安培力和洛倫茲力的關系資料

24.(20分)對于同一物理問題，常常可以從宏觀與微觀兩個不同角度進行研究，找出其內(nèi)在聯(lián)系，從而更加深刻地理解其物理本質(zhì)。liiJ一段橫截面積為S、長為l的直導線，單位體積內(nèi)有n個自由電子，電子電量為e。該導線通有電流時，假設自由電子定向移動的速率均為V。liiJ(a)求導線中的電流I；(b)將該導線放在勻強磁場中，電流方向垂直于磁感應強度B，導線所受安培力大小為F安，導線內(nèi)自由電子所受洛倫茲力大小的總和為F，推導F安=〃。l=Jl=J

wl=J

w正方體密閉容器中有大量運動粒子，每個粒子質(zhì)量為血，單位體積內(nèi)粒子數(shù)量n為恒量。為簡化問題，我們假定：粒子大小可以忽略；其速率均為V，且與器壁各面碰撞的機會均等；與器壁碰撞前后瞬間，粒子速度方向都與器壁垂直，且速率不變。利用所學力學知識，導出器壁單位面積所受粒子壓力f與m、n和v的關系。l=Jl=J

wl=J

w(注意：解題過程中需要用到、但題目沒有給出的物理量，要在解題時做必要的說明)IAqneSvAt、

AtAt(b)IAqneSvAt、

AtAt(b)每個自由電子所受的洛侖茲力：F=evB洛設導體中共有N個自由電子：N=n?Sl導體內(nèi)自由電子所受洛侖茲力大小的總和：F=NF&洛=nSlevB由安培力公式，有：F=BlI=Bl-neSv安得：F：F女（2）一個粒子每與器壁碰撞一次，給器壁的沖量為：AI=2mv如答圖3，以器壁上的面積S為底，以vAt為高構成柱體，由題設可知，其內(nèi)的粒子在At時間內(nèi)有1/6與I器壁S發(fā)生碰撞，碰壁粒子總數(shù)為："\同L_6”At時間內(nèi)粒子給器壁的沖量為:<，…Vi。"I=NAl=—nSmv2At面積為At時間內(nèi)粒子給器壁的沖量為:器壁單位面積所受粒子壓力為：f器壁單位面積所受粒子壓力為：fF1—=一nmv2S3運動電荷在磁場中受到洛侖茲力，通電導線在磁場中受到安培力，導線中的電流是由大量自由電子的定向移動形成的，安培力與洛侖茲力之間必定存在密切的關系，可以認為安培力是洛侖茲力的宏觀表現(xiàn)，洛侖茲力是安培力的微觀實質(zhì)，但不能認為安培力是導線上自由電子所受洛侖茲力的合力，也不能認為安培力是通過自由電子與導線的晶格骨架碰撞產(chǎn)生的.圖中，通電導線置于靜止的磁場之中，導線通有電流I，長為dl的導線元，所受的安培力為IdlxB.從微觀的角度看，導線中的自由電子以速度v向右運動，在洛侖茲力f=-evXB的作用下，以圓周運動的方式向?qū)Ь€下方側(cè)向偏移，使導線下側(cè)出現(xiàn)負電荷的積累；在導線中產(chǎn)生側(cè)向的霍耳電場，霍耳電場對自由電子有作用力，阻礙自由電子作側(cè)向運動.經(jīng)過一段時間后，自由電子受到的洛侖茲力與霍耳電場力N平衡，自由電子只沿導線方向作定向運動，此時，-eE+<-evXB)=0，霍耳電場的場強E=-vxB導線內(nèi)有帶負電的自由電子和帶正電的晶格，均勻?qū)Ь€內(nèi)部的電荷體密度為零，自由電子所帶電量與晶格骨架所帶電量等量異號，若單位體積內(nèi)自由電子的個數(shù)為〃，導線的橫截面積為S，則在導線元dl中，自由電子電量為-enSdl，晶格骨架所帶的電量為Q=nes-dl在討論安培力時，可以認為品格均勻分布，排列有序.霍耳電場在導線元dl內(nèi)也是均勻的，在導線元dl通有電流I時，晶格骨架所受的力為dF=QE將(3.13.5)、(3.13.6)兩式代入，有dF=-nes-dl(vxB)考慮到自由電子的定向運動與電流元的關系—nes-dl-v=Idl可將(3?13.7)式改寫為df=IdlxB，即為(3?13.3)式.如果通電導線在靜磁場運動，運動速度為u(圖3.13-3).在導線中的自由電子，相對于參考系的速度為“+羽，受洛侖茲力-e(u+v)xB,同樣令在導線中產(chǎn)生霍耳電場.當霍耳電場的場強為E=-(u+v)XB時，自由電子沒有側(cè)向偏移，仍沿導線方向作定向運動，通電導線運動時，晶格骨架隨之運動，也受到洛侖茲力，晶格骨架受到的力為XK即XdF=QvxB+Q[—(u+v)xB]=—QvxB=—neS-dl(vxB)=IdlxB通過上面的論述可以看出：無論磁場中的通電導線是否運動，導線中作定向運動的自由電子均在洛侖茲力的作用下，使導線表面的電荷分布發(fā)生變化，在導線內(nèi)產(chǎn)生霍耳電場，平衡時，自由電子在側(cè)向受到的合力為零，仍沿導線方向作定向運動，沒有偏向偏移，不會在側(cè)向與晶格碰撞產(chǎn)生安培力.帶正電的晶格所受合力不為零，導線的晶格骨架所受到各力的合力即為安培力.5.2洛侖茲力與安培力的關系趙凱華比較一下洛侖茲力公式(4.41)和安培力公式(4.34)，可以看出二者很相似。這里的qv與電流元Idl相當。這并不是偶然的，因為運動電荷就是一個瞬時的電流元。載流導線中包含了大量自由電子，下面我們來證明，導線受的安培力就是作用在各自由電子上洛侖茲力的宏觀表現(xiàn)。如圖4-50所示，考慮一段長度為△，的金屬導線，它放置在垂直紙面向內(nèi)的磁場中（在圖中用“X表示磁感應線方向）。設導線中通有電流I，其方向向上。從微觀的角度看，電流是由導體中的自由電子向下作定向運動形成的。設自由電子的定向運動速度為“，導體單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)（叫做自由電子數(shù)密度）為"，每個電子所帶的電量為-e（e=1.60x10-19庫侖）。按照定義，電流強度是單位時間內(nèi)通過導線截面的電量?，F(xiàn)在我們看看，在時間間隔△，內(nèi)通過導線某一截面B的電量有多少。因為在時間△t內(nèi)每個電子由于定向運動而向下移動了距離〃△，.我們可以在截面S之上相距?△t的地方取另一截面S’?在這兩個截面之間是一段體積^V=Su^t的柱體（這里心又代表截面的面積）.不難看出，凡是處在這個柱體內(nèi)的電子，在時間間隔△t后都將通過截面，;凡是位于這個柱體之外的電子，在時間間隔△t內(nèi)都不會通過S?所以在時間間隔&內(nèi)通過S的電子數(shù)等于這個柱體內(nèi)的全部電子數(shù)，它應是n^V=nSu^t而在時間間隔△/內(nèi)通過S的電量^q應等于上述這個數(shù)=1liiJl=jliiJliiJ目再乘以每個電子的電量e（這里只考慮數(shù)值，暫不管它的正負），即Aq=enAV=enSUKt子是電流強度1=翌=ensuAt°由于這里電子的定向速度u與磁感應強度B垂直，sir0=1，每個電子由于定向運動受到的洛侖茲力為feuB=euui=J

w雖然這個力作用在金屬內(nèi)的自由電子上，但是自由電子總是與金屬的晶體點陣不斷碰撞的，自由電子獲得的動量，最終都會傳遞給金屬的晶格骨架。宏觀上看起來將是金屬導線本身受到這個力。整個長度為△l的這段導線的體積為S^l，共中包含自由電子的總數(shù)為nS△l，每個電子受力f=euB，所以這段導線最終受到的總力為F=nsAlf=nSAleuB=B(ensu)Ali=J

w根據(jù)式(4.43),上面括弧中的量剛好是宏觀的電流強度I,故最后得到力的大小為F=B1Al這正好與安培力的公式符合。請讀者自己驗證一下，力的方向也是符合的。應當指出，導體內(nèi)的自由電子除定向運動之外，還有無規(guī)的熱運動。由于熱運動速度V朝各方向的幾率相等，在任何一個宏觀體積內(nèi)平均說來，各自由電子熱運動速度的矢量和日為0.而洛侖茲力與V和B都垂直，由熱運動引起的洛侖茲力朝各方向的幾率也是相等的。傳遞給晶格骨架后迭加起來，其宏觀效果也等于0?即對于宏觀的安培力F來說，電子的熱運動沒有貢獻，所以在上述初步的討論中我們可以不考慮它。梁燦斌328電流是由電荷的定向運動產(chǎn)生的，因此磁場中的載流導體內(nèi)的每一定向運動的電荷，都要受到洛倫茲力.由于這些電荷（例如金屬導體中的自由電子）受到導體的約束，而將這個力傳遞給導體，表現(xiàn)為載流導體受到一個磁場力，通常稱為安培力，下面我們從運動電荷所受的洛倫茲力導出安培力公式.卜匕，-1二二^圖5-45表示一固定不動的電流元，其電流強度為I，橫截面為dS，長為dl，設在電流元范圍內(nèi)有相同的磁感應強度B，則金，人屬載流導體內(nèi)每一定向運動的電子所受到的洛倫茲力為f=-evxBv為電子定向漂移速度，與電流密度矢量J反向（j=~nev，n為導體單位體積的自由電子數(shù)），電流元內(nèi)作定向運動的自由電子數(shù)N=-ndSdl，因而電流元內(nèi)作定向運動的電子所受的合力為dF=N(-evxB)=dsdl（-nevxB）=dsdljxB在電流元的條件下，我們用dl來表示其中電流密度的方

向，并注意到電流強度I=dS,于是上式表示為：dF=1dlxBliiJ式(5.57)為電流元Idl內(nèi)定向運動的電子所受到的合磁場力，如前所述，這個力被傳遞給載流導體，表現(xiàn)為電流元這個載流導體所受到的磁場力.通常稱式(5.517)為安培力公式.liiJ式(5?57)由式(5.4)推導而得.但在歷史上式(5.57)首先是由實驗得出的，因此不少作者將式(5.57)做為基本實驗定律.由式(5-57)原則上可以求得任意形狀的電流在磁場中所受的合力，即求積分F=ilId1xBl為在磁場中的導線長度.如果有興趣的話，我們來探討一下金屬載流導體(例如金、銅、鋁、銀、鎳等)中，定向運動的電子所受到的洛倫茲力是怎樣成為載流導體的安培力的.現(xiàn)設有如講述“霍爾效應’’時的圖5-44b所示的載流導體，以及如圖所示的電流I,所加的外磁場B,因為載流導體中每一個定向運動的電子，都要受到一個洛倫茲力fLf=-evxB顯然，。沿+z方向，這導至導體的A側(cè)出現(xiàn)負電荷，而在A’側(cè)出現(xiàn)正電荷的堆積，結果將在載流導體上下兩側(cè)產(chǎn)生一個UAA,<0的電位差，以及一個沿+z的橫向電場Et.最后，當E=vB之后，導體中定向運動的電子所受到的橫向電場力與磁場力（洛倫茲力）平衡，這時，載流導體中作定向運動而形成電流的電子的運動狀況，與外磁場B不存在時相同（沿-z方向運動）.與外磁場B不存在時的區(qū)別，在于載流導體內(nèi)部出現(xiàn)了橫向電場Ee我們來分析一下受力關系.載流導體中定向運動的電子在z軸方向受到兩個力的作用，一為洛倫茲力，f-evn，沿+Z方向；一為穩(wěn)恒電場Et所給予的電場力L1f=eEt，沿-z方向。兩者等值反向，使電子不出現(xiàn)z軸方向的位移.我們知道穩(wěn)恒電場力遵從牛頓第三定律，因此，該電子將給A，A’兩側(cè)的負、正電荷以一個指向+z的反作用力.顯然這個力的數(shù)值和方向正好等于外磁場給予運動電子的洛倫茲力，也就是說，外磁場作用在運動電上的洛倫茲力，通過橫向電場的作用，