初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題培訓(xùn)(29)生活中的數(shù)學(xué)

初中數(shù)學(xué)競(jìng)專題培訓(xùn)

第二十九講生活的數(shù)學(xué)三)——鏡子的世界在日常生活中們?yōu)榱擞^察自己的服裝儀表是否整潔漂亮，常常要照鏡子．如果鏡面是很平的，那么在鏡子中，人或物體與其像是完全一樣的．而且我們都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)人走近鏡面，人在鏡中的像也走進(jìn)鏡面；當(dāng)人遠(yuǎn)離鏡面，人在鏡中的像也遠(yuǎn)離鏡面．如果你留心的話，就可以發(fā)現(xiàn)：人和像與鏡面的距離保持相等(-155)，種現(xiàn)象叫作面對(duì)稱．如果我們只取一個(gè)側(cè)面，那么鏡面就可用一條直線來(lái)表示，人和人在鏡中的像可用一個(gè)平面圖形來(lái)表示樣與鏡就成了軸對(duì)稱叫直線對(duì)稱(2-155)．

取，C，和點(diǎn)，使得B′M=MB，C′N=NC，D′P=PD，EQ=QE，后連結(jié)AB′，B′，D，E，F(xiàn)于是就得到完整的蝴蝶形′D′CB了(-157(b))．例2設(shè)直線l直線l行且ll的距離為a如果線ABl右側(cè)關(guān)于l對(duì)稱圖形是A′′AB關(guān)于對(duì)稱圖形是AB(2158)那么線段ABA″B有什么關(guān)系？如果實(shí)物是△ABC，那么它在鏡中的像就成了圖形eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′′Cl表鏡稱l△ABC和△′C的對(duì)稱(圖2-156)．圖中，AAB與BC與C′是對(duì)稱點(diǎn)．以對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)所連結(jié)的線段′BB′CC′被對(duì)稱軸l垂直平分，因此果以直線l為折痕△折過(guò)來(lái)必與△A′′重合，所以成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形必全等．例設(shè)圖形半個(gè)蝴蝶形2-157(a))以直線l為對(duì)稱軸，畫(huà)出整個(gè)蝴蝶來(lái)．解為了畫(huà)出整個(gè)蝴蝶，只需要畫(huà)出圖形ABCDEF關(guān)于直線l的軸對(duì)稱圖形就可以了．因?yàn)?、F在直線l，所以它們的對(duì)稱點(diǎn)分別和F是同一點(diǎn)，這樣，只要畫(huà)出B，C，E關(guān)于l的稱點(diǎn)就行了．為此，先分別BC，E向l作垂線，設(shè)垂足分別為N，P，Q，然后在BM，CN，DP，EQ的長(zhǎng)線上

解因?yàn)閘行于l并且AA′″垂直于當(dāng)然也垂直于l，理BB′B也垂直于l和l我們知道：“在平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”，所以AA′A″∥B″①另一方面，因?yàn)锳P=PA，P′=P′A，所以AA′A″2PP=2a同理BB′=2a所以AA′A″B．②通過(guò)例我們可知，如果在平面上兩條直線互相平行，有一個(gè)圖形以這兩條直線為對(duì)稱軸，連續(xù)作了兩次軸對(duì)稱移動(dòng)，那么相當(dāng)于這個(gè)圖形作了一次平行移動(dòng)，平行移動(dòng)的距離剛好是這兩個(gè)對(duì)稱軸間距離的倍．如果我們反復(fù)利用例2的原理，就可做成帶形的花邊圖案．例如，我們把一張等寬的長(zhǎng)紙條像圖2159樣折疊起來(lái)，并在上面用小刀刻出一個(gè)三角形的洞，然后再展開(kāi)這張紙條，就會(huì)得到如圖160樣的帶形圖案．

-1-2-3-如果我們把圖-160的m，，m，mm看成鏡子，-1-2-3-A作實(shí)物那A和A就是A鏡子中的像了實(shí)，-1-2圖中的A以m為對(duì)稱軸作對(duì)稱移動(dòng)的對(duì)稱圖形，也可以把A作是作一次平行移到所得到的圖形．由此，怎樣看待A-1和A關(guān)系以及和A的關(guān)系呢？請(qǐng)同學(xué)們自己作出回答．

有了上面的知識(shí)，同學(xué)們不僅可以自己設(shè)計(jì)一些帶形花邊圖案，還可以了解某些廣告上畫(huà)的花邊圖案的原理了．下面的圖2-161圖2-兩個(gè)帶形圖案，你能看出它們是怎樣設(shè)計(jì)的嗎？如果我們把前面圖160中的mmmmm等看作平行的鏡子A作一個(gè)人如果這個(gè)人在鏡子中mm之間反復(fù)映-1照，那么就會(huì)看到圖163情況．

由于∠AOP=∠A′，AOP′∠OP′，所以∠AOA″＝POP＝．同理∠BOB″∠POP′=2，所以∠AOA″∠″2．②由①，②可知：在平面上，如果兩條直線相交，一個(gè)圖形以這兩條直線為對(duì)稱軸，連續(xù)作兩次對(duì)稱移動(dòng)，那么相當(dāng)于這個(gè)圖形以這兩條直線的交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，以這兩條直線的交角的2倍為旋轉(zhuǎn)角作了一個(gè)旋轉(zhuǎn)移動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)移動(dòng)下圖形的大小不變．例4同學(xué)們小時(shí)候常常玩萬(wàn)花筒，它是由三塊等寬、等長(zhǎng)的玻璃片圍成的．為什么在萬(wàn)花筒中會(huì)出現(xiàn)美麗奇特的圖案呢？試用前邊的知識(shí)揭開(kāi)萬(wàn)花筒的秘密．解萬(wàn)花筒中所以能呈現(xiàn)千變?nèi)f化美而奇特的圖案主要是利用了圖形的對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)原理．為具體說(shuō)明，給出的圖2-165為萬(wàn)花筒中的一個(gè)圖案，它是用一個(gè)小圓、一個(gè)平行四邊形和一段短線在萬(wàn)花筒中連續(xù)反射而成的圖形．為了清楚地說(shuō)明上圖形成的原理，我們?nèi)〕鰣D形中的一部分(-166)以分析．可以想象，在鏡子的像A，A，A?及在鏡m

中的像AA，?多的．還可以知道A鏡中-1-2-3像是A，A在鏡m中的像是A，A在鏡m中的像是?-1-2-2等等．因A和AAA軸對(duì)稱移動(dòng)，所A到平行移動(dòng)．例設(shè)直線直線l交，交點(diǎn)O其夾角為．如果線段AB關(guān)于l軸對(duì)稱圖形是AB而A′B關(guān)于l軸對(duì)稱圖形是BAB和A″B間有什么關(guān)系？(見(jiàn)圖2-164)解因?yàn)橐阎狝B于l1對(duì)稱圖形是B，B′關(guān)于l2的稱圖形是AB，所以′B，A′=A″B″，所以AB=A″B″，①

正△ABO以為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱移動(dòng)，就得到CBO；CBO以O(shè)C為稱軸作軸對(duì)稱移動(dòng)，就得到△．經(jīng)過(guò)這樣兩軸對(duì)稱移動(dòng)，實(shí)際上相當(dāng)于ABO以O(shè)為心以為旋轉(zhuǎn)角，作了一個(gè)旋轉(zhuǎn)移動(dòng)．這樣：點(diǎn)A→點(diǎn)C，邊AO→邊CO，點(diǎn)B→點(diǎn)D，邊AB→邊CD，點(diǎn)O→點(diǎn)O，邊BO→邊DO．在這樣旋轉(zhuǎn)移動(dòng)下，△ABO的平行四邊形、小圓和曲線也跟著旋轉(zhuǎn)了次反復(fù)成了圖165的麗景色果同學(xué)們有興趣，可以自己在紙上再現(xiàn)萬(wàn)花筒中的世界！練習(xí)二十1設(shè)和l是兩面行相對(duì)的鏡子，如果把一個(gè)小球放在ll間(圖2-，試問(wèn)(1)小球A鏡l的像A在什么位置？(2)小球A鏡l的像A在鏡l的像A″又在什么位置？分別畫(huà)在圖上；(3)小AA之間的距離l和之間的距離有什關(guān)系？

(A)60°(B)120(C)180°；(D)上答案都不對(duì)．32-169游樂(lè)園中的大型旋轉(zhuǎn)車的簡(jiǎn)圖，游人坐在旋轉(zhuǎn)車的車斗中，任憑旋轉(zhuǎn)車不停地旋轉(zhuǎn)，但總是頭朝上，絕不會(huì)掉下來(lái)．試問(wèn)車斗所作的移動(dòng)是什么移動(dòng)？請(qǐng)?jiān)谙旅娲鸢钢羞x一個(gè)正確的答案．(A)旋；稱；(C)移；(D)上答案都不對(duì)．42170表示一張長(zhǎng)方形球臺(tái)設(shè)P