標準偏差與相對標準偏差公式

標準偏差與相對標準偏差公式標準偏差與相對標準偏差公式標準偏差與相對標準偏差公式資料僅供參考文件編號：2022年4月標準偏差與相對標準偏差公式版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：標準偏差數(shù)學表達式：S-標準偏差（%）n-試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般n值不應少于20-30個i-物料中某成分的各次測量值，1～n；標準偏差的使用方法六個計算標準偏差的公式\o""[1]標準偏差的理論計算公式設對真值為X的某量進行一組等精度測量,其測得值為l1、l2、……ln。令測得值l與該量真值X之差為真差占σ,則有σ1=li?Xσ2=l2?X……σn=ln?X我們定義標準偏差(也稱\o"標準差"標準差)σ為（1）由于真值X都是不可知的,因此真差σ占也就無法求得,故式只有理論意義而無實用價值。標準偏差σ的常用估計—貝塞爾公式由于真值是不可知的,在實際應用中,我們常用n次測量的算術平均值來代表真值。理論上也證明,隨著測量次數(shù)的增多,算術平均值最接近真值,當時,算術平均值就是真值。于是我們用測得值li與算術平均值之差——剩余誤差（也叫殘差）Vi來代替真差σ,即設一組等精度測量值為l1、l2、……ln則……通過數(shù)學推導可得真差σ與剩余誤差V的關系為將上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的貝塞爾公式(Bessel)。它用于有限次測量次數(shù)時標準偏差的計算。由于當時，,可見貝塞爾公式與σ的定義式(1)是完全一致的。應該指出,在n有限時,用貝塞爾公式所得到的是標準偏差σ的一個估計值。它不是總體標準偏差σ。因此,我們稱式(2)為標準偏差σ的常用估計。為了強調(diào)這一點,我們將σ的估計值用“S”表示。于是,將式(2)改寫為(2')在求S時,為免去求算術平均值的麻煩,經(jīng)數(shù)學推導(過程從略)有于是,式(2')可寫為(2")按式(2")求S時,只需求出各測得值的平方和和各測得值之和的平方藝,即可。標準偏差σ的無偏估計\o"數(shù)理統(tǒng)計"數(shù)理統(tǒng)計中定義S2為\o"樣本方差"樣本方差數(shù)學上已經(jīng)證明S2是\o"總體方差"總體方差σ2的無偏估計。即在大量重復試驗中,S2圍繞σ2散布,它們之間沒有\(zhòng)o"系統(tǒng)誤差"系統(tǒng)誤差。而式(2')在n有限時,S并不是總體標準偏差σ的無偏估計,也就是說S和σ之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計告訴我們,對于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體,總體標準偏差σ的無偏估計值為(3)令則即S1和S僅相差一個系數(shù)Kσ,Kσ是與樣本個數(shù)測量次數(shù)有關的一個系數(shù),Kσ值見表。計算Kσ時用到Γ(n+1)=nΓ(n)Γ(1)=1由表1知,當n>30時,。因此,當n>30時,式(3')和式(2')之間的差異可略而不計。在n=30～50時,最宜用貝塞爾公式求標準偏差。當n<10時,由于Kσ值的影響已不可忽略,宜用式(3'),求標準偏差。這時再用貝塞爾公式顯然是不妥的。標準偏差的最大似然估計將σ的定義式(1)中的真值X用算術平均值代替且當n有限時就得到(4)式(4)適用于n>50時的情況,當n>50時,n和(n-1)對計算結果的影響就很小了。標準偏差σ的\o"極差"極差估計由于以上幾個標準偏差的計算公式計算量較大,不宜現(xiàn)場采用,而極差估計的方法則有運算簡便,計算量小宜于現(xiàn)場采用的特點。極差用"R"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機抽取的n個樣本測得值中的最大值與最小值之差。若對某量作次等精度測量測得l1、，且它們服從正態(tài)分布,則R=lmax?lmin概率統(tǒng)計告訴我們用極差來估計總體標準偏差的計算公式為(5)S3稱為標準偏差σ的無偏極差估計,d2為與樣本個數(shù)n(測得值個數(shù))有關的無偏極差系數(shù),其值見表2由表2知,當n≤15時,,因此,標準偏差σ更粗略的估計值為(5')還可以看出,當200≤n≤1000時，因而又有(5")顯然,不需查表利用式(5')和(5")了即可對標準偏差值作出快速估計,用以對用貝塞爾公式及其他公式的計算結果進行校核。應指出,式(5)的\o"準確度"準確度比用其他公式的準確度要低,但當5≤n≤15時,式(5)不僅大大提高了計算速度,而且還頗為準確。當n>10時,由于舍去數(shù)據(jù)信息較多,因此誤差較大,為了提高準確度,這時應將測得值分成四個或五個一組,先求出各組的極差R1、,再由各組極差求出極差平均值。極差平均值和總體標準偏差的關系為需指出,此時d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù)N(=nK)去查表2。再則,分組時一定要按測得值的先后順序排列,不能打亂或顛倒。標準偏差σ的平均誤差估計平均誤差的定義為誤差理論給出(A)可以證明與的關系為(證明從略)于是(B)由式(A)和式(B)得從而有式(6)就是佩特斯公式。用該公式估計δ值,由于\right|V\right|不需平方,故計算較為簡便。但該式的準確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。標準偏差的應用實例\o""[1]對標稱值Ra=<math>μm<math>的一塊粗糙度樣塊進行檢定,順次測得以下15個數(shù)據(jù):,,,,,,,,,,,,,和μm,試求該樣塊Rn的平均值和標準偏差并判斷其合格否。解：1)先求平均值2)再求標準偏差S若用無偏極差估計公式式(5)計算,首先將測得的,15個數(shù)據(jù)按原順序分為三組,每組五個,見表3。表3組號l_1l_5R123因每組為5個數(shù)據(jù),按n=5由表2查得故若按常用估計即貝塞爾公式式(2'),則若按無偏估計公式即式(3')計算,因n=15，由表1查得Kδ=,則若按\o"最大似然估計"最大似然估計公式即式(4')計算,則=(<math>μm<math>)若按平均誤差估計公式即式(6),則現(xiàn)在用式(5')對以上計算進行校核可見以上算得的S、S1、S2、S3和S4沒有粗大誤差。由以上計算結果可知<<<<即S2<S<S1<S4<S3可見,最大似然估計值最小,常用估計值S稍大,無偏估計值S1又大,平均誤差估計值S4再大,極差估計值S3最大?？v觀這幾個值,它們相當接近,最大差值僅為μm。從理論上講,用無偏估計值和常用估計比較合適,在本例中,它們僅相差μm?？梢韵嘈?隨著的增大,S、S1、S2、S3和S4之間的差別會越來越小。就本例而言,無偏極差估計值S3和無偏估計值S1僅相差μm,這說明無偏極差估計是既可以保證一定準確度計算又簡便的一種好方法。JJG102-89《表面粗糙度比較樣塊》規(guī)定Ra的平均值對其標稱值的偏離不應超過+12%～17%,標準偏差應在標稱值的4%～12%之間。已得本樣塊二產(chǎn),產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi),故該樣塊合格。標準偏差與標準差的區(qū)別\o"標準差"標準差(StandardDeviation)各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離（\o"離均差"離均差）的\o"平均數(shù)"平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用σ表示。因此，\o"標準差"標準差也是一種平均數(shù)。標準差是\o"方差"方差的算術平方根。標準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標準差未必相同。例如，A、B兩組各有6位學生參加同一次語文測驗，A組的分數(shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分數(shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標準差為分，B組的標準差為分，說明A組學生之間的差距要比B組學生之間的差距大得多。標準偏差(StdDev,StandardDeviation)-\o"統(tǒng)計學"統(tǒng)計學名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度之標準，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術平均值的程度。標準偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦然。標準偏差的大小可通過標準偏差與平均值的倍率關系來衡量。有人經(jīng)?；煊镁礁`差（RMSE）與標準差（StandardDeviation），實際上二者并不是一回事。1.均方根誤差均方根誤差為了說明樣本的離散程度。均方根誤差（root-mean-squareerror）亦稱標準誤差，其定義為，i＝1，2，3，…n。在有限測量次數(shù)中，均方根誤差常用下式表示：，式中，n為測量次數(shù)；di為一組測量值與平均值的偏差。如果誤差統(tǒng)計分布是正態(tài)分布，那么隨機誤差落在土σ以內(nèi)的概率為68％。

2.標準差標準差是方差的算術平方根。

標準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標準差未必相同。

標準差也被稱為標準偏差，或者實驗標準差。均方根值也稱作為效值，它的計算方法是先平方、再平均、然后開方。比如幅度為100V而占空比為的方波信號，如果按平均值計算，它的電壓只有50V，而按均方根值計算則有。這是為什么呢舉一個例子，有一組100伏的電池組，每次供電10分鐘之后停10分鐘，也就是說占空比為一半。如果這組電池帶動的是10Ω電阻，供電的10分鐘產(chǎn)生10A的電流和1000W的功率，停電時電流和功率為零。

那么在20分鐘的一個周期內(nèi)其平均功率為500W，這相當于的直流電向10Ω電阻供電所產(chǎn)生的功率。而50V直流電壓向10Ω電阻供電只能產(chǎn)生的250W的功率。對于電機與變壓器而言，只要均方根電流不超過額定電流，即使在一定時間內(nèi)過載，也不會燒壞。抽油機電能圖測試儀對電流、電壓與功率的測試計算都是按有效值進行的，不會因為電流電壓波形畸變而測不準。這一點對于測試變頻器拖動的電機特別有用。均方根誤差為了說明樣本的離散程度。對于N1,....Nm,設N=(N1+...+Nm)/m;則均方根誤差記作：

t=sqrt(((N^2-N1^2)+...+(N^2-Nm^2))/(m(m-1)))；

比如兩組樣本：

第一組有以下三個樣本：3，4，5

第二組有一下三個樣本：2，4，6

這兩組的平均值都是4，但是第一組的三個數(shù)值相對更靠近平均值，也就是離散程度小，均方差就是表示這個的。同樣，方差、標準差(方差開根,因為單位不統(tǒng)一)都是表示數(shù)據(jù)的離散程度的。幾種典型平均值的求法

（1）算術平均值這種平均值最常用。設x1、x2、…、xn為各次的測量值，n代表測量次數(shù)，則算術平均值為

（2）均方根平均值

（3）幾何平均值

（4）對數(shù)平均值

（5）加權平均值

相對標準方差的計算公式

準確度：測定值與真實值符合的程度

絕對誤差：測量值（或多次測定的平均值）與真（實）值之差稱為絕對誤差，用δ表示。

相對誤差：絕對誤差與真值的比值稱為相對誤差。常用百分數(shù)表示。

絕對誤差可正可負，可以表明測量儀器的準確度，但不能反映誤差在測量值中所占比例，相對誤差反映測量誤差在測量結果中所占的比例，衡量相對誤差更有意義。

例：用刻度0.5cm的尺測量長度，可以讀準到0.1cm，該尺測量的絕對誤差為0.1cm；用刻度1mm的尺測量長度，可以讀準到0.1mm，該尺測量的絕對誤差為0