導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(課件)

第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法§4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本導(dǎo)熱問題的三種基本方法：理論分析法；數(shù)值計算法；實(shí)驗(yàn)法。

理論分析法：在理論分析的基礎(chǔ)上，直接對微分方程在給定的定解條件下進(jìn)行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；

實(shí)驗(yàn)法：在傳熱學(xué)基本理論的指導(dǎo)下，采用實(shí)驗(yàn)的方法對所研究對象的傳熱過程進(jìn)行研究，從而求得所求量的方法。

數(shù)值法：數(shù)值計算法，把原來在時間和空間連續(xù)的物理量的場，用有限個離散點(diǎn)上的值的集合來代替。通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；有限差分法、有限元法、邊界元法、分子動力學(xué)模擬。導(dǎo)熱問題的三種基本方法：理論分析法；數(shù)值計算法；實(shí)驗(yàn)法。分析法：能獲得所研究問題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計算提供比較依據(jù)；局限性很大，對復(fù)雜的問題無法求解；分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見。實(shí)驗(yàn)法：是傳熱學(xué)的基本研究方法。適應(yīng)性不好；費(fèi)用昂貴。數(shù)值法：在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性；與實(shí)驗(yàn)法相比成本低。三種方法的特點(diǎn)：分析法：能獲得所研究問題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計算提分析解法與數(shù)值解法的異同點(diǎn)：相同點(diǎn)：根本目的相同，即確定：

①t=f(x,y,z,τ)；②熱流量。不同點(diǎn)：數(shù)值解法求解的是區(qū)域或時間空間坐標(biāo)系中離散點(diǎn)的溫度分布代替連續(xù)的溫度場；分析解法求解的是連續(xù)的溫度場的分布特征，而不是分散點(diǎn)的數(shù)值。分析解法與數(shù)值解法的異同點(diǎn)：數(shù)值求解的步驟建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立迭代初值求解代數(shù)方程組是否收斂解的分析改進(jìn)初場是否§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想數(shù)值求解的步驟建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題一、建立控制方程及定解條件控制方程：定解條件：§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題一、建立控制方程及基本概念：網(wǎng)格線、步長、節(jié)點(diǎn)(內(nèi)、外)、界面線、控制容積xynm(m,n)MN二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想基本概念：網(wǎng)格線、步長、節(jié)點(diǎn)(內(nèi)、外)、界面線、控制容積xy三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)方程稱離散方程。首先劃分各節(jié)點(diǎn)的類型；其次，建立節(jié)點(diǎn)離散方程；最后，代數(shù)方程組的形成。

對節(jié)點(diǎn)(m,n)的代數(shù)方程，當(dāng)△x=△y時，有：§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)四、設(shè)立迭代初場代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時，需對被求的溫度場預(yù)先設(shè)定一個解，這個解稱為初場，并在求解過程中不斷改進(jìn)?！?-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想四、設(shè)立迭代初場代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳五、求解代數(shù)方程組本例中除m=1的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度已知外，其余(M-1)N個節(jié)點(diǎn)均需建立離散方程，共有(M-1)N個方程，則構(gòu)成一個封閉的代數(shù)方程組。xynm(m,n)MN

求解時遇到的問題：

①線性；②非線性；③收斂性等?！?-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想五、求解代數(shù)方程組本例中除m=1的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度2）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個求解過程中不斷更新。3）是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數(shù)方程是否收斂，即本次迭代計算所得之解與上一次迭代計算所得之解的偏差是否小于允許值。1）線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個求解過程中不再變化；§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想五、求解代數(shù)方程組2）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個六、解的分析通過求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場應(yīng)進(jìn)一步計算通過的熱流量，熱應(yīng)力及熱變形等。因此，對于數(shù)值分析計算所得的溫度場及其它物理量應(yīng)作詳細(xì)分析，以獲得定性或定量上的結(jié)論?！?-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想六、解的分析通過求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫一、建立控制方程及定解條件控制方程：定解條件：§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、有均勻內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問題一、建立控制方程及定解條件控制方程：定解條件：§4-2二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、有均勻內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問題(m,n)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、有均勻內(nèi)熱源、常三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(1)泰勒級數(shù)展開法根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度tm,n來表示節(jié)點(diǎn)(m+1,n)的溫度tm+1,n用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度tm,n來表示節(jié)點(diǎn)(m-1,n)的溫度tm-1,n§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(1)泰勒級數(shù)展三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(1)泰勒級數(shù)展開法差分：忽略上面式子中的級數(shù)余項(xiàng)。得到差分式，并代替微分式。向前差分向后差分內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中心差分幾種差分的比較或三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(1)泰勒級數(shù)展開法內(nèi)節(jié)點(diǎn)中心差分幾種差分的比較或三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(1)泰勒級數(shù)展開法若取上面式右邊的前三項(xiàng)，將上兩式相加同樣：內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(1)泰勒級數(shù)展開法內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(2)熱平衡法(m,n)(m-1,n)(m,n-1)(m+1,n)(m,n+1)基本思想：對每個有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(2)熱平衡法從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝控制體內(nèi)能的增量穩(wěn)態(tài)、有熱源時：從所有方向流入控制體的總熱量+內(nèi)熱源生成熱＝0內(nèi)節(jié)點(diǎn)對控制體每個界面線（圖中虛線）應(yīng)用傅立葉導(dǎo)熱定律。三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(2)熱平衡法(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy

(m,n+1)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(2)熱平衡法(（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法邊界節(jié)點(diǎn)為什么要建邊界節(jié)點(diǎn)離散方程？一類邊界條件：方程組封閉，可直接求解二類、三類邊界條件：邊界溫度未知，方程組不封閉將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。用表示內(nèi)熱源。（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0平直邊界節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0平直從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界外角點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界內(nèi)角點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界邊界節(jié)點(diǎn)離散方程中的兩個問題：邊界熱流密度的具體處理方法絕熱邊界第二類邊界第三類邊界不規(guī)則邊界的處理方法多段折線模擬不規(guī)則邊界，網(wǎng)格越密越接近實(shí)際坐標(biāo)變換：保角變換§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程邊界節(jié)點(diǎn)離散方程中的兩個問題：邊界熱流密度的具體處理方法絕熱建立節(jié)點(diǎn)離散方程的泰勒級數(shù)法與熱平衡法的比較：泰勒級數(shù)法屬于純數(shù)學(xué)方法，而熱平衡法基于能量守恒原理，物理概念明確，且推導(dǎo)過程簡捷；泰勒級數(shù)法對于建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程較困難；當(dāng)導(dǎo)熱物體物性或內(nèi)熱源不均勻時，泰勒級數(shù)法不適用，而熱平衡法能夠方便處理?！?-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)離散方程的泰勒級數(shù)法與熱平衡法的比較：§4-1導(dǎo)熱例1：對如圖所示的圓截面直肋的一維穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問題，試分別列出內(nèi)節(jié)點(diǎn)m和端部節(jié)點(diǎn)M的離散方程式。已知圓截面直徑為d。例1：對如圖所示的圓截面直肋的一維穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)四、設(shè)立迭代初場§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程式：直接解法迭代解法直接解法：矩陣求逆、高斯消元法等缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的導(dǎo)熱系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計算過程中要相應(yīng)地不斷更新）四、設(shè)立迭代初場§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組迭代解法：簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）迭代、塊迭代、交替方向迭代等先對要計算的場作出假設(shè)（給定初始值）、在迭代計算過程中不斷予以改進(jìn)、直到計算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計算已經(jīng)收斂。Gauss-Seidel迭代法：每次迭代時總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組迭代解法§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組在計算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時應(yīng)采用最新值：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值：Gauss-Seidel迭代法§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組在計算后判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：ororε為允許的偏差，一般取10-3～10-6為k次迭代得到的計算域溫度最大值計算域溫度存在近于0的值時采用§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：ororε為允許的偏差，一般取10§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組如何避免迭代發(fā)散？必須滿足對角占優(yōu)原則：每個迭代變量的系數(shù)總大于/等于該式中其它變量系數(shù)絕對值的代數(shù)和(參考教材例題4-1)該條件可表示為：§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組如何避免例4-1：利用高斯-賽德爾迭代法求解下列方程：先將上式改寫成迭代形式：例4-1：利用高斯-賽德爾迭代法求解下列方程：先將上式改寫成假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為：假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為：如此經(jīng)過七次迭代后，在四位有效數(shù)字內(nèi)得到了與精確解一致的結(jié)果。迭代次數(shù)t1t2t3012345670003.6255.6753.7691.7354.5454.9961.8644.0385.0581.9833.9805.0132.0033.9945.0002.0014.0005.0002.0004.0005.000如此經(jīng)過七次迭代后，在四位有效數(shù)字內(nèi)得到了與精確解一致的結(jié)果假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為（經(jīng)三次迭代）：迭代次數(shù)t1t2t3012300032-36-155522-396-33558722-3996-61755假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為（經(jīng)三次迭代）：導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(課件)例2：某方形物體，導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，已知各邊界溫度如圖所示，試用高斯-塞德爾迭代法求其內(nèi)部節(jié)點(diǎn)1、2、3、4點(diǎn)的溫度。200℃600℃400℃800℃234例2：某方形物體，導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，已知各邊界溫度如圖所示，解：1）列節(jié)點(diǎn)方程（內(nèi)節(jié)點(diǎn)）1：2：3：4：200℃600℃400℃800℃234設(shè):t10=500℃,t20=650℃,t30=650℃,t40=750℃解：1）列節(jié)點(diǎn)方程（內(nèi)節(jié)點(diǎn)）200℃600℃400℃800℃迭代次數(shù)t1t2t3t4012345500650650750475556.25556.25628.15428.125514.06514.06607.03407.057503.52503.52601.76401.76500.88500.88600.44400.44500.22500.22600.11迭代次數(shù)t1t2§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法六、解的分析如何判斷數(shù)值解的準(zhǔn)確性？三個檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、精確分析解驗(yàn)證、特定問題的基準(zhǔn)解驗(yàn)證數(shù)值計算中偏差ε總存在，增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目可減小誤差。計算網(wǎng)格獨(dú)立性?！?-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法六、解的分析如何判斷數(shù)值解例3：如圖所示，一等截面之類，高H=45mm，厚δ=10mm，肋根溫度t0=100℃，流體溫度tf=20℃，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h=25W/(m2·K),肋片導(dǎo)熱系數(shù)λ=50W/(m·K),設(shè)肋端絕熱。將該肋片等分成4個節(jié)點(diǎn)。試列出節(jié)點(diǎn)2,3,4的離散方程式，并計算其溫度。例3：如圖所示，一等截面之類，高H=45mm，厚δ=10mm解：這是一個一維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題。利用熱平衡法列節(jié)點(diǎn)的離散方程。節(jié)點(diǎn)2：節(jié)點(diǎn)3：節(jié)點(diǎn)4：式中Δx=H/3，將已知條件（t1=100℃）代入可得：解：這是一個一維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題。利用熱平衡法利用迭代法解得：與精確解相比較，此時：利用迭代法解得：與精確解導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(課件)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(課件)4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（擴(kuò)散項(xiàng)）源項(xiàng)由于非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的存在，除了對空間坐標(biāo)離散外，還需要對時間坐標(biāo)進(jìn)行離散處理。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散項(xiàng)的離散格式：中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（擴(kuò)散項(xiàng)）源tfhtfhxt0平板加熱問題第三類邊界條件定解條件：控制方程：一、建立控制方程及定解條件一維非穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問題4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法tftfxt0平板加熱問題定解條件：控制方程：一、建立控二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）(m,n)一維非穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問題4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）(m,n)一維非穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常向前差分格式向后差分格式中心差分格式Δx為空間步長Δτ為時間步長三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)(1)泰勒級數(shù)展開法4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法向前差分格式向后差分格式中心差分格式Δx為空間步長Δτ控制方程離散化：非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)向前差分?jǐn)U散項(xiàng)中心差分點(diǎn)（n,i）4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法擴(kuò)散項(xiàng)(1)泰勒級數(shù)展開法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）控制方程離散化：非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)向前差分?jǐn)U散項(xiàng)中心差分點(diǎn)（n,i）其中：——一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的顯式差分方程(1)泰勒級數(shù)展開法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法其中：——一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的顯式差分方程(1)泰勒從所有方向流入控制體的總熱量＝控制體內(nèi)能的增量內(nèi)節(jié)點(diǎn)n(2)熱平衡法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法從所有方向流入控制體的總熱量內(nèi)節(jié)點(diǎn)n(2)熱平衡法三、建內(nèi)節(jié)點(diǎn)n(2)熱平衡法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法其中：內(nèi)節(jié)點(diǎn)n(2)熱平衡法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散(2)熱平衡法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）左邊對稱絕熱邊界4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(2)熱平衡法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）左4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(2)熱平衡法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）右邊第三類邊界4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(2)熱平衡法三、建立節(jié)顯示格式存在穩(wěn)定性問題：如果節(jié)點(diǎn)tn(i)

前面的系數(shù)小于零，則數(shù)值解出現(xiàn)不穩(wěn)定的震蕩結(jié)果。顯示格式顯示格式：格式右邊全部為第i時間層的溫度值，只要i時間層溫度已知，即可計算得到i+1時間層的溫度。即：空間步長?x和時間步長?τ的選取有限制顯示格式的穩(wěn)定性條件：4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法四、一維導(dǎo)熱問題顯式差分格式的不穩(wěn)定性討論顯示格式存在穩(wěn)定性問題：如果節(jié)點(diǎn)tn(i)前面的系數(shù)小于隱式格式隱式格式：空間離散采用（i+1）時層的值。隱式格式不存在穩(wěn)定性問題，對時間步長和空間步長沒有限制，但是計算量較大。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱節(jié)點(diǎn)離散方程的兩種格式：4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法隱式格式隱式格式：空間離散采用（i+1）時層的值。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2．討論一維導(dǎo)熱問題顯式差分格式穩(wěn)定性限制的物理意義由節(jié)點(diǎn)顯式差分方程可以看出，前的系數(shù)可能是負(fù)值。當(dāng)系數(shù)為負(fù)時，時刻節(jié)點(diǎn)溫度越高，時刻的溫度卻越低，違背了熱力學(xué)第二定律。4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法2．討論一維導(dǎo)熱問題顯式差分格式穩(wěn)定性限制的物理意義4-表面溫度在不同Δτ時的計算值4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法表面溫度在不同Δτ時的計算值4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(課件)4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法1．首先選擇空間坐標(biāo)間隔Δx，即距離步長。對二維問題一般使Δy=Δx。2．對顯式格式差分方程，根據(jù)方程的穩(wěn)定性條件選擇允許的最大時間步長Δτ

；在穩(wěn)定性條件允許范圍內(nèi)，Δτ越大，計算工作量越小，但精度較差；對一維問題，一般取，即可滿足工程精度要求；對于隱式差分方程，Δx、Δτ可任意選取，不必進(jìn)行穩(wěn)定性條件校核；4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、節(jié)點(diǎn)方程組的求解1．首先選擇空間坐標(biāo)間隔Δx，即距離步長。對二維問題一般3.按題意給定的初始溫度分布，確定各節(jié)點(diǎn)上的溫度初值；4.根椐建立的差分方程組，求Δτ時刻各節(jié)點(diǎn)的溫度tn(1)；5.再由tn(1)為初值，換用τ=2Δτ（即k=2），重復(fù)4計算出tn(2)，如此反復(fù)，最后得到j(luò)時刻的tn(j)。4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法3.按題意給定的初始溫度分布，確定各節(jié)點(diǎn)上的溫度初值；4.第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法§4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本導(dǎo)熱問題的三種基本方法：理論分析法；數(shù)值計算法；實(shí)驗(yàn)法。

理論分析法：在理論分析的基礎(chǔ)上，直接對微分方程在給定的定解條件下進(jìn)行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；

實(shí)驗(yàn)法：在傳熱學(xué)基本理論的指導(dǎo)下，采用實(shí)驗(yàn)的方法對所研究對象的傳熱過程進(jìn)行研究，從而求得所求量的方法。

數(shù)值法：數(shù)值計算法，把原來在時間和空間連續(xù)的物理量的場，用有限個離散點(diǎn)上的值的集合來代替。通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；有限差分法、有限元法、邊界元法、分子動力學(xué)模擬。導(dǎo)熱問題的三種基本方法：理論分析法；數(shù)值計算法；實(shí)驗(yàn)法。分析法：能獲得所研究問題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計算提供比較依據(jù)；局限性很大，對復(fù)雜的問題無法求解；分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見。實(shí)驗(yàn)法：是傳熱學(xué)的基本研究方法。適應(yīng)性不好；費(fèi)用昂貴。數(shù)值法：在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性；與實(shí)驗(yàn)法相比成本低。三種方法的特點(diǎn)：分析法：能獲得所研究問題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計算提分析解法與數(shù)值解法的異同點(diǎn)：相同點(diǎn)：根本目的相同，即確定：

①t=f(x,y,z,τ)；②熱流量。不同點(diǎn)：數(shù)值解法求解的是區(qū)域或時間空間坐標(biāo)系中離散點(diǎn)的溫度分布代替連續(xù)的溫度場；分析解法求解的是連續(xù)的溫度場的分布特征，而不是分散點(diǎn)的數(shù)值。分析解法與數(shù)值解法的異同點(diǎn)：數(shù)值求解的步驟建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立迭代初值求解代數(shù)方程組是否收斂解的分析改進(jìn)初場是否§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想數(shù)值求解的步驟建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題一、建立控制方程及定解條件控制方程：定解條件：§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題一、建立控制方程及基本概念：網(wǎng)格線、步長、節(jié)點(diǎn)(內(nèi)、外)、界面線、控制容積xynm(m,n)MN二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想基本概念：網(wǎng)格線、步長、節(jié)點(diǎn)(內(nèi)、外)、界面線、控制容積xy三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)方程稱離散方程。首先劃分各節(jié)點(diǎn)的類型；其次，建立節(jié)點(diǎn)離散方程；最后，代數(shù)方程組的形成。

對節(jié)點(diǎn)(m,n)的代數(shù)方程，當(dāng)△x=△y時，有：§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)四、設(shè)立迭代初場代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時，需對被求的溫度場預(yù)先設(shè)定一個解，這個解稱為初場，并在求解過程中不斷改進(jìn)?！?-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想四、設(shè)立迭代初場代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳五、求解代數(shù)方程組本例中除m=1的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度已知外，其余(M-1)N個節(jié)點(diǎn)均需建立離散方程，共有(M-1)N個方程，則構(gòu)成一個封閉的代數(shù)方程組。xynm(m,n)MN

求解時遇到的問題：

①線性；②非線性；③收斂性等?！?-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想五、求解代數(shù)方程組本例中除m=1的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度2）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個求解過程中不斷更新。3）是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數(shù)方程是否收斂，即本次迭代計算所得之解與上一次迭代計算所得之解的偏差是否小于允許值。1）線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個求解過程中不再變化；§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想五、求解代數(shù)方程組2）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個六、解的分析通過求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場應(yīng)進(jìn)一步計算通過的熱流量，熱應(yīng)力及熱變形等。因此，對于數(shù)值分析計算所得的溫度場及其它物理量應(yīng)作詳細(xì)分析，以獲得定性或定量上的結(jié)論。§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想六、解的分析通過求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫一、建立控制方程及定解條件控制方程：定解條件：§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、有均勻內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問題一、建立控制方程及定解條件控制方程：定解條件：§4-2二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、有均勻內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問題(m,n)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、有均勻內(nèi)熱源、常三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(1)泰勒級數(shù)展開法根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度tm,n來表示節(jié)點(diǎn)(m+1,n)的溫度tm+1,n用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度tm,n來表示節(jié)點(diǎn)(m-1,n)的溫度tm-1,n§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(1)泰勒級數(shù)展三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(1)泰勒級數(shù)展開法差分：忽略上面式子中的級數(shù)余項(xiàng)。得到差分式，并代替微分式。向前差分向后差分內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中心差分幾種差分的比較或三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(1)泰勒級數(shù)展開法內(nèi)節(jié)點(diǎn)中心差分幾種差分的比較或三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(1)泰勒級數(shù)展開法若取上面式右邊的前三項(xiàng)，將上兩式相加同樣：內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(1)泰勒級數(shù)展開法內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(2)熱平衡法(m,n)(m-1,n)(m,n-1)(m+1,n)(m,n+1)基本思想：對每個有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(2)熱平衡法從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝控制體內(nèi)能的增量穩(wěn)態(tài)、有熱源時：從所有方向流入控制體的總熱量+內(nèi)熱源生成熱＝0內(nèi)節(jié)點(diǎn)對控制體每個界面線（圖中虛線）應(yīng)用傅立葉導(dǎo)熱定律。三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(2)熱平衡法(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy

(m,n+1)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(2)熱平衡法(（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法邊界節(jié)點(diǎn)為什么要建邊界節(jié)點(diǎn)離散方程？一類邊界條件：方程組封閉，可直接求解二類、三類邊界條件：邊界溫度未知，方程組不封閉將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。用表示內(nèi)熱源。（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0平直邊界節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0平直從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界外角點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界內(nèi)角點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界邊界節(jié)點(diǎn)離散方程中的兩個問題：邊界熱流密度的具體處理方法絕熱邊界第二類邊界第三類邊界不規(guī)則邊界的處理方法多段折線模擬不規(guī)則邊界，網(wǎng)格越密越接近實(shí)際坐標(biāo)變換：保角變換§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程邊界節(jié)點(diǎn)離散方程中的兩個問題：邊界熱流密度的具體處理方法絕熱建立節(jié)點(diǎn)離散方程的泰勒級數(shù)法與熱平衡法的比較：泰勒級數(shù)法屬于純數(shù)學(xué)方法，而熱平衡法基于能量守恒原理，物理概念明確，且推導(dǎo)過程簡捷；泰勒級數(shù)法對于建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程較困難；當(dāng)導(dǎo)熱物體物性或內(nèi)熱源不均勻時，泰勒級數(shù)法不適用，而熱平衡法能夠方便處理?！?-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)離散方程的泰勒級數(shù)法與熱平衡法的比較：§4-1導(dǎo)熱例1：對如圖所示的圓截面直肋的一維穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問題，試分別列出內(nèi)節(jié)點(diǎn)m和端部節(jié)點(diǎn)M的離散方程式。已知圓截面直徑為d。例1：對如圖所示的圓截面直肋的一維穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)四、設(shè)立迭代初場§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程式：直接解法迭代解法直接解法：矩陣求逆、高斯消元法等缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的導(dǎo)熱系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計算過程中要相應(yīng)地不斷更新）四、設(shè)立迭代初場§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組迭代解法：簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）迭代、塊迭代、交替方向迭代等先對要計算的場作出假設(shè)（給定初始值）、在迭代計算過程中不斷予以改進(jìn)、直到計算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計算已經(jīng)收斂。Gauss-Seidel迭代法：每次迭代時總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組迭代解法§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組在計算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時應(yīng)采用最新值：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值：Gauss-Seidel迭代法§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組在計算后判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：ororε為允許的偏差，一般取10-3～10-6為k次迭代得到的計算域溫度最大值計算域溫度存在近于0的值時采用§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：ororε為允許的偏差，一般取10§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組如何避免迭代發(fā)散？必須滿足對角占優(yōu)原則：每個迭代變量的系數(shù)總大于/等于該式中其它變量系數(shù)絕對值的代數(shù)和(參考教材例題4-1)該條件可表示為：§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組如何避免例4-1：利用高斯-賽德爾迭代法求解下列方程：先將上式改寫成迭代形式：例4-1：利用高斯-賽德爾迭代法求解下列方程：先將上式改寫成假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為：假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為：如此經(jīng)過七次迭代后，在四位有效數(shù)字內(nèi)得到了與精確解一致的結(jié)果。迭代次數(shù)t1t2t3012345670003.6255.6753.7691.7354.5454.9961.8644.0385.0581.9833.9805.0132.0033.9945.0002.0014.0005.0002.0004.0005.000如此經(jīng)過七次迭代后，在四位有效數(shù)字內(nèi)得到了與精確解一致的結(jié)果假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為（經(jīng)三次迭代）：迭代次數(shù)t1t2t3012300032-36-155522-396-33558722-3996-61755假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為（經(jīng)三次迭代）：導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(課件)例2：某方形物體，導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，已知各邊界溫度如圖所示，試用高斯-塞德爾迭代法求其內(nèi)部節(jié)點(diǎn)1、2、3、4點(diǎn)的溫度。200℃600℃400℃800℃234例2：某方形物體，導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，已知各邊界溫度如圖所示，解：1）列節(jié)點(diǎn)方程（內(nèi)節(jié)點(diǎn)）1：2：3：4：200℃600℃400℃800℃234設(shè):t10=500℃,t20=650℃,t30=650℃,t40=750℃解：1）列節(jié)點(diǎn)方程（內(nèi)節(jié)點(diǎn)）200℃600℃400℃800℃迭代次數(shù)t1t2t3t4012345500650650750475556.25556.25628.15428.125514.06514.06607.03407.057503.52503.52601.76401.76500.88500.88600.44400.44500.22500.22600.11迭代次數(shù)t1t2§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法六、解的分析如何判斷數(shù)值解的準(zhǔn)確性？三個檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、精確分析解驗(yàn)證、特定問題的基準(zhǔn)解驗(yàn)證數(shù)值計算中偏差ε總存在，增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目可減小誤差。計算網(wǎng)格獨(dú)立性?！?-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法六、解的分析如何判斷數(shù)值解例3：如圖所示，一等截面之類，高H=45mm，厚δ=10mm，肋根溫度t0=100℃，流體溫度tf=20℃，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h=25W/(m2·K),肋片導(dǎo)熱系數(shù)λ=50W/(m·K),設(shè)肋端絕熱。將該肋片等分成4個節(jié)點(diǎn)。試列出節(jié)點(diǎn)2,3,4的離散方程式，并計算其溫度。例3：如圖所示，一等截面之類，高H=45mm，厚δ=10mm解：這是一個一維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題。利用熱平衡法列節(jié)點(diǎn)的離散方程。節(jié)點(diǎn)2：節(jié)點(diǎn)3：節(jié)點(diǎn)4：式中Δx=H/3，將已知條件（t1=100℃）代入可得：解：這是一個一維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題。利用熱平衡法利用迭代法解得：與精確解相比較，此時：利用迭代法解得：與精確解導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(課件)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(課件)4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（擴(kuò)散項(xiàng)）源項(xiàng)由于非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的存在，除了對空間坐標(biāo)離散外，還需要對時間坐標(biāo)進(jìn)行離散處理。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散項(xiàng)的離散格式：中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（擴(kuò)散項(xiàng)）源tfhtfhxt0平板加熱問題第三類邊界條件定解條件：控制方程：一、建立控制方程及定解條件一維非穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問題4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法tftfxt0平板加熱問題定解條件：控制方程：一、建立控二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）(m,n)一維非穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱