三角函數(shù)線的作用

三角函數(shù)線的作用三角函數(shù)線的作用三角函數(shù)線的作用xxx公司三角函數(shù)線的作用文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準審核制定方案設(shè)計，管理制度新課程中“單位圓與三角函數(shù)線”的教學作用高一數(shù)學組劉華泉在三角函數(shù)的教學中，三角函數(shù)線（正弦線、余弦線、正切線）一直是與三角函數(shù)圖像并駕齊驅(qū)的兩大解題法寶，是數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn)。但學生往往重后者而疏前者，因此老師們在“三角函數(shù)線的解題功能”方面有較多的探討。如今，隨著新課程改革三角函數(shù)定義的單位圓化，給了三角函數(shù)線更寬的舞臺，在三角函數(shù)這一章節(jié)知識的展開中，三角函數(shù)線起到了前所未有的作用。本文旨在挖掘“單位圓——三角函數(shù)線”在教學中的功能。教學作用一．三角函數(shù)“單位圓定義法”與原教材“終邊定義法”之比較：“終邊定義法（等）”源于銳角三角函數(shù)，“終邊定義法”需要經(jīng)過“取點──求距離──求比值”等步驟，對應(yīng)關(guān)系不夠簡潔；“比值”作為三角函數(shù)值，其意義（幾何含義）不夠清晰；“從角的集合到比值的集合”的對應(yīng)關(guān)系與學生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系不一致，而且“比值”需要通過運算才能得到，任意一個角所對應(yīng)的比值的唯一性（即與點的選取無關(guān)）也需要證明；“比值”的周期性變化規(guī)律也需要經(jīng)過推理才能得到．以往的教學實踐表明，許多學生在結(jié)束了三角函數(shù)的學習后還對三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不甚了了，與“終邊定義法”的這些問題不無關(guān)系．用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數(shù)有許多優(yōu)點．（1）簡單、清楚，突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)──周期性．采用“單位圓定義法”，對于任意角，它的終邊與單位圓交點P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，即角（弧度）對應(yīng)于點P的縱坐標y──正弦，角（弧度）對應(yīng)于點P的橫坐標x──余弦，可以得到非常清楚、明確的表示，而且這種表示也是簡單的．另外，“x=cos，y=sin是單位圓的自然的動態(tài)（解析）描述，其中，單位圓上點的坐標隨著角每隔2π（圓周長）而重復(fù)出現(xiàn)（點繞圓周一圈而回到原來的位置），非常直觀地顯示了這兩個函數(shù)的周期性．所以作為任意角三角函數(shù)的定義，當然是選擇能夠表現(xiàn)周期性的單位圓更為恰當。另外，該定義可以在學誘導(dǎo)公式前求特殊角的三角函數(shù)值，也可以判斷三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號。教學作用二．單位圓中理解弧度制：OxPQ圖1學生在學習弧度制時，對于引進弧度制的必要性較難理解．“單位圓定義法”可以啟發(fā)學生反思：采用弧度制度量角，就是用圓的半徑來度量角，當此圓為單位圓時，由扇形弧長公式知，。所以，在單位圓中，角度就是弧長。這時角度和半徑長度的單位一致，這樣，三角函數(shù)就是以實數(shù)（弧度數(shù)）為自變量，以單位圓上點的坐標（也是實數(shù)）為函數(shù)值的函數(shù)，這就與函數(shù)的一般定義一致了我們還可以這樣來理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系：把實數(shù)軸想象為一條柔軟的細線，原點固定在單位點A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個實數(shù)（點）被纏繞到單位圓上的點P(cos，sin)．OxPQ圖1教學作用三．“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”中的公式推導(dǎo)和應(yīng)用（求值、證明）：1．公式推導(dǎo)：如圖2，關(guān)系式一“”，即中的勾股定理“”。關(guān)系式二“”，即相似三角xyOMPAxyOMPAT圖2教學作用四．誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)：舉兩例，如圖3，觀察三角函數(shù)線可知，與xyxyO圖3所以對于y軸的軸對稱性sin(π－)=sin，cos(π－)=－cos；xxyO圖4如圖4，的正弦線等于的余弦線的相反數(shù)，關(guān)于y=-x對稱，。同理以下結(jié)論都可以在單位圓中體現(xiàn)●對于圓心的中心對稱性sin(π+)=－sin，cos(π+)=－cos；●對于x軸的軸對稱性sin(－)=－sin，cos(－)=cos；●對于直線y=x的軸對稱性sin(－)=cos，cos(－)=sin；教學作用五．利用正弦函數(shù)線作正弦曲線：xyO圖5PMxyO圖5PMM’P’問題：如何給圖5中的鈍角描點橫坐標等于劣弧OP的長（由功能二可知），用一條柔軟的細線將劣弧OP平展到射線Ox上，得橫坐標對應(yīng)的點。然后，將的正弦線平移過去得縱坐標，得點。教學作用六．三角函數(shù)的性質(zhì)：“單位圓定義法”使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像奠定了很好的直觀基礎(chǔ)．如圖6，當角的終邊繞原點從的正半軸開始，按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，自變量的終邊按照0→→→→→…的規(guī)律周而復(fù)始變化著，所以三角函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性、對稱性、單調(diào)性…一目了然教學作用七：其它解題功能：主要功能：等式與不等式、比較大小。1．由于單位圓中弧長，從圖6中易知當時，。此不等式能指導(dǎo)作圖7，三者唯一的交點是原點。圖圖7xy01圖6圖6xyOxyxyO圖9MPPxyO圖8MMPP2．解不等式組(1)、(2)式的解的終邊所在區(qū)域用陰影表示分別如圖8、9所示。取公共部分得解集從這個角度來看，新課程或許在告訴我們，可以將三角函數(shù)統(tǒng)一