統(tǒng)計物理第六章3 8課件

第一章 近獨立粒子的最概然分布統(tǒng)計物理學(xué)講義第一章 近獨立粒子的最概然分布統(tǒng)計物理學(xué)講義第一章近獨立粒子的最概然分布粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述粒子運動狀態(tài)的量子描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述等概率原理分布和微觀狀態(tài)玻耳茲曼分布玻色分布和費米分布三種分布的關(guān)系第一章近獨立粒子的最概然分布粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述1.3系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述1、概念2、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述4、統(tǒng)計物理學(xué)分類1.3系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述1、概念1、概念全同粒子組成的系統(tǒng)：由具有完全相同的屬性（相同的質(zhì)量，電荷，自旋等）的同類粒子組成的系統(tǒng)。例如，4He原子組成的氦氣，自由電子組成的自由電子氣。1、概念全同粒子組成的系統(tǒng)：1、概念近獨立的粒子組成的系統(tǒng)：指系統(tǒng)中粒子之間相互作用很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用，將整個系統(tǒng)的能量表達(dá)為單個粒子的能量之和。式中i是第i個粒子的能量，N是系統(tǒng)的粒子總數(shù)。1、概念近獨立的粒子組成的系統(tǒng)：式中i是第i個粒子的1、概念說明：（a）i只是第i個粒子的坐標(biāo)和動量以及外場參量的函數(shù)，與其它粒子的坐標(biāo)和動量無關(guān)。（b）例子：理想氣體（c）近獨立粒子之間雖然相互作用微弱，但仍有相互作用的。1、概念說明：2、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述空間：系統(tǒng)在任一時刻t的微觀運動狀態(tài)可以由f個廣義坐標(biāo)及相應(yīng)的f個廣義動量在該時刻的數(shù)值來確定，這2f個獨立變量的任何一種變化，都表示著微觀狀態(tài)的變化。Boltzman和Gibbs借用幾何學(xué)方法來形象地描述體系微觀運動狀態(tài)及其變化。用2f個變量為直角坐標(biāo)，構(gòu)成一個2f維空間，這時體系在某一時刻的運動狀態(tài)可用該空間中的一個點來表示，這個點稱為體系運動狀態(tài)的代表點，當(dāng)體系的運動狀態(tài)發(fā)生變化時，這個代表點相應(yīng)地在該2f維的空間中移動，其移動的軌道由正則方程所確定。這個能描述體系微觀運動狀態(tài)的空間，被Gibbs稱為相空間或相宇，或空間。2、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述空間：系統(tǒng)在任一時刻t的微觀2、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述近獨立的粒子組成的系統(tǒng)（組成系統(tǒng)的粒子間相互作用很弱，可以被忽略）

空間子相宇,維數(shù)2r，

N個全同粒子組成的系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)

同一空間N個代表點分布來表示。

變化，N點分布變化。組成系統(tǒng)的粒子間有相互作用的情況，不可以被忽略

空間相宇，維數(shù)2rN

N個全同粒子組成的系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)

可在空間中用一個代表點來表示。變化軌跡。2、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述近獨立的粒子組成的系統(tǒng)2、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述由經(jīng)典粒子構(gòu)成的系統(tǒng)，粒子的運動狀態(tài)是連續(xù)變化的，粒子可分辨。一個運動狀態(tài)（qi,pi）只能有一個粒子。兩個全同粒子位置交換，系統(tǒng)力學(xué)運動狀態(tài)是不同的。可用空間中1個點，空間中N個點描述。經(jīng)典系統(tǒng)2、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述由經(jīng)典粒子構(gòu)成的系統(tǒng)，粒子的3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述微觀粒子全同性原理：全同粒子是不可分辨的，在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將任何兩個全同粒子加以交換，不改變整個系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)。3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述微觀粒子全同性原理：3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述經(jīng)典粒子及其系統(tǒng)：經(jīng)典力學(xué)描述，軌道運動，原則上是可以被跟蹤的，可以分辨。對于全同的經(jīng)典粒子來說，當(dāng)兩個粒子位置交換后，可以認(rèn)為系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)不同。量子粒子及其系統(tǒng)：量子力學(xué)描述，不是軌道運動，不可以被跟蹤的，不可以分辨。在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將任何一對全同粒子加以交換，不改變整個系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)。微觀粒子及其系統(tǒng)的分類：從描述方法來區(qū)分3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述經(jīng)典粒子及其系統(tǒng)：經(jīng)典力學(xué)描3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述 當(dāng)全同粒子的波函數(shù)完全不重疊時，全同粒子可區(qū)分（可分辨）。這時粒子叫定域粒子。由定域粒子組成的系統(tǒng)稱為定域系統(tǒng)。對于定域系統(tǒng)，若要確定體系的微觀狀態(tài)數(shù)就要求確定每一個粒子處在哪些量子態(tài)。體系內(nèi)任一個粒子量子態(tài)發(fā)生變化，就會導(dǎo)致體系微觀運動狀態(tài)的變化。定域系統(tǒng)從波動性（波函數(shù)）來區(qū)分3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述 當(dāng)全同粒子的波函數(shù)完全不重3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述當(dāng)全同粒子的波函數(shù)重疊時，全同粒子是不可分辨的。這時粒子叫非定域粒子。由非定域粒子組成的系統(tǒng)稱為非定域系統(tǒng)。粒子不可分辨不能確切知道哪個粒子處在哪個量子態(tài)只能確定每個量子態(tài)上各有多少粒子。非定域系統(tǒng)從波動性（波函數(shù)）來區(qū)分3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述當(dāng)全同粒子的波函數(shù)重疊時，全非定域粒子：玻色子：自旋量子數(shù)都是整數(shù)或0的基本粒子，或由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子。費米子：自旋量子數(shù)都是半整數(shù)的基本粒子。服從泡利不相容原理。

由奇數(shù)個費米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是費米子。由偶數(shù)個費米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子。3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述非定域粒子：玻色子：自旋量子數(shù)都是整數(shù)或0的基本粒子，或由玻3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述定域系統(tǒng)：由定域粒子組成的系統(tǒng)。粒子的運動狀態(tài)是量子化的。粒子是可分辨的（通過位置）且同一量子態(tài)可以允許有多個定域粒子。確定系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)是要確定每個粒子處于哪些量子態(tài)。玻耳茲曼系統(tǒng)：由可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。

量子系統(tǒng)3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述定域系統(tǒng)：由定域粒子組成的系3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述非定域系統(tǒng)：由非定域粒子組成的系統(tǒng)。粒子的運動狀態(tài)是量子化的。粒子是不可分辨的。確定系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)是要確定每個量子態(tài)上有多少個粒子。玻色系統(tǒng)：由玻色子組成，一個量子態(tài)可允許有多個粒子。費米系統(tǒng)：由費米子組成，每個量子態(tài)最多容納1個粒子。量子系統(tǒng)3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述非定域系統(tǒng)：由非定域粒子組成3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述玻耳茲曼系統(tǒng)：由可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。玻色系統(tǒng)：由玻色子組成，一個量子態(tài)可允許有多個粒子。費米系統(tǒng)：由費米子組成，每個量子態(tài)最多容納1個粒子。3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述玻耳茲曼系統(tǒng)：由可分辨的全同假設(shè)系統(tǒng)由2個粒子組成，粒子的個體量子態(tài)有3個，如果粒子是定域的，玻色子，費米子，則系統(tǒng)有多少可能的微觀運動狀態(tài)？例子假設(shè)系統(tǒng)由2個粒子組成，粒子的個體量子態(tài)有3個，如果粒子是定例子定域子定域子屬于玻耳茲曼系統(tǒng)，粒子可以分辨，每個個體量子態(tài)能容納的粒子數(shù)不受限制，以A、B表示可以分辨的兩個粒子，它們占據(jù)3個個體量子態(tài)的方式有9種：態(tài)1態(tài)2態(tài)31AB2AB3AB4AB5BA6AB7BA8AB9BA例子定域子態(tài)1態(tài)2態(tài)31AB2AB3AB4AB5BA6A例子玻色子對非定域玻色子，粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)所能容納的粒子數(shù)不受限制，由于不可分辨，令A(yù)=B，兩個粒子占據(jù)3個個體量子態(tài)有6種方式態(tài)1態(tài)2態(tài)31AA2AA3AA4AA5AA6AA例子玻色子態(tài)1態(tài)2態(tài)31AA2AA3AA4AA5AA6AA例子費米子對非定域費米子，粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)最多能容納一個粒子，兩個粒子占據(jù)3個個體量子態(tài)有3種方式態(tài)1態(tài)2態(tài)31AA2AA3AA例子費米子態(tài)1態(tài)2態(tài)31AA2AA3AA4、統(tǒng)計物理學(xué)分類經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)：在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計物理學(xué)。量子統(tǒng)計物理學(xué)：在量子力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計物理學(xué)。兩者在原理上相同，區(qū)別在于對微觀狀態(tài)的描述。4、統(tǒng)計物理學(xué)分類經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)：本節(jié)重點：概念：全同粒子、近獨立粒子、微觀粒子全同性原理系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述：玻爾茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)本節(jié)重點：概念：1.4等概率原理等概率原理：對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。 統(tǒng)計物理的一個基本假設(shè)，也是平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基礎(chǔ)。1.4等概率原理等概率原理：對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)1.4等概率原理（1）宏觀狀態(tài)與微觀運動狀態(tài)區(qū)別與聯(lián)系：宏觀狀態(tài)：熱力學(xué)是宏觀理論，它討論的狀態(tài)是宏觀狀態(tài)，由幾個宏觀參量表征。狀態(tài)參量給定之后，處在平衡態(tài)的系統(tǒng)的所有宏觀物理量就都具有確定值，系統(tǒng)就處在一個確定的平衡態(tài)。微觀狀態(tài)：是微觀粒子的力學(xué)運動狀態(tài)。在確定的宏觀狀態(tài)下，系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)是大量的，而且微觀狀態(tài)不斷地發(fā)生著極其復(fù)雜的變化。1.4等概率原理（1）宏觀狀態(tài)與微觀運動狀態(tài)區(qū)別與聯(lián)系：例子：理想氣體例子：理想氣體1.4等概率原理（2）統(tǒng)計物理基本原理統(tǒng)計物理認(rèn)為：宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的特性是大量微觀粒子運動的集體表現(xiàn)；宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計平均值。統(tǒng)計物理的根本問題是確定各個微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率。1.4等概率原理（2）統(tǒng)計物理基本原理玻爾茲曼在19世紀(jì)70年代提出等概率原理：對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。 統(tǒng)計物理的一個基本假設(shè)，也是平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基礎(chǔ)。微觀狀態(tài)是平權(quán)的。1.4等概率原理玻爾茲曼在19世紀(jì)70年代提出1.4等概率原理統(tǒng)計物理（力學(xué)）是一個優(yōu)美的科學(xué)體系。它從一個最簡單的“各相同相空間狀態(tài)具有相同概率”的假定出發(fā)，能推導(dǎo)出形形色色的物理現(xiàn)象。它自身構(gòu)成一門獨立的學(xué)科，又是其他學(xué)科如物理、化學(xué)、材料、生物研究中不可缺少的工具。統(tǒng)計物理StatisticalPhysics統(tǒng)計物理（力學(xué)）是一個優(yōu)美的科學(xué)體系。它從一個最簡單的“各相1.5分布和微觀狀態(tài)1、幾個概念2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)

3、非簡并性條件4、經(jīng)典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)1.5分布和微觀狀態(tài)1、幾個概念1、幾個概念描述一個具有確定粒子數(shù)N，能量E與體積V的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)：能級：ε1,ε2,…εl,…簡并度：ω1,ω2,…ωl,…粒子數(shù)：a1,a2,…al,…{al}1、幾個概念描述一個具有確定粒子數(shù)N，能量E與體積V的系統(tǒng)用{al}表示N個粒子在各個能級上的分布用Ω表示與{al}分布對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)。說明（1）在給定條件下，分布不是唯一的；與分布對應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)也是大量的，每個微觀態(tài)出現(xiàn)的概率為1/Ω.（2）分布和微觀狀態(tài)是兩個不同的概念。微觀狀態(tài)是等概率的，分布不是等概率的。給定一個分布{al}，只確定了在每一個能級l上的粒子數(shù)al。1、幾個概念用{al}表示N個粒子在各個能級上的分布1、幾個概念玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)：確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定處在每一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)。即分布給定后，還必須對每一個能級l確定al個粒子占據(jù)其l個量子態(tài)的方式。玻耳茲曼系統(tǒng)：確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每一個粒子的個體量子態(tài)。即分布給定后，必須確定處在各能級l上的是哪al個粒子，以及每一個能級l上al個粒子占據(jù)其l個量子態(tài)的方式。2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)

玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)：確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定處在每一個個體(1)玻耳茲曼系統(tǒng)

al

個粒子占據(jù)能級l

上的l個量子態(tài)方式:

2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)

個編了號的粒子分別占據(jù)能級上的各個量子態(tài)的方式一共有：粒子可分辨，交換粒子的交換數(shù)為N！。在這交換數(shù)中應(yīng)除去在同一能級上al個粒子的交換數(shù)。玻耳茲曼系統(tǒng)，與分布{al}相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)是：(1)玻耳茲曼系統(tǒng)2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)個編了號的(2)玻色系統(tǒng)：2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)

最左方為量子態(tài)1，其余量子態(tài)和粒子總數(shù)排列方式共有：粒子不可分辨，應(yīng)除去粒子、量子態(tài)交換數(shù)。al

個粒子占據(jù)能級l上的l個量子態(tài)的方式有：

將各能級的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布{al}相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：

(2)玻色系統(tǒng)：2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)最左方為量子2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)

(2)費米系統(tǒng)：計算al

個粒子占據(jù)能級l上的l個量子態(tài)有多少種可能的方式，相當(dāng)于從l個量子態(tài)中挑出al個來為粒子所占據(jù)。將各能級的結(jié)果相乘，就得到費米系統(tǒng)與分布{al}相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：注意：2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)(2)費米系統(tǒng)：計算al個Boltzmannsystem:BoseSystemFermisystem:2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)

Boltzmannsystem:BoseSystemFe3、非簡并性條件

3、非簡并性條件體積元簡并度粒子數(shù)能量4、經(jīng)典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)

體積元簡并度粒子數(shù)能量44、經(jīng)典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)

4、經(jīng)典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)1.6玻耳茲曼分布等概率原理：對于處于平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，每一個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。最概然分布：微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，稱為最概然分布。玻耳茲曼分布：玻耳茲曼系統(tǒng)（定域系統(tǒng)）粒子的最概然分布。1.6玻耳茲曼分布等概率原理：對于處于平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)變分函數(shù)的函數(shù)－泛函例1：平面上兩點之間的曲線長度作為因變數(shù)的I的自變數(shù)卻是未定函數(shù)y(x).稱I是y(x)的泛函變分函數(shù)的函數(shù)－泛函變分例2：求通過平面上A(x1y1)，B(x2y2)兩點間的曲線，使得此曲線y(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的筒狀曲面面積最小。變分例2：求通過平面上A(x1y1)，B(x2y2)兩點間的變分費馬原理：光總是通過兩點間耗時最短的路線傳播過去。這個問題的復(fù)雜之處在于，光在非均勻介質(zhì)中的傳播速度v和其在真空中的傳播速度c不同，v=c/n,n=n(x,y,z)為介質(zhì)的折射率，是空間位置的函數(shù)，于是光通過A、B兩點的耗時為

其中的線積分物理學(xué)上叫光程。是積分路徑的泛函。變分費馬原理：光總是通過兩點間耗時最短的路線傳播過去。這個問變分推廣：一般形式的變分問題可表達(dá)為求泛函的極值曲線，其中f具有明確的給定表達(dá)式變分推廣：一般形式的變分問題可表達(dá)為求泛函變分泛函極值問題的求解：設(shè)想某曲線即函數(shù)y(x)使達(dá)到了極值，那么，如果讓該曲線稍微偏離一下原形而變成泛函I就應(yīng)保持近似不變注意：微小偏離不是微分dy(x)?。?！變分泛函極值問題的求解：變分的極限可通過0實現(xiàn)

由于y函數(shù)的改變（即“變分”），也引起導(dǎo)數(shù)函數(shù)y’的變分y’。但是y’顯然與y有關(guān)

變分號與微分號可以交換變分的極限可通過0實現(xiàn)由于y函數(shù)的改變（即“變分”）變分歐拉－拉格朗日方程運算類似微分變分歐拉－拉格朗日方程運算類似微分1.6玻耳茲曼分布1.6玻耳茲曼分布1.6玻耳茲曼分布1.6玻耳茲曼分布為求得為極大的分布，使令al有的變化，則將因而有使為極大值的必要條件：的變化。1.6玻耳茲曼分布為求得為極大的分布，使令al有的變化，則將因而有使為極大值的1.6玻耳茲曼分布1.6玻耳茲曼分布拉格朗日未定乘子法求解

1.6玻耳茲曼分布拉格朗日未定乘子法求解1.6玻耳茲曼分布說明1

和由兩個宏觀條件確定

1.6玻耳茲曼分布說明1和由兩個宏觀條件確定1.6玻耳茲曼分布說明2

能級有個量子態(tài)，簡并度為，處在其中任何一個量子態(tài)的平均粒子數(shù)應(yīng)該是相同的。因此，處在能量為的量子態(tài)s上的平均粒子數(shù)fs為：相應(yīng)的宏觀量可表為：其中對粒子的所有量子態(tài)求和1.6玻耳茲曼分布說明2能級有個量子態(tài)，簡并度為，處在其中任何一個量說明3

為極大值的充要條件

1.6玻耳茲曼分布說明3為極大值的充要條件1.6玻耳茲曼分布說明4

玻耳茲曼分布所對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)與其他分布的微觀狀態(tài)數(shù)的關(guān)系：1.6玻耳茲曼分布說明4玻耳茲曼分布所對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)與其他分布的微觀狀態(tài)數(shù)說明4

對于N1023，

1.6玻耳茲曼分布說明4對于N1023，1.6玻耳茲曼分布說明5

在前面的推導(dǎo)中，應(yīng)用了近似式這要求對所有的al都遠(yuǎn)大于1。這個條件實際上往往并不滿足。這是推導(dǎo)過程中的一個嚴(yán)重缺點。在第九章系綜理論中習(xí)題21將講述玻耳茲曼分布的另一推導(dǎo)。證明不嚴(yán)格，系綜理論將給出嚴(yán)格證明。1.6玻耳茲曼分布說明5在前面的推導(dǎo)中，應(yīng)用了近似式這要求對所有的al都遠(yuǎn)大說明6

推廣：多元系

1.6玻耳茲曼分布說明6推廣：多元系1.6玻耳茲曼分布說明7

經(jīng)典統(tǒng)計中boltzmann分布的表達(dá)式

1.6玻耳茲曼分布說明7經(jīng)典統(tǒng)計中boltzmann分布的表達(dá)式1.6玻1.7玻色分布和費米分布1、玻色分布2、費米分布1.7玻色分布和費米分布1、玻色分布1.7玻色分布和費米分布

TheDifferenceBetweenBosonsandFermions1.7玻色分布和費米分布TheDifferenceB1、玻色分布

1、玻色分布1、玻色分布變分：令al有的變化，則將有變化極值條件：1、玻色分布變分：令al有的變化，則將有拉格朗日未定乘子法：（每一個系數(shù)等于零）1、玻色分布

拉格朗日未定乘子法：（每一個系數(shù)等于零）1、玻色分布1、玻色分布

玻色－愛因斯坦分布1、玻色分布玻色－愛因斯坦分布2、費米分布

2、費米分布2、費米分布

變分：2、費米分布變分：2、費米分布

費米－狄拉克分布2、費米分布費米－狄拉克分布說明1

上式給出在最概然分布下能級粒子數(shù)。量子態(tài)的平均粒子數(shù)應(yīng)該是相同的。因此，處在能量為的量子態(tài)s上的平均粒子數(shù)fs為2、費米分布

有個量子態(tài)，能級處在其中任何一個說明1上式給出在最概然分布下能級粒子數(shù)。量子態(tài)的平均粒子數(shù)在前面的推導(dǎo)中，應(yīng)用了這個條件實際上往往并不滿足。這是推導(dǎo)過程中的一個嚴(yán)重缺點。說明2

2、費米分布

在前面的推導(dǎo)中，應(yīng)用了這個條件實際上往往并不滿足。這是推導(dǎo)過1.8三種分布的關(guān)系非簡并條件1.8三種分布的關(guān)系非簡并條件滿足非簡并性條件1.8三種分布的關(guān)系說明，在滿足非簡并性條件時，玻色（費米）系統(tǒng)中的近獨立粒子在平衡態(tài)遵從玻耳茲曼分布。滿足非簡并性條件1.8三種分布的關(guān)系說明，在滿足非簡并性1.8三種分布的關(guān)系我們是在粒子可以分辨的假設(shè)條件下導(dǎo)出玻耳茲曼分布的。自然界中有些系統(tǒng)可以看作由定域的粒子組成，晶體中的原子或離子定域在其平衡位置附近作微振動。這些粒子雖然就其量子本性來說是不可分辨的，但可以根據(jù)其位置而加以區(qū)分。在這一意義下，可以將定域粒子看作可以分辨的粒子。遵從玻耳茲曼分布。1.8三種分布的關(guān)系我們是在粒子可以分辨的假設(shè)條件下導(dǎo)出定域系統(tǒng)和滿足非簡并條件的玻色（費米）系統(tǒng)雖然遵從同樣的分布，但它們的微觀狀態(tài)數(shù)是不同的。前者為ΩM.B.，后者為ΩM.B./N!。對于直接由分布函數(shù)導(dǎo)出的熱力學(xué)量（例如內(nèi)能，物態(tài)方程），兩者具有相同的統(tǒng)計表達(dá)式。對于例如熵和自由能等與微觀狀態(tài)數(shù)有關(guān)的熱力學(xué)量，兩者的統(tǒng)計表達(dá)式有差異。

1.8三種分布的關(guān)系定域系統(tǒng)和滿足非簡并條件的玻色（費米）系統(tǒng)雖然遵從同樣的分布一般氣體He狀況下（1atm273.15K）是否滿足非簡并性條件？問題：1.8三種分布的關(guān)系證明：設(shè)氣體處在邊長為L的立方盒子中，一維無限深勢阱模型周期性邊界條件一般氣體He狀況下（1atm273.15K）問題：1.81.8三種分布的關(guān)系能量低于的量子態(tài)數(shù)：單原子分子能量：1.8三種分布的關(guān)系能量低于的量子態(tài)數(shù)：單原子分子能量1.8三種分布的關(guān)系盒子內(nèi)的分子數(shù)：即粒子總數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于能級之下的量子態(tài)數(shù)。非簡并條件成立1.8三種分布的關(guān)系盒子內(nèi)的分子數(shù)：即粒子總數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于能以統(tǒng)計解釋精確定律Boltzmann統(tǒng)計物理StatisticalPhysics我們這個世界的真正邏輯寓于概率的計算之中

以統(tǒng)計解釋精確定律Boltzmann統(tǒng)計物理S試根據(jù)(6.2.13)證明，在體積V內(nèi)，在到+d的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為：習(xí)題6.1

試根據(jù)(6.2.13)證明，在體積V內(nèi)，在到+d的能量給出在體積V＝L3內(nèi),在的動量范圍內(nèi)，自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為：習(xí)題6.1

給出在體積V＝L3內(nèi),在的動量范圍內(nèi)，自由粒子可能的量子態(tài)動量空間的體積元為：習(xí)題6.1

動量空間的體積元為：習(xí)題6.1自由粒子的能量動量關(guān)系為：D()表示單位能量間隔內(nèi)的可能狀態(tài)數(shù)，稱為態(tài)密度習(xí)題6.1

自由粒子的能量動量關(guān)系為：D()表示單位能量間隔內(nèi)的可能狀試證明，對于一維自由粒子，在長度L內(nèi)，在到+d的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為：習(xí)題6.2

試證明，對于一維自由粒子，在長度L內(nèi)，在到+d的能量范一維自由粒子在空間體積元dxdp內(nèi)可能的量子態(tài)數(shù)為：在長度L內(nèi)，動量在p到p+dp范圍內(nèi)的量子數(shù)為（動量可以有正負(fù)兩個可能的方向）：習(xí)題6.2

一維自由粒子在空間體積元dxdp內(nèi)可能的量子態(tài)數(shù)為：在長度試證明，對于二維自由粒子，在面積L2內(nèi)，在到+d的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為：習(xí)題6.3

試證明，對于二維自由粒子，在面積L2內(nèi)，在到+d的能量用極坐標(biāo)描述，二維動量空間的體積元為：

習(xí)題6.3

用極坐標(biāo)描述，二維動量空間的體積元為：習(xí)題6.3設(shè)系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為N和N’。粒子間的相互作用很弱，可以看作是近獨立的。假設(shè)粒子可以分辨，處在一個個體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制。試證明，在平衡態(tài)下，兩種粒子的最概然分布分別為：習(xí)題6.5

和設(shè)系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為N和N’。粒子間的相互作用第一章 近獨立粒子的最概然分布統(tǒng)計物理學(xué)講義第一章 近獨立粒子的最概然分布統(tǒng)計物理學(xué)講義第一章近獨立粒子的最概然分布粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述粒子運動狀態(tài)的量子描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述等概率原理分布和微觀狀態(tài)玻耳茲曼分布玻色分布和費米分布三種分布的關(guān)系第一章近獨立粒子的最概然分布粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述1.3系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述1、概念2、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述4、統(tǒng)計物理學(xué)分類1.3系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述1、概念1、概念全同粒子組成的系統(tǒng)：由具有完全相同的屬性（相同的質(zhì)量，電荷，自旋等）的同類粒子組成的系統(tǒng)。例如，4He原子組成的氦氣，自由電子組成的自由電子氣。1、概念全同粒子組成的系統(tǒng)：1、概念近獨立的粒子組成的系統(tǒng)：指系統(tǒng)中粒子之間相互作用很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用，將整個系統(tǒng)的能量表達(dá)為單個粒子的能量之和。式中i是第i個粒子的能量，N是系統(tǒng)的粒子總數(shù)。1、概念近獨立的粒子組成的系統(tǒng)：式中i是第i個粒子的1、概念說明：（a）i只是第i個粒子的坐標(biāo)和動量以及外場參量的函數(shù)，與其它粒子的坐標(biāo)和動量無關(guān)。（b）例子：理想氣體（c）近獨立粒子之間雖然相互作用微弱，但仍有相互作用的。1、概念說明：2、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述空間：系統(tǒng)在任一時刻t的微觀運動狀態(tài)可以由f個廣義坐標(biāo)及相應(yīng)的f個廣義動量在該時刻的數(shù)值來確定，這2f個獨立變量的任何一種變化，都表示著微觀狀態(tài)的變化。Boltzman和Gibbs借用幾何學(xué)方法來形象地描述體系微觀運動狀態(tài)及其變化。用2f個變量為直角坐標(biāo)，構(gòu)成一個2f維空間，這時體系在某一時刻的運動狀態(tài)可用該空間中的一個點來表示，這個點稱為體系運動狀態(tài)的代表點，當(dāng)體系的運動狀態(tài)發(fā)生變化時，這個代表點相應(yīng)地在該2f維的空間中移動，其移動的軌道由正則方程所確定。這個能描述體系微觀運動狀態(tài)的空間，被Gibbs稱為相空間或相宇，或空間。2、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述空間：系統(tǒng)在任一時刻t的微觀2、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述近獨立的粒子組成的系統(tǒng)（組成系統(tǒng)的粒子間相互作用很弱，可以被忽略）

空間子相宇,維數(shù)2r，

N個全同粒子組成的系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)

同一空間N個代表點分布來表示。

變化，N點分布變化。組成系統(tǒng)的粒子間有相互作用的情況，不可以被忽略

空間相宇，維數(shù)2rN

N個全同粒子組成的系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)

可在空間中用一個代表點來表示。變化軌跡。2、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述近獨立的粒子組成的系統(tǒng)2、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述由經(jīng)典粒子構(gòu)成的系統(tǒng)，粒子的運動狀態(tài)是連續(xù)變化的，粒子可分辨。一個運動狀態(tài)（qi,pi）只能有一個粒子。兩個全同粒子位置交換，系統(tǒng)力學(xué)運動狀態(tài)是不同的?？捎每臻g中1個點，空間中N個點描述。經(jīng)典系統(tǒng)2、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述由經(jīng)典粒子構(gòu)成的系統(tǒng)，粒子的3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述微觀粒子全同性原理：全同粒子是不可分辨的，在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將任何兩個全同粒子加以交換，不改變整個系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)。3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述微觀粒子全同性原理：3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述經(jīng)典粒子及其系統(tǒng)：經(jīng)典力學(xué)描述，軌道運動，原則上是可以被跟蹤的，可以分辨。對于全同的經(jīng)典粒子來說，當(dāng)兩個粒子位置交換后，可以認(rèn)為系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)不同。量子粒子及其系統(tǒng)：量子力學(xué)描述，不是軌道運動，不可以被跟蹤的，不可以分辨。在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將任何一對全同粒子加以交換，不改變整個系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)。微觀粒子及其系統(tǒng)的分類：從描述方法來區(qū)分3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述經(jīng)典粒子及其系統(tǒng)：經(jīng)典力學(xué)描3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述 當(dāng)全同粒子的波函數(shù)完全不重疊時，全同粒子可區(qū)分（可分辨）。這時粒子叫定域粒子。由定域粒子組成的系統(tǒng)稱為定域系統(tǒng)。對于定域系統(tǒng)，若要確定體系的微觀狀態(tài)數(shù)就要求確定每一個粒子處在哪些量子態(tài)。體系內(nèi)任一個粒子量子態(tài)發(fā)生變化，就會導(dǎo)致體系微觀運動狀態(tài)的變化。定域系統(tǒng)從波動性（波函數(shù)）來區(qū)分3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述 當(dāng)全同粒子的波函數(shù)完全不重3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述當(dāng)全同粒子的波函數(shù)重疊時，全同粒子是不可分辨的。這時粒子叫非定域粒子。由非定域粒子組成的系統(tǒng)稱為非定域系統(tǒng)。粒子不可分辨不能確切知道哪個粒子處在哪個量子態(tài)只能確定每個量子態(tài)上各有多少粒子。非定域系統(tǒng)從波動性（波函數(shù)）來區(qū)分3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述當(dāng)全同粒子的波函數(shù)重疊時，全非定域粒子：玻色子：自旋量子數(shù)都是整數(shù)或0的基本粒子，或由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子。費米子：自旋量子數(shù)都是半整數(shù)的基本粒子。服從泡利不相容原理。

由奇數(shù)個費米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是費米子。由偶數(shù)個費米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子。3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述非定域粒子：玻色子：自旋量子數(shù)都是整數(shù)或0的基本粒子，或由玻3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述定域系統(tǒng)：由定域粒子組成的系統(tǒng)。粒子的運動狀態(tài)是量子化的。粒子是可分辨的（通過位置）且同一量子態(tài)可以允許有多個定域粒子。確定系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)是要確定每個粒子處于哪些量子態(tài)。玻耳茲曼系統(tǒng)：由可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。

量子系統(tǒng)3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述定域系統(tǒng)：由定域粒子組成的系3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述非定域系統(tǒng)：由非定域粒子組成的系統(tǒng)。粒子的運動狀態(tài)是量子化的。粒子是不可分辨的。確定系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)是要確定每個量子態(tài)上有多少個粒子。玻色系統(tǒng)：由玻色子組成，一個量子態(tài)可允許有多個粒子。費米系統(tǒng)：由費米子組成，每個量子態(tài)最多容納1個粒子。量子系統(tǒng)3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述非定域系統(tǒng)：由非定域粒子組成3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述玻耳茲曼系統(tǒng)：由可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。玻色系統(tǒng)：由玻色子組成，一個量子態(tài)可允許有多個粒子。費米系統(tǒng)：由費米子組成，每個量子態(tài)最多容納1個粒子。3、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述玻耳茲曼系統(tǒng)：由可分辨的全同假設(shè)系統(tǒng)由2個粒子組成，粒子的個體量子態(tài)有3個，如果粒子是定域的，玻色子，費米子，則系統(tǒng)有多少可能的微觀運動狀態(tài)？例子假設(shè)系統(tǒng)由2個粒子組成，粒子的個體量子態(tài)有3個，如果粒子是定例子定域子定域子屬于玻耳茲曼系統(tǒng)，粒子可以分辨，每個個體量子態(tài)能容納的粒子數(shù)不受限制，以A、B表示可以分辨的兩個粒子，它們占據(jù)3個個體量子態(tài)的方式有9種：態(tài)1態(tài)2態(tài)31AB2AB3AB4AB5BA6AB7BA8AB9BA例子定域子態(tài)1態(tài)2態(tài)31AB2AB3AB4AB5BA6A例子玻色子對非定域玻色子，粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)所能容納的粒子數(shù)不受限制，由于不可分辨，令A(yù)=B，兩個粒子占據(jù)3個個體量子態(tài)有6種方式態(tài)1態(tài)2態(tài)31AA2AA3AA4AA5AA6AA例子玻色子態(tài)1態(tài)2態(tài)31AA2AA3AA4AA5AA6AA例子費米子對非定域費米子，粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)最多能容納一個粒子，兩個粒子占據(jù)3個個體量子態(tài)有3種方式態(tài)1態(tài)2態(tài)31AA2AA3AA例子費米子態(tài)1態(tài)2態(tài)31AA2AA3AA4、統(tǒng)計物理學(xué)分類經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)：在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計物理學(xué)。量子統(tǒng)計物理學(xué)：在量子力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計物理學(xué)。兩者在原理上相同，區(qū)別在于對微觀狀態(tài)的描述。4、統(tǒng)計物理學(xué)分類經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)：本節(jié)重點：概念：全同粒子、近獨立粒子、微觀粒子全同性原理系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述：玻爾茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)本節(jié)重點：概念：1.4等概率原理等概率原理：對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。 統(tǒng)計物理的一個基本假設(shè)，也是平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基礎(chǔ)。1.4等概率原理等概率原理：對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)1.4等概率原理（1）宏觀狀態(tài)與微觀運動狀態(tài)區(qū)別與聯(lián)系：宏觀狀態(tài)：熱力學(xué)是宏觀理論，它討論的狀態(tài)是宏觀狀態(tài)，由幾個宏觀參量表征。狀態(tài)參量給定之后，處在平衡態(tài)的系統(tǒng)的所有宏觀物理量就都具有確定值，系統(tǒng)就處在一個確定的平衡態(tài)。微觀狀態(tài)：是微觀粒子的力學(xué)運動狀態(tài)。在確定的宏觀狀態(tài)下，系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)是大量的，而且微觀狀態(tài)不斷地發(fā)生著極其復(fù)雜的變化。1.4等概率原理（1）宏觀狀態(tài)與微觀運動狀態(tài)區(qū)別與聯(lián)系：例子：理想氣體例子：理想氣體1.4等概率原理（2）統(tǒng)計物理基本原理統(tǒng)計物理認(rèn)為：宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的特性是大量微觀粒子運動的集體表現(xiàn)；宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計平均值。統(tǒng)計物理的根本問題是確定各個微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率。1.4等概率原理（2）統(tǒng)計物理基本原理玻爾茲曼在19世紀(jì)70年代提出等概率原理：對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。 統(tǒng)計物理的一個基本假設(shè)，也是平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基礎(chǔ)。微觀狀態(tài)是平權(quán)的。1.4等概率原理玻爾茲曼在19世紀(jì)70年代提出1.4等概率原理統(tǒng)計物理（力學(xué)）是一個優(yōu)美的科學(xué)體系。它從一個最簡單的“各相同相空間狀態(tài)具有相同概率”的假定出發(fā)，能推導(dǎo)出形形色色的物理現(xiàn)象。它自身構(gòu)成一門獨立的學(xué)科，又是其他學(xué)科如物理、化學(xué)、材料、生物研究中不可缺少的工具。統(tǒng)計物理StatisticalPhysics統(tǒng)計物理（力學(xué)）是一個優(yōu)美的科學(xué)體系。它從一個最簡單的“各相1.5分布和微觀狀態(tài)1、幾個概念2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)

3、非簡并性條件4、經(jīng)典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)1.5分布和微觀狀態(tài)1、幾個概念1、幾個概念描述一個具有確定粒子數(shù)N，能量E與體積V的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)：能級：ε1,ε2,…εl,…簡并度：ω1,ω2,…ωl,…粒子數(shù)：a1,a2,…al,…{al}1、幾個概念描述一個具有確定粒子數(shù)N，能量E與體積V的系統(tǒng)用{al}表示N個粒子在各個能級上的分布用Ω表示與{al}分布對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)。說明（1）在給定條件下，分布不是唯一的；與分布對應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)也是大量的，每個微觀態(tài)出現(xiàn)的概率為1/Ω.（2）分布和微觀狀態(tài)是兩個不同的概念。微觀狀態(tài)是等概率的，分布不是等概率的。給定一個分布{al}，只確定了在每一個能級l上的粒子數(shù)al。1、幾個概念用{al}表示N個粒子在各個能級上的分布1、幾個概念玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)：確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定處在每一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)。即分布給定后，還必須對每一個能級l確定al個粒子占據(jù)其l個量子態(tài)的方式。玻耳茲曼系統(tǒng)：確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每一個粒子的個體量子態(tài)。即分布給定后，必須確定處在各能級l上的是哪al個粒子，以及每一個能級l上al個粒子占據(jù)其l個量子態(tài)的方式。2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)

玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)：確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定處在每一個個體(1)玻耳茲曼系統(tǒng)

al

個粒子占據(jù)能級l

上的l個量子態(tài)方式:

2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)

個編了號的粒子分別占據(jù)能級上的各個量子態(tài)的方式一共有：粒子可分辨，交換粒子的交換數(shù)為N！。在這交換數(shù)中應(yīng)除去在同一能級上al個粒子的交換數(shù)。玻耳茲曼系統(tǒng)，與分布{al}相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)是：(1)玻耳茲曼系統(tǒng)2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)個編了號的(2)玻色系統(tǒng)：2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)

最左方為量子態(tài)1，其余量子態(tài)和粒子總數(shù)排列方式共有：粒子不可分辨，應(yīng)除去粒子、量子態(tài)交換數(shù)。al

個粒子占據(jù)能級l上的l個量子態(tài)的方式有：

將各能級的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布{al}相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：

(2)玻色系統(tǒng)：2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)最左方為量子2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)

(2)費米系統(tǒng)：計算al

個粒子占據(jù)能級l上的l個量子態(tài)有多少種可能的方式，相當(dāng)于從l個量子態(tài)中挑出al個來為粒子所占據(jù)。將各能級的結(jié)果相乘，就得到費米系統(tǒng)與分布{al}相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：注意：2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)(2)費米系統(tǒng)：計算al個Boltzmannsystem:BoseSystemFermisystem:2、給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)

Boltzmannsystem:BoseSystemFe3、非簡并性條件

3、非簡并性條件體積元簡并度粒子數(shù)能量4、經(jīng)典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)

體積元簡并度粒子數(shù)能量44、經(jīng)典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)

4、經(jīng)典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)1.6玻耳茲曼分布等概率原理：對于處于平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，每一個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。最概然分布：微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，稱為最概然分布。玻耳茲曼分布：玻耳茲曼系統(tǒng)（定域系統(tǒng)）粒子的最概然分布。1.6玻耳茲曼分布等概率原理：對于處于平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)變分函數(shù)的函數(shù)－泛函例1：平面上兩點之間的曲線長度作為因變數(shù)的I的自變數(shù)卻是未定函數(shù)y(x).稱I是y(x)的泛函變分函數(shù)的函數(shù)－泛函變分例2：求通過平面上A(x1y1)，B(x2y2)兩點間的曲線，使得此曲線y(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的筒狀曲面面積最小。變分例2：求通過平面上A(x1y1)，B(x2y2)兩點間的變分費馬原理：光總是通過兩點間耗時最短的路線傳播過去。這個問題的復(fù)雜之處在于，光在非均勻介質(zhì)中的傳播速度v和其在真空中的傳播速度c不同，v=c/n,n=n(x,y,z)為介質(zhì)的折射率，是空間位置的函數(shù)，于是光通過A、B兩點的耗時為

其中的線積分物理學(xué)上叫光程。是積分路徑的泛函。變分費馬原理：光總是通過兩點間耗時最短的路線傳播過去。這個問變分推廣：一般形式的變分問題可表達(dá)為求泛函的極值曲線，其中f具有明確的給定表達(dá)式變分推廣：一般形式的變分問題可表達(dá)為求泛函變分泛函極值問題的求解：設(shè)想某曲線即函數(shù)y(x)使達(dá)到了極值，那么，如果讓該曲線稍微偏離一下原形而變成泛函I就應(yīng)保持近似不變注意：微小偏離不是微分dy(x)?。?！變分泛函極值問題的求解：變分的極限可通過0實現(xiàn)

由于y函數(shù)的改變（即“變分”），也引起導(dǎo)數(shù)函數(shù)y’的變分y’。但是y’顯然與y有關(guān)

變分號與微分號可以交換變分的極限可通過0實現(xiàn)由于y函數(shù)的改變（即“變分”）變分歐拉－拉格朗日方程運算類似微分變分歐拉－拉格朗日方程運算類似微分1.6玻耳茲曼分布1.6玻耳茲曼分布1.6玻耳茲曼分布1.6玻耳茲曼分布為求得為極大的分布，使令al有的變化，則將因而有使為極大值的必要條件：的變化。1.6玻耳茲曼分布為求得為極大的分布，使令al有的變化，則將因而有使為極大值的1.6玻耳茲曼分布1.6玻耳茲曼分布拉格朗日未定乘子法求解

1.6玻耳茲曼分布拉格朗日未定乘子法求解1.6玻耳茲曼分布說明1

和由兩個宏觀條件確定

1.6玻耳茲曼分布說明1和由兩個宏觀條件確定1.6玻耳茲曼分布說明2

能級有個量子態(tài)，簡并度為，處在其中任何一個量子態(tài)的平均粒子數(shù)應(yīng)該是相同的。因此，處在能量為的量子態(tài)s上的平均粒子數(shù)fs為：相應(yīng)的宏觀量可表為：其中對粒子的所有量子態(tài)求和1.6玻耳茲曼分布說明2能級有個量子態(tài)，簡并度為，處在其中任何一個量說明3

為極大值的充要條件

1.6玻耳茲曼分布說明3為極大值的充要條件1.6玻耳茲曼分布說明4

玻耳茲曼分布所對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)與其他分布的微觀狀態(tài)數(shù)的關(guān)系：1.6玻耳茲曼分布說明4玻耳茲曼分布所對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)與其他分布的微觀狀態(tài)數(shù)說明4

對于N1023，

1.6玻耳茲曼分布說明4對于N1023，1.6玻耳茲曼分布說明5

在前面的推導(dǎo)中，應(yīng)用了近似式這要求對所有的al都遠(yuǎn)大于1。這個條件實際上往往并不滿足。這是推導(dǎo)過程中的一個嚴(yán)重缺點。在第九章系綜理論中習(xí)題21將講述玻耳茲曼分布的另一推導(dǎo)。證明不嚴(yán)格，系綜理論將給出嚴(yán)格證明。1.6玻耳茲曼分布說明5在前面的推導(dǎo)中，應(yīng)用了近似式這要求對所有的al都遠(yuǎn)大說明6

推廣：多元系

1.6玻耳茲曼分布說明6推廣：多元系1.6玻耳茲曼分布說明7

經(jīng)典統(tǒng)計中boltzmann分布的表達(dá)式

1.6玻耳茲曼分布說明7經(jīng)典統(tǒng)計中boltzmann分布的表達(dá)式1.6玻1.7玻色分布和費米分布1、玻色分布2、費米分布1.7玻色分布和費米分布1、玻色分布1.7玻色分布和費米分布

TheDifferenceBetweenBosonsandFermions1.7玻色分布和費米分布TheDifferenceB1、玻色分布

1、玻色分布1、玻色分布變分：令al有的變化，則將有變化極值條件：1、玻色分布變分：令al有的變化，則將有拉格朗日未定乘子法：（每一個系數(shù)等于零）1、玻色分布

拉格朗日未定乘子法：（每一個系數(shù)等于零）1、玻色分布1、玻色分布

玻色－愛因斯坦分布1、玻色分布玻色－愛因斯坦分布