線性代數(shù) 復習題及 答案課件

線性代數(shù)復習題及答案線性代數(shù)復習題及答案1問題1常用的計算行列式的方法

有哪些？習題一1.已知四階行列式D的第二行元素依次是2，-1，3，5，各個元素對應的余子式的值依次是1，-3，4，2。求行列式D的值。2.計算行列式問題1常用的計算行列式的方法

有哪些？23.計算行列式試把第3題的算法和結論推廣至n階行列式。4.計算

3.計算行列式3線性代數(shù)復習題及答案課件4線性代數(shù)復習題及答案課件5線性代數(shù)復習題及答案課件6提取公因子，化為上三角行列式綜上，行列式提取公因子，化為上三角行列式7推廣到n階行列式：n階行列式的值推廣到n階行列式：n階行列式的值84.解：用行列式性質，化為下三角行列式從第二行起，分別提取非零數(shù)4.解：用行列式性質，化為下三角行列式從第二9再把第二行的倍、第三行的倍、

第四行的倍加到第一行對應元素上，使得第一行的元素依次是由此得到一個下三角行列式，所以行列式的值是熟悉“箭形”行列式的一般算法再把第二行的倍、第三行的倍、10問題2方陣可逆的定義是什么？試寫出幾個方陣可逆的充分必要條件。之間有怎樣的關系？習題二1.求下列方陣的逆矩陣。（1）（2）問題2方陣可逆的定義是什么？試寫出幾個方陣可逆的充分必11（3）2.已知四階方陣A的行列式，是A的伴隨矩陣。計算：（1）（2）（3）（3）12解答n階方陣A可逆的定義：若n階方陣A與B滿足，則稱方陣A可逆，稱B為A的逆矩陣，亦記A的逆矩陣為。同理，方陣B也可逆，有

方陣可逆的充分必要條件有：方陣A可逆方陣A可逆方陣A可逆A的n個列（行）形成的n個列（行）向量線性無關方陣A可逆A的n個特征值都不等于0解答n階方陣A可逆的定義：若n階方陣A與13之間的關系是習題二1.（1）（2）逆矩陣是之間的關系是14（3）用行初等變換由（3）用行初等變換由15（繼續(xù)）（下一頁）（繼續(xù)）16（繼續(xù)）得到（繼續(xù)）172.解（1）（2）（3）2.解（1）18問題3試敘述向量線性相關、線性無關的定義。若已知則下列說法哪一個是正確的？（1）線性無關（2）線性相關（3）線性無關（4）線性相關問題3試敘述向量線性19習題三1.設向量組A：求向量組的秩和一個最大線性無關組，并用無關組中向量表示A中其余向量。習題三1.設向量組A：202已知向量線性無關，證明：線性相關。2已知向量線性無21解答向量線性相關、線性無關的定義：若存在不全為零的數(shù)使得則稱向量線性相關；否則，稱線性無關。即：當且僅當時，有則稱向量線性無關。解答向量線性相關、22哪一個說法正確？（1）錯若，則是零向量（2）錯若，則是非零向量（3）正確是（一個）非零向量（4）錯是非零向量

注意：用定義判斷！哪一個說法正確？（1）錯若，則23習題三1.解令矩陣

對A作行初等變換：習題三1.解令矩陣

對A作行初等變換：24因為，所以向量組的秩是2，是一個最大線性無關組；對以上最后一個矩陣繼續(xù)行初等變換，化為最簡形矩陣：（即解方程）因為，所以向量組的秩是2，25即用表示，有即用表示262.證明：令即

因為線性無關，所以2.證明：令27由得到齊次線性方程組有非零解，即存在不全為零的使得亦即線性相關。由28問題4線性方程組，其中有解的充分必要條件是什么？有解的情形什么條件下解是唯一的？什么條件下解有無窮多個？有無窮多個解時，解的結構是怎樣的？問題4線性方程組，其中29習題四1.設解線性方程組習題四1.設解線性方程組30（1）此線性方程組是否有解？

（說明理由）（2）寫出這個線性方程組對應的齊次線性方程組的基礎解系；（3）求此非齊次線性方程組的通解。（1）此線性方程組是否有解？

（說明理由）（2）寫出這個線性312.已知是四元非齊次線性方程組，是的三個解，且

求的通解。2.已知是四元非齊次線性方32分析因為，所以對應的四元齊次方程組的基礎解系中有一個解向量。已知一個非齊次方程組的解，再要找齊次方程組的一個非零解。分析因為33解答非齊次線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即若，則有唯一解；若，則有無窮解；若，則無解。解答非齊次線性方程組有解34若，則對應的齊次線性方程組的基礎解系有個線性無關的解向量，記作非齊次線性方程組的一個特解是，則非齊次線性方程組解的結構（通解）是若，則對應的齊次線35習題四1.解（1）寫出增廣矩陣，進行行初等變換。由習題四1.解（1）寫出增廣矩陣，進行行初等36（繼續(xù)）因為，所以，此線性方程組有解；（繼續(xù)）37（2）因為，所以

對應的齊次線性方程組的基礎解系中有

個解向量，由最簡形矩陣得到一個解向量（基礎解系）（2）因為38（3）非齊次線性方程組解的結構是非齊次線性方程組的通解=非齊次線性方程組的一個解（特解）+對應的齊次線性方程組的通解此方程組的一個特解是所求線性方程組的通解是（3）非齊次線性方程組解的結構是非齊次線性方程組的通解=392.解因為所以令，則有即是的非零解。2.解因為40又，所以的基礎解系中解向量是的一個特解是所求的通解是又41問題5方陣可以化為對角矩陣的充分必要條件是什么？哪些方陣必定可以化為對角矩陣？通常，化方陣為對角矩陣有哪些方法？分別適用于什么類型的方陣？問題5方陣可以化為對角矩陣的充分必要條件是什么？42解答*n階方陣A可以化為對角矩陣的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量*對稱矩陣可以化為對角矩陣*有n個互不相同的特征值的方陣可以化為對角矩陣*化方陣為對角矩陣的方法有：（1）相似變換用可逆矩陣使得；（2）合同變換對于對稱矩陣A（即）用可逆矩陣使得；（3）正交變換用正交矩陣使得；（4）配方法化二次型為標準形（使二次型的矩陣為對角陣）解答*n階方陣A可以化為對角矩陣的充分必要43習題51.設方陣（1）求A的特征值與特征向量；（2）A能否與對角陣相似（說明理由）？（3）寫出能把A化為對角陣的可逆矩陣P。習題51.設方陣442.已知兩個正交的向量（1）求向量，使得與都正交；（2）把化為規(guī)范正交向量組。2.已知兩個正交的向量453.已知3階方陣的特征值對應的特征向量依次是求方陣。3.已知3階方陣的特征值46習題五1.解（1）由得到A的特征值習題五1.解（1）由47=1，由得到；=2，由=1，由48得到=5，由得到（2）因為三階方陣A有三個線性無關的特征向量，所以A能與對角陣相似。（不同特征值對應的特征向量線性無關）得到49（3）可逆矩陣有（3）可逆矩陣502.解（1）設則由題設，有一個非零解是（2）把化為規(guī)范正交向量組：2.解（1）設則由題設，有513.解令可逆矩陣，則由得到3.解令可逆矩陣52問題6什么是“二次型”？怎樣把二次型用矩陣形式表示？什么是正定二次型？什么是正定矩陣？怎樣判斷一個二次型是否正定二次型？

問題6什么是“二次型”？怎樣把二次型用矩陣形式表示？53習題61.二次型（1）寫出二次型的矩陣表達式；（2）用正交變換化二次型為標準形，并寫出相應的正交矩陣。習題61.二次型542.判斷取何值時二次型是正定二次型。2.判斷取何值時二次型55解答二次型的概念稱解答二次型的概念稱56記且則二次型的矩陣形式是記57正定二次型對稱矩陣A為正定的充分必要條件是A的各階順序主子式大于零，即正定二次型對稱矩陣A為正定的充分必要條件是A的各階順58習題六1.解（1）習題六1.解（1）591.解（2）求A的特征值。由1.解（2）求A的特征值。由60得到A的特征值求與特征值對應的特征向量：得到A的特征值61正交化標準化線性代數(shù)復習題及答案課件62所求正交矩陣是正交變換化二次型為標準形所求正交矩陣是632.解二次型的矩陣形式是二次型矩陣2.解二次型的矩陣形式是64各階順序子式依次是當即亦即時二次型是正定二次型。各階順序子式依次是65線性代數(shù)復習題及答案課件66要求推薦準客戶的理想時機成交約會結束前遞交保單時多次促成但無結果時67——銜接培訓ZGKT-ZJS——要求推薦準客戶的理想時機成交約會結束前67——銜接培訓ZGK表哥（姐）：您好！我在平安保險公司服務一段時間了，這些日子以來受您許多的照顧，真是十分感謝！今天您能夠接受這份“家庭風險管理計劃”對我而言更是最佳的鼓勵。表哥，您平常為人很成功，人緣也廣，尤其愿意提攜后進，可否請您幫個忙，替我想一想在您的朋友當中有誰像您這樣有愛心、深具責任感的，讓我認識，或者有哪幾位跟您一樣需要這份保障的。表哥，請您放心，我絕不會勉強您的朋友一定要購買這份保險，就像我沒有勉強您一樣，他給我三十分鐘，我給他一個值得交的朋友。麻煩您幫我寫介紹函好嗎？68——銜接培訓ZGKT-ZJS——表哥（姐）：68——銜接培訓ZGKT-ZJS——陳先生，非常感謝您給我機會與您分享保險，雖然您暫不考慮投保，但是我想您的圈子里也許有朋友正好想買保險的，不知您可不可以將他們的名字給我，讓我去跟他們談一下呢？69——銜接培訓ZGKT-ZJS——陳先生，非常感謝您給我機會與您分享保險，雖然您暫我相信您也了解，我們從事銷售行業(yè)需要用很多時間和精力做好客戶的售后服務，所以沒有更多的時間結交很多新朋友。而我們這個行業(yè)是需要不停地接觸新朋友的，不知您可不可以介紹幾個想了解保險的朋友給我，如果談好了，也是你幫了朋友的一個忙，如果不成，你就算幫我認識了一個新朋友。70——銜接培訓ZGKT-ZJS——我相信您也了解，我們從事銷售行業(yè)需要用很多時間和壽險業(yè)務員的工作，就是要透過專業(yè)的壽險需要分析才能決定客戶是否有壽險需要；重申銷售工作是需要不斷地接觸新朋友，而不限于有壽險需求的客戶。71——銜接培訓ZGKT-ZJS——壽險業(yè)務員的工作，就是要透過專業(yè)的壽險需要分析才能決定客戶是比如和你一起去吃飯的同事；或者與你一起打球，逛街，看戲，甚至打麻將的朋友?72——銜接培訓ZGKT-ZJS——比如和你一起去吃飯的同事；或者與你一起我有很多客戶在給我名單的時候都有這個顧慮，不如我現(xiàn)在解釋一下我聯(lián)系準客戶的原則與程序。讓您多了解一些，才決定是否介紹您的朋友給我認識。73——銜接培訓ZGKT-ZJS——我有很多客戶在給我名單的時候都有這個顧慮，不如我我們公司的壽險顧問都會遵守以下3個原則：第一是保守秘密，我與您見面談過的內容，我保證不會透露給你的朋友知道，又或者您朋友的資料我也是絕對不會講出去的。74——銜接培訓ZGKT-ZJS——我們公司的壽險顧問都會遵守以下3個原則：第一是保第二是專業(yè)精神，就是說我們不會勉強您朋友見我或者購買保險，就好象我約見您都是先征求您同意，才約見您，這樣就不會使您為難。75——銜接培訓ZGKT-ZJS——第二是專業(yè)精神，就是說我們不會勉強您朋友見我或者第三是密切跟進，整個過程無論成功與否，我都會聯(lián)絡您，讓您知道進展，這樣您可以放心啦。76——銜接培訓ZGKT-ZJS——第三是密切跟進，整個過程無論成功與否，我都會聯(lián)絡而整個過程是：首先請在這里寫下您朋友的名字。跟著，我會聯(lián)絡他，如果您的朋友覺得有需要見我的話，我會安排與他見面的時間。77——銜接培訓ZGKT-ZJS——而整個過程是：首先請在這里寫下您朋友的名字。跟著線性代數(shù)復習題及答案線性代數(shù)復習題及答案78問題1常用的計算行列式的方法

有哪些？習題一1.已知四階行列式D的第二行元素依次是2，-1，3，5，各個元素對應的余子式的值依次是1，-3，4，2。求行列式D的值。2.計算行列式問題1常用的計算行列式的方法

有哪些？793.計算行列式試把第3題的算法和結論推廣至n階行列式。4.計算

3.計算行列式80線性代數(shù)復習題及答案課件81線性代數(shù)復習題及答案課件82線性代數(shù)復習題及答案課件83提取公因子，化為上三角行列式綜上，行列式提取公因子，化為上三角行列式84推廣到n階行列式：n階行列式的值推廣到n階行列式：n階行列式的值854.解：用行列式性質，化為下三角行列式從第二行起，分別提取非零數(shù)4.解：用行列式性質，化為下三角行列式從第二86再把第二行的倍、第三行的倍、

第四行的倍加到第一行對應元素上，使得第一行的元素依次是由此得到一個下三角行列式，所以行列式的值是熟悉“箭形”行列式的一般算法再把第二行的倍、第三行的倍、87問題2方陣可逆的定義是什么？試寫出幾個方陣可逆的充分必要條件。之間有怎樣的關系？習題二1.求下列方陣的逆矩陣。（1）（2）問題2方陣可逆的定義是什么？試寫出幾個方陣可逆的充分必88（3）2.已知四階方陣A的行列式，是A的伴隨矩陣。計算：（1）（2）（3）（3）89解答n階方陣A可逆的定義：若n階方陣A與B滿足，則稱方陣A可逆，稱B為A的逆矩陣，亦記A的逆矩陣為。同理，方陣B也可逆，有

方陣可逆的充分必要條件有：方陣A可逆方陣A可逆方陣A可逆A的n個列（行）形成的n個列（行）向量線性無關方陣A可逆A的n個特征值都不等于0解答n階方陣A可逆的定義：若n階方陣A與90之間的關系是習題二1.（1）（2）逆矩陣是之間的關系是91（3）用行初等變換由（3）用行初等變換由92（繼續(xù)）（下一頁）（繼續(xù)）93（繼續(xù)）得到（繼續(xù)）942.解（1）（2）（3）2.解（1）95問題3試敘述向量線性相關、線性無關的定義。若已知則下列說法哪一個是正確的？（1）線性無關（2）線性相關（3）線性無關（4）線性相關問題3試敘述向量線性96習題三1.設向量組A：求向量組的秩和一個最大線性無關組，并用無關組中向量表示A中其余向量。習題三1.設向量組A：972已知向量線性無關，證明：線性相關。2已知向量線性無98解答向量線性相關、線性無關的定義：若存在不全為零的數(shù)使得則稱向量線性相關；否則，稱線性無關。即：當且僅當時，有則稱向量線性無關。解答向量線性相關、99哪一個說法正確？（1）錯若，則是零向量（2）錯若，則是非零向量（3）正確是（一個）非零向量（4）錯是非零向量

注意：用定義判斷！哪一個說法正確？（1）錯若，則100習題三1.解令矩陣

對A作行初等變換：習題三1.解令矩陣

對A作行初等變換：101因為，所以向量組的秩是2，是一個最大線性無關組；對以上最后一個矩陣繼續(xù)行初等變換，化為最簡形矩陣：（即解方程）因為，所以向量組的秩是2，102即用表示，有即用表示1032.證明：令即

因為線性無關，所以2.證明：令104由得到齊次線性方程組有非零解，即存在不全為零的使得亦即線性相關。由105問題4線性方程組，其中有解的充分必要條件是什么？有解的情形什么條件下解是唯一的？什么條件下解有無窮多個？有無窮多個解時，解的結構是怎樣的？問題4線性方程組，其中106習題四1.設解線性方程組習題四1.設解線性方程組107（1）此線性方程組是否有解？

（說明理由）（2）寫出這個線性方程組對應的齊次線性方程組的基礎解系；（3）求此非齊次線性方程組的通解。（1）此線性方程組是否有解？

（說明理由）（2）寫出這個線性1082.已知是四元非齊次線性方程組，是的三個解，且

求的通解。2.已知是四元非齊次線性方109分析因為，所以對應的四元齊次方程組的基礎解系中有一個解向量。已知一個非齊次方程組的解，再要找齊次方程組的一個非零解。分析因為110解答非齊次線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即若，則有唯一解；若，則有無窮解；若，則無解。解答非齊次線性方程組有解111若，則對應的齊次線性方程組的基礎解系有個線性無關的解向量，記作非齊次線性方程組的一個特解是，則非齊次線性方程組解的結構（通解）是若，則對應的齊次線112習題四1.解（1）寫出增廣矩陣，進行行初等變換。由習題四1.解（1）寫出增廣矩陣，進行行初等113（繼續(xù)）因為，所以，此線性方程組有解；（繼續(xù)）114（2）因為，所以

對應的齊次線性方程組的基礎解系中有

個解向量，由最簡形矩陣得到一個解向量（基礎解系）（2）因為115（3）非齊次線性方程組解的結構是非齊次線性方程組的通解=非齊次線性方程組的一個解（特解）+對應的齊次線性方程組的通解此方程組的一個特解是所求線性方程組的通解是（3）非齊次線性方程組解的結構是非齊次線性方程組的通解=1162.解因為所以令，則有即是的非零解。2.解因為117又，所以的基礎解系中解向量是的一個特解是所求的通解是又118問題5方陣可以化為對角矩陣的充分必要條件是什么？哪些方陣必定可以化為對角矩陣？通常，化方陣為對角矩陣有哪些方法？分別適用于什么類型的方陣？問題5方陣可以化為對角矩陣的充分必要條件是什么？119解答*n階方陣A可以化為對角矩陣的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量*對稱矩陣可以化為對角矩陣*有n個互不相同的特征值的方陣可以化為對角矩陣*化方陣為對角矩陣的方法有：（1）相似變換用可逆矩陣使得；（2）合同變換對于對稱矩陣A（即）用可逆矩陣使得；（3）正交變換用正交矩陣使得；（4）配方法化二次型為標準形（使二次型的矩陣為對角陣）解答*n階方陣A可以化為對角矩陣的充分必要120習題51.設方陣（1）求A的特征值與特征向量；（2）A能否與對角陣相似（說明理由）？（3）寫出能把A化為對角陣的可逆矩陣P。習題51.設方陣1212.已知兩個正交的向量（1）求向量，使得與都正交；（2）把化為規(guī)范正交向量組。2.已知兩個正交的向量1223.已知3階方陣的特征值對應的特征向量依次是求方陣。3.已知3階方陣的特征值123習題五1.解（1）由得到A的特征值習題五1.解（1）由124=1，由得到；=2，由=1，由125得到=5，由得到（2）因為三階方陣A有三個線性無關的特征向量，所以A能與對角陣相似。（不同特征值對應的特征向量線性無關）得到126（3）可逆矩陣有（3）可逆矩陣1272.解（1）設則由題設，有一個非零解是（2）把化為規(guī)范正交向量組：2.解（1）設則由題設，有1283.解令可逆矩陣，則由得到3.解令可逆矩陣129問題6什么是“二次型”？怎樣把二次型用矩陣形式表示？什么是正定二次型？什么是正定矩陣？怎樣判斷一個二次型是否正定二次型？

問題6什么是“二次型”？怎樣把二次型用矩陣形式表示？130習題61.二次型（1）寫出二次型的矩陣表達式；（2）用正交變換化二次型為標準形，并寫出相應的正交矩陣。習題61.二次型1312.判斷取何值時二次型是正定二次型。2.判斷取何值時二次型132解答二次型的概念稱解答二次型的概念稱133記且則二次型的矩陣形式是記134正定二次型對稱矩陣A為正定的充分必要條件是A的各階順序主子式大于零，即正定二次型對稱矩陣A為正定的充分必要條件是A的各階順135習題六1.解（1）習題六1.解（1）1361.解（2）求A的特征值。由1.解（2）求A的特征值。由137得到A的特征值求與特征值對應的特征向量：得到A的特征值138正交化標準化線性代數(shù)復習題及答案課件139所求正交矩陣是正交變換化二次型為標準形所求正交矩陣是1402.解二次型的矩陣形式是二次型矩陣2.解二次型的矩陣形式是141各階順序子式依次是當即亦即時二次型是正定二次型。各階順序子式依次是142線性代數(shù)復習題及答案課件1