一次函數(shù)一次方程和一元一次不等式基礎(chǔ)知識(shí)講解

10/10一次函數(shù)、一次方程和一元一次不等式（基礎(chǔ)）責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．能用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一次函數(shù)、一次方程與一元一次不等式之間的聯(lián)系，能直觀地用圖形（在平面直角坐標(biāo)系中）來(lái)表示方程的解和不等式的解，建立數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的思想．2．能運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的不等式問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一次函數(shù)與一元一次方程一次函數(shù)（≠0，為常數(shù)）.當(dāng)函數(shù)＝0時(shí)，就得到了一元一次方程，此時(shí)自變量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某一個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.

從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線（≠0，為常數(shù)），確定它與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.要點(diǎn)二、一次函數(shù)與一元一次不等式由于任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為＞0或＜0或≥0或≤0（、為常數(shù)，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時(shí)求相應(yīng)的自變量的取值范圍.要點(diǎn)詮釋：求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，從“數(shù)”的角度看，就是為何值時(shí)，函數(shù)的值大于0？從“形”的角度看，確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍.要點(diǎn)三、一元一次方程與一元一次不等式我們已經(jīng)學(xué)過(guò)，利用不等式的性質(zhì)可以解得一個(gè)一元一次不等式的解集，這個(gè)不等式的解集的端點(diǎn)值就是我們把不等式中的不等號(hào)變?yōu)榈忍?hào)時(shí)對(duì)應(yīng)方程的解.要點(diǎn)四、如何確定兩個(gè)不等式的大小關(guān)系（≠，且）的解集的函數(shù)值大于的函數(shù)值時(shí)的自變量取值范圍直線在直線的上方對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍．【典型例題】類型一、一次函數(shù)與一元一次方程1、若直線與軸交于（5，0）點(diǎn)，那么關(guān)于的方程的解為______.【答案】【解析】＝0的解是直線與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo).【總結(jié)升華】當(dāng)函數(shù)時(shí)，就得到了一元一次方程＝0，此時(shí)自變量的值就是方程＝0的解.舉一反三：【變式1】如圖，已知直線，則關(guān)于的方程的解＝_________.【答案】4；提示：根據(jù)圖形知，當(dāng)＝1時(shí)，＝4，即時(shí)，＝4．∴方程的解＝4．【變式2】如圖，直線分別交軸和軸于點(diǎn)A、B，則關(guān)于的方程＝0的解為_______.【答案】；提示：方程＝0的解其實(shí)就是當(dāng)時(shí)一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)．由圖知：直線與軸交于點(diǎn)（－2，0），即當(dāng)＝－2時(shí)，＝0.類型二、一次函數(shù)與一元一次不等式2、（2015?樂(lè)山模擬）如圖，直線y=kx+b交坐標(biāo)軸于A（﹣3，0）、B（0，1）兩點(diǎn)，則不等式﹣kx﹣b＜0的解集為（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜3【思路點(diǎn)撥】求﹣kx﹣b＜0的解集，即為kx+b＞0，就是求函數(shù)值大于0時(shí)，x的取值范圍．【答案】A；【解析】解：∵要求﹣kx﹣b＜0的解集，即為求kx+b＞0的解集，∴從圖象上可以看出等y＞0時(shí)，x＞﹣3．故選：A．【總結(jié)升華】本題考查了一次函數(shù)與不等式的關(guān)系和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（交點(diǎn)、原點(diǎn)等），做到數(shù)形結(jié)合．舉一反三：【高清課堂：393614一次函數(shù)與一元一次不等式，例2】【變式】如圖，直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（2，0）和B（0，－3），則不等式＋3≥0的解集是（）A．≥0B．≤0C．≥2D．≤2【答案】A；提示：從圖象上知，直線的函數(shù)值隨的增大而增大，與軸的交點(diǎn)為B（0，－3），即當(dāng)＝0時(shí)，＝－3，所以當(dāng)≥0時(shí)，函數(shù)值≥－3．3、直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解為（）．A．B．C．D．無(wú)法確定【答案】B；【解析】從圖象上看的解，就是找到在的上方的部分圖象，看這部分圖象自變量的取值范圍.當(dāng)時(shí)，，故選B.【總結(jié)升華】本題考察了用數(shù)形結(jié)合的方法求解不等式的大小關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出表示兩條直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)在上方的圖象表示的函數(shù)值大，下方的圖象表示的函數(shù)值小來(lái)解題.舉一反三：【變式】直線：與直線：在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式＜的解集為（）A．＞1B．＜1C．＞－2D．＜－2【答案】B；提示：與直線：在同一平面直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)是（1，－2），根據(jù)圖象得到＜1時(shí)不等式＜成立．4、畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象求：(1)方程2＋1＝0的解；(2)不等式2＋1≥0的解集；(3)當(dāng)≤3時(shí)，的取值范圍；(4)當(dāng)－3≤≤3時(shí)，的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】可用兩點(diǎn)法先畫出函數(shù)的圖象，方程2＋1＝0的解從“數(shù)”看就是自變量取何值時(shí)，函數(shù)值是0，從“形”看方程2＋1＝0的解就相當(dāng)于確定直線與軸的交點(diǎn)，故圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程2＋1＝0的解．同理：圖象在軸上方所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合就構(gòu)成不等式2＋1＞0的解集．【答案與解析】解：列表：010在坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)(0，1)和，并過(guò)這兩點(diǎn)畫直線，即得函數(shù)的圖象．如圖所示．(1)由圖象可知：直線與x軸交點(diǎn)，∴方程2＋1＝0的解為；(2)由圖象可知：直線被軸在點(diǎn)分成兩部分，在點(diǎn)右側(cè)，圖象在軸的上方．故不等式2＋1≥0的解集為；(3)過(guò)點(diǎn)(0，3)作平行于軸的直線交直線于點(diǎn)M，過(guò)M點(diǎn)作軸的垂線，垂足為N．則N點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)；從圖象上觀察，在點(diǎn)(1，0)的左側(cè)，函數(shù)值≤3，則當(dāng)≤3時(shí)，自變量的取值范圍是≤1；(4)過(guò)(0，－3)作軸的平行線交直線于點(diǎn)P，過(guò)P作軸的垂線，垂足為H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為(－2，0)．觀察圖象，在(－2，0)的右側(cè)，在(1，0)的左側(cè)，函數(shù)值－3≤≤3．∴當(dāng)－3≤≤3時(shí)，自變量的取值范圍是－2≤≤1．【總結(jié)升華】仔細(xì)體會(huì)一次函數(shù)與一元一次方程和一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系：(1)一元一次方程(是已知數(shù))的解就是直線上這點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)一元一次不等式≤≤(，是已知數(shù)，且＜)的解集就是直線上滿足≤≤那條線段所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍；(3)一元一次不等式≤(或≥)(是已知數(shù))的解集就是直線上滿足≤(或≥)那條射線所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍.舉一反三：【變式】（2015秋?蒙城縣校級(jí)月考）畫出函數(shù)y=2x+6的圖象，利用圖象：（1）求方程2x+6=0的解；（2）求不等式2x+6＞0的解；（3）若﹣2≤y≤2，求x的取值范圍．【答案】解：圖象為：（1）觀察圖象知：該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，0），故方程2x+6=0的解為x=﹣3；（2）觀察圖象知：當(dāng)x＞﹣3時(shí)，y＞0，故不等式2x+6＞0的解為x＞﹣3；（3）當(dāng)﹣2≤y≤2時(shí)，﹣4≤x≤﹣2．類型三、用一次函數(shù)的性質(zhì)解決不等式的實(shí)際問(wèn)題5、（1）如圖，是函數(shù)的圖象，它與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（－3，0），則方程＝0的解是_________；不等式＞0的解集是__________.（2）如圖：OC，AB分別表示甲、乙兩人在一次賽跑中．各自的路程S（米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象寫出一個(gè)正確的結(jié)論___________.【答案】（1）；；（2）根據(jù)圖象的性質(zhì)可以得到，兩個(gè)兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)意義是當(dāng)＝9秒時(shí)，兩個(gè)人跑的路程相等，即兩個(gè)人相遇；或者從圖象上看出乙的速度比甲的速度快．【解析】（1）從圖象上得到函數(shù)