專題11 三角恒等與解三角形綜合必刷大題100題(解析版)

專題11三角恒等與解三角形綜合必刷大題100題任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))1-40題1．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，．（1）若，求c的值；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用等差數(shù)列以及三角形內(nèi)角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的最值求解即可．【詳解】（1）由角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，得2B＝A＋C．又，∴．由正弦定理，得，即．由余弦定理，得，即，解得．（2）由正弦定理，得，∴，．∴．由，得．所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，．2．已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦公式以及輔助角公式，可化簡(jiǎn)，再利用正弦型函數(shù)的周期公式，即得解；（2）由，可得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即得解【詳解】（1）由題意，，（2）∵∴∴∴的值域?yàn)?．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意及余弦定理得，由此即可求出結(jié)果；（2）由正切公式對(duì)化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦定理得，再根據(jù)，可得，可得，由此即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意及余弦定理得，所以，從而，因?yàn)?，所?（2）由，得，所以由正弦定理得又因?yàn)?，所以，，所以又，所以，所?從而是等邊三角形.因?yàn)椋?4．在中，，，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且.（1）求的值；（2）求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【分析】（1）首先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和性質(zhì)可得，利用誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式即可求解.（2）在中，利用正弦定理求出，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】解：（1）由，得，所以.（2）由正弦定理，得，即.由余弦定理，得.5．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求角C的值；（2）若，當(dāng)邊c取最小值時(shí)，求的面積．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)正弦定理，將角化為邊的表達(dá)形式；結(jié)合余弦定理即可求得角C的值．（2）由余弦定理求得與的關(guān)系，結(jié)合不等式即可求得c的最小值，即可得到的值，進(jìn)而求得三角形面積．【詳解】（1）由條件和正弦定理可得，整理得從而由余弦定理得．又∵C是三角形的內(nèi)角，∴．（2）由余弦定理得，∵，∴，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．∴c的最小值為2，故．6．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.（1）若，，求；（2）若角，求角.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)利用余弦定理代入化簡(jiǎn)，并代入和的值，計(jì)算可得；(2)利用正弦定理邊化角,結(jié)合,解出關(guān)于的方程，利用的范圍求出的值．【詳解】（1）由余弦定理得，∴，即，代入數(shù)值得，解得；（2）∵，∴由正弦定理得，由可得，，∴，即，解得或(舍去)，又∵，∴.7．已知△ABC中，為鈍角，而且，，AB邊上的高為.（1）求的大?。唬?）求的值.【答案】（1）；（2）8.【分析】（1）利用三角形ABC的面積相等，求出的大??；（2）由余弦定理得出，以及，可得的值．【詳解】（1）由三角形面積可知，，又因?yàn)槭卿J角，所以.（2）由（1）可知，所以.又因?yàn)?，因?8．在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，且．（1）若，求；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由及正弦定理可得，進(jìn)一步可得，，又，由正弦定理得，代入即可得到答案；（2）由余弦定理，得，由，可得，代入可得，再利用面積公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】由已知得，根據(jù)正弦定理得，∵∴，∴．（1）因?yàn)?，所以，，所以，∵，∴，即，∴．?）∵，，由余弦定理，得，∵，∴，∴，即，∵，∴的面積．9．在中，三內(nèi)角，，對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，，且.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若的面積是，求的周長(zhǎng).【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的邊角互化可得，再由兩角和的正弦公式以及三角形的內(nèi)角和性質(zhì)即可求解.（Ⅱ）利用三角形的面積公式可得，解得，再根據(jù)余弦定理可得，從而可得，進(jìn)而求出的周長(zhǎng).【詳解】（Ⅰ）將，，，代入中，得到，即.因?yàn)?，所以，于是?（Ⅱ）因?yàn)?，所以?由余弦定理得，，即，所以.于是的周長(zhǎng)是.10．已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）在中，角的對(duì)邊分別為.若，，求的面積的取值范圍.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間是，.（2）【分析】（1）由二倍角公式可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得的周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由可得，所以，，結(jié)合，進(jìn)一步可得，即可得到答案.【詳解】（1）∴的周期，由，得所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，.（2）∵，即，又，∴，由正弦定理有∴∵，∴∴.11．在中，角所對(duì)的邊分別是，且，.（1）若，求的值；（2）求的最大值【答案】（1）4；（2）.【分析】（1）由已知，易得，由正弦定理可得，再由角B的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得，所以，，再利用兩角和的正弦公式以輔助角公式可得，即可得到最大值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，?又，由正弦定理得，即，由余弦定理，得，解得或（舍）.（2）由正弦定理得，，，由，得，當(dāng)，即時(shí)，.12．在中，已知，其中為的面積，，，分別為角，，的對(duì)邊.（1）求角的值；（2）若，求的值.【答案】（1）.（2）【分析】（1）利用三角形的面積公式化簡(jiǎn)可得，從而可得，即可求得的值.（2）利用兩角和的正切公式可得，再有，求出，再利用二倍角公式，利用弦化切齊次式即可求解.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，則，因?yàn)樵谥校?，所以，所以，所?（2）由（1）知，又因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谥校?，所以，所?13．已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足，，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若邊上中線，求的面積．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）6【分析】（1）利用正弦定理的邊角互化可得，再利用三角形的內(nèi)角和性質(zhì)以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)整理即可求解.（2）由（Ⅰ）根據(jù)正弦定理求出，在中，利用余弦定理可得，根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】（Ⅰ）由正弦定理及，得又，所以由，得，代入上式整理得,即，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由正弦定理得①在中，,將①代入上式得，化簡(jiǎn)得所以，14．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求B；（2）若△ABC的面積等于，求△ABC的周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先利用邊角互化將轉(zhuǎn)化為關(guān)于B的方程，求出∠B．（2）因?yàn)锽已知，所以求面積的最小值即為求ac的最小值，結(jié)合余弦定理和基本不等式可以求得．【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得．因?yàn)?，所以sinA＞0，所以，所以，因?yàn)?，所以，即．?）依題意，即ac＝4．所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．又由余弦定理得∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)取等號(hào)．所以△ABC的周長(zhǎng)最小值為．15．已知平面向量，，函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1），利用公式計(jì)算周期，令可得單調(diào)減區(qū)間；（2），通過分析易知，將配成，利用兩角差的正弦公式展開即可得到答案.【詳解】（1），，故，又令解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），又，又，故，.16．在中，，是邊上一點(diǎn)，且，.（1）求的長(zhǎng)；（2）若的面積為14，求的長(zhǎng).【答案】（1）1；（2）5.【分析】（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，再由兩角差的正弦公式求得，最后由正弦定理構(gòu)建方程，求得答案.（2）在中，由正弦定理構(gòu)建方程求得AB，再由任意三角形的面積公式構(gòu)建方程求得BC，最后由余弦定理構(gòu)建方程求得AC.【詳解】（1）據(jù)題意，，且，所以.所以.在中，據(jù)正弦定理可知，，所以.（2）在中，據(jù)正弦定理可知，所以.因?yàn)榈拿娣e為14，所以，即，得.在中，據(jù)余弦定理可知，，所以.17．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求的面積的最大值．【答案】（1）（2）【分析】(1)由正弦定理邊化角化簡(jiǎn)已知條件可求得,即可求得;(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面積的最大值.【詳解】（1），，所以，所以，，，，．（2）由余弦定理得.，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，.所以的面積的最大值為.18．如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上.（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【分析】（1）先根據(jù)平方關(guān)系求出,再根據(jù)正弦定理即可求出；（2）分別在和中，根據(jù)正弦定理列出兩個(gè)等式，兩式相除，利用題目條件即可求出，再根據(jù)余弦定理求出，即可根據(jù)求出的面積．【詳解】（1）由，得，所以.由正弦定理得，，即，得.（2）由正弦定理，在中，，①在中，，②又，，，由得，由余弦定理得，即，解得，所以的面積.19．已知△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角；（2）在中，為邊上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【分析】（1）由已知結(jié)合余弦定理可求，進(jìn)而可求；（2）由向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)及基本不等式可求的范圍，進(jìn)而可求面積的最大值．【詳解】(1)∵，∴，∴，∴，即，∵，∴，(2)∵，∴為的中點(diǎn)，∵，，∴，∴，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)面積的最大值．20．已知函數(shù)（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值.【答案】（1）；（2）1【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、輔助角公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用，得到的周期；（2）利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)，得到的最大值，以及此時(shí)的取值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以的最小正周期為，?）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最大值1.21．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求內(nèi)角的大小；（2）若的周長(zhǎng)為，面積為，求邊的長(zhǎng)度.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，將已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而得到的值，再得到；（2）根據(jù)的面積，得到的值，結(jié)合三角形周長(zhǎng)和余弦定理，從而解出的值.【詳解】（1）由在中，，所以所以整理得：故，而，從而（2）的面積為，所以，得①的周長(zhǎng)為，得②由余弦定理得：③將①代入③得：④由②④得：.22．中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足.(1)求角的大小;(2)若，的面積為，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理將邊化成角，再進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到的值，從而得到的值；（2）根據(jù)的面積，得到，根據(jù)余弦定理得到關(guān)系，從而得到的值.【詳解】（1）在中，，由正弦定理，得，所以，即，因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，所以，因?yàn)橐驗(yàn)闉榈膬?nèi)角，所以.（2），即，所以，由余弦定理得，所以，所以得到.23．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小正周期;（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到正弦型函數(shù)的形式，根據(jù)，得到答案；（2）先得到，再將所求的，利用兩角和的正弦公式，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）所以的最小正周期為.（2）由（1）得，所以由得，所以24．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且滿足，.（1）求角的大??；（2）求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理求出角的大?。唬?）根據(jù)正弦定理求出的值，再通過判斷，利用同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系求出，最后求出的值，最后利用二角差的正弦公式求出的值.【詳解】解析：（1）由正弦定理得，∴，又由余弦定理有，又，∴.（2）由正弦定理有，∴，由知，從而，∴，∴，∴，，∴.25．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.(1)求角C；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用二倍角的余弦公式、三角形內(nèi)角和定理、對(duì)已知聽等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后通過解方程可以得到角C的余弦值，結(jié)合三角形的性質(zhì)求出；(2)利用余弦定理、重要不等式、三角形面積公式可以求出面積的最大值.【詳解】解：(1)由，可得，，因?yàn)?，所以?(2)由，得，，，所以，當(dāng)時(shí)，△面積的最大值為.26．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，滿足，且邊上一點(diǎn)使得.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）【分析】根據(jù)正弦定理，將邊化成角，然后整理化簡(jiǎn)，得到的值，從而得到的值；（2）根據(jù)條件得到為等邊三角形，從而得到，根據(jù)正弦定理，得到的值，根據(jù)余弦定理，得到的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式，得到答案.【詳解】（1）因?yàn)樵?，由正弦定理所以?所以.即所以，因?yàn)?，所以?）由（1）知，而為等邊三角形.由于是的外角，所以.在中，由正弦定理得，即，所以.所以由余弦定理得，，即，所以，故，，所以.27．已知向量,,且．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)先將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,求方程在區(qū)間上所有根之和．【答案】(1)，；(2).【分析】化函數(shù)為余弦型函數(shù),再求它的單調(diào)增區(qū)間；由三角函數(shù)圖象平移法則,得出的分析式,再求在內(nèi)的實(shí)數(shù)解即可．【詳解】解：函數(shù),，,，；的單調(diào)增區(qū)間為,；由題意,,又,得,解得：,,即或，,,，或，故所有根之和為．28．已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上對(duì)稱軸、對(duì)稱中心及其最值.【答案】(1)最小正周期為(2)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為，最大值為，最小值為【分析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式的平方和關(guān)系、降冪公式、輔助角公式把函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)解析形式,最后根據(jù)最小正周期公式求出函數(shù)的最小正周期；(2)利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性,求出在區(qū)間上對(duì)稱軸、對(duì)稱中心及其最值【詳解】解：(1)因?yàn)?所以，函數(shù)的最小正周期為.(2)由(1)知，因?yàn)椋?，①令，得，所以，即為所求函?shù)在上的對(duì)稱軸；令，得，所以，所以函數(shù)在上的對(duì)稱中心為；（＊）易判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增.所以，，，，故函數(shù)在區(qū)間上最大值為，最小值為.【另解】接（＊）式由①得，所以，故函數(shù)在區(qū)間上最大值為，最小值為.29．函數(shù)（，，），且的最大值為，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，并過點(diǎn).（1）求；（2）計(jì)算….【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行降冪，然后根據(jù)最大值為，得到的值，再由相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，得到周期，從而求出，代入點(diǎn)并結(jié)合的范圍，求出的值；（2）對(duì)函數(shù)進(jìn)行整理，并得到，根據(jù)函數(shù)的周期性，得到答案.【詳解】（1）.的最大值為，，，.又其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，周期，，，，.過點(diǎn)，，，.，，，，又，.（2），，又的周期為，，.30．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（Ⅱ）中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，，求的面積．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到正弦型函數(shù)，然后根據(jù)的范圍，求出的范圍，得到的值域.（Ⅱ）由得到的值，根據(jù)和正弦定理得到的值，再由求出，根據(jù)和正弦定理，得到，由面積公式求出的面積.【詳解】解：（Ⅰ），∵，∴，∴．∴函數(shù)的值域?yàn)椋á颍?，∴，又∵，∴，∴，即．由，由正弦定理，∵∴，∴．∵∴∴，∵，∴∴?1．已知通數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，圖像與x軸兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為．（Ⅰ）求的解析式：（Ⅱ）若，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】【分析】（Ⅰ）由圖像與x軸兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為，可以求出周期，利用周期公式可以求出，再由圖像經(jīng)過點(diǎn)，結(jié)合，可以求出，也就能求出的解析式：（Ⅱ）由，可以求出，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，可求出，分類討論，運(yùn)用兩角差的正弦公式，求出的值【詳解】解：（Ⅰ）由已知得，，則，所以．又，所以，又，所以.所以，即，所以.（Ⅱ）因?yàn)?，所以，所以．?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，或.32．已知向量，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，內(nèi)角、、所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是、、，若，，，求的面積.【答案】（1）的增區(qū)間是，（2）【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降冪公式、以及輔助角公式可以函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式的形式，最后利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)（1）所得的結(jié)論和，可以求出角的值，利用三角形內(nèi)角和定理可以求出角的值，再運(yùn)用正弦定理可得出的值，最后利用三角形面積公式可以求出的面積..【詳解】（1）令，解得∴的增區(qū)間是，（2）∵∴解得又∵∴中，由正弦定理得∴33．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且滿足：.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.【分析】（Ⅰ）運(yùn)用正弦定理實(shí)現(xiàn)角邊轉(zhuǎn)化，然后利用余弦定理，求出角的大??；（Ⅱ）方法1：由（II）及，利用余弦定理，可得，再利用基本不等式，可求出的最大值；方法2：利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，利用兩角和的正弦公式和輔助角公式，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性，可求出的最大值；【詳解】（I）由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，所以由余弦定理得：，又在中，，所?（II）方法1：由（I）及，得，即，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）所以.則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故的最大值為2.方法2：由正弦定理得，，則，因?yàn)椋?，故的最大值?（當(dāng)時(shí)）.34．在①面積，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，求.如圖，在平面四邊形中，，，______，，求.【答案】見解析【分析】選擇①：利用三角形面積公式和余弦定理可以求接求出的長(zhǎng)；選擇②：在，中，分別運(yùn)用正弦定理，可以求接求出的長(zhǎng)；【詳解】解：選擇①：所以；由余弦定理可得所以選擇②設(shè)，則，，在中，即所以在中，，即所以.所以，解得，又，所以，所以.35．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足________.（1）求；（2）若的面積為，的中點(diǎn)為，求的最小值.【答案】（1）（2）【分析】（1）選①，利用正弦定理的邊角互化以及誘導(dǎo)公式可求解；選②，利用正弦定理的邊角互化即可求解；選③，利用正弦定理的邊角互化以及兩角差的正弦公式即可求解.（2）利用三角形的面積公式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.（1）選①，由正弦定理可得，又因?yàn)?，可得，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以，解?②，由正弦定理可得，即，整理可得，又因?yàn)?，解得，因?yàn)?，所?③，由正弦定理可得，整理可得，即，即，所以或（舍），即，即，解得.（2），解得，由余弦定理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取等號(hào)，所以的最小值為.36．在①，②sin（A+B）＝1+2這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線處，然后解答問題．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，已知___．（1）求角C的值；（2）若b＝4，點(diǎn)D在邊AB上，CD為∠ACB的平分線，△CDB的面積為，求邊長(zhǎng)a的值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）答案不唯一，見解析（2）2【分析】（1）選①，由可得，然后結(jié)合余弦定理可得答案；選②，由條件可得，然后可求出答案；（2）由可得，然后結(jié)合S△CDB＝a×CD＝可解出答案.（1）選①，由可得：，整理可得a2+b2﹣c2＝ab，可得＝，因?yàn)镃∈（0，π），所以C＝．選②，由sin（A+B）＝1+2sin2可得，可得2sin（C+）＝2，可得：sin（C+）＝1，因?yàn)镃∈（0，π），C+∈（，），所以C+＝，可得C＝．（2）在△ABC中，可得可得，①又S△CDB＝a×CD＝，②由①②可得：＝，解得a＝2，或a＝﹣（舍去），所以邊長(zhǎng)a的值為2．37．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．問題：在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且________．（1）求角；（2）若是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，求．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）【分析】（1）選條件①：利用正弦定理的邊角互化即可求解；選條件②：利用正弦定理的邊角互化以及余弦定理即可求解；選條件③：利用正弦定理的邊角互化以及三角形的內(nèi)角和性質(zhì)即可求解.（2）由題意可得，在與中，分別利用正弦定理得出與，兩式相等計(jì)算求解即可.【詳解】解：（1）方案一：選條件①，，，，又.方案二：選條件②又.方案三：選條件③整理得，，又，.（2），在中，，在中，，整理得，.38．在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答在中，角，，的對(duì)邊分別為，，且______，若，，求邊上的垂線長(zhǎng).【答案】【分析】根據(jù)題意，選擇①②③求得，利用余弦定理求得，結(jié)合面積相等列出方程，即可求得邊上的垂線長(zhǎng).【詳解】若選①：由，根據(jù)正弦定理可得，即，即，可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，由余弦定理可得，所以，設(shè)邊上的垂線長(zhǎng)為，可得，解得，即邊上的垂線長(zhǎng)為.選②：由，根據(jù)正弦定理可得，可得，即，又由余弦定理，可得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，由余弦定理可得，所以，設(shè)邊上的垂線長(zhǎng)為，可得，解得，即邊上的垂線長(zhǎng)為.若選③：由，可得，即，可得，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，，由余弦定理可得，所以，設(shè)邊上的垂線長(zhǎng)為，可得，解得，即邊上的垂線長(zhǎng)為.39．在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答在中，角，，的對(duì)邊分別為，，且______，，，求的值.【答案】3【分析】選①利用正弦定理，可得，進(jìn)而可得，選②利用正弦定理，可得，進(jìn)而可得，選③利用三角形面積公式可得，進(jìn)而由余弦定理直接可得解.【詳解】選①，由得，∴，又，，∴又，∴；選②，由得，∴即，∴又，∴；選③，由得又，∴即，又，∴；由，解得或（舍）.所以40．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，解答問題．①；②（其中為的面積）；③．（1）若，求的值；（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍．【答案】條件選擇見解析，（1）；（2）．【分析】選擇①②③結(jié)合正余弦定理均得到，（1）利用余弦定理即可求解；（2）由正弦定理得，，結(jié)合角的范圍即可求解．【詳解】選擇①由正弦定理得，所以，，則；選擇②，則，所以，又，則；選擇③，由正弦定理得又因?yàn)?，所以，則所以，又，則；故選擇①②③均得到；（1）若，由余弦定理得，即，∴．（2）由為銳角三角形及，得且,∴，由正弦定理得，∴．∵，∴，∴，∴，即所求的取值范圍是．任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題1．在①；②；③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.問題：已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且，___________.（1）求角A的大?。唬?）求面積的最大值.【答案】（1）選①：；選②：；選③：；（2）選①：；選②：；選③：【分析】（1）選①：由正弦定理邊角互化得，進(jìn)而得；選②：由正弦定理邊角互化得，進(jìn)而得，故；選③：由余弦定理得，再根據(jù)正弦定理邊角互化結(jié)合和角公式得，故（2）選①：結(jié)合（1）和余弦定理得，再根據(jù)基本不等式得，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式得面積的最大值為.選②：結(jié)合（1）和余弦定理得，再根據(jù)基本不等式得，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式得面積的最大值為.選③：結(jié)合（1）和余弦定理得，再根據(jù)基本不等式得，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式得面積的最大值為.（1）解：選①：因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所以選②：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以選③：因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?）解：選①：因?yàn)橛桑?）得，，所以，即，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積所以面積的最大值為.選②：因?yàn)橛桑?）得，所以，即，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以所以面積所以面積的最大值為.選③：因?yàn)橛桑?）得，所以，即，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以所以面積所以面積的最大值為.2．已知函數(shù)，直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）令，若是函數(shù)在的零點(diǎn)，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）由二倍角公式、兩角和的正弦公式化函數(shù)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，由對(duì)稱軸求得，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）先求出的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性（注意變量的范圍）可得，從而求得．（1）函數(shù)，直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，，，，故．令，求得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，，．（2）∴，（滿足，取銳角）函數(shù)的圖像在內(nèi)只有一條對(duì)稱軸，滿足，，得：，．3．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且.（1）求角的大小；（2）若，為邊上一點(diǎn)，，且___________，求的面積.（從①為的平分線，②為的中點(diǎn)，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）【答案】（1）（2）條件選擇見解析，【分析】（1）由正弦定理化邊為角，然后由誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式展開后可求得角；（2）選①，由，用面積公式得出，然后由余弦定理得出一等式，兩者結(jié)合可得，從而由面積公式得面積；選②，利用向量的線性運(yùn)算，得，平方后由數(shù)量積運(yùn)算可得，再結(jié)合余弦定理，求得，從而得三角形面積．（1）由題意得，得：，中，，所以，又，所以（2）選①由BD平分得：，①在中，由余弦定理得：，，所以，②，①②聯(lián)立得解得，解得，所以，選②得，，，得，中，由余弦定理得，，相減即可得得．4．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)面積的大小為S，且.（1）求A的值；（2）若的外接圓直徑為1，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用數(shù)量積的運(yùn)算及三角形面積公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求出A的值；（2）利用正弦定理結(jié)合已知條件將問題中的邊化為角，再根據(jù)三角恒等變換及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后結(jié)合角的范圍即可求解.（1）解：由得：化簡(jiǎn)得：當(dāng)時(shí)，，，等式不成立所以，即又所以（2）解：的外接圓直徑為1，由正弦定理得：，的取值范圍為：.5．在中，，．（1）若邊，求的面積；（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出．①；②；③【答案】（1）（2）選①，不存在；選②，；選③，【分析】（1）由余弦定理求得，再由同角三角函數(shù)間的關(guān)系求得，根據(jù)三角形的面積公式可求得答案；（2）若選①，由正弦定理和正弦的二倍角公式得，與相矛盾，所以不存在；若選②，由正弦定理和兩角差的正弦公式得，再根據(jù)同角三角函數(shù)間的關(guān)系可得解；若選③，由正弦定理和正弦的二倍角公式得，再由余弦定理得，結(jié)合兩角和的正弦公式可得解..（1）解：由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以的面積.（2）解：若選①，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以不存在；若選②，由正弦定理得，整理得，又，且，所以，因?yàn)?，所以有兩解，又，所以角B為銳角，所以唯一；若選③，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，即，解得，又，所以角B為銳角，即，，所以，，所以.6．已知，，令其中，滿足.（1）求的解析式；（2）在銳角中，角所對(duì)邊分別為，且，求的面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及三角公式求出，再根據(jù)求出即可；（2）先通過求出B，再根據(jù)三角形為銳角三角形求出的范圍，最后通過面積公式可得計(jì)算面積的范圍.（1）又，則即，又，，即；（2）由（1）知，又，，即如圖，當(dāng)點(diǎn)C在線段MN之間運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）時(shí)，可使為銳角三角形，即，即的面積的取值范圍是.7．在①，②，③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并回答下面問題．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且________．（1）求角的大??；（2）已知，為中點(diǎn)，且，求面積．【答案】（1）選①；選②；選③（2）選①；選②；選③【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，并結(jié)合余弦定理和恒等變換公式計(jì)算，求出角的大小；

（2）根據(jù)余弦定理，三角形面積公式的計(jì)算，求出面積．（1）解：選①：，

由正弦定理可得：，，，

由余弦定理可得，所以，

選②：，

由正弦定理得：，

所以，

，

所以，，，

選③：，

由正弦定理可得：，

可得：

可得：，

，，解得，

，．（2）解：，為的中點(diǎn)，，

，，

，即，

，，

（另一值不符合題意，舍去，，

在中，由余弦定理有，解得，

．8．如圖，D是直角斜邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），，記，．（1）求的最大值；（2）若，求角的值．【答案】（1）2（2）【分析】（1）由等腰三角形和三角形外角定理得出的關(guān)系，這樣求值式可化二元函數(shù)為一元函數(shù)，然后利用兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值；（2）由正弦定理得出的三角函數(shù)的關(guān)系式，再結(jié)合（1）中函數(shù)關(guān)系式利用二倍角公式可求得的值，從而得．（1）設(shè)，∵，，①∴，，②①②聯(lián)立得，∴，∴，∴，③，④∴∵，，故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2（2）在中，由正弦定理得，，∴，∴，①由（1）知，，∴所以，解得或（舍去）．因?yàn)闉殁g角，所以9．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)在邊上，已知．（1）求；（2）若是角的平分線，且，求的面積的最小值．【答案】（1）（2）【分析】(1)根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可；(2)如圖，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，過作平行于交于可得三角形為正三角形，利用三角形面積公式列出三角形面積，結(jié)合基本不等式即可求出面積的最小值.（1），由正弦定理得，，，，，，．（2）由是角的平分線，，設(shè)，過作平行于交于，則三角形為正三角形，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．即的面積的最小值為．10．1.已知，，分別是的內(nèi)角，，所對(duì)的邊，，再從下面條件①與②中任選個(gè)作為已知條件，完成以下問題．（1）證明：為銳角三角形；（2）若，為的內(nèi)角平分線，且與邊交于，求的長(zhǎng)．①；②．【答案】（1）證明見解析（2）選擇①②結(jié)果相同，【分析】（1）利用正弦定理得到，結(jié)合①或者②，均可以得到，大邊對(duì)大角，故只要證明，即可證明出為銳角三角形；（2）由，結(jié)合第一問中的，可以求出，，接下來可以用兩種方法求解，一種是利用，另一種是利用角平分線定理，，均可以求出的長(zhǎng)（1）方案一：選條件①由正弦定理，又，，，令，（），從而，由，解得：或（舍去）從而最大，又為銳角三角形方案二：選條件②由正弦定理，又，，，令，（），從而，解得：或（舍去）從而最大，又為銳角三角形（2）方案一：選條件①由，∴又由第一問可知：，∴，法一：由，∴，由面積公式得：由，從而，解得：．法二：，解得：由角平分線定理，，從而在中，由余弦定理，，解得：方案二：選條件②由，又由第一問可知：，，，由，解得：或（舍去）法一：故，由，∴，由面積公式得：由，從而，解得：．法二：由角平分線定理，，從而在中，由余弦定理，，解得：11．在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．問題：在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且________．（1）求角；（2）若是內(nèi)一點(diǎn)，，求．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）若選條件①，利用正弦定理邊化角公式以及兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求出的值；若選條件②，利用利用正弦定理邊化角公式以及兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得，再利用輔助角公式得，結(jié)合三角形中，從而可求出的值；（2）結(jié)合題中條件及三角形內(nèi)角和得出，利用正弦定理、兩角和與差的正弦公式和同角三角函數(shù)關(guān)系，即可求出的值.（1）解：若選條件①：，整理得：，則，即，又，，所以，所以；若選條件②：，整理得：，所以，化簡(jiǎn)得：，又，，所以，故，由于，所以．（2）解：由于，，所以，在中，，所以，在中，，所以，，整理得：，故．12．在“①；②，，”這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并進(jìn)行求解.問題：在中，，，分別是三內(nèi)角，，的對(duì)邊，已知，是邊上的點(diǎn)，且，，若_______________，求的長(zhǎng)度.【答案】答案見解析.【分析】選①可得，再結(jié)合條件可得，可求，然后利用余弦定理即求；選②可得，由條件得，再利用輔助角公式可得，得，進(jìn)而可求，然后利用余弦定理即求.【詳解】若選擇條件①由，根據(jù)正弦定理得，所以，即，也即，因?yàn)?，所以?）式又因?yàn)?，即，所以，又由?）式，，所以，所以，，所以，，因?yàn)?，所以，，在中，，所?若選擇條件②因?yàn)?，，且，所以，即，所以，又，所以?）式，又因?yàn)?，即，所以?）式，又，，所以，所以，所以，也即，所以，即，又，∴，所以，所以，，所以，，又，所以，，在中，，所以.13．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，點(diǎn)D在射線AC上，滿足.（1）求；（2）設(shè)的角平分線與直線AC交于點(diǎn)E，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）利用正弦定理化角為邊由表示，利用余弦定理求出即可求出；（2）分別在和中利用正弦定理表示，化簡(jiǎn)整理可得.（1）因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，由正弦定理得，即，則，由余弦定理得，則，因?yàn)?，所以；?）如圖，，在中，，，在中，，則，，，所以,，所以.14．在中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若.（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）先用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而用正弦定理進(jìn)行角化邊，最后用余弦定理解得答案；（2）用面積公式，結(jié)合正弦定理即可得到答案.（1）∵，∴，∴，由正弦定理得，又由余弦定理得，∴，由于，所以.（2）∵是銳角三角形，得到.由正弦定理可知，，由三角形面積公式有：又因故故取值范圍是15．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知且.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，即可求解；（2）利用正弦定理及三角恒等變換可得，再根據(jù)三角函數(shù)的值域求解.（1）∵，∴.即，，∵，∴，又，∴，∵，∴.（2）由正弦定理可得，，其中，，，為銳角∵為銳角三角形，則，從而，得，，∴，，∴，從而的取值范圍為.16．已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.（1）求；（2）若點(diǎn)，是函數(shù)的圖象在某個(gè)周期內(nèi)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【分析】（1）先由余弦定理結(jié)合條件可得，再由余弦定理可得答案.（2）由（1）先求出的值，由函數(shù)解析式得出周期，求出邊長(zhǎng)，由余弦定理結(jié)合均值不等式得出，從而得出面積的最大值.（1）由及余弦定理得，整理得，所以.（2）的最大值與最小值之差為，最小正周期，所以，由余弦定理得，所以，又，所以面積，所以面積的最大值為.17．在平面四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝2，AD＝3．（1）證明：3cosA－4cosC＝1；（2）記△ABD與△BCD的面積分別為S1，S2，求S12＋S22的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】(1)在和中分別利用余弦定理表示出，列出方程整理即可；(2)根據(jù)三角形的面積公式分別求出的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值即可.（1）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以．（2），則，由（1）知：，代入上式得，配方得，因?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，取到最大值．18．在銳角中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，求周長(zhǎng)的范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理和和差角公式轉(zhuǎn)化為，即可求出角A；（2）利用正弦定理表示出，，得到周長(zhǎng)為利用三角函數(shù)求最值，即可求出周長(zhǎng).（1）由正弦定理得：，，，，，，，.（2）由正弦定理：，則，，，，周長(zhǎng)為，又銳角，，結(jié)合，，，，∴周長(zhǎng)的范圍是.19．在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答在中，角，，的對(duì)邊分別為，，且______，若，，邊上的中垂線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】【分析】選①，利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角形內(nèi)角的關(guān)系及兩角和的正弦公式求得角，利用余弦定理求得邊，證明，求出，即可得解；選②，利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求得角，利用余弦定理求得邊，證明，求出，即可得解；選③，利用向量數(shù)量積的定義及三角形的面積公式求得角，利用余弦定理求得邊，證明，求出，即可得解.【詳解】解：選①，由，可得，即，所以，又，所以，所以，所以，則，所以，所以，如圖，設(shè)邊上的中垂線垂足為點(diǎn)，因?yàn)榇怪逼椒?，所以，又，所以，在中，，所以，?選②，由，可得，即，所以，所以，又因，所以，則，所以，所以，如圖，設(shè)邊上的中垂線垂足為點(diǎn)，因?yàn)榇怪逼椒?，所以，又，所以，在中，，所以，?選③，因?yàn)?，所以，又，所以，則，所以，所以，如圖，設(shè)邊上的中垂線垂足為點(diǎn)，因?yàn)榇怪逼椒?，所以，又，所以，在中，，所以，?20．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且滿足，．（1）求角A的大??；（2）求周長(zhǎng)的范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可的解；（2）利用正弦定理求得邊，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.（1）解：由余弦定理，即，所以，因?yàn)?，所以．?）由正弦定理：，則，，由（1），故因?yàn)?，則，所以，即周長(zhǎng)范圍是．21．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）若的周長(zhǎng)為，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【分析】（1）在中，利用余弦定理化角為邊，可得，再結(jié)合，即得解；（2）由余弦定理以及可得，再利用面積公式即得解（1）由余弦定理，得，即，則，所以又，所以．（2）由題意，，根據(jù)余弦定理，得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”．所以，面積，故面積的最大值為．22．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，，為邊上一點(diǎn)，且，求的值．【答案】（1）（2）或1【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合，利用正弦定理得到，再利用二倍角公式求解；（2）根據(jù)，得到進(jìn)而得到，，然后由正弦定理求得a，再利用余弦定理求解.（1）因?yàn)?，在△ABC中，，所以．在△ABC中，由正弦定理得：又，，所以，即，又，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即．?）因?yàn)?，所以，，，在ABC中，由正弦定理得，所以，在ABC中，由余弦定理得：，即，故，所以或，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以的值為或1．23．如圖，在中，，、分別為邊上的高和中線，，（1）若，求的長(zhǎng)；（2）是否存在這樣的，使得射線和三等分?【答案】（1）（2）不存在，理由見解析【分析】（1）由勾股定理先求出，再由結(jié)合已知條件求出和，然后利用余弦定理即可求出的長(zhǎng)；（2）先假設(shè)存在，結(jié)合已知條件求出和，然后即可判斷是否存在.（1）解：、分別為邊上的高和中線，，又，所以，，在中，，即所以（2）解：假設(shè)存在這樣的，不妨設(shè)，則，易得，，而，在中，，即，解得：，即而在中，，所以，故，即不可能是的中點(diǎn).因此，不存在這樣的，使得射線和三等分24．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖像相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為（1）求函數(shù)的解析式及其減區(qū)間；（2）在中，角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊為a、b、c，且，，求的周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由二倍角公式，兩角差的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后由對(duì)稱軸間距離求得周期得，由奇函數(shù)性質(zhì)得，從而得解析式，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得減區(qū)間；（2）由（1）求得角，利用正弦定理把表示為的函數(shù)，再由三角恒等變換得取值范圍，也即得周長(zhǎng)范圍．（1），由函數(shù)相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為，得，∴，又∵為奇函數(shù)，∴，即，得，即，而，故，令，得，∴的減區(qū)間為；（2）由（1）可知，得，即，∵，∴，∴，即，∵，∴∴，而，故；∵，故；∴，即的周長(zhǎng)的取值范圍為.25．在中，角的對(duì)邊分別為，滿足且.（1）求證：；（2）若，求的面積的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由已知可得，將展開化簡(jiǎn)可求得，由正弦定理化角為邊即可求證；（2）由余弦定理求得，再由三角形面積公式計(jì)算轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值，開方即可求解.（1）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理化角為邊可得?（2）在中，由余弦定理可得：，的面積為：，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的面積的最大值為.26．在中，，，.

（1）若，求BC；（2）若，求.【答案】（1）（2）【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得，再利用三角形的面積公式求出，再利用余弦定理進(jìn)行求解；（2）先構(gòu)造，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式得到，再利用正弦定理、余弦定理求出邊長(zhǎng)，進(jìn)而利用三角形的面積公式進(jìn)行求解.（1）解：由，得：.由，得：，則，所以.（2）解：在AC上取點(diǎn)D，使得，

于是，則，，由和正弦定理，知：，于是，所以.由知：，所以，所以.27．1.已知向量，，設(shè)，.（1）求的值域；（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求，的值.【答案】（1）

（2）

【分析】（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積和三角變換求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得答案；（2）由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求出，再計(jì)算出，的值.（1）解：，因?yàn)?，所以，則，即函數(shù)的值域?yàn)?（2）解：由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，由（1），，，如圖：則，關(guān)于對(duì)稱，所以，由，得.28．如圖，的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，且.（1）求角的大??；（2）在內(nèi)有點(diǎn)，，且，直線交于點(diǎn)，求.【答案】（1）（2）【分析】（1）將已知條件利用正弦定理化邊為角，結(jié)合整理可得，即可得角的大?。唬?）求出，由已知可得，在和中，由正弦定理可得，可求出，，由余弦定理即可求解.（1）在中，由正弦定理化邊為角可得：，因?yàn)?，所以，可得，即，所以或，由可得，所以不成立，所以，因?yàn)榭傻茫?）在中，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理可得：，在中，由正弦定理可得：，兩式相除可得：，所以，，在中，由余弦定理可得：，所以，所?29．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且滿足記的面積為S.（1）求證：；（2）若為銳角三角形，，且恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由正弦定理和余弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式，可得證明；（2）由余弦定理可得的范圍，再由三角形的面積公式可得關(guān)于的函數(shù)，由二次函數(shù)的值域可得的范圍，再由不等式恒成立思想可得所求范圍．（1）證明：由，，，，，，，，，.（2）解：，，.且，，，為銳角三角形，，，，設(shè)則，則故在為增函數(shù)，又恒成立，所以30．已知，，分別是的內(nèi)角，，所對(duì)的邊，從下面條件①與②中任選一個(gè)作為已知條件，并完成下列問題：（1）求；（2）若，求的周長(zhǎng)的最大值．條件①：；條件②：．注：如果選擇不同的條件分別解答，按照第一種選擇的解答計(jì)分．【答案】選擇見解析；（1）；（2）12．【分析】（1）選定條件分別使用正弦定理和余弦定理求得.（2）根據(jù)（1）的條件利用余弦定理與基本不等式計(jì)算出，簡(jiǎn)單計(jì)算即可.【詳解】解：（1）若選條件①：，由正弦定理得：，則．即，，又，．，若選條件②：，由正弦定理得：即，，由余弦定理得：，故，，．（2）由余弦定理得：，即，，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故的周長(zhǎng)的最大值為12．31．在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答在中，角，，的對(duì)邊分別為，，且______，是的平分線交于點(diǎn)，若，求的最小值.【答案】9【分析】若選①：根據(jù)正弦定理得，再由正弦和角公式求得，繼而有，分別在和中，運(yùn)用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值；若選②：根據(jù)正弦定理得，再由余弦定理得，又，所以，，繼而有，分別在和中，運(yùn)用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值；若選③：由三角形的面積公式和向量的數(shù)量積運(yùn)算得，繼而有，分別在和中，運(yùn)用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值.【詳解】解：若選①：根據(jù)正弦定理由，得，即，又因?yàn)?，，所以，又，所以，因?yàn)槭堑钠椒志€交于點(diǎn)，，所以，在中，，所以，，在中，，所以，所以，，所以，整理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值9；若選②：根據(jù)正弦定理由，得，即，所以由余弦定理得，即，又，所以，因?yàn)槭堑钠椒志€交于點(diǎn)，，所以，在中，，所以，，在中，，所以，所以，，所以，整理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值9；若選③：由得，即，所以，又，所以，因?yàn)槭堑钠椒志€交于點(diǎn)，，所以，在中，，所以，，在中，，所以，所以，，所以，整理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值9；32．在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答在中，角，，的對(duì)邊分別為，，且______，作，使得四邊形滿足，，求的最值【答案】①或②或③，有最大值，無最小值.【分析】選①利用正弦定理，可得，進(jìn)而可得，選②利用正弦定理，可得，進(jìn)而可得，選③利用三角形面積公式可得；再利用正弦定理及面積公式可得，然后利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)可求最值.【詳解】選①，由得，∴，又，，∴又，∴；選②，由得，∴即，∴又，∴；選③，由得又，∴即，又，∴；在△ACD中，，，∴，設(shè)，則，，∴，，∵，∴，又在△ABC中，，∴，，∴，當(dāng)即時(shí)，∴，即有最大值，無最小值.33．在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答在中，角，，的對(duì)邊分別為，，且______，若，求的取值范圍.【答案】【分析】根據(jù)題意，選擇①②③求得，利用正弦定理求得外接圓的直徑，進(jìn)而化簡(jiǎn)，其中，，且，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】若選①：由，根據(jù)正弦定理可得，即，即，可得，因?yàn)?，所?選②：由，根據(jù)正弦定理可得，可得，即，又由余弦定理，可得，因?yàn)?，所?若選③：由，可得，即，可得，因?yàn)?，所?又由，可得外接圓的直徑為，所以，其中，，且，因?yàn)?，可得，根?jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍為.34．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，.（1）求的大??；（2）若，求的面積；（3）求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）最大值為.【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，又，所以，所以，所以，因?yàn)?，，所以，可?（2）因?yàn)?，所以，所以，所以的面積為.（3）由，得，因?yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.設(shè)，則，所以，設(shè)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最大值為，所以，的最大值為.35．如圖，在四邊形中，，，.（1）若，求的面積；（2）若，，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由余弦定理求出BC，由此能求出△ABC的面積．（2）設(shè)∠BAC＝θ，AC=x，由正弦定理得從而，在中，由正弦定理得，建立關(guān)于θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD．再利用余弦定理可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，即，所?所以.（2）設(shè)，，則，在中，由正弦定理得：，所以；在中，，所以.即，化簡(jiǎn)得：，所以，所以，，所以在中，.即，解得或（舍）.36．在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答在中，角，，的對(duì)邊分別為，，且______，求的取值范圍.【答案】【分析】選①，利用正弦定理邊化角，得出角，再結(jié)合基本不等式即可求出取值范圍；選②，利用正弦定理角化邊，得出角，再結(jié)合基本不等式即可求出取值范圍；選③，將三角形面積公式和數(shù)量積公式代入化簡(jiǎn)得出角，再結(jié)合基本不等式即可求出取值范圍.【詳解】選①，由正弦定理得即整理得即即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）又即的取值范圍為；選②，，由正弦定理得，即即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即又即的取值范圍為；選③，由，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即又即的取值范圍為.37．在中，、、分別為內(nèi)角、、的對(duì)邊，且．（1）求的大??；（2）若，試判斷的形狀；（3）若，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）；（2）為等腰鈍角三角形；（3）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合余弦公式求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，由此可得出結(jié)論；（3）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，即可得出周長(zhǎng)的最大值．【詳解】（1）因?yàn)?，根?jù)正弦定理得，所以，，由余弦定理可得，又，所以，；（2）由（1）知，又得，即，因?yàn)?，則，所以，，所以，，，則為等腰鈍角三角形；（3）由，及余弦定理知，則，知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，因此，周長(zhǎng)的最大值為.38．如圖，在四邊形中，，且，，.（1）求的長(zhǎng)；（2）求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由二倍角公式得，進(jìn)而在中，利用余弦定理求解即可；（2）設(shè)四邊形面積為，則，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式，并結(jié)合余弦定理和基本不等式求解即可.【詳解】解：（1）∵，，∴，∵在中，，，，∵，∴；（2）設(shè)四邊形面積為，則，∵，所以，在中，，，由余弦定理可得：，又則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，∴.39．現(xiàn)給出三個(gè)條件：①asin＝bsinA，②acosC＋ccosA＝2bcosB，③2c－a＝2bcosA.從中選出一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，________．（1）求角B的大??；（2）若b＝2，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）條件選擇見解析，；（2）(4，6].【分析】（1）選①：利用正弦定理邊化角，同時(shí)結(jié)合三角形內(nèi)的隱含條件及變名的誘導(dǎo)公式即可求出sin＝，從而求出Β＝；選②：利用余弦定理角化邊，同時(shí)結(jié)合三角形內(nèi)的隱含條件即可求出；選③：利用正弦定理邊化角，同時(shí)結(jié)合三角形內(nèi)的隱含條件及和差公式即可求出，從而求出Β＝；（2）利用余弦定理求出，再根據(jù)基本不等式即可求出，同時(shí)結(jié)合三角形內(nèi)邊之間的關(guān)系可得到2＜a＋c≤4，從而求出△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．【詳解】（1）若選①，由正弦定理與三角形內(nèi)角和定理可得sinA·sin＝sinBsinA，因?yàn)?，所以，所以cos＝2sincos，所以sin＝，又因?yàn)?＜＜，所以＝，即Β＝.若選②，由余弦定理得a·＋c·＝2bcosB，即＋＝2bcosB，所以，即，又0＜B＜π，所以B＝.若選③，由正弦定理，得2sinC－sinA＝2sinBcosA，因?yàn)椋?，所以，?sinAcosB＋2cosAsinB－sinA＝2sinBcosA，所以，因?yàn)?，所以，所以，?＜B＜π，所以B＝.（2）由(1)可得B＝，若b＝2，則由余弦定理得，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又a＋c＞b＝2，所以2＜a＋c≤4，即4＜a＋b＋c≤6，所以△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(4，6].40．目前，中國(guó)已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測(cè)對(duì)面山項(xiàng)上的一座5G基站AB，已知基站高，該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測(cè)得基站底部B的仰角為37°，測(cè)得基站頂端A的仰角為45°．（1）求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）如圖，當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時(shí)（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置M處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離，且記在M處觀測(cè)基站底部B的仰角為，觀測(cè)基站頂端A的仰角為.試問當(dāng)多大時(shí)，觀測(cè)基站的視角最大?參考數(shù)據(jù)：，，，．【答案】（1）m；（2）m.【分析】（1）在中，由正弦定理求出，即可求出，進(jìn)而求出；（2）根據(jù)題意得出，列出關(guān)于的式子，利用基本不等式可求出.【詳解】解：（1）由題知，在中，由正弦定理得，即，所以，在中，，即，所以，所以山高m.（2）由題知，，則在中，，在中，，由題知，則，當(dāng)且僅當(dāng)即m時(shí)，取得最大值，即視角最大.任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-20題1.中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分，面積是面積的2倍．（1）求的值；（2）從①，②，③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)條件作為已知，求BD和AC的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）選①②:BD=，AC=1；選②③:BD=，AC=1；選①③：BD=，AC=1或BD=，AC=．【分析】（1）過A作于E，由已知及面積公式可得，由AD平分及正弦定理可得，，從而得解．（2）若選①②，由（1）可求，過D作于M，作于N，由AD平分，可求，令，則，利用余弦定理即可解得BD和AC的長(zhǎng)；若選②③，由（1）知BD的值，在中，由正弦定理可得，由余弦定理可得，解得b的值，即可得解；若選①③，由正弦定理可得，由余弦定理可得，又，整理可得，可得，解得x的值，進(jìn)而可求b的值，即可得解．（1）如圖，過A作于E，∵，∴，∵AD平分，∴，在中，，∴，在中，，∴；∴．（2）若選①，②，由（1）知，，過D作于M，作于N，∵AD平分，∴，∴，∴，令，則，∵，∴，∴由余弦定理可得：，∴，∴，∴BD的長(zhǎng)為，AC的長(zhǎng)為1．若選②，③，由（1）知，，因?yàn)?，所以在中，由正弦定理可得，即，由余弦定理，整理可得，解得，（?fù)值舍去）∴BD的長(zhǎng)為，AC的長(zhǎng)為1．若選①，③，因?yàn)?，所以在中，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，可得，設(shè)，，所以由余弦定理可得：，整理可得，①又，整理可得，②由①②可得，解得，或，解得或，由①可得，可得BD的長(zhǎng)為，AC的長(zhǎng)為1．或，可得BD的長(zhǎng)為，AC的長(zhǎng)為．2．已知函數(shù)（）圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間以及圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)；（2）是否存在銳角，，使，同時(shí)成立？若存在，求出角，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）遞增區(qū)間為（）；對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（）（2）存在；，【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)求解即可；（2）由誘導(dǎo)公式可得，又，代入化簡(jiǎn)可得，。（1）解：，由圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，得的最小正周期，解得．所以，由（），得（），所以的遞增區(qū)間為（），由（），得（）；所以圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（）．（2）解：存在．因?yàn)?，，所以，所以．又，，所以，即，即，即，即，所以，由為銳角，得，所以，，從而．故存在，符合題意．3．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.（1）求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根的和.【答案】（1），遞減區(qū)間為，（2）【分析】（1）利用恒等變換化簡(jiǎn)后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）利用圖象變換法則求得g(x)的函數(shù)表達(dá)式，解方程求得g(x)的值，利用換元思想，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析求得.（1）由題意，圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，的最小正周期為，即可得，又為奇函數(shù)，則，，又，，故，令，得函數(shù)的遞減區(qū)間為，（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，又，則或，即或.令，當(dāng)時(shí)，，畫出的圖象如圖所示：有兩個(gè)根,關(guān)于對(duì)稱，即,有,在上有兩個(gè)不同的根，,；又的根為，所以方程在內(nèi)所有根的和為.4．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若的圖像向右平移個(gè)單位得到的函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，求ω的取值范圍．【答案】（1）和（2）【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得，得到，得出，進(jìn)而求得的單調(diào)增區(qū)間.（2）令，求得，根據(jù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，列出不等式組，即可求解.（1）解：因?yàn)?，所以，由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得，所以解得，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，.所以，令，解得，又由，所以，或，即在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2）解：由已知得，令得，即，因?yàn)樵谏蟽H有一個(gè)零點(diǎn)，所以，由于，所以得，解得因?yàn)?，所以，所?5．在平面四邊形中，，，，（1）求的長(zhǎng)；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）在三角形ABD中，利用余弦定理求出的長(zhǎng)；（2）先推出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，然后求出，問題歸結(jié)為求的最大值.，顯然當(dāng)為外接圓的直徑時(shí)最大，再用正弦定理求出外接圓直徑即可.【詳解】（1）∵在中，，，∴利用余弦定理得：∵∴（2）∵，∴∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓如圖所示：在AC上取點(diǎn)E，使得∠CBE=∠DBA，又∵∠BCE=∠BDA∴∴，即①同理可得：∴，即②①+②得：由（1）可知，∴∴求的最大值即求的最大值.當(dāng)AC為圓的直徑時(shí)，最大由正弦定理得：∴最大值為，此時(shí)的最大值為6．在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，且______，作，使得四邊形滿足，，求的取值范圍.【答案】.【分析】根據(jù)題意，選擇①②③求得，設(shè)，則，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，結(jié)合和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】若選①：由，根據(jù)正弦定理可得，即，即，可得，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，即，可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，所以的取值范圍是.選②：由，根據(jù)正弦定理可得，可得，即，又由余弦定理，可得，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，即，可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，所以的取值范圍是.若選③：由，可得，即，可得，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，即，可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，所以的取值范圍是.7．已知是的內(nèi)角，函數(shù)的最大值為．（1）求的大??；（2）若，關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用兩角和差、二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)得到，結(jié)合最大值可求得，由此可得；（2）根據(jù)的范圍可求得的范圍，將問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)可得的大致圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式，分別在不同的取值范圍情況下，結(jié)合的范圍得到對(duì)應(yīng)的解的個(gè)數(shù)，由此可求得結(jié)果.【詳解】（1）的最大值為，，解得：，，；（2）由（1）得：，，，，；當(dāng)，即時(shí)，方程無解，，在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，令，則，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；又，，，，的大致圖象如下圖所示，設(shè)對(duì)應(yīng)的根分別為，當(dāng)時(shí)，，，則對(duì)應(yīng)的，對(duì)應(yīng)的，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，方程有唯一解，不合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，方程有唯一解，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，則對(duì)應(yīng)的，對(duì)應(yīng)的，，方程有三個(gè)不同的解，不合題意；當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)，符合題意；綜上所述：的取值范圍為.8．如圖，有一景區(qū)的平面圖是一個(gè)半圓形，其中O為圓心，直徑的長(zhǎng)為，C，D兩點(diǎn)在半圓弧上，且，設(shè)；（1）當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積.（2）若要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條由線段，，和組成的觀光道路，則當(dāng)為何值時(shí)，觀光道路的總長(zhǎng)l最長(zhǎng)，并求出l的最大值.【答案】（1）；（2）5【分析】（1）把四邊形分解為三個(gè)等腰三角形：，利用三角形的面積公式即得解；（2）利用表示（1）中三個(gè)等腰三角形的頂角，利用正弦定理分別表示，和，令，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，即得解.【詳解】（1）連結(jié)，則四邊形的面積為（2）由題意，在中，，由正弦定理同理在中，，由正弦定理令時(shí)，即，的最大值為59．某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計(jì)如圖所示，為地面，，為路燈燈桿，，，在處安裝路燈，且路燈的照明張角，已知m，m．（1）當(dāng)，重合時(shí)，求路燈在路面的照明寬度；（2）求此路燈在路面上的照明寬度的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由余弦定理求出ME，再求出，進(jìn)而求出，最后根據(jù)正弦定理求出答案；（2）先用等面積法求出間的關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)用余弦定理結(jié)合基本不等式建立之間的不等式，兩者結(jié)合即可得到答案.【詳解】（1）當(dāng)，重合時(shí)，由余弦定理知，所以，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，∴在中，由正弦定理可知，，解得m.（2）易知到地面的距離，所以，所以又由余弦定理可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立.所以，解得m．答：（1）路燈在路面的照明寬度為；（2）照明寬度的最小值為．10．已知向量．令函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的角平分線交于D．其中，函數(shù)恰好為函數(shù)的最大值，且此時(shí)，求的最小值．【答案】（1）的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)可得，即可求出最小正周期，令可解出單調(diào)遞增區(qū)間；（2）可得，解得，再根據(jù)正弦定理解得，進(jìn)而表示出，利用基本不等式可求解.【詳解】（1），，則的最小正周期為，令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由恰好為函數(shù)的最大值可得，即，，則可解得，則，在中，由，可得，在中，由，可得，，在中，，則可得，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故的最小值為.11．如圖，在四邊形中，，，.（1）求；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）；（2）12【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得結(jié)果；（2）在中，由余弦定理可求得，在中，，設(shè)，由余弦定理得，即，利用基本不等式求得，進(jìn)而求出周長(zhǎng)的最大值.【詳解】（1）在中，，利用正弦定理得：，又為鈍角，為銳角，（2）在中，由余弦定理得解得：或（舍去）在中，，設(shè)由余弦定理得，即整理得：，又利用基本不等式得：，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，所以所以周長(zhǎng)的最大值為1212．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得函數(shù)在上恰有2021個(gè)零點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的和的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）利用三角恒等變換得出，根據(jù)正弦型函數(shù)的值域求解；（2）由題意可知，函數(shù)與直線在上恰有個(gè)交點(diǎn)，然后對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，考查實(shí)數(shù)在不同取值下兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，∴，則.（2）假設(shè)同時(shí)存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)滿足條件，函數(shù)在上恰有2021個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與直線在上恰有2021個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示：①當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與直線在上無交點(diǎn)，②當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與直線在上有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)要使函數(shù)與直線在上恰有2021個(gè)交點(diǎn)，則；③當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與直線在上有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)與直線在上有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)與直線在上有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)要使函數(shù)與直線在上恰有2021個(gè)交點(diǎn)，則；綜上所述，存在實(shí)數(shù)和滿足題設(shè)條件：時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.13．如圖，在半徑為，圓心角為60°的扇形的弧上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)N，M在OB上，設(shè)矩形PNMQ的面積為y.（1）按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：①設(shè)PN＝x，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)∠POB＝θ，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求出y的最大值.【答案】（1）①.②；（2）選擇②時(shí)，函數(shù)取得最大值.【分析】（1）①根據(jù)PN＝QM=x，結(jié)合半徑為，圓心角為60°，分別求得，，進(jìn)而得到MN求解；②根據(jù)∠POB＝θ，結(jié)合半徑為，圓心角為60°，求得，再由，進(jìn)而得到MN求解.（2）選擇②利用二倍角公式和輔助角公式，將函數(shù)轉(zhuǎn)化，利用直線函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）①因?yàn)镻N＝QM=x，所以，而，所以，所以.因?yàn)辄c(diǎn)P在扇形的弧上，所以，所以②因?yàn)椤螾OB＝θ，所以，而，所