動(dòng)電上的洛倫茲力，通過橫向電場的作用，表現(xiàn)為外磁場