導數(shù)與三角函數(shù)的結(jié)合

導數(shù)與三角函數(shù)的結(jié)合導數(shù)與三角函數(shù)的結(jié)合導數(shù)與三角函數(shù)的結(jié)合xxx公司導數(shù)與三角函數(shù)的結(jié)合文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準審核制定方案設(shè)計，管理制度----導數(shù)與三角函數(shù)的結(jié)合1.（導數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合）已知函數(shù)，其中為參數(shù)，且.（1）當時，判斷函數(shù)是否有極值；（2）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；（3）若對（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間（2a－1,a）內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.【分析】定義域上的可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是，且在兩側(cè)異號.【解析】（1）當時，，則函數(shù)在（－∞，＋∞）內(nèi)是增函數(shù)，故無極值.（2）,令，得.由及（1）,只考慮的情況.當x變化時，的符號及的變化情況如下表：（－∞，0）0＋0－0＋極大值極小值因此，函數(shù)在處取得極小值，且.要使＞0,必有，可得，所以.（3）由（2）知，函數(shù)在區(qū)間（－∞，0）與內(nèi)都是增函數(shù).由題設(shè)，函數(shù)在（2a－1,a）內(nèi)都是增函數(shù)，則a需滿足不等式組，由（2）,參數(shù)時，，要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立，必有.綜上，解得a≤0或，所以a的取值范圍是（－∞，0］∪［，1）.2.已知函數(shù)f(x)＝axsinx－eq\f(3,2)(a∈R)，且在[0，eq\f(π,2)]上的最大值為eq\f(π－3,2).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在(0，π)內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明．【思路點撥】(1)分a＝0、a＜0和a＞0三種情況求函數(shù)f(x)的最大值；(2)先用零點存在性定理判斷有無零點，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷零點的個數(shù)．【規(guī)范解答】(1)由已知得f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，對于任意x∈(0，eq\f(π,2))，有sinx＋xcosx>0.當a＝0時，f(x)＝－eq\f(3,2)，不合題意．當a<0，x∈(0，eq\f(π,2))時，f′(x)<0，從而f(x)在(0，eq\f(π,2))內(nèi)單調(diào)遞減．又f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的圖象是連續(xù)不斷的，故f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的最大值為f(0)＝－eq\f(3,2)，不合題意；當a>0，x∈(0，eq\f(π,2))時，f′(x)>0，從而f(x)在(0，eq\f(π,2))內(nèi)單調(diào)遞增，又f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的圖象是連續(xù)不斷的，故f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的最大值為f(eq\f(π,2))，即eq\f(π,2)a－eq\f(3,2)＝eq\f(π－3,2)，解得a＝1.綜上所述，函數(shù)f(x)的解析式f(x)＝xsinx－eq\f(3,2).(2)f(x)在(0，π)內(nèi)有且只有兩個零點．證明如下：由(1)知，f(x)＝xsinx－eq\f(3,2)，從而有f(0)＝－eq\f(3,2)<0，f(eq\f(π,2))＝eq\f(π－3,2)>0.又f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的圖象是連續(xù)不斷的，所以f(x)在(0，eq\f(π,2))內(nèi)至少存在一個零點．又由(1)知f(x)在[0，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞增，故f(x)在(0，eq\f(π,2))內(nèi)有且僅有一個零點．當x∈[eq\f(π,2)，π]時，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.由g(eq\f(π,2))＝1>0，g(π)＝－π<0，且g(x)在[eq\f(π,2)，π]上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在m∈(eq\f(π,2)，π)，使得g(m)＝0.由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈(eq\f(π,2)，π)時，有g(shù)′(x)<0，從而g(x)在(eq\f(π,2)，π)內(nèi)單調(diào)遞減．當x∈(eq\f(π,2)，m)時，g(x)>g(m)＝0，即f′(x)>0，從而f(x)在(eq\f(π,2)，m)內(nèi)單調(diào)遞增，故當x∈[eq\f(π,2)，m]時，f(x)≥f(eq\f(π,2))＝eq\f(π－3,2)>0，故f(x)在[eq\f(π,2)，m]上無零點；當x∈(m，π)時，有g(shù)(x)<g(m)＝0，即f′(x)<0，從而f(