競賽數(shù)學(xué)論文均值不等式探討

均值不等式探討學(xué)院：數(shù)計院班級：11數(shù)本3班姓名：田虎學(xué)號：2011224334一、均值不等式的認(rèn)識不等式在數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域和科學(xué)技術(shù)中都是不可缺少的基本工具，而均值不等式是重中之重。人民教育出版社出版的全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第二冊第六章第二節(jié)說明,如果a、b是正數(shù),那么≥ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號。即兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。這個不等式,我們通常把它稱為均值不等式。對均值不等式的深刻理解和掌握,弄清楚其運(yùn)用條件,便能在解題中快速找到突破口,進(jìn)而找到正確解決問題的方法。最值問題一直都是高考試題中的一個熱點(diǎn)，幾乎年年都有所涉及。在解題的過程中，不難發(fā)現(xiàn)關(guān)于解最大值、最小值的問題絕大多數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成解不等式問題。使用均值不等式求最值簡單，快捷，方便。而且均值不等式為重要不等式的研究提供了重要依據(jù)。二、使用均值不等試的條件條件一：在所求最值的代數(shù)式中，各項都是正數(shù)，否則變號轉(zhuǎn)換；條件二：各變數(shù)的和或積要為常數(shù)，以確保不等式的一邊為定值，否則執(zhí)行拆項或添項變形；條件三：各變項必須有相等的可能。簡稱：一正，二定，三相等。若x.>0，求的最小值。解：∴f（x）的最小值是10.變式：若x<0，求的最大值。解：∴f（x）的最大值是-10.小結(jié)：=1\*GB3①形如（）的函數(shù)的最值可以用基本不等式求最值。=2\*GB3②利用基本不等式求最值時，各項都是正數(shù)，否則變號轉(zhuǎn)換。例2、求函數(shù)的最大值.解析注意到2x-1與5-2x的和為定值,.又y>0,所以,當(dāng)且僅當(dāng)2x-1=5-2x,即時取“=”號,所以點(diǎn)評本題將解析式2邊平方構(gòu)造出“和為定值”,為利用均值不等式創(chuàng)造了條件.總之,我們利用均值不等式求最值時,一定要注意“一正二定三相等”,同時還要注意一些變形技巧,積極創(chuàng)造條件利用均值不等式.三、均值不等式應(yīng)用錯例分析均值不等式在初等數(shù)學(xué)中有著非常重要而廣泛的應(yīng)用,然而學(xué)生往往對均值不等式“一正,二定,三相等”這個條件理解不透或運(yùn)用不慎,出現(xiàn)下面常見的錯誤。1>、漏記“一正”條件致誤例1:求函數(shù)的值域。在均值不等式a其中,錯解:故得結(jié)論:y∈[4,+∞)上述解法中,僅僅具備了相等、定值這兩個條件,是否均為正數(shù)呢?因為函數(shù)的定義域為(-∞,0)U(0,+∞),顯然,“一正”條件不夠充分的情況下,貿(mào)然使用均值不等式,得出不完全正確的結(jié)論。所以在運(yùn)用公式前,應(yīng)先檢查公式的條件是不是已滿足,若不滿足,應(yīng)創(chuàng)造條件應(yīng)用公式或改用其它途徑去解決問題。解:當(dāng)x>0時,可以滿足“一正,二定,三相等”可得y≥4當(dāng)x<0時,可知f(x)是奇函數(shù),由奇函數(shù)的性質(zhì)可得y≤-4所以原函數(shù)的值域為(-∞,-4)U[4,+∞)2>、疏忽都相等致誤例2:已知a>0b>0a+b=1求函數(shù)的最小值。錯解:故,S取得最大值8根據(jù)均值不等式取等號的充分必要條件是每個數(shù)皆相等,否則:則:2a=b,2b=a,從而a=b=0這與已知a>0,b>0,a+b=1相矛盾,所以事實(shí)上:其中等號在時取到。故當(dāng)a=b=時,S取得最小值9。3>、忽視均值不等式中的等號成立條件致錯例2求的最小值。錯解,所以y的最小值是2。評注在y≥2中,當(dāng)且僅當(dāng),即,這是不可能的,所以等號不成立,故y的最小值不是2。正確解因,令,則(t≥2),易證在[2,+∞)上遞增,所以y的最小值是,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時,即,x=0,取“=”號。四、均值不等式的推廣均值不等式在不等式理論中處于核心地位,是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的不等式之一.巧妙地應(yīng)用此不等式在求最值,比較大小,證明不等式等各方面都可得到較為理想的解法.均值不等式的推廣是均值不等式的延伸,也是解題的重要依據(jù)之一.定理A(均值不等式)設(shè)為n個正數(shù),則其算術(shù)平均,幾何平均與調(diào)和平均有:引理(Jensen不等式）若函數(shù)f在區(qū)間I上存在二階導(dǎo)數(shù),且有f"(x)≥0,則有其中xi∈I,qi>0,i=1,2,…,n,且=1,當(dāng)且僅當(dāng)x1q1=x2q2=…=xnqn時等號成立;若f"(x)≤0,不等式反號.例題、(第24屆全蘇數(shù)學(xué)競賽題)如果正數(shù)的和為1，則證明作nx2長方形表:由(*)式，得注意到，將上述不等式兩邊平方，整理，即得五、總結(jié)均值不等式的功能在于“積和互化”，若所證不等式可整理成一邊是和，一邊是積的形式，則考慮使用均值不等式；若對于所