數(shù)學(xué)危機(jī)課件

數(shù)學(xué)危機(jī)

1每一次數(shù)學(xué)危機(jī)，都是數(shù)學(xué)的基本部分受到質(zhì)疑。實(shí)際上，也恰恰是這三次危機(jī)，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的三次思想解放，大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。2公元前5世紀(jì)愛琴海畢達(dá)格拉斯希帕斯

一、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)3

希帕斯的問題：邊長為1的正方形的對(duì)角線長是多少？

4證明：設(shè)對(duì)角線表示為m/n，m,n為互質(zhì)的正整數(shù)則n也為偶數(shù)，這與m,n互質(zhì)矛盾。5希帕斯科學(xué)精神絕非信仰科學(xué)是批評(píng)的、疑問的、創(chuàng)造的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、求?shí)的科學(xué)工作中不容迷信和崇拜7危機(jī)往往是數(shù)學(xué)發(fā)展的先導(dǎo)危機(jī)也意味著挑戰(zhàn)，危機(jī)的解決就意味著進(jìn)步8二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)十七世紀(jì)牛頓貝克萊大主教“無窮小量”9初等數(shù)學(xué)----常量數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)------變量數(shù)學(xué)101．危機(jī)的引發(fā)1）牛頓的“無窮小”求運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度11

例如，設(shè)自由落體在時(shí)間下落的距離為，有公式，其中是固定的重力加速度。我們要求物體在的瞬時(shí)速度，先求?！啵?）12牛頓的這一方法很好用，解決了大量過去無法解決的科技問題。但是邏輯上不嚴(yán)格，遭到指責(zé)。132）貝克萊的發(fā)難英國的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。貝克萊問道：“無窮小”作為一個(gè)量，究竟是不是0？14

貝克萊還諷刺挖苦說：即然和都變成“無窮小”了，而無窮小作為一個(gè)量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了?！惪巳R悖論對(duì)牛頓微積分的這一責(zé)難并不是由數(shù)學(xué)家提出的，但是，牛頓及他以后一百年間的數(shù)學(xué)家，都不能有力地還擊貝克萊的這種攻擊。15

2．危機(jī)的實(shí)質(zhì)

那么第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是極限的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。16提出和使用了“極限”這個(gè)詞，但并沒有明確說清這個(gè)詞的意思173．危機(jī)的解決1）必要性微積分雖然在發(fā)展，但微積分邏輯基礎(chǔ)上存在的問題是那樣明顯，這畢竟是數(shù)學(xué)家的一塊心病。18而且，隨著時(shí)間的推移，研究范圍的擴(kuò)大，類似的悖論日益增多。數(shù)學(xué)家在研究無窮級(jí)數(shù)的時(shí)候，做出許多錯(cuò)誤的證明，并由此得到許多錯(cuò)誤的結(jié)論。由于沒有嚴(yán)格的極限理論作為基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)家們在有限與無限之間任意通行。

192）嚴(yán)格的極限理論的建立到19世紀(jì)，一批杰出數(shù)學(xué)家辛勤、天才的工作，終于逐步建立了嚴(yán)格的極限理論，并把它作為微積分的基礎(chǔ)。嚴(yán)格的極限理論的建立是逐步的、漫長的。20①在18世紀(jì)時(shí)，人們已經(jīng)建立了極限理論，但那是初步的、粗糙的。②達(dá)朗貝爾在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。③19世紀(jì)初，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾開始將嚴(yán)格的論證引入數(shù)學(xué)分析，他寫的《無窮的悖論》一書中包含許多真知灼見。21④法國數(shù)學(xué)家柯西（A.L.Canchy,1789—1857）。對(duì)極限給出比較精確的定義22

（５）德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（KarlWeierstrass，1815—1897）一方面是建立了實(shí)數(shù)系，另一方面是創(chuàng)造了精確的“”語言。23柯西的貢獻(xiàn)在于，將微積分建立在極限論的基礎(chǔ)。魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)在于，邏輯地構(gòu)造了實(shí)數(shù)系，建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，使之成為極限理論的基礎(chǔ)。建立微積分基礎(chǔ)的“邏輯順序”是：實(shí)數(shù)理論—極限理論—微積分。而“歷史順序”則正好相反。24“貝克萊悖論”的消除把物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度定義為：上述平均速度當(dāng)趨于0時(shí)的極限，即物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度=。25

瞬時(shí)速度=然后再求極限得26上述過程所得結(jié)論與牛頓原先的結(jié)論是一樣的，但每一步都有了嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)?！柏惪巳R悖論”的焦點(diǎn)“無窮小量是不是0？”，在這里給出了明確的回答：

27三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。人們水到渠成地思索：整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在哪里？19世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺到，集合論有可能成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。28元素與集合關(guān)系:29羅素悖論的通俗化——“理發(fā)師悖論”：某村的一個(gè)理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？30

如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。31悖論在于：無論哪一種情況，都得出矛盾。32其它悖論“我說這句話時(shí)正在說謊”問：這句話是真是假?請(qǐng)?jiān)谖沂稚蠈懮弦粋€(gè)“不”字判斷這件事是否會(huì)發(fā)生，若判斷會(huì)發(fā)生，則寫“是”，否則寫“不”。33羅素的“集合論悖論”引發(fā)危機(jī)正當(dāng)弗雷格即將出版他的《算術(shù)基礎(chǔ)》一書的時(shí)候，羅素的集合論悖論出來了。這也是龐加萊宣布“完全嚴(yán)格的數(shù)學(xué)已經(jīng)建立起來！”之后剛剛兩年，即1902年。34

集合論中居然有邏輯上的矛盾！

羅素悖論引發(fā)的危機(jī)，就稱為第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。354．危機(jī)的消除危機(jī)出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家作了巨大的努力來消除悖論。當(dāng)時(shí)消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時(shí)，盡量把原有理論中有價(jià)值的東西保留下來。361908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了由7條公理組成的集合論體系，稱為Z-系統(tǒng)。1922年，弗蘭克（A.A.Fraenkel）又加進(jìn)一條公理，還把公理用符號(hào)邏輯表示出來，形成了集合論的ZF-系統(tǒng)。再后來，還有改進(jìn)的ZFC-系統(tǒng)。這樣，大體完成了由樸素集合論到公理集合論的發(fā)展過程，悖論消除了。37但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來后不久，形象地評(píng)論道：“為了防狼，羊群已經(jīng)用籬笆圈起來了，但卻不知道圈內(nèi)有沒有狼”。這就是說，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，并不是完全令人滿意的。38四、三次數(shù)學(xué)危機(jī)與“無窮”的聯(lián)系

三次數(shù)學(xué)危機(jī)都與無窮有關(guān)，也與人們對(duì)無窮的認(rèn)識(shí)有關(guān)。39第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害是不認(rèn)識(shí)無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，它可以看成是無窮個(gè)有理數(shù)組成的數(shù)列的極限。所以，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的徹底解決，是在危機(jī)產(chǎn)生二千年后的19世紀(jì)，建立了極限理論和實(shí)數(shù)理論之后。實(shí)際上，它差不多是與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)同時(shí)，才被徹底解決的。40第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害，是極限理論的邏輯基礎(chǔ)不完善，而極限正是“有窮過渡到無窮”的重要手段。貝克萊的責(zé)難，也集中在“無窮小量”上。

無窮與有窮有本質(zhì)的區(qū)別.41

由于人們習(xí)慣于有窮，習(xí)慣于有窮情況下的思維，所以一旦遇到無窮時(shí)，要格外地小心.

42希爾伯特旅館房間數(shù)不是有限而是無窮多間，房間號(hào)碼為1，2，3，4，……這個(gè)旅館的房間可排成一列的無窮集合（1，2，3，4，…），稱為可數(shù)無窮集。43第一天一個(gè)人1號(hào)房間的客人搬到2號(hào)房間，2號(hào)房間的客人搬到3號(hào)房間……依此類推。最后1號(hào)房間空出來，請(qǐng)這位客人住下