考研-數(shù)學(xué)2007基礎(chǔ)班線性代數(shù)講義

2007考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班線性代數(shù)講義前言第一講基本知一．線性方程組的基本概a11x1a12x2a1nxna21a

a22

a2n

b2am1x1am2x2amnxnmn不一定相等。（k1,k2,,knb1b2bm0。零解（0,0,,0二．矩陣和向矩陣和向AA

a1n a2n系數(shù)矩陣

am

amn

b1b2增廣矩陣

b 1

m A1,2,3,4,5線性運(yùn)算與轉(zhuǎn) ②數(shù) 1 ①ABB②ABCAB③cABcA④cdA

cdAcA⑤

0c0A01,2,,sc11c22cssAAT（A3

1

1

1

3 ATTA

AT

cATn階矩nna11*對(duì)角矩陣00數(shù)量矩陣00

0 0* * 03 3 單位矩陣 0E或 1 * 上（下）三角矩陣 ATAATA三．矩陣的初等變換，階梯形矩初等行變初等變換分初等列變A②用非零常數(shù)c 1 ②各非零行的第一個(gè)非0或各行左邊連續(xù)出現(xiàn)的0的個(gè)數(shù)自上而下嚴(yán)格單調(diào)上升，直到全為0臺(tái)角：各非零行第一個(gè)非0元素所在位置。臺(tái)角位置的元素都為臺(tái)角正上方的元素都為0110201 1 1 00020002

30 300 0403 40 2 00 00

23 23 00 0 2 3 2 0An階矩陣A是階梯形矩陣A 0000

1011* 0000

**** 四．線性方程組的矩陣消元②用一個(gè)非0數(shù)c2x1x2x4xxx3x 2xx4x

x13x22x33x4

14

14 3 110 9 2 103003001

3x

4 x 4xx42x33x20x12。①寫出增廣矩陣A，用初等行變換化A為階梯形矩陣B②用B判別解的情況如果B最下面的非零行為0,,0d，則無(wú)解，否則有解如果有解，記是B的非零行數(shù)，nn 去掉B的零行，得BnncBn 0B0

00

* ** * * nn則bnn0bn1n10bii都不為0

0c1于是把B化出的簡(jiǎn)單階梯形矩陣應(yīng)為

0c20 000010001

x1

n其方程為

2c2xx

即c1c2cn就是解第二講行列一．形式與意

an

A是nA二．定義（完全展開式 badbc 一個(gè)n①是n!項(xiàng)的代數(shù)

an

②每一項(xiàng)是n個(gè)元素的乘積，它們共有n!12a1ja212

nj1j2jn是1,2,nn1n③a1j1n

1j1j2jnj1j2jn1,2,,n6，3232011j1j2jn1

a2

j1j2

000

0

14321bbb

bbb000000000000b000003

1230000000000*0*****n21C2nn3fx

1 xxa45x00bx1221xfx中的x4x3的系三．計(jì)算（化零降階法稱Mij為aij的式

1ij，Da21A21a22A22a2n 3

42

34

2

1

304030402222000532四．行列式的其它性

的第四行各元素的式之和AT用一個(gè)數(shù)c乘某一行（列）的各元素值乘cAcn,12

,

,2A1,2,3，3B1,2,3ABAAB11,22,33AB11,22,31,22,331,22,3如果一個(gè)行列式某一行（列）的元素全為0或者有兩行（列）的元素成比例關(guān)系，則行列式的值為0一行（列）的元素乘上另一行（列）的相應(yīng)元素代數(shù)式之和為0

0AB

(ajij

ai

nC2n54Ar1r2r3Br1r2r3A2

3，求ABabcdabcdxz1xyyx0zA119，A123，A131，A14A11M11

1x1

x30

z z9x3y3z3

9xy3z zx33y 即x3y3z y 333z9 3x9y3z五．元素有規(guī)律的行列式的計(jì)2a72

aaa2aaaa2aaaa2aaaaaaa

解：

4a

104a00

2000

0200

0020

0002111111111111111111111111111

9A

2

2A0

na 例10．

六．克萊姆法An階矩陣（mnA0AA

,

DnAA

AA DA的第i列用b2n bnA0即唯一解 A0A0唯一解證明ABrA0BBr00

0

r r B0，則bii0in若唯一解，則B|rn個(gè)非零行，且最下面的非零行不是0,,0|d于是bnn0，從而每bii0nBbiiA行BrE就是解A0mna例如a

a22

a23x3增加方程0 例．

012 x0，y3，zx1x2x3ab1axbxcxa2b2c1 1bcxacxabx1 第三講矩一．矩陣的乘ABABABAB。Amn矩陣B是ns矩陣時(shí)ABms矩陣。AB的ijA的第iBjCijai1b1jai2b2jain②結(jié)合律ABC③

BT 2 例如．A 4，B 1 0

20AB0

，BA

AB0時(shí)A0BA0AB0

BA0ABACBC（無(wú)左消去律n階矩陣的與多項(xiàng)nABABnABAAn個(gè)AkAAA，A0AkAk

Ak但是

AkBkfx

xk

k

xk1axa10An10fA

Ak

k

Ak1aAa1010AB2A22ABB2‖A2ABBAB2

A2B2ABAABBAA

kC C kA22A3EA3EA乘積矩陣的列向量與行向（1）設(shè)mnA,,,nbb,

T， Ab11b22

a23b2

b

b

333

1a11

a12 a13 b1a21b2a22b3a23a a31

a32a

a33a

a12

aa

a22

aam1

am2

AA

xx1,

a11x1a12x2a1n Axa21x1a22x2a2nxnam1

am2

xnAx，b,b,,

T x11x22xnn（2）ABCB12,sCr1r2,rsriAi,i1,2,ABA1A2,As

a2n

am

amn 于 AB的第iriA的列向量組1,2,,nB的第i個(gè)列向量的各分量。AB的第iBA的第i個(gè)行向量的各分量。BT

CT

34 11

5 9

0 123,2,131 84 114

1

4 1

510 1011

01,

,,n

0 0

n11,22,,nn對(duì)角矩陣從右側(cè)乘一矩陣A，即用對(duì)角線上的元素依次乘A的各列向量。對(duì)角矩陣從左側(cè)乘一矩陣A，即用對(duì)角線上的元素依次乘A的各行向量。于是AEAEAA對(duì)角矩陣的k次只須把每個(gè)對(duì)角線上元素作k次初等矩陣及其在乘法中的作3種初等矩陣Ei,jE的第i,jE的第i,jn5，E2,4

000001010100 1 Ei(c)：用數(shù)c0E的第i行或第i000c00000c00010001

01Ei,j(c)Ej行的c倍加到第iE的第i列的cj0100c10000c10001000100

111,2,3,4,5100c100010100c10001000100

11,2,3,c14,512（05C123,12243,13293，求|C當(dāng)矩陣CA的列向量的線性組合時(shí)，可把CAB的乘積。3（05考題）A3階矩陣，1,2,333維列向量。A1123，A2223，A322求作B，使得A1,2,31,2,3乘法的分塊法BAB4

B12AA

，B

22

22Ai1B1jAi2B2j A11B12A12B22ABA

A

A AB21

22

21 2222

0

0 kk

0

0

0

A22

A

kk

11

kk

kkkk4．

，

A33

A對(duì)一個(gè)n階矩陣A，規(guī)定trA為A的對(duì)角線上 和稱為A的跡數(shù)5（03設(shè)n維列向量a,0,,0aT，a0AET，BE1TABEaa 1 16（03）

1 ，求T1111TtrT

1 7．1,0,1TATaE18（99）11

1 0An21 1二．矩陣方程與可逆矩兩類基本的矩陣ABC若知道CAB中的一個(gè)，求另一個(gè)，這是乘法的逆運(yùn)算。IAx AA 0

1 9A1

1，B

0xxAxB1

5xAxB5EAxEA11

0 1，EA32 2BAx是線性方程組。Bx也應(yīng)有兩列，設(shè)xx1,x2則EAxEAx1,EAx21 1 得EAx12EAx205 EA0xAEATATBTExT

BT5

1

7

1

5 2 1 可逆矩陣及其逆當(dāng)a0a11a對(duì)abaca1，得bcAnnHAHEHAEAHA的逆A1。AA右消去律BACABC。nA可逆A0AA1A

E1AA0（A11AHAxExAEA0AxEBxAE也有唯一解，記作CABECAEAA1AxE求A1的方程（初等變換法ABnABEBA11ABCDn證明（1）ABCD都可逆（2）A1B1（1）ABCDABCD0ABCD（2）ABCDE，A1BCDAEBCDAEB1CDAC1 D1AAT也可逆，且AT1A1TAk也可逆，且Ak1A1k數(shù)c0cAcA11A1ccAcnAcA1A1c1AA1Ecc cc ABnAB也可逆，且AB1B1A1。ABn階矩陣時(shí)AB都可逆ABEic1 1EEcEi,jc1Ei,jEi,jc11

1

j01

0A00

00

可逆AiiAAA1 00

A00A00 A A 每個(gè)nAA*

An1 An2A

nnAA*A*AA

0

a2n

An2 0 00 00

ann

Ann

0AA0AAAA*AAA1A*A b當(dāng)n2時(shí)：A d 則A* a b aA1 ad要證A*

AAAA*AA得A*1A

AA1

AAAA①A*

A,A②AT*A*T⑤Ak*A*k

。 bn2時(shí)，A d b

*

d dTk如AT*A*T，A*1A1*ABTBTAT,AB1B1A1（但

BkAk12A

1，求113（00）

0BABA1BA13E8 1 0

A 0B ,xxA2BAB2xxn 231 231

0 015（05）AATA*，并且

t0，求16（05）A*1，2B*A*1，2B*A*1，2兩行得B*A*1，2兩列得B*17（01）BAA18nAA23A2EA可逆，并求A1證明對(duì)任何有理數(shù)cAcE19ABnEAB可逆，證明EAB1A20nABABaAbBab0,AbEBaEA可逆BAxB，x第四講向量組的線性關(guān)系和一．線性表可以用1,2,,s可以表示為1,2,,sc1c2,cs得c11c22css1,2例如01,2 i1,21,2,,sx11x22xss有

x有解xx1,

TAxA12,t1,2,,si1,2ABCr1r2,rsA1,2,,n，則r1r2,rs1,2,,n。12,t1,2,,s，則存在矩陣C1,2,,t1,2,,s例如1123222332233，1,

,

1,

,3 13 1312,t1,2,,sr1r2,rp，12,tr1r2,rp。等價(jià)關(guān)系：如果1,2,,s12,t1,2,,s1,2,,就稱它們等價(jià)，記作1,2,,s12,t二．線性相關(guān)1,2,,s的 性表示關(guān)1

0

0

1 10，21，30，41

0

1

0 線性相關(guān)：存在向量i可用其它向量1,,i1,i1,,s線性表示。線性無(wú)關(guān)：每個(gè)向量i都不能用其它向量線性表示定義：如果存在不全為0的c1c2,csc11c22css0，則稱1,2,,s線性相關(guān)，否則稱1,2,,s線性無(wú)關(guān)。例如c10，則c11c22css12c212

csss1,2,,s線性無(wú)關(guān)，即當(dāng)c11css0時(shí)必存c1cs01,2,,s線性相（無(wú)）關(guān)x11xss0有（無(wú)）1,2,,sx0有（無(wú)）s1，即單個(gè)向量x相關(guān)s2，1,2相關(guān)1a1,a2,,an，2b1,b2,,bn1,2相關(guān)a1b1a2b2an性sn，則1,,n線性相（無(wú)）關(guān)1nA1,2,,nAx0有非零解

Asn，則1,2,,sAx0n②如果1,2,,s無(wú)關(guān)，則它的每一個(gè)部分組都無(wú)關(guān)。例如若1,2,3,4,5無(wú)關(guān)，則1,2,4一定無(wú)關(guān)。③如果1,2,,s無(wú)關(guān)，而1,2,,s1,2設(shè)c1,csc0，使得c11cssc則其中c0，否則c1,,cs不全為0，c11css0，與條件1,,s無(wú) 。于c1

cs 1,,s時(shí)，表示方式唯一1s（表示方式不唯一1s相關(guān)1,t1,,s，并且ts1,t一定線性相關(guān)。A1,,sB1,tst矩陣C，使得BACCx0stst，有非零解C0BAC0，即Bx01,t線性相關(guān)。①如果1,2,,ssn②如果1,2,,s③如果1s1,,s，則1,,s1t1s1t無(wú)關(guān)，則ts推論：若兩個(gè)無(wú)關(guān)向量組1s1tst1（05）2．設(shè)1,2,3線性無(wú)關(guān)，而1,2,3,線性相關(guān)。（A）1,2,3c（B）1,2,3c（C）1,2,3c（D）1,2,3c三．極大無(wú)關(guān)組和1,2,,s1

0

1 10，20，30

0

0 1

0

1 10，20，31，410

0

0

定1,2,,s的一個(gè)部分組I稱為它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，如果滿足I線性無(wú)關(guān)I再擴(kuò)大就相關(guān)

規(guī)定1,2,,s的秩1,2,,s#I如果1,2,,s每個(gè)元素都是零向量，則規(guī)定其秩為01,,s①1,2,4,6相關(guān)無(wú)關(guān)②1,2結(jié)論：一個(gè)線性無(wú)關(guān)部分組I，若#I等于秩1,2,4,6II就一定是極大無(wú)關(guān)組性質(zhì)（應(yīng)用①1,2,,s無(wú)關(guān)1,2,,ss②1,2,,s1,2,,s,1,,s取1,2,,s的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組II也是1,2,,s的極大無(wú)關(guān)組I1,,sII

,1,,s,1 ,,1, 可用1,,s唯一表示1,,s1,,s④1,,t1,,s1,,s,1,,t1,,s1,,t1,,s⑤1,,s1,,t1,,s1s,1t1,,t向量組1,2,,s1,2,,s行階梯形矩陣1,,sB例3．（95）已知1,2,3,45

1,2,31,2,3,4,

，1,2,3,4,54，求例4．已知1,2,3,4, 1,2,3。證明（1）4 1,2,3;（2）41,2,3,1

05．設(shè)1,

1

,

1

1

2 （1）可用1,2,3可用1,2,3不可用1,2,3表示？解：比較1,2,3和1,2,31 01212

1 11 1211

1

2 0 22210

1

2

B00 2332200（1）0,3 （2）0時(shí)，B 0 0

1000 1（3）3時(shí)，B 312，不可表示0006 0006 1

1

a 5．（05）11,2a,31a 1 1 1 112a3aa 4 a 求a，使得1,2,31231231,2,3

3

0

a

b

例6．（00）12,20,3 ,1

,22,31 1 7 1 1

已知1,2,312331,2,3，求ab有相同線性關(guān)系兩個(gè)向量若有相同個(gè)數(shù)的向量：1,2,,s12,sx1,1x22xss0x11x22xss01,2,4124若1,2,4相關(guān)，有不全為0的c1c2c4c11c22c440即c1,c2,0,c4,0,,0x11x22xss0的解，x11x22xss0的解，則有c11c22c4401,2,3也相關(guān)如331224331224設(shè)A1,2,,sB12,s，x11x22xss0x11x22xss0

Ax0Bx01,2,,s12,sAx0Bx0同解。Ax0Bx0AB1

0

3

1

2 3 0 2 1例7．設(shè) ，， ， ， 21752 21752 4

2

0

求r1,2,3,4,5，找出一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其它向量用此極大無(wú)關(guān)組線性表示①1,2③1,3

②1,3④1,4四．矩陣的定Amn規(guī)定rA行（列）向量組的秩。103110312301172520ACACrA的計(jì)算：用初等變換化A為階梯形矩陣B，則B的非零行數(shù)即rA。rAA的非零子式階數(shù)的最大值。矩陣的秩的簡(jiǎn)單rA0AArAmArAnn階矩陣A滿秩rAA滿秩A的行（列）AAAx0Ax①rATc0rcA③rABrA④rABminrA,A可逆時(shí)rABrBB可逆時(shí)rABrArABrBBA1AB，rBAB0rArBn（AB的行數(shù)A列滿秩時(shí)rABrBBrAB⑧rABnrA8Amna1

A1存在非零向量a2b2AT am

bn

若A9An階矩陣A*

若An1若An

An1 An2 nn 例10．n階矩陣A a a

aaaAn1a1111Abb

bbAA*3，求ab滿足的條件aa

b1 例12．3階矩陣A 2，B1 0，ABA，B，求a,b和AB312021 312021 例13．設(shè)1，2，3無(wú)關(guān)，則 ）也線性無(wú)關(guān)（A）12，23，31（B）12，23，1223（C）1222233331（D）123213222331525315（04）ABABABAB16n維向量組1,2,,s的秩為n任何n維向量都可用1,2,,s線性表示。17．證明1,,s1,t1,,s1,t.18．證明ABA第五講線性方一．方程組的表達(dá)形a11x1a12x2a1nxn1 a1 a21

a22

a2n

am1x1am2x2amnxn2．Ax是解Ax11x22xnn有解1,2二．解的性Ax0如果1,2,,e是一組解，則它們的任意線性組合c11c22cee一定也是解i,Ai0Ac11c22ceeAx①如果1,2,,eAxc11c22cee也是Ax的解c1c2ce1c11c22ceeAx0的解c1c2ce0AiiAc11c22ceec1A1c2A2cec1c2ce當(dāng)1,2Ax的兩個(gè)解時(shí)，12Ax0②如果0Axn維向量Ax的解0Ax0三．解的情況判Axx11x22xnn有解1,21,2,,n,1,2,,nA|無(wú)解A|唯一解A|An無(wú)窮多解A|Anm：A|m,A①當(dāng)AmA|m②當(dāng)mnAn，不會(huì)是唯一解Ax0，只有零解An（A列滿秩（有非零解An1AA①AB0B②ABACBB12,sABA1,AsAB0即對(duì)每個(gè)iAi0iAxAx0i0ABC0BC02如果A列滿秩，則ABABx0Bx0ABx0的解ABB0Bx0ax1x2x31（01）

axx

a xx

2．AmnBnmABx（A）nm時(shí)僅有零 （B）nm時(shí)必有非零mn時(shí)僅有零 （D）mn時(shí)必有非零四．基礎(chǔ)解系和通Ax0有非零解時(shí)的基礎(chǔ)解系JAx0的全部解的集合。JAx01,2,,eAx0①每個(gè)iAx0②1,2,,e線性無(wú)Ax0的每個(gè)解1,2JnJAA行AB的非零行Bx0有A個(gè)方程（除去J00，因此有nA個(gè) 于是1,2,,e是Ax0的基礎(chǔ)解系的條件③可換為③/ln3（92）

1 2

（A）

（B） 1

（D）1 21 1x1x32x2x4

T T

，

（D）0,1,0,2T，5．1a,2T1,4,bT構(gòu)成sx1x22x3

2xtx2x 求absAB0ABnB12,sAB0iAx0B1,2,,sJnAB通①如果1,2,,eAx0Ax0c11c22ceeci②如果0Ax0的一個(gè)解，1,2,,eAx0Ax0c11c22ceeci3x12x22x3x46．求6x14x25x32x43x509x6x3x2x A9 9

②確定未知量x2,x4,x5,寫出同解方程x2x1x2x 3 3 9 xx

3x5x2x1x2 3 3 9 xx

3③ 未知量賦值，求出基礎(chǔ)解 2

1

2 3

3

91

0

0

0

0

1 3100 0

10 0

01 1 7．x1x3x408（96） 3 3

0 1tpt的取值與解的情況的關(guān)系，有無(wú)窮多解時(shí)求通解。關(guān)于求通解的一組9（04）x1x2x3x42x1x2x32x4

3x2x4x4x x1x2Ax0 2

14①當(dāng)210 Ax01

1 2

111，2 0

0 11 1

1

21

1

1c1

1c2

，c1c2

01

0

1②若210 21

1 1B行 1 1行 1 0 20010011

12 2 121 Ax01 21 1 1

1 1

2通解為：1 1，c任意 2 1210時(shí)，通解中x213c1c2x31c113c1c214c1c22于是當(dāng)取c24c12時(shí)x2x3。滿足x2x3的通解為 c任 2

3 即1

c1 1 210x2x3c

1c1，

1c2 00 0 1 例10（02）Ax的系數(shù)矩陣A1,2,3,4，其中2,3,412231234

x1x22x3 11．已知11，22都是方程組3x1x24x3

2

cx 例12（05）設(shè)A是3階矩陣，第一個(gè)行向量為a,bc，它不為零向量 B 3 3

36AB0Ax0kk13（I）x1x2

xx

有基礎(chǔ)解系

1220

2221 （I（II）1

012121

01130

1110 0 11 1

r1，

10 01

0 15（05）x12x23x3

cx3（I）2x13x25x30與（II）

b2

c

xxax

求abc第六講特征向量與特征值，相似與對(duì)角一．特征向量與特征An階矩陣，n維非零列向量A與是否相關(guān)

1

2A0

，，，， 1 1 0 1

3A，A

，A

，A0 0 1

1

稱為的特征值A(chǔ)是數(shù)量矩陣En維列向量A，于是，任何非零列向量都是E的特征向量，特征值都是。 a例1．設(shè)A ， ，a,b滿足什么條件時(shí)是A的特征向量 b0a01；或ab02。1

1 2 例2（97）已知1是A

3的特征向量，求ab和的特征值1

1

1 2 3（97）已知2213A1，2，3A 2 1 1 2 4

A22A24A13 2 2 6

1

11

22 2

6 1AT 26 1 26 2 1

6 2 630 23033 2A

3 233 33 當(dāng)是的特征值時(shí)，常常說(shuō)是屬于的特征向量AAccAcA11Ac

c

c

c

c

c22

1 2

1 2計(jì)AnAA,是EAx0A的特征值EA②是屬于的特征向量是EAx0的非零解稱多項(xiàng)式xEAA的特征多項(xiàng)式。A的特征值A(chǔ)xEAxEAnAn12,n，可能其中有的不是實(shí)數(shù)，有的是多重的。xEAxEA③對(duì)每個(gè)特征值i，求iEAx0的非零解，得屬于i的特征向量。A是上（下）1 *1 A

3xEA

x00

x0

x

x1x2x3rA1時(shí)A的特征值為nA的特征值的重?cái)?shù)nrEA的特征值為12,n①12n②12nx

a12x

a23x

a34x

x

2x

3x4比較兩邊的

x3

1234

左邊會(huì)

x3的項(xiàng)且有xa11xa22xa33xa44，其系數(shù)為a11a22a33a444A

11111 A111與A相關(guān)的矩陣的特征向量與命題：設(shè)A的特征向量，特征值為AAAAA2AE2A2A54A32A2E5432AA11A*|A AA1A11|A|A*A*|A|A的特征值為12,nfA的特征值為f1,f2,,fnAA1的特征值為1,1

,,A*的特征值為|A||A|,|A AT的特征值也是 |xEAT|xE

xEA 例5．n階矩陣A b b

b bbb1 1A1 26A22

1 2AA1E 1①求行列式|A|12,A的特征值EA0AEAE可逆AfA0fc0AcE若A的特征值，則f是fA的特征值f0fc0cA的特征值A(chǔ)cE1

7A

2

a取何值時(shí)|A|0

na1 8．21AE

2A2E1 9nAA3EA22A3EA2A2E二．n階矩陣的相似關(guān)ABnn階可逆矩陣U，使得U1AUBABA~B。AUUA時(shí)BA，而AUUA時(shí)BA。i）A~BB~U1AUB，則AUBUii）A~BB~CA~U1AUB，V1BVC命題A~BAB①ABU1②A

U1AUABxEB

xEU1

U1xE

xEAB的特征向量的關(guān)系：A的屬于的特征向量U1B的屬于ABU1U U1AU1U1AUU1U10（03） A 2，U 1BU1A*UB2E 230120 230120 （1）A22

222A的特征值為 AA*的特征值為B的特征值為B2E的特征值為AB2EA1AA*U1B2E9

1

1 A的屬于1的特征向量是EAx0的非零解，求出EAx0的基礎(chǔ)解系11，200 1則A1的全部特征向量的集合cccc不全為

1 22 記U1

U

B2E9的全部特征向量的集合為cc

cc不全為0

1 22 A的屬于7的特征向量的集合cc0，112，的計(jì)算：U1,2,1,2,用矩陣方程求解1212

,3

101101 0011011 1011 1 11 1

1

11，21，10 1 1 三．n階矩陣的對(duì)角A

1

0A0

AU

2

1

AE①判別nA是否相似于對(duì)角矩陣（可對(duì)角化②實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，構(gòu)造可逆矩陣U，使U1AU基本定理A可對(duì)角化An個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。設(shè)可逆矩陣U1,2,,n，則11U1AU0

0 0 0

n1 01

U

0,

,,

0

1 2 n Aiii，i1,2,,

nA可對(duì)角化A的每個(gè)特征值的重?cái)?shù)nEA當(dāng)i是一重特征值時(shí)，重?cái)?shù)1nriEA一定成立。只須對(duì)重?cái)?shù)1AnA一定可對(duì)角化。對(duì)角化的實(shí)現(xiàn)（可逆矩陣U的構(gòu)造對(duì)每個(gè)特征值i，求出iEAx0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，把它們合在一起，得到n1,,n。令U1,2,,nU

11AU0

000，其中i為i

n3,4,5是2EAx00是3EAx01212

,600000000000000000U1AU 00000000000000 0 0 3 1（04）

3有一個(gè)二重特征值，求aA1a5 1a5 12（05）A1123，A2223，A322BA1,2,31,2,3A作可逆矩陣P，使得P1AP是對(duì)角矩陣第七講二次型（實(shí)二次型一．基本概二次型及其矩x , 3x22x2x2

一個(gè)n元二次型的一般形式為fx1,

,,

nn

x22iii

xix形如x2x2x2

n

對(duì)每個(gè)nAxx1

,,

TxTAx例如n3A

a22

a13a23，則 axTAx

,x,

33 3 a a

33x3 31

32

33333aijxixji,j1Axixj的系數(shù)是aijaji。x , 3x22x2x2 xTAxA

3，

1a12a214a13a316a23a325，就可以。A是一個(gè)對(duì)稱矩陣，則它就是唯一確定的了。fx1,

,,

xTA的秩A為這個(gè)二次型的秩。0000000010000000100000000000000000000000000000p個(gè){0000可逆線性變量替xa

y nfx1x2,xny1y2,ynx1x2,xnx1c11y1c12y2c1nx 21x

c22

c2nxncn1y1cn2y2cnn（并要求矩陣C

c1n c2n 是可逆矩陣

cn

cnnfx1x2,xny1,yngy1,ynfx1xn作了一次可設(shè)Yy1

,,

xfx1

1nxTAxYTCTACYgy,,y1ngy1,yn的矩陣為CT

CTAT

CT實(shí)對(duì)稱矩陣的合兩個(gè)nAB，如果存在n階實(shí)可逆矩陣C，值得CTACBABABfx1xnxAxT gyyYTBYA 二．二次型的標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范A是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣QDQ1AQDA~D，A標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化1（03） x ax22x22x2

b0，它的矩陣A的特征值之和為1，特征值 積為12求ab

fx1x2x3 （1）

b0 atrAb0 b0A12，A2b2b24，b 2 A 020 20

（2）求A的特征值EA

22A2（二重）和3（一重2的單位正交特征向量組，即2EAx0

1

2EA 0 00 4 00022EAx0的一個(gè)基礎(chǔ)解系10012525

正交化100 5 5求屬于3

3EA

1

5 5

01 00單位化 25 255 5 2525 作Q 2555 55 則 xQYfxxx化為2y22y23y2 2xQY , x22x22xx 1（2）fx,x,xx2x22x22x 1慣性定理與慣性00的個(gè)數(shù)A會(huì)同于唯一規(guī)范對(duì)角矩陣。3（01） 式，二次Aijfx1x2,xnAij

fx1,

,,

nni,

Aijxfx1,

的規(guī)范形與xTAx的規(guī)范形是否相同11110 10

01114（01）A11111

1，B

0000000 111

0ABABABAB5（05）

1ax21ax22x221ax

2求a

1xQYffx1x2x301（1）

1 1 200 200 1 0 由rA2，|A|0，求出a0，A1 002 02fx,x,xx2x22x22x 1A的特征值2,2,02 1

1 1 2EA1 0 000000 000000 1 11，202 1 2 2 2 2 ,20 0 01 1 0EA 1，1 0 2 2單位化 2 202202222 222010則

，

xQYfxxx化為2y22y fx,x,xxx22x x1 則fx1,x2, x31 求出通解為c1c任意0 6（96）

001的特征值12y求作可逆矩陣P，使得APTAP是對(duì)角矩陣三．正定二次型與正定矩定fx1x2,xnx1,xn0fx1x2,xn0例如，標(biāo)準(zhǔn)二次型fxx,xdx2dx2dx2正定

1 2 n （x11x2xx0f1,0,,0d10同樣可證每個(gè)di0）xTAxx0xTAx0。1 01 0例如實(shí)對(duì)角矩陣0

0正定0n

fx1x2,xngy1y2,ynABABBCTACAxxTBxxTCTACxCxTACx（Cx0，Cx0A正定A存在實(shí)可逆矩陣CACTCA的正慣性指數(shù)nA的特征值全大于0A的每個(gè)順序主子式全大于0AnArAr子式A

A的第r個(gè)順序主子式（r例7．二次型x , x24x2

在c 18（98）11

1 0BAkE21 1DB~DkB9（02）已知3AA22A0rA2AkAkE10ABnAB11AmBmnBTAB是正定矩陣rBn。12（00）a1a2,an C A1C0E13（05） 是正定矩陣，其中A，B分別是m，n階矩陣，記P 0EPTDP

CT B

BCTA1C附錄一內(nèi)積，正交矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)一．向量的內(nèi)定兩個(gè)n維實(shí)向量,的內(nèi)積是一個(gè)數(shù)，記作,，規(guī)定為它們對(duì)應(yīng)分量乘積之和a1 設(shè)a2b2 an

bn,a1b1a2b2T性①對(duì)稱性②雙線性性質(zhì)1212c,c,,c,0，且,0,2i長(zhǎng)度,na2,na20cc單位向量：長(zhǎng)度為11

2