三角函數(shù)綜合知識(shí)講解基礎(chǔ)

16/16三角函數(shù)綜合編稿：丁會(huì)敏審稿：王靜偉【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度和角度的換算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，理解周期函數(shù)和最小正周期的意義.3.能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明.4.會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡(jiǎn)圖，理解的物理意義.5．掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)并能靈活應(yīng)用．6．熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀，理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會(huì)用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：終邊相同的角1．終邊相同的角凡是和終邊相同的角，都可以表示成的形式.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)終邊相同的前提是：原點(diǎn)，始邊均相同；(2)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(3)終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差的整數(shù)倍.特例：終邊在x軸上的角集合，終邊在y軸上的角集合，終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合.在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時(shí)，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小.2．弧度和角度的換算(1)角度制和弧度制的互化：弧度，弧度，弧度(2)弧長(zhǎng)公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如等等，一般地,正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來(lái)決定.(2)角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：，其中，是圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，是半徑.要點(diǎn)二：任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律、特殊角的三角函數(shù)值、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式：1.三角函數(shù)定義：角終邊上任意一點(diǎn)為，設(shè)則：要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝呛瘮?shù)的值和點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，僅和角的大小有關(guān).我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,那么,,．2.三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦(為正)；要點(diǎn)詮釋?zhuān)嚎谠E的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正．3.特殊角的三角函數(shù)值02010-1010-10101不存在0不存在04.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(使得函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立；(2)是的簡(jiǎn)寫(xiě)；(3)在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值的概念，應(yīng)注意“”的選?。?.誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號(hào)看象限):()，()，()()，()，()()，()，()()，()，()()，()，()，()，()()，()要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)要化的角的形式為(為常整數(shù))；(2)記憶方法：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”；(3)必須對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見(jiàn)角知值，見(jiàn)值知角”；(4)；.要點(diǎn)三：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：定義域(-∞，+∞)(-∞，+∞)值域[-1，1][-1，1]奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間周期性最小正周期最小正周期最值當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心的圖象是由的圖象左移得到的.2．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：定義域值域R奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間周期性最值無(wú)最大值和最小值對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心要點(diǎn)四：函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．“五點(diǎn)法”作簡(jiǎn)圖用“五點(diǎn)法”作的簡(jiǎn)圖，主要是通過(guò)變量代換，設(shè)，由z取來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象.要點(diǎn)詮釋?zhuān)河谩拔妩c(diǎn)法”作圖的關(guān)鍵是點(diǎn)的選取，其中橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，公差為.2．的性質(zhì)(1)三角函數(shù)的值域問(wèn)題三角函數(shù)的值域問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題，常用方法有：化為代數(shù)函數(shù)的值域或化為關(guān)于的二次函數(shù)式，再利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在限定區(qū)間上的值域.(2)三角函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把看作一個(gè)整體，比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間；要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）注意復(fù)合函數(shù)的解題思想；（2）比較三角函數(shù)值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在轉(zhuǎn)化為屬于同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)同名函數(shù)值，再利用單調(diào)性比較.3．確定的解析式的步驟①首先確定振幅和周期，從而得到；②確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，要注意從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置，同時(shí)要利用好最值點(diǎn).要點(diǎn)五：正弦型函數(shù)的圖象變換方法先平移后伸縮的圖象的圖象的圖象的圖象的圖象.先伸縮后平移的圖象的圖象的圖象的圖象的圖象.【典型例題】類(lèi)型一：三角函數(shù)的概念例1．已知角的終邊上一點(diǎn)，且，求的值.【思路點(diǎn)撥】【解析】由題設(shè)知，，所以，得，從而，解得或.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.【總結(jié)升華】理解正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義，三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān).舉一反三：【變式1】已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－630°)，且α＝－，則m的值為()A．－B.C．－D.【答案】B【解析】r＝，∴α＝，∴m>0，∴，∴m＝±.∵m>0，∴m＝.例2.已知角；(1)在區(qū)間內(nèi)找出所有和角有相同終邊的角；(2)集合，，那么兩集合的關(guān)系是什么？【答案】(1)或(2)【解析】(1)所有和角有相同終邊的角可表示為：，則令，得解得，從而或代回或.(2)因?yàn)楸硎镜氖墙K邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合；而集合表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合，從而：.【總結(jié)升華】(1)從終邊相同的角的表示入手分析問(wèn)題，先表示出所有和角有相同終邊的角，然后列出一個(gè)關(guān)于的不等式，找出相應(yīng)的整數(shù)，代回求出所求解；(2)可對(duì)整數(shù)的奇、偶數(shù)情況展開(kāi)討論.舉一反三：【變式1】集合，，則()A、B、C、D、【答案】C【解析】(法一)取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐標(biāo)系中，數(shù)形結(jié)合(法三)集合M變形，集合N變形，是的奇數(shù)倍，是的整數(shù)倍，因此.類(lèi)型二:扇形的弧長(zhǎng)和面積公式例3．已知一半徑為r的扇形，它的周長(zhǎng)等于所在圓的周長(zhǎng)的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面積是多少？【答案】【解析】設(shè)扇形的圓心角是，因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)是，所以扇形的周長(zhǎng)是依題意，得≈≈【總結(jié)升華】弧長(zhǎng)和扇形面積的核心公式是圓周長(zhǎng)公式和圓面積公式，當(dāng)用圓心角的弧度數(shù)代替時(shí)，即得到一般的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式：類(lèi)型三：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式例4．若θθ=，θ∈(，)，求θ－θ的值．【思路點(diǎn)撥】已知式為θ、θ的二次式，欲求式為θ、θ的一次式，為了運(yùn)用條件，須將θ－θ進(jìn)行平方．【解析】(θ－θ)22θ2θ－2θθ=1－=．∵θ∈(，)，∴θ＜θ．∴θ－θ=－．【總結(jié)升華】θθ，θθ，θ－θ三者關(guān)系緊密，由其中之一，可求其余之二．舉一反三：【變式1】已知是的一個(gè)內(nèi)角，且，求【思路點(diǎn)撥】根據(jù)可得的范圍：再結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系式求解.【答案】【解析】為鈍角，由，平方整理得【變式2】已知θ－θ=－，求θθ，θθ的值．【答案】【解析】，，，類(lèi)型四：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式例5．（1）585°的值為()A．－B.C．－D.（2）已知(2π－α)＝，α∈，則等于()A.B．－C．－7D．7【思路點(diǎn)撥】本題是對(duì)誘導(dǎo)公式和特殊三角函數(shù)值的考查，熟練掌握誘導(dǎo)公式即可.【答案】（1）A（2）A【解析】（1）585°＝(360°＋225°)＝(180°＋45°)＝－.（2）(2π－α)＝－α＝，∴α＝－.又α∈，∴α＝.∴＝.【總結(jié)升華】誘導(dǎo)公式用角度和弧度制表示都成立，記憶方法可以概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“變”和“不變”是相對(duì)于對(duì)偶關(guān)系的函數(shù)而言的，和對(duì)偶，“奇”、“偶”是對(duì)誘導(dǎo)公式中的整數(shù)k來(lái)講的，象限指中，將看作銳角時(shí)，所在象限，如將寫(xiě)成，因?yàn)?是奇數(shù)，則“”變?yōu)閷?duì)偶函數(shù)符號(hào)“”，又看作第四象限角，為“+”，所以有.舉一反三：【變式1】已知，且－π<α<－，則等于()A.B.C．－D．－【答案】D【解析】＝＝.又－π<α<－，∴－π<＋α<－，∴＝－，∴＝－.類(lèi)型五：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)例6.函數(shù)y＝的部分圖象是()【思路點(diǎn)撥】結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的正負(fù)，或采用特殊值法.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以排除A、C，當(dāng)x∈(0，)時(shí)，y＝＜0.答案為D.【總結(jié)升華】本題通過(guò)觀察四個(gè)選項(xiàng)A，C和B，D分別關(guān)于y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，從而啟示我們從研究函數(shù)奇偶性入手考慮進(jìn)行篩選，然后通過(guò)研究其函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)行確定，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的應(yīng)用.舉一反三：【高清課堂：三角函數(shù)的綜合395043例1】【變式1】函數(shù)在內(nèi)（）A．沒(méi)有零點(diǎn)B．有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D．有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)【答案】B例7．已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù)的圖象，只要將的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【思路點(diǎn)撥】對(duì)于不同三角函數(shù)圖象之間的平移變換，一定要根據(jù)誘導(dǎo)公式將二者之間變換清楚．【答案】A【解析】由題知又，所以所以==顯然將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度便可得到的圖象．故選A．舉一反三：【變式1】把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的圖象所表示的函數(shù)是()A. B.C. D.解析：，故選C.例8．函數(shù)()的最大值為3,其圖像相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為．(1)求函數(shù)的解析式;(2)設(shè),則,求的值.【思路點(diǎn)撥】由題意知，2，，可求出．（2）把代入函數(shù)解析式，求出的值．【答