總體特征數(shù)的估計(jì)(均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差)課件

總體特征數(shù)的估計(jì)立發(fā)中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組總體特征數(shù)的估計(jì)立發(fā)中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組1中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕泻?，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）知識(shí)回顧眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，它的大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)；中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒有影響。中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕泻螅?情境一:

某農(nóng)場(chǎng)種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取了10株，分別測(cè)得它們的株高如下（單位：厘米）：

甲：

25414037221419392142乙：

27164427441640401640問：哪種玉米苗長(zhǎng)得高？分析：欲比較哪種玉米苗長(zhǎng)得高，可以比較一下它們的平均高！反映了總體的某種特征總體特征數(shù)3031情境一:某農(nóng)場(chǎng)種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取3總體特征數(shù)：通常把能反映總體某種特征的量稱為總體特征數(shù)如何反映總體的特征數(shù)？用樣本的特征數(shù)估計(jì)總體的特征數(shù)！總體特征數(shù)：通常把能反映總體某種特征的量稱為總體特征數(shù)如何反4平均數(shù)及其估計(jì)平均數(shù)及其估計(jì)5情境二:

在利用單擺檢驗(yàn)重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，全班同學(xué)在相同的條件下進(jìn)行測(cè)試，得到下列數(shù)據(jù)（單位：m/s2)9.629.549.789.9410.019.669.889.6810.329.769.459.999.819.569.789.729.939.949.659.799.429.689.709.849.90怎樣利用這些數(shù)據(jù)對(duì)重力加速度進(jìn)行估計(jì)？平均數(shù)為什么呢？情境二:在利用單擺檢驗(yàn)重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，全班6問題轉(zhuǎn)化為：實(shí)驗(yàn)結(jié)果測(cè)得一組數(shù)據(jù)為用作為重力加速度“最理想的”近似值，依據(jù)是什么呢？算術(shù)平均數(shù)==讀作：平均

處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原則是使這個(gè)近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的離差（偏差）最小、設(shè)近似值為x，則它與n個(gè)實(shí)驗(yàn)值ai（i＝1，2，3，…，n）的離差分別為x-a1,x-a2,…,x-an平均數(shù)最能代表一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，也就是說(shuō)它與樣本數(shù)據(jù)的離差最小。稱為這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)或者均值問題轉(zhuǎn)化為：實(shí)驗(yàn)結(jié)果測(cè)得一組數(shù)據(jù)為用7例1

某校高一年級(jí)的甲乙兩個(gè)班級(jí)（均為50人）的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢偡?50），試確定這次考試中，哪個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)更好一些.甲班

乙班

甲班均分乙班均分1128610684100105981029410787112949499901209895119108100961151111049510811110510410711910793102981121129992102938494941009084114116951099610698108991101039498105101115104112101113961081001109810787108106103971071061111219710711412210110710711111410610410495111111110例1某校高一年級(jí)的甲乙兩個(gè)班級(jí)（均為50人）的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)?思考某公司內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及工資分布：人員經(jīng)理管理人員技工工人學(xué)徒合計(jì)月工資11000125011001000500人數(shù)165101023某公司有經(jīng)理1人，另有6名管理人員，5名高級(jí)技工，10名工人和10名學(xué)徒，現(xiàn)需要增加一名新工人。小張前來(lái)應(yīng)聘，經(jīng)理說(shuō)：“我公司報(bào)酬不錯(cuò)，平均工資每月1695元?！毙埞ぷ鲙滋旌笳业浇?jīng)理說(shuō)：“你欺騙了我，我問過(guò)其他工人，每月一個(gè)人的工資不超過(guò)1500元，平均月工資怎么能是1695元呢？”經(jīng)理拿出如下表所示的工資表說(shuō)：“你看，平均月工資就是1695元?！?/p>

在這個(gè)問題中，總體月平均數(shù)能客觀地反映工人的月工資水平嗎？為什么？思考某公司內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及工資分布：人員經(jīng)理管理人員技工工人9總體月平均數(shù)不能反映工人的月工資水平，因?yàn)楣局猩贁?shù)人的月工資額與大多數(shù)人的月工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)的偏差較大，所以月平均數(shù)不能反映這個(gè)公司工人的月工資水平，而應(yīng)該應(yīng)用中位數(shù)或眾數(shù)來(lái)反映工人的月工資水平

在這個(gè)問題中，總體月平均數(shù)能客觀地反映工人的月工資水平嗎？為什么？總體月平均數(shù)不能反映工人的月工資水平，因10例2：由下表計(jì)算學(xué)生日睡眠時(shí)間[6,6.5)50.05[6.5,7)170.17[7,7.5)330.33[7.5,8)370.37[8,8.5)60.06[8.5,9]20.02合

計(jì)1001例2：由下表計(jì)算學(xué)生日睡眠時(shí)間[6,6.5)50.05[6.11例3

高一（1）班學(xué)生年齡統(tǒng)計(jì)：（班級(jí)共有43人）其中有20人18歲，13人17歲，7人16歲，，3人15歲，求該班級(jí)的平均年齡。分析在班級(jí)年齡序列中18出現(xiàn)了20次，17出現(xiàn)了13次，16出現(xiàn)了7次，15出現(xiàn)了3次解：“加權(quán)平均數(shù)”15例3高一（1）班學(xué)生年齡統(tǒng)計(jì)：（班級(jí)共有43人）其中有212加權(quán)平均值（用頻率計(jì)算平均值）

一般地，若取值為，出現(xiàn)的次數(shù)分別為，設(shè)頻率為則其加權(quán)平均數(shù)為其中加權(quán)平均值（用頻率計(jì)算平均值）一般地，若取值13收入范圍所占百分比10000至1500010%15000至2000015%20000至2500020%25000至3000025%30000至3500015%35000至4000010%40000至500005%例4：由某單位年收入表試估計(jì)該單位職工的平均年收入收入范圍所占百分比10000至1500010%15000至214方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差與標(biāo)準(zhǔn)差15情境一:

某農(nóng)場(chǎng)種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取了10株，分別測(cè)得它們的株高如下：

甲：

31323537333032313029

乙：

53165413661613111662問：哪種玉米苗長(zhǎng)得高？哪種玉米苗長(zhǎng)得齊？怎么辦呢？情境一:某農(nóng)場(chǎng)種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取16甲37（最大值）29（最小值）8乙66（最大值）11（最小值）55極差

甲：

31323537333032313029

乙：

53165413661613111662甲32372937321166乙甲37（最大值）29（最小值）8乙66（最大值）11（最小值17極差：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差極差越大，數(shù)據(jù)越分散，越不穩(wěn)定極差越小，數(shù)據(jù)越集中，越穩(wěn)定極差體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的離散程度極差：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差極差越大，數(shù)據(jù)越分散，越不18如果甲乙兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí)，怎么辦呢？

我們可以考慮每一株的高度與平均高度的離差離差的平方和越小，長(zhǎng)的越齊

考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差。如果甲乙兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí)，怎19設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則稱s2為這個(gè)樣本的方差，稱為這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，分別稱為樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差即它的算術(shù)平方根設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則20樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)叫做樣本方差；樣本方差的算術(shù)平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差。因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度，我們用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)刻畫一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度更好一些．

方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義：

描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)（離散程度）大小的特征數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差大說(shuō)明波動(dòng)大.

樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)叫做樣本方差；21極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別和聯(lián)系：都是用來(lái)描述數(shù)據(jù)的離散程度，其中極差是數(shù)據(jù)最大值與最小值的差，反映了一組數(shù)據(jù)的變化的最大幅度，它對(duì)一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感。方差反映一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，標(biāo)準(zhǔn)差是以樣本數(shù)據(jù)為單位表示波動(dòng)幅度。極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別和聯(lián)系：都是用來(lái)22例1：從高一（1）班的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)抽取一小組成績(jī)?nèi)缦拢ūＡ粽麛?shù)）：859080808575100

計(jì)算這組樣本數(shù)據(jù)的極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.例2．甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2），試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8例1：從高一（1）班的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)抽取一小組成績(jī)?nèi)缦拢ūＡ粽?3例3．為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換。已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差。天數(shù)151~180181~210211~240241~270271~300301~330331~360361~390燈泡數(shù)1111820251672例3．為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在天數(shù)151~181241、在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為_________________；

2、已知數(shù)據(jù)的方差為2，則求數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差。

9.5，0.016

課本P68練習(xí)1、21、在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)2、已知數(shù)據(jù)25小結(jié)2、極差是體現(xiàn)數(shù)據(jù)離散程度1、（算術(shù)）平均數(shù)3、方差、標(biāo)準(zhǔn)差是體現(xiàn)穩(wěn)定性小結(jié)2、極差是體現(xiàn)數(shù)據(jù)離散程度1、（算術(shù)）平均數(shù)3、方差、標(biāo)26總體特征數(shù)的估計(jì)立發(fā)中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組總體特征數(shù)的估計(jì)立發(fā)中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組27中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列后，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）知識(shí)回顧眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，它的大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)；中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒有影響。中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕泻?，處28情境一:

某農(nóng)場(chǎng)種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取了10株，分別測(cè)得它們的株高如下（單位：厘米）：

甲：

25414037221419392142乙：

27164427441640401640問：哪種玉米苗長(zhǎng)得高？分析：欲比較哪種玉米苗長(zhǎng)得高，可以比較一下它們的平均高！反映了總體的某種特征總體特征數(shù)3031情境一:某農(nóng)場(chǎng)種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取29總體特征數(shù)：通常把能反映總體某種特征的量稱為總體特征數(shù)如何反映總體的特征數(shù)？用樣本的特征數(shù)估計(jì)總體的特征數(shù)！總體特征數(shù)：通常把能反映總體某種特征的量稱為總體特征數(shù)如何反30平均數(shù)及其估計(jì)平均數(shù)及其估計(jì)31情境二:

在利用單擺檢驗(yàn)重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，全班同學(xué)在相同的條件下進(jìn)行測(cè)試，得到下列數(shù)據(jù)（單位：m/s2)9.629.549.789.9410.019.669.889.6810.329.769.459.999.819.569.789.729.939.949.659.799.429.689.709.849.90怎樣利用這些數(shù)據(jù)對(duì)重力加速度進(jìn)行估計(jì)？平均數(shù)為什么呢？情境二:在利用單擺檢驗(yàn)重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，全班32問題轉(zhuǎn)化為：實(shí)驗(yàn)結(jié)果測(cè)得一組數(shù)據(jù)為用作為重力加速度“最理想的”近似值，依據(jù)是什么呢？算術(shù)平均數(shù)==讀作：平均

處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原則是使這個(gè)近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的離差（偏差）最小、設(shè)近似值為x，則它與n個(gè)實(shí)驗(yàn)值ai（i＝1，2，3，…，n）的離差分別為x-a1,x-a2,…,x-an平均數(shù)最能代表一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，也就是說(shuō)它與樣本數(shù)據(jù)的離差最小。稱為這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)或者均值問題轉(zhuǎn)化為：實(shí)驗(yàn)結(jié)果測(cè)得一組數(shù)據(jù)為用33例1

某校高一年級(jí)的甲乙兩個(gè)班級(jí)（均為50人）的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢偡?50），試確定這次考試中，哪個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)更好一些.甲班

乙班

甲班均分乙班均分1128610684100105981029410787112949499901209895119108100961151111049510811110510410711910793102981121129992102938494941009084114116951099610698108991101039498105101115104112101113961081001109810787108106103971071061111219710711412210110710711111410610410495111111110例1某校高一年級(jí)的甲乙兩個(gè)班級(jí)（均為50人）的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)?4思考某公司內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及工資分布：人員經(jīng)理管理人員技工工人學(xué)徒合計(jì)月工資11000125011001000500人數(shù)165101023某公司有經(jīng)理1人，另有6名管理人員，5名高級(jí)技工，10名工人和10名學(xué)徒，現(xiàn)需要增加一名新工人。小張前來(lái)應(yīng)聘，經(jīng)理說(shuō)：“我公司報(bào)酬不錯(cuò)，平均工資每月1695元?！毙埞ぷ鲙滋旌笳业浇?jīng)理說(shuō)：“你欺騙了我，我問過(guò)其他工人，每月一個(gè)人的工資不超過(guò)1500元，平均月工資怎么能是1695元呢？”經(jīng)理拿出如下表所示的工資表說(shuō)：“你看，平均月工資就是1695元?！?/p>

在這個(gè)問題中，總體月平均數(shù)能客觀地反映工人的月工資水平嗎？為什么？思考某公司內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及工資分布：人員經(jīng)理管理人員技工工人35總體月平均數(shù)不能反映工人的月工資水平，因?yàn)楣局猩贁?shù)人的月工資額與大多數(shù)人的月工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)的偏差較大，所以月平均數(shù)不能反映這個(gè)公司工人的月工資水平，而應(yīng)該應(yīng)用中位數(shù)或眾數(shù)來(lái)反映工人的月工資水平

在這個(gè)問題中，總體月平均數(shù)能客觀地反映工人的月工資水平嗎？為什么？總體月平均數(shù)不能反映工人的月工資水平，因36例2：由下表計(jì)算學(xué)生日睡眠時(shí)間[6,6.5)50.05[6.5,7)170.17[7,7.5)330.33[7.5,8)370.37[8,8.5)60.06[8.5,9]20.02合

計(jì)1001例2：由下表計(jì)算學(xué)生日睡眠時(shí)間[6,6.5)50.05[6.37例3

高一（1）班學(xué)生年齡統(tǒng)計(jì)：（班級(jí)共有43人）其中有20人18歲，13人17歲，7人16歲，，3人15歲，求該班級(jí)的平均年齡。分析在班級(jí)年齡序列中18出現(xiàn)了20次，17出現(xiàn)了13次，16出現(xiàn)了7次，15出現(xiàn)了3次解：“加權(quán)平均數(shù)”15例3高一（1）班學(xué)生年齡統(tǒng)計(jì)：（班級(jí)共有43人）其中有238加權(quán)平均值（用頻率計(jì)算平均值）

一般地，若取值為，出現(xiàn)的次數(shù)分別為，設(shè)頻率為則其加權(quán)平均數(shù)為其中加權(quán)平均值（用頻率計(jì)算平均值）一般地，若取值39收入范圍所占百分比10000至1500010%15000至2000015%20000至2500020%25000至3000025%30000至3500015%35000至4000010%40000至500005%例4：由某單位年收入表試估計(jì)該單位職工的平均年收入收入范圍所占百分比10000至1500010%15000至240方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差與標(biāo)準(zhǔn)差41情境一:

某農(nóng)場(chǎng)種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取了10株，分別測(cè)得它們的株高如下：

甲：

31323537333032313029

乙：

53165413661613111662問：哪種玉米苗長(zhǎng)得高？哪種玉米苗長(zhǎng)得齊？怎么辦呢？情境一:某農(nóng)場(chǎng)種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取42甲37（最大值）29（最小值）8乙66（最大值）11（最小值）55極差

甲：

31323537333032313029

乙：

53165413661613111662甲32372937321166乙甲37（最大值）29（最小值）8乙66（最大值）11（最小值43極差：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差極差越大，數(shù)據(jù)越分散，越不穩(wěn)定極差越小，數(shù)據(jù)越集中，越穩(wěn)定極差體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的離散程度極差：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差極差越大，數(shù)據(jù)越分散，越不44如果甲乙兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí)，怎么辦呢？

我們可以考慮每一株的高度與平均高度的離差離差的平方和越小，長(zhǎng)的越齊

考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差。如果甲乙兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí)，怎45設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則稱s2為這個(gè)樣本的方差，稱為這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，分別稱為樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差即它的算術(shù)平方根設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則46樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)叫做樣本方差；樣本方差的算術(shù)平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差。因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度，我們用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)刻畫一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度更好一些．

方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義：

描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)（離散程度）大小的特征數(shù)，標(biāo)