2018年中考復(fù)習(xí)專題相似三角形一線三等角

—線三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等邊三角形為背景，一個(gè)與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：等角的頂點(diǎn)在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到底邊的延長(zhǎng)線時(shí)，形成變式圖形,圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過(guò)認(rèn)真做題，細(xì)細(xì)體會(huì)。典型例題TOC\o"1-5"\h\z【例1】如圖，等邊△ABC中，邊長(zhǎng)為6,D是BC上動(dòng)點(diǎn)，ZEDF=60°孑求證：△BDEs^CFD當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BE【思路分析】本題屬于典型的三等角型相似，由題意可得ZB=ZC=ZEDF=60°\再用外角可證ZBED=ZCDF,可證ABDE與厶CFD相似排出相似比便可求得線段BE的長(zhǎng)度解：⑴丁小匕。是等邊三角形，，^EDF=60°azb=zc=zedF=60°\vzedc=zeDf+zfdc=zb+^Bed.\zbed=zfDC'.???△BDEs^CfD(2)MBDE』；ACfD/???BD=1?FC=3,DD=55.??BE=—3點(diǎn)評(píng)：三等角型的相似三角形中的對(duì)應(yīng)邊中已知三邊可以求第四邊?！纠?】如圖，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，ZEDF=ZB,求證：△BDEs^DFE【思路分析】比較例1來(lái)說(shuō)區(qū)別僅是點(diǎn)D成為了BC的中點(diǎn)，所以ABDE與△CFD相似的結(jié)論依然成立，用相似后的對(duì)應(yīng)邊成比例，以及BD=CD的條件可證得ABDE和厶DFE相似解：VAB=AC,ZEDF=ZB\ZB=ZC=ZEDF/ZEDC=ZEDF+ZFDC=ZB+ZBED\ZBED=ZFDC*.△BDEs^CFDBECDDEDF又?.?BD=CDBE_DE

~BD~~DFBEBD即DE_DF/ZEDF=ZB?.△BDEs^DFE點(diǎn)評(píng)：三等角型相似中若點(diǎn)D是等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)則僅有一對(duì)相似三角形，若點(diǎn)D是底邊中點(diǎn)則有三對(duì)相BDDE似三角形，ABDE與ACFD相似后若得_加上BD=CD可證得ACFD與ADFE相似CFDF【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC=5cm,BC=8，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，過(guò)點(diǎn)P作射線PM交AC于點(diǎn)M,使ZAPM=ZB；求證：△ABPs^pCM；設(shè)BP=x,CM二y.求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域.當(dāng)厶APM為等腰三角形時(shí)，求PB的長(zhǎng).A

【思路分析】第（1）（2）小題都是用常規(guī)的三等角型相似的方法。對(duì)△APM進(jìn)行等腰三角形的分類討論時(shí)，可將條件轉(zhuǎn)化成與△ABP-^PCM相關(guān)的結(jié)論解：（1）TAB=AC,ZAPM=ZB.?.ZAPM=ZB=ZCVZAPC=ZAPM+ZMPC=ZB+ZBAP.\ZBAP=ZMPC.?.△ABPs^PCM（2）°.°BP=x,CM=y，CP=8-xABBP??~pc~Mc（3）當(dāng)AP=PM時(shí)PMPC?/=???PC=AB=5PAAB.??BP=3當(dāng)AP=AM時(shí)VZAPM=ZB=ZC；.ZPAM=ZBAC即點(diǎn)P與點(diǎn)B重合???P不與點(diǎn)B、C重合???舍去當(dāng)MP=AM時(shí)；.ZMAP=ZMPA.?.△MAPs^ABCPMPC58-x5==—即=—PAAB85839.??BP=—8點(diǎn)評(píng)：等腰三角形分類討論需要靈活應(yīng)用，可采用的方法添底邊上的高，將等腰的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，三等角型相似這類問(wèn)題中可將等腰的條件轉(zhuǎn)化至△ABP和厶PCM中簡(jiǎn)化運(yùn)算?！纠?】（1）在AABC中，AB=AC=5,BC=8，點(diǎn)P、Q分別在射線CB、AC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持ZAPQ=ZABC.①若點(diǎn)P在線段CB上（如圖10），且BP=6，求線段CQ的長(zhǎng);②若BP—x，CQ=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（2）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5（如圖12），點(diǎn)P、Q分別在直線CB、DC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持ZAPQ=90。.

當(dāng)CQ=1時(shí)，寫(xiě)出線段BP的長(zhǎng)（不需要計(jì)算過(guò)程，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果）.的延長(zhǎng)線上，這類變式問(wèn)題是上海中考中最常見(jiàn)的，雖然圖形改變，但是方法不變，依舊是原來(lái)的兩個(gè)三角形相似列出比例式后求解。當(dāng)?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r(shí)，依然沿用剛才的方法便可破解此類問(wèn)題?！拘?/p>

頂

還思底

占八、、【形

頂

還思底

占八、、

可路分析】角不以備用圖本例與前幾例的區(qū)別在于與等腰三角等的角的在線段上動(dòng)至線段圖12解：(1)TZAPQ+ZCPQ=ZB+ZBAP，ZAPQ=/ABC，又TAB=AC，.:ZB二AC.CQ=2"T_5CQCP⑵若點(diǎn)P在線段CB上，由⑴知麗=殛.y8CQCP⑵若點(diǎn)P在線段CB上，由⑴知麗=殛.又TCQ=y，AB=5，.:—=，即y=——x2+x.x55518故所求的函數(shù)關(guān)系式為y=—5x2+5x，(0<x<8).若點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，如圖11.(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上,BP=當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上,則點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上，BP二當(dāng)點(diǎn)P在線段(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上,BP=當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上,則點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上，BP二當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上,則點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上，BP二Q點(diǎn)評(píng)：此題是典型的圖形變式題，記住口訣：“圖形改變，方法不變”。動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí)，通過(guò)哪兩個(gè)三角形相似求解，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，還是找原來(lái)的兩個(gè)三角形，多數(shù)情況下這兩個(gè)三角形還是相似的，還是可以沿用原來(lái)的方法求解。強(qiáng)化訓(xùn)練：1.如圖，在AABC中，AB=AC=8，BC=10，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，且ZADE=ZC.求證：△ABDs^DCE；如果BD二x，AE=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的定義域；當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明AADE是什么三角形，并說(shuō)明理由.3第3第頁(yè)327x=327x=-17￡3yi???PC=4???BD=斗>5(舍去)綜上所述，BD的長(zhǎng)為124.解：(1)y=4(6-x)=-4x+24、y(2)VZFPE=ZB豐90°若ZPFE=90°，在RtAABH和RtAPFE中BHPF3ACOSZABH=COSZFPE=AB=PE=5若ZPEF=90°，在RtAABH和RtAPFE中BHPF3ACOSZABH=COSZFPE=砸=転=55.解：(I)APEBsAEPC44(2)VPC=x?.PF=—x,PE=—(6一x),\o"CurrentDocument"353264?。ゼ磞=-x2+x(0<x<3)7525EH=4EP=叫6-x)525(3)當(dāng)PE=PF時(shí),△EPC今APEB,PC=BE=x,當(dāng)PE=EF時(shí),x39x=-42x3PH=-PF=-x,cosZEPH=cosB,23=3455(6一x)當(dāng)FE=PF時(shí),TOC\o"1-5"\h\z25(6-x當(dāng)FE=PF時(shí),PM=—EP=—(6-x),cosZFPM=cosB,—=/.x=545x39108小綜上所述，PC的長(zhǎng)分別為x=了、、24436.解：(1)?.?AB=BC,.??ZA=ZC?/ZCDE+ZEDF=ZA+ZH又ZEDF=ZA,.??ZCDE=ZH/.ACEDsAADH廠77?廠T~\(2)①???ACEDsAADH——=——ADAH*/D是AC的中點(diǎn)，AC=6，.:AD=CD=3，又?/CE=x,AB=4x39???當(dāng)H點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，=，.:BH=—-434+BHxx39當(dāng)H點(diǎn)在線段AB上時(shí)，了=，?:BH=4一一34-BHx②過(guò)點(diǎn)D作DG〃AB,交BC于點(diǎn)G

???當(dāng)H點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),BH_BFG^~GF當(dāng)H???當(dāng)H點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),BH_BFG^~GF當(dāng)H點(diǎn)在線段AB上時(shí),BH_BFG5_GF7.解：（1）①證明：JZABP=180°—ZA—ZAPB,ZDPC=180°—ZBPC—ZAPB,ZBPC=ZA,??ZABP=ZDPC.???在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,?ZA=ZD.A△ABP^^DPC.ABpd25—x②解：設(shè)AP=x,則DP=5—x，由△ABPs^DPC,得AB_-PD，即-_「APDCx2解得X]=1,x2=4,則AP的長(zhǎng)為1或4.ABAP（2）①解：類似（1）①，易得△ABPs^DPQ,??.——_——PDDQ即2_-—，得y_——x2+—x—2,1<x<4.5—x2+y22②AP=2或AP=3—.&證明：（1）過(guò)點(diǎn)M作MG丄AD交AD于G?/AD//BC,AB//MG/.AG=BM=6?/AD=12???AG=GD/.AAGM今ADGM；.AM=DM（2）???ZFEM_ZAMBZAMB_ZAFEAAEMsAEFMAM_EMEMFMy_x2—x+10定義域?yàn)椋?<x<12⑶?/ZEFM_ZMAE+ZAEF>ZFEMEMMFM.?.若AEFM為等腰三角形，則EF=EM或EF=FM①當(dāng)EF=EM時(shí)，12—x=10.x=2②當(dāng)EF=②當(dāng)EF=FM時(shí)??ZFME_ZFEM_ZMAE.AE=EM.12-x_<82+（x-6）211x_-39.證明：（1）T在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,.ZB=ZCEBBPBE=2,BP=2,CP=4,CD=4,._，.:△BEPs^CPDCPCD⑵①???ZEPF_ZB+ZBEP_ZEPF+ZFPC又ZEPF=ZC=ZB,.ZBEP_ZFPCEBBP2x???△BEPsEPF,.：CP_CF?口_?、诋?dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)ZFDM=ZC=ZB,ZBEP_ZFPC_ZFMD,?△BEP^^DMF

又y=一2x2+3x一4，?:x2一3x+8=0,avo,.°.此方程無(wú)實(shí)數(shù)根,9故當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，不存在點(diǎn)P使S=Sx2—3x+x2—3x+429DF3yEBBPS_S,???J,又.?.△BEPsACPF..._ADMF4ABEPBP2xCPCF當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí)，同理△BEPs^DMFx2—9x+8=0,解得x二1,x二812由于x二8不合題意舍去，???x二1，即BP=129

所以當(dāng)S=S時(shí)，BP的長(zhǎng)為1.ADMF4ABEP10.解：（"△CMFsABEM,AME