2019湘教初三數(shù)學(xué)專題二動態(tài)探究題

2019-湘教版初三數(shù)學(xué)專題二動向研究題2019-湘教版初三數(shù)學(xué)專題二動向研究題12/122019-湘教版初三數(shù)學(xué)專題二動向研究題2019-2020年湘教版初三數(shù)學(xué)專題二動向研究題一.本周授課內(nèi)容：專題二動向研究題這類題型包括有動點問題，動線問題和動圓問題三類。主若是觀察學(xué)生對幾何元素的運動變換的性質(zhì)，它主要揭穿“運動”與“靜止”，“一般”與“特別”的內(nèi)在聯(lián)系，以及在必然條件下能夠相互轉(zhuǎn)變的唯物辨證關(guān)系。解決此類問題的要點是將運動的幾何元素看作靜止來加以解答，即“化動為靜”的思路；并能在從相對靜止的剎時清楚地發(fā)現(xiàn)圖形變換前后各種量與量之間的關(guān)系，經(jīng)過歸納得出規(guī)律和結(jié)論，并加以論證。中考題中的動向型試題是觀察學(xué)生創(chuàng)新意識的重要題型之一。【典型例題】（一）動點型動向研究題例1.如圖，在直角坐標(biāo)系中，O是原點，A、B、C三點的坐標(biāo)分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形，點P、Q同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，當(dāng)這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動。（1）求出直線OC的解析式及經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式。（2）試在（1）中的拋物線上找一點D，使得以O(shè)、A、D為極點的三角形與△AOC全等，請直接寫出點D的坐標(biāo)。（3）設(shè)從出倡導(dǎo)運動了t秒，若是點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點Q的坐標(biāo)，并寫出此時t的取值范圍。（4）設(shè)從出倡導(dǎo)，運動了t秒鐘，當(dāng)P、Q兩點運動的行程之和恰好等于梯形OABC周長的一半，這時，直線PQ可否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，央求出t的值；如不能能，請說明原由。解析：（1）較簡單，利用待定系數(shù)法可解決。（2）要想△AOD與△OAC全等，且點D也在拋物線上，則易知點D與點C應(yīng)恰好關(guān)于拋物線對稱軸對稱，從而寫出點D的坐標(biāo)。3）應(yīng)注意點Q在線段OC上和線段CB上兩種狀況，再依照坐標(biāo)與線段特色關(guān)系，可確定點Q的坐標(biāo)。4）要想正確研究可否存在直線PQ將梯形OABC周長和面積均分，可先從均分周長下手，找出與之相關(guān)的時間t（秒）的關(guān)系式，再分別計算相應(yīng)兩部分的面積，可獲得正確結(jié)論。解：（1）∵O、C兩點的坐標(biāo)分別為O（0，0），C（8，6）∴設(shè)OC的解析式為y＝kx368k，k43x直線OC的解析式為y4∵拋物線過O（0，0），A（18，0），C（8，6）三點∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x－0）（x－18）再將C（8，6）代入6＝a（8－0）（8－18）a340y3x227x4020（2）要使△AOD≌△AOC，且點D在拋物線上則點D與點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱由（1）易知拋物線的對稱軸為x＝9由點C（8，6）知點D坐標(biāo)為（10，6）3）當(dāng)Q在OC上運動時，設(shè)Q(m，3m)4依題意有：m2(3m)2(2t)248t586Q(t，t)(0t5)CQBQOPA當(dāng)Q在CB上時，點Q所走過的行程為2t∵OC＝10∴CQ＝2t－10∴點Q的橫坐標(biāo)為2t－10＋8＝2t－2∴Q（2t－2，6）（5<t≤10）（4）由條件知：梯形OABC的周長為44當(dāng)Q點在OC上時，P點運動的行程為t，則Q點運動的行程為（22－t）△OPQ中，OP邊上的高為：(223t)135SOPQt(22t)25S梯形OABC1(1810)6842依題意有：13841t(22t)522整理得：t2－22t＋140＝022241400∴這樣的t不存在當(dāng)Q在BC上，Q走過的行程為（22－t）CQ22t1012tS梯形OCQP16(22t10t)3684122∴這樣的t值也不存在∴不存在t值，使得P、Q兩點同時均分梯形的周長和面積。例2.如圖，已知在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB<CD，AB＝10，BC＝31）若是M為AB上一點，且滿足∠DMC＝∠A，求AM的長。2）若是點M在AB上搬動，（點M與A、B不重合）且滿足∠DMN＝∠A，MN交BC延長線于N，設(shè)AM＝x，CN＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍（寫取值范圍不需推理）解析：略解：（1）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CDAMB231DC∴∠A＝∠B∵∠1＋∠2＋∠A＝180°3＋∠2＋∠DMC＝180°又∠DMC＝∠A∴∠1＝∠3，∠B＝∠A∴△ADM∽△BMCAMADBCBM設(shè)AMx，則

x3310x即x210x90x1＝1，x2＝9經(jīng)檢驗：x1＝1，x2＝9都為原方程的根∴AM＝1或9（2）如圖AMBOCN同理可證：△ADM∽△BMN則AMAD，即x3BNMB3y10xy1x210x3(1x9)3例3.已知，如圖①，E、F、G、H依照AE＝CG，BF＝DH，BF＝nAE（n是正整數(shù)）的關(guān)系，分別在兩鄰邊長為a，na的矩形ABCD各邊上運動，設(shè)AE＝x，四邊形EFGH的面積為SAHDEGBFC①（1）當(dāng)n＝1，2時，如圖②，如圖③，觀察運動狀況，寫出四邊形EFGH各極點運動到何地址，使S1S矩形ABCD？2AHDAHDEGEGB

F

C

B

F

C②

③（2）當(dāng)

n＝3時，如圖④，求

S與x

之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量

x的取值范圍）研究S隨

x增大而變化的規(guī)律，猜想四邊形

EFGH

各極點運動到何地址使

S

1S矩形ABCD？2A

H

DEGBFC④（3）當(dāng)n＝k（k≥1）時，你所獲得的規(guī)律和猜想可否成立？為什么？解析：這是一道研究性開放題，圖形是不斷地變化，解題要點是從特別狀況下手，總結(jié)出其中所蘊涵的規(guī)律性特色，找出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，判斷出S與x之間變化的規(guī)律，從而對n＝k（k≥1）的一般狀況作出猜想。解：（1）當(dāng)n＝1時，如圖②，有AE＝BF＝CG＝DH此時要使S1S矩形ABCD2則E、F、G、H四點應(yīng)恰好為各對應(yīng)邊的中點當(dāng)n＝2時，如圖③，AE＝CG，DH＝BF＝2AE矩形ABCD中，有BC＝2AB要使S1S矩形ABCD2仍必定有E、F、G、H為矩形ABCD各邊中點（2）當(dāng)n＝3時，如圖④AE＝CG，BF＝DH＝3AE設(shè)AE＝x，則BF＝DH＝3x∴BE＝a－x＝DGAH＝CF＝3a－3xSa3ax(3a3x)(ax)3x3a26ax6x2即S6x26ax3a2(0xa)配方得：S6(xa)23a222∵a＝6>0，∴張口向上當(dāng)0xa時，S隨x增大而減小2a時，S隨x增大而增大2a)23a21要使S6(x2a3a22ax2即點E為AB中點從而點F、G、H也應(yīng)分別是BC、CD、DA的中點即當(dāng)E、F、G、H運動至矩形ABCD各邊中點，有S1S矩形ABCD23）當(dāng)n＝k（k≥1）時，上述規(guī)律和猜想是成立的原由：設(shè)AE＝CG＝x，則BF＝DH＝kxBEDGax，CFAHkakxk(ax)Sakaxk(ax)(ax)kx2kx22kaxka2(0xa)配方得S2k(xa)2ka222當(dāng)xa時，S隨x增大而減小2當(dāng)xa時，S隨x增大而增大2且當(dāng)xaka211時，S2akaS矩形ABCD222即E、F、G、H仍為各邊中點時S1S矩形ABCD2（二）線動型動向研究題例4.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝4cm，∠A＝60°，BD⊥AD，一動點P從A出發(fā)以每秒1cm的速度沿A→B→C的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PM⊥AD于點E（1）當(dāng)點P運動2S時，設(shè)直線PM與AD訂交于點E，求△APE的面積。（2）當(dāng)點P運動2S時，另一動點Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線運動，在BC上以每秒2cm的速度勻速運動，過Q作直線QN，使QN//PM，設(shè)點Q運動的時間為t秒（0≤t≤10），直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為Scm2，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式。DCMEAPB解析：（1）較簡單（2）難點在于不能夠正確掌握運動過程中P、Q兩點的可能地址，由于P、Q兩點運動速度不相同，所以P、Q不用然都在AB上，當(dāng)0≤x≤6時，點P、Q都在AB上，相應(yīng)PM與QN的地址較易探望。當(dāng)6≤x≤8時，點P在BC上，而點Q在AB上，圍成四邊形面積可表示當(dāng)8≤x≤10時，點P、Q都在BC上運動，相應(yīng)的垂直圍成的四邊形形狀又發(fā)生變化，所以本題要點在于分類談?wù)?。解：?）當(dāng)點P運動2S時，AP＝2cm，由∠A＝60°AE1，PE3SAPE

322）∵點P速度為1cm/s，點Q在AB上的速度為1cm/s又AD＝4，∠A＝60°∴AB＝8cm∴點P在AB上運動8秒鐘，而點Q晚2秒鐘開始運動∴點Q在AB上運動8秒鐘<1>當(dāng)0≤t≤6時，點P與點Q都在AB上運動設(shè)PM與AD交于點E，QN與AD交于點F，如圖②DCMENFAQPB②則AQt，AFt，QF3t22tAPt2，AE123PE3t2∴此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為：SFQPEEF3t3222<2>當(dāng)6≤t≤8時，點P在BC運動，點Q仍在AB上運動，如圖③DMCNEFPAQB③設(shè)PM與DC交于點E，QN與AD交于點F13則AQt，AFt，QFtDF4

22t2BPt6，CP10t，PE(10t)3而BD43SS平行四邊形ABCDSAQFSCPE16311t3t1(10t)(10t)3222253t2103t23438<3>當(dāng)8≤t≤10，點P和點Q都在BC上運動，如圖④DNMCFEPQAB④則CQ202t，QF(202t)3CP10t，PE(10t)3∴此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為：(EPFQ)PQS2[(10t)3(202t)3]2(202t10t)33(10t)233t2303t150322例5.如圖在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點A和C的坐標(biāo)分別為（4，8）（0，5），過點A作ABx軸于點B，過OB上的動點D作直線y＝kx＋b平行于AC，與AB訂交于點E，連結(jié)CD，過點E作EF//CD交AC于點F1）求經(jīng)過A、C兩點的直線解析式。2）當(dāng)點D在OB上搬動時，可否使四邊形CDEF成為矩形？若能，求出此時k、b的值；若不能夠，請說明原由。（3）若是將直線AC作上、下平移，交y軸于點C’，交AB于點A’，連結(jié)OC’，過點E作EF’//DC，’交A’C’于點F’，那么可否使四邊形C’DEF’成為正方形？若能央求出此時正方形的面積，若不能夠，說明原由。yAFCEODBx解析：本題難點在于在運動狀態(tài)下商議圖形是矩形和正方形的可能性問題，可先假設(shè)結(jié)論成立，利用條件和相關(guān)知識研究需要的條件，從而作出合適鑒識。解：（1）設(shè)直線AC的解析式為y＝mx＋n，由條件得：4mn8n5解得m34n5直線AC的解析式為：y3x542）假設(shè)能，則∠CDE＝90°設(shè)OD＝xDE//AC，k34BD4x，BE3(4x)4CDECODDBE90∴∠CDO＝∠DEB∴△COD∽△DBEODOC，即x5BEDB3(4x)4x4解得：x14，x2經(jīng)檢驗：

15415是方程的根，且x44∴點D在OB上15存在吻合條件的D(，0)4（3）①直線A’C在’直線DE的下方，這時A’落在EB上yAFCA’F’C’EODBxEF’<A’E≤BE<ED∴這時不存在正方形C’DEF’②直線A’C在’直線DE的上方，這時必有C’D＝DE∠C’DE＝90°則Rt△C’OD≌Rt△DBE∴OD＝BE設(shè)OD＝x，則BE＝x，BD＝4－x由（2）知：BD4，4x4BE3x3解得x

127經(jīng)檢驗：12是方程的根且吻合題意7∴存在吻合條件的點D，此時BE12，BD1677∴正方形C’DEF’的面積：SDE2BE2BD2(12)2(16)24007749（三）圓動型動向研究題例6.已知，如圖，直線l的解析式為y3x3，并且與x軸，y軸分別訂交于點4、B1）求A、B兩點的坐標(biāo)。（2）一個圓心在坐標(biāo)原點，半徑為1的圓以0.4個單位/秒的速度向x軸正方向運動，問在什么時辰與直線l相切？（3）在題（2）中若在圓開始運動的同時，一動點P從B點出發(fā)，沿BA方向以0.5個單位/秒的速度運動，問整個運動過程中，點P在動圓的圓面（圓上和圓的內(nèi)部）上一共運動了多少時間？ylOAxB解析：（1）較簡單2）可先設(shè)想圓運動至與直線l相切的地址后，再借助圖形利用相似獲得結(jié)果，應(yīng)試慮切點在點A的右側(cè)的狀況。（3）點P在動圓的圓面上運行的行程應(yīng)是以點A左側(cè)與動圓的切點至A點右側(cè)與動圓的動點之間的線段長，可得結(jié)論。解：（1）在y3x3中4令x＝0，得y＝－3令y＝0，得x＝4∴A、B兩點的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，－3）（2）如圖若動圓的圓心在C處與直線l相切，切點為D連CD，則CD⊥AD∴∠CDA＝∠AOB＝90°又∠CAD＝∠BAORtCAD~RtBAOCDACBOAB1AC，AC5353OC574337S335t(秒)依照對稱性，圓C還可能在直線l的右側(cè)，與直線l相切517此時OC433S17853t(秒)v6綜上所述，動圓與直線l相切時，動圓運動的時間為35秒和85秒。66（3）如圖設(shè)在t秒時辰，動圓的圓心在

F處，動點在

P點處?！氪藭rOF＝，BP＝F點的坐標(biāo)為（，0），連

PFOF

4BPOA

05.t4

5又BA5OFOABPBAFP//OB，F(xiàn)POA∴點P的橫坐標(biāo)為又點P在直線AB上∴P點的縱坐標(biāo)為－3可見，當(dāng)PF＝1時，點P在動圓上當(dāng)0≤PF<1時，點P在動圓內(nèi)當(dāng)PF＝1時，由對稱性知，有兩種狀況①當(dāng)P點在x軸下方時，PF＝－（－3）＝1解得t203②當(dāng)點P在x軸上方時，PF＝－3＝1解得t403當(dāng)20t40時，0PF1，此時點P在動圓的圓面上33402020所經(jīng)過的時間為33320答：動點在動圓的圓面上共經(jīng)過了秒。3經(jīng)過點動型、線動型、圓動型等