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導數(shù)與三角函數(shù)的結合導數(shù)與三角函數(shù)的結合導數(shù)與三角函數(shù)的結合xxx公司導數(shù)與三角函數(shù)的結合文件編號:文件日期:修訂次數(shù):第1.0次更改批準審核制定方案設計,管理制度----導數(shù)與三角函數(shù)的結合1.(導數(shù)與三角函數(shù)結合)已知函數(shù),其中為參數(shù),且.(1)當時,判斷函數(shù)是否有極值;(2)要使函數(shù)的極小值大于零,求參數(shù)的取值范圍;(3)若對(2)中所求的取值范圍內的任意參數(shù),函數(shù)在區(qū)間(2a-1,a)內都是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.【分析】定義域上的可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是,且在兩側異號.【解析】(1)當時,,則函數(shù)在(-∞,+∞)內是增函數(shù),故無極值.(2),令,得.由及(1),只考慮的情況.當x變化時,的符號及的變化情況如下表:(-∞,0)0+0-0+極大值極小值因此,函數(shù)在處取得極小值,且.要使>0,必有,可得,所以.(3)由(2)知,函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)與內都是增函數(shù).由題設,函數(shù)在(2a-1,a)內都是增函數(shù),則a需滿足不等式組,由(2),參數(shù)時,,要使不等式關于參數(shù)恒成立,必有.綜上,解得a≤0或,所以a的取值范圍是(-∞,0]∪[,1).2.已知函數(shù)f(x)=axsinx-eq\f(3,2)(a∈R),且在[0,eq\f(π,2)]上的最大值為eq\f(π-3,2).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,π)內的零點個數(shù),并加以證明.【思路點撥】(1)分a=0、a<0和a>0三種情況求函數(shù)f(x)的最大值;(2)先用零點存在性定理判斷有無零點,再根據(jù)函數(shù)的單調性判斷零點的個數(shù).【規(guī)范解答】(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),對于任意x∈(0,eq\f(π,2)),有sinx+xcosx>0.當a=0時,f(x)=-eq\f(3,2),不合題意.當a<0,x∈(0,eq\f(π,2))時,f′(x)<0,從而f(x)在(0,eq\f(π,2))內單調遞減.又f(x)在[0,eq\f(π,2)]上的圖象是連續(xù)不斷的,故f(x)在[0,eq\f(π,2)]上的最大值為f(0)=-eq\f(3,2),不合題意;當a>0,x∈(0,eq\f(π,2))時,f′(x)>0,從而f(x)在(0,eq\f(π,2))內單調遞增,又f(x)在[0,eq\f(π,2)]上的圖象是連續(xù)不斷的,故f(x)在[0,eq\f(π,2)]上的最大值為f(eq\f(π,2)),即eq\f(π,2)a-eq\f(3,2)=eq\f(π-3,2),解得a=1.綜上所述,函數(shù)f(x)的解析式f(x)=xsinx-eq\f(3,2).(2)f(x)在(0,π)內有且只有兩個零點.證明如下:由(1)知,f(x)=xsinx-eq\f(3,2),從而有f(0)=-eq\f(3,2)<0,f(eq\f(π,2))=eq\f(π-3,2)>0.又f(x)在[0,eq\f(π,2)]上的圖象是連續(xù)不斷的,所以f(x)在(0,eq\f(π,2))內至少存在一個零點.又由(1)知f(x)在[0,eq\f(π,2)]上單調遞增,故f(x)在(0,eq\f(π,2))內有且僅有一個零點.當x∈[eq\f(π,2),π]時,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx.由g(eq\f(π,2))=1>0,g(π)=-π<0,且g(x)在[eq\f(π,2),π]上的圖象是連續(xù)不斷的,故存在m∈(eq\f(π,2),π),使得g(m)=0.由g′(x)=2cosx-xsinx,知x∈(eq\f(π,2),π)時,有g′(x)<0,從而g(x)在(eq\f(π,2),π)內單調遞減.當x∈(eq\f(π,2),m)時,g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0,從而f(x)在(eq\f(π,2),m)內單調遞增,故當x∈[eq\f(π,2),m]時,f(x)≥f(eq\f(π,2))=eq\f(π-3,2)>0,故f(x)在[eq\f(π,2),m]上無零點;當x∈(m,π)時,有g(x)<g(m)=0,即f′(x)<0,從而f(
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