概率論與數(shù)理統(tǒng)計-統(tǒng)計量及其分布

第三章統(tǒng)計量及其分布總體與樣本統(tǒng)計量與抽樣分布統(tǒng)計抽樣基本方式第一節(jié)總體和樣本一、總體與在數(shù)理統(tǒng)計中，把所研究的對象的全體稱為總體。通常指研究對象的某項數(shù)量指標，一般記為X。把總體的每一個基本單位稱為

。如全體在校生的身高X，某批燈泡的

Y。對不同的

，X的取值是不同的。X是一個隨

量或隨機向量。X或Y的分布也就完全描述了

所關心的指標，即總體的分布。為方便起見，

X的可能取值的全體組成的集合稱為總體，或直接稱X為總體。X的分布也就是總體的分布。從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨

量或隨量的分布。即一個具有確定概率分布的隨量。二、樣本及樣本分布從總體X中抽出若干個稱為樣本，一般記為(X1,X2,…,Xn)。n稱為樣本容量。而對這n個 的一次具體的觀察結果——(x1,x2,…,xn)是完全確定的一組數(shù)值，但它又隨著每次抽樣觀察而改變。(x1,x2,…,xn)稱為樣本觀察值。如果樣本(X1,X2,…,Xn)滿足

(1)代表性：樣本的每個分量

Xi與X有相同的分布；(2)獨立性：

X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨

量，則稱樣本(X1,X2,…,Xn)為簡單隨機樣本。設總體X的分布為F(x)，則樣本(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布為F(x1

,

x2

,,

xn

)

P(X1

x1

,

X

2

x2

,Xn

xn

)

P(X1

x1)P(X

2

x2

)P(Xn

xn

)n

F

(x1

)F

(x2

)F

(xn

)

F

(xi

)i1當總體X是離散型時，其分布律為

P(X

xi

)

pii

1,2,樣本的聯(lián)合分布律為P(X1

x1

,

X

2

x2

,Xn

xn

)

P(X1

x1

)P(X

2

x2

)P(Xn

xn

)ni1n

P(

X

xi

)當總體X是連續(xù)型時，X~f(x)，則樣本的聯(lián)合密度為f

(x1,

x2

,,

xn

)

f

(xi

)i1總體、樣本、樣本觀察值的關系總體樣本樣本觀察值理論分布統(tǒng)計是從手中已有的資料——樣本觀察值，去推斷總體的情況——總體分布。樣本是聯(lián)系兩者的橋梁?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體。例1

設X

~

N(,

2

)

(X

,X

,…,X

)為X的一個樣本，1

2

n求(X1,X2,…,Xn)的密度。解

(X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本，故Xi

~

N

(,

)2i1nf

(x1,

x2

,,

xn

)

f

(xi

)

i1(

xi

)2

en2

22

1n

1

e2

(

xi

)22

2

i121i

1,2,,

n0X服從指數(shù)分布，密度函數(shù)x

0x

0f

(x)

例2

設某電子產(chǎn)品的ex(X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本，求其密度函數(shù)。解 因為(X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本，Xi~

f

(xi

)f

(x1,

x2

,,

xn

)

n

ii1f

(x

)

i

1n0其他xi0e

xin

i1

n

e0ix

0(i

1,2,,

n)其他n

xii

1例3

某商場每天客流量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，求其樣本(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布律。解xx!P(

X

x)

ex

0,1,2,nP(

X1

x1,

X

2

x2

,,

Xn

xn

)

P(

X

xi

)i1ni1xi!exienx1!x2!

xn!n

xii1(k

1,2,)nm

1n(

X

X

)kik

i1三、樣本的數(shù)字特征設（X1，X2，…，Xn）為來自總體X的簡單隨機樣本。n

X

iX

n

i11常用于估計總體分布的均值，或檢驗有關總體分布均值的假設。2.樣本方差：niS

22(

X

X

)n

1

i11用于估計總體分布的方差。式中的n－1稱為S2的獨立變量的個數(shù)），S稱為樣本標準差，又稱為標準誤。度（式中含有3.樣本矩：（k

1,2,）1nXni1kikK

階原點矩：

K

階中心矩：

1

X222s

sn

1nm

1.樣本均值:第二節(jié)統(tǒng)計量與抽樣分布一、統(tǒng)計量定義樣本是

進行分析和推斷的起點，但實際上

并不直接用樣本進行推斷，而需對樣本進行“加工”和“提煉”，將分散于樣本中的信息集中起來，為此引入統(tǒng)計量的概念。(X1,X2,…,Xn)

g(X1,X2,…,Xn)其中g(x1,x2,…,xn)是(x1,x2,…,xn)的連續(xù)函數(shù)。如果g(X1,X2,…,Xn)中不含有未知參數(shù)，稱g(X1,X2,…,Xn)為統(tǒng)計量。（不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)）如

X

~

N(,

2

),

2

未知，(X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本X

n

X

ii1n1n

ii1X

2均為統(tǒng)計量X

2i

1

2X不是統(tǒng)計量若μ已知，σ2未知，(X1,X2,…,X5)為X的一個樣本maxX1

,

X

2

,,

X

5

X

二、幾個常見的抽樣分布（一）

2—分布1、定義：設n個r.v.

X1,X2,…,Xn，Xi~N(0,1)，i=1,2,…,n則~

2(n)2i

2Xni1稱為 度為n的2分布。n個相互獨立的服從標準正態(tài)分布的隨 量的平方和服從2(n)。2—分布的密度函數(shù)f(y)曲線2e

2

,

y

0y

0(n

/

2)0,y

2

yn

11f

(

y)

n

/

22、性質(zhì)(1)

E(

2

)

nD(

2

)

2n21

1(2)

2分布的可加性

X

~

(n

)222X

~

(n

)X1,X2

相互獨立，則X1+X2

~2(n1+n2)例4

X

~

N(,

2

)

(X1,X2,X3)為X的一個樣本求1

2

2

X

2

X

3

X

2的分布。解 因為(X1,X2,X3)為X的一個樣本

Xi~N(0,1)，i=1,2,3則Xi

~

N(0,1)i=1,2,3~

2

(3)

1

2

3

X

2

X

2

X

2

3、2分布表及有關計算(1)構成

P{2(n)<λ}=p，已知n,p可查表(P299)求得λ;(2)有關計算λP

2

(n)

p

(n)

p分位點2p1、定義

若X~N(0,

1)，Y~2(n)，X與Y獨立，則Y

nXT

~

t(n).t(n)稱為 度為n的t—分布。(二)

t—分布例5X

~

N(,

2

)

(X1,X2,X3)為X的一個樣本，求(

X

)2

(

X

)22

32(

X1

)的分布X

~

N

(,

2

)iXi

~

N(0,1)

2

(~223i=1,2,322X

X

2~

N

(0,1)X1

2

3

X

2

X

2

~t(2)X1

~t(2)(

X

)2

(

X

)22

3

1

2(

X

)t(n)的概率密度為n

(1f

(t)

)

,

t

nt2)2(

n

1n

(

)2n122、基本性質(zhì):(1)

f(t)關于t=0(縱軸)對稱；(2)

f(t)的極限為N(0,1)的密度函數(shù)，即3、t分布表及有關計算(1)構成：P{t(n)<λ}=p(2)有關計算

P{t(n)<λ}=p，λ=tp(n)e

2

,

x

t

2nlim

f

(t)

(t)

21p注:p

(n)t1

p

(n)t

p

(n)(三)

F—分布1、定義 若X~2(n1)，Y~2(n2)，X,Y獨立，則~

F

(n1,

n2

)2Y

nF

X

n1稱為第一 度為n1

，第二 度為n2的F—分布，其概率密度為y

0h(

y)

)(120,(

)((2222

1

221

211,

y

0n

n1)(n1

/

n2

)

yn

ny)(n

n

)

/

2

n

n1

1n

/

2n例6

(X1,X2,…,X5)為取自正態(tài)總體X~(0,σ2)的樣本，求統(tǒng)計量4

532(

X

2

X

2

X

2

)

1

2

3(

X

2

X

2

)的分布解X

~

N(0,

2

)i(i

1,2,,5)~

N

(0,1)Xi

0

Xi

~

2

(2)22

X1

X

2

~

2

(3)2

5

2

4

2

3

X

X

X~

F

(2,3)222

2

3

X

3

X

4

X

5

2

X

2

1

X

2

~

F(2,3)4

532(

X

2

X

2

X

2

)

1

2

3(

X

2

X

2

)2、F分布表及有關計算

(1)構成：P{F(n1,n2)<λ}=p

(2)有關計算

P{F(n1,n2)<λ}=pλ=Fp(n1,n2)例7

總體X~N(μ,σ2)，(X1,X2,…,X16)為一個樣本，求P

2

2162

2i1161i(

X

)

解X

~

N

(,

2

)iXi

~

N(0,1)i

1,2,,16~

2(16)16i1

i

X

22

162

)

P8

1

2

16i1P

(

Xi

2

P

2

(16)

16

0.10

0.05

0.05三、有關正態(tài)總體的幾個主要結果~

N

(0,

1)n

X

證明X

n

iXi11n組合，故服從正態(tài)分布。E(

X

)

i1nnnD(

X

)

ni1iD(

X

)

221

2

X

~

N

(,

)n11

2iid、若

X

,

X

,,X

n

~

N

(,

2

)

則

U是n個獨立的正態(tài)隨量的線性n

U

X

~

N

(0,

1)2、設(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則(1)2,

nX

~

N

(2)(n

1)S

22~

(n

1)

2(3)X與S2獨立)是來自具有相同方差σ2，均值為μi的樣本，i=1,2,…,t，且設這t個樣本3、設(X1i,X2i,…,X的正態(tài)總體N(μi,σ之間相互獨立，設分別是第i個總體的樣本均值和樣本方差，i=1,2,…,t，則有(1)2t個隨

量Xi

nij

1jiiXn1Si

nnij1i2(

X

ji

Xi

)211X1,

X

2

,,

Xt

;2

21

22tS ,

S ,,

S是相互獨立的。2222tnni

2

X

ji

Xi(2)

nii1

j1

i1

n

t)1)S(

i

(3)當t=2時，有其中n

n1

n2

nt(

X1

X

2

)

(1

2

)12~

t(n

n

2)

1

1

2

2n1

n2

2

n1

n2(n

1)S

2

(n

1)S

2

1

14、設(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則X

~

t(n

1)S

n證明

(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則由分布定理1、2可知nX

~

N

(0,1)(n

1)S

22~

(n

1)

2且X

與S2獨立所以由t分布的定義，可知X

2nS(n

1)(n

1)S

2

n

X

~

t(n

1)稱為混合樣本方差。(2)*

進一步,假定

2

2

,就有,1

2

1

1

2

2n1

n2

2(n

1)S

2

(n

1)S

21)2其中S

211

2S

1/

n

1/

nT

~

t(n1

1,

n2wwX

Y

(

)1

25、設(X1,X2,…,Xn

)是N(μ1,σ12)的樣本，(Y1,Y2,…,Yn

)是N(μ2,σ22)的樣本，且相互獨立，S12，S22是樣本方差，則(1)~F(n1

1,

n2

1)22

2S

2F

1

1S

2

2例8

設總體X~N(10,32)，(X1,X2,…,X6)是它的一個樣本，設i1(1)寫出Z所服從的分布；(2)求P(Z>11)。解 因為(X1,X2,…,X6)是X~N(10,32)的一個樣本，因此Xi~N(10,32)，且Xi相互獨立，i=1,2,…,6，所以6Z

Xi~

N

(60,6

32

)6i1Z

XiP(Z>11)

1

P(Z

11)

6

3

1

11

60

1

(6.668)

(6.668)

1第三節(jié)統(tǒng)計抽樣基本方式簡單隨機抽樣分層抽樣整群抽樣等距抽樣一、簡單隨機抽樣1、定義設總體中有N個單元，不加條件從中隨機抽取n個單元為樣本，每個單元都有同樣的概率被抽中的抽樣方法?？傮w總量和總體均值N（1）與（2）Y

Yii

1Y

Y

1N

NNi

1iy樣本均值（3）總體均值和總量的估計(4)(5)i

1inny

1

yi

1innY?

y

1

yini

1nY?

Ny

N

y(6)而(7)估計量的方差估計(8)(9)估計量的方差V

(

y)

(1

f

),S

2n1N

2i

1iN1S

2

(Y

Y

)(1

f

)v(

y)

s2n21ni

1in

1s2

(

y

y)2、簡單隨機抽樣的特點優(yōu)點：（1）比較容易理解和掌握；（2）抽樣框不需要其他輔助信息；（3）理論上比較成熟，有現(xiàn)成的方差估計公式。缺點：（1）沒有利用輔助信息；（2）樣本分散，面訪費用較高；（3）有可能抽到較差的樣本；（4）抽選大樣本比較費時二、分層抽樣1、定義在抽樣之前將總體分為同質(zhì)的、互不的若干子總體，也稱為層。然后在每一個層獨立地隨機抽取樣本。分層首先介紹分層抽樣的的一些符號：用下標h表示層的用

Yhi

,

yhi

分別表示總體和樣本中第h層第i個單元指標值；用Wh

Nh

/N

表示h層的層權用fh(h

1,2,,

L)Nh

nhi1

i1分別表示h層(總體)均值與樣本均值；

nh

/Nh

表示h層的抽樣比Yh

Yhi

/

Nh

,

yh

yhi

/

nh2

2i1hh

y

)

/(n

1)h

hihi1hi

h

(Y

Y )

/(N1),

s

2

(

ynhNhhS

2分別為h層的(層內(nèi))方差和樣本方差下面介紹分層抽樣適用的場合和優(yōu)點在

中不僅需要對總體進行參數(shù)估計，也需要對層的參數(shù)進行估計。使樣本更具代表性。便于組織管理和數(shù)據(jù)匯總對不同層可以按照不同情況和條件，具體采用不同的抽樣方法。分層抽樣可以提高估計量的精度2、估計量及其性質(zhì)(10)對分層隨機抽樣，有如下簡單估計(11)總體總和的簡單估計為(12)h

hLst

h

hN

Y?1N?總體均值的估計Y?h