復變函數(shù)與積分變換

第一節(jié)

孤立奇點一、孤立奇點的概念二、函數(shù)的零點與極點的關系三、函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)

四、小結與思考一、孤立奇點的概念定義

如果函數(shù)

f

(z)在

z0不解析,

但

f

(z)在

z0的某一去心鄰域0

z

z0

內處處解析,則稱例1z

0

是函數(shù)ez

,z0

為f

(z)的孤立奇點.1zsin

z的孤立奇點.z

1是函數(shù)1z

1的孤立奇點.注意:孤立奇點一定是奇點,但奇點不一定是孤立奇點.例2函數(shù)f

(z)zz21

在點z

0

的奇點特性.sin解kz

0,

z

1(k

1,

2,)因為

lim

1

0k

k即在z

0

的不論怎樣小的去心鄰域內,總有f

(z)的奇點存在,所以z

0

不是孤立奇點.函數(shù)的奇點為孤立奇點的分類依據(jù)f

(z)在其孤立奇點

z0

的去心鄰域0

z

z0

內的級數(shù)的情況分為三類:2．極點; 3．本性奇點.級數(shù)中不含z

z0

的負冪項,1．可去奇點;1．可去奇點1)

定義 如果那末孤立奇點z0

稱為f

(z)的可去奇點.f

(z)

F

(z),

z

z00

0

c

,

z

z說明:(1)z0若是f

(z)的孤立奇點,0

1

0

n

0f

(z)

c

c

(z

z

)

c

(z

z

)n

.(

0

z

z0

)其和函數(shù)F

(z)為在z0

解析的函數(shù).zz0f

(z0

)

lim

f

(z)f

(z0

)

c0

,

則函數(shù)

f

(z)

在

z0

解析.(2)無論f

(z)在z0

是否有定義,補充定義2)

可去奇點的判定(1)由定義判斷:如果f

(z)在z0

的冪項則z0

為f

(z)的可去奇點.級數(shù)無負zz0(2)

判斷極限lim

f

(z)

:

若極限存在且為有限值,則z0

為f

(z)的可去奇點.如果補充定義:z

0

時,sin

z

1,zz那末sin

z

在z

0

解析.例3sin

z

1

1

z2

1

z4

中不含負冪項,z

3!

5!zz

0

是sin

z

的可去奇點.例4

說明z

0

為ze

z

1的可去奇點.解

zez

12!

n!

1

1

z

1

zn1

,

0

z

所以z

0

為的可去奇點.zeze

z

1無負冪項另解z0因為limz0

lim

ez

1,z

1所以z

0

為的可去奇點.ze

z

1111z22!

n!(1

z

z

nz

1)2.極點m

2

1f

(z)

cm

(z

z0

)

c2

(z

z0

)

c1(z

z0

)

c0

c1

(z

z0

)

(m

1,

cm

0)0g(z)

,1(z

z

)mf

(z)

負冪項,

其中關于

(z

z

)1

的最高冪為(z

z

)m

,0

0即那末孤立奇點

z0

稱為函數(shù)

f

(z)

的

m

級極點.或寫成1)

定義

如果

級數(shù)中只有有限多個

z

z0

的說明:(1)g(z)

cm

cm1

(z

z0

)

cm2

(z

z0

)

2在z

z0

g(z0

)

0如果z0

為函數(shù)f

(z)的極點,則lim

f

(z)

.zz0特點:(2)例5有理分式函數(shù)

f

(z)3z

2

,z2

(z

2)z

0是二級極點,

z

2

是一級極點.2)極點的判定方法f

(z)的展開式中含有z

z0

的負冪項為有限項.0(z

z

)m在點

z

的某去心鄰域內

f

(z)

g(z)0其中g(z)在z0

的鄰域內解析,且g(z0

)

0.(1)由定義判別(2)由定義的等價形式判別zz0(3)

利用極限

lim

f

(z)

判斷

.課堂練習求1z3

z2

z

1的奇點,如果是極點,它的級數(shù).答案z3

z2

z

11由于所以:

z

1是函數(shù)的一級極點,z

1是函數(shù)的二級極點.,(z

1)(z

1)21本性奇點3.如果

級數(shù)中含有無窮多個z

z0

的負冪項,那末孤立奇點

z0

稱為

f

(z)

的本性奇點.1例如，

ez

1

z1

1

1

,2!

n!z2

znzz0特點:

在本性奇點的鄰域內

lim

f

(z)不存在且不為

.含有無窮多個z的負冪項

(0

z

)1同時lim

ezz0所以

z

0

為本性奇點

不存在.4綜上所述:孤立奇點級數(shù)特點lim

f

(z)zz0可去奇點無負冪項存在且為有限值m級極點含有限個負冪項關于(z

z

)1的最高冪0為

(z

z

)m0本性奇點含無窮多個負冪項不存在且不為二、函數(shù)的零點與極點的關系1.零點的定義不恒等于零的解析函數(shù)

f

(z)如果能表示成

f

(z)

(z

z0

)

(z),m其中

(z)在z0解析且

(z0

)

0,m為某一正整數(shù),那末z0

稱為f

(z)的m

級零點.例6

z

0是函數(shù)

f

(z)

z(zz

1是函數(shù)

f

(z)

z(z

1)3

的三級零點.注意:不恒等于零的解析函數(shù)的零點是孤立的.2.零點的判定如果f

(z)在z0

解析,那末z0

為f

(z)的m

級零點的充要條件是證(必要性)由定義:f

(z)

(z

z0

)

(z)m設

(z)在z0的展開式為:2

,00201cczzczzz如果z0

為f

(z)的m

級零點f

(

n)(z

)

0,

(n

0,1,2,m

1);0f

(

m

)

(z

)

0.0展開式為從而f

(z)在z0的f

(z)

c

(z

z

)m

c

(z

z

)m1

c

(z

z

)m2

0

0

1

0

2

0展開式的前m項系數(shù)都為零,由

級數(shù)的系數(shù)其中c0

(z0

)

0,公式知:

f

()nz0

n

0m0,)(,()1;并且

0

c0

0.m!f

(

m

)

(z

)充分性證明略.(1)由于f

(1)

3z2

3

0,z1課堂練習z

0

是五級零點,z

i

是二級零點.解知z

1

是f

(z)的一級零點.(2)由于f

(0)

cos

z

z0

1

0,知z

0是f

(z)的一級零點.答案例7

求以下函數(shù)的零點及級數(shù):(1)

f

(z)

z3

1,

(2)

f

(z)

sin

z.求f

(z)

z5

(z2

1)2

的零點及級數(shù).3.零點與極點的關系定理如果z0

是f

(z)的m

級極點,那末z0

就是1f

(z)的m

級零點.反過來也成立.證如果z0

是f

(z)的m

級極點,則有10(z

z

)m0f

(z)

g(z)

(

g(z

)

0)0當z

z

時,1

10f

(z)

g(z)

(z

z

)m0

(z

z

)m

h(z)函數(shù)h(z0

)在z0

解析且h(z0

)

0.由于limzz0

0,f

(z)1只要令

0,f

(z0

)10那末

z

就是f

(z)1的m級零點.0反之如果z

是f

(z)1的m級零點,那末f

(z)10

(z

z

)m

(z),0當

z

z

時,

f

(z)

10(z

z

)m1

(z)

(z),

(z)

解析且

(z0

)

0所以z0

是f

(z)的m級極點.說明

此定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡便的方法.1例8

函數(shù)

sin

z

有些什么奇點,

如果是極點,它的級.解

函數(shù)的奇點是使

sin

z

0

的點,這些奇點是z

k

(k

0,

1,

2).是孤立奇點.zkzk因為

(sin

z)

cos

z所以z

k是sin

z的一級零點即

(1)k

0,sin

z1的一級極點.22解2

11

1

n0n!znzz2ez解析且

(0)

0

1

1

z

1

(z),z

2!

3!

z所以z

0不是二級極點,而是一級極點.z3z

0

是sinh

z

的幾級極點?思考例9問z

0

是z2ez

1的二級極點嗎?注意:

不能以函數(shù)的表面形式作出結論

.三、函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)1.定義如果函數(shù)

f

(z)在無窮遠點

z

的去心鄰域

R

z

內解析,

則稱點為f

(z)的孤立奇點.Rxyo

t

為zz

t

0,令變換t

1

:則

f

(z)

f

1

(t

),

規(guī)定此變換將:擴充z

平面擴充t

平面為{zn

}

(zn

)n

n

1

(t

0)

n

z

t為R

z

R0

t

1為結論:在去心鄰域

R

z

內對函數(shù)

f

(z)

的研究R在去心鄰域

0

t

1內對函數(shù)

(t

)的研究R因為

(t

)

在去心鄰域0

t

1

內是解析的,所以t

0是

(t

)的孤立奇點.規(guī)定:如果t=0

是

(t

)的可去奇點、m級極點或本性奇點,那末就稱點z

是f

(z)的可去奇點、m級奇點或本性奇點.不含正冪項;含有有限多的正冪項且

zm

為最高正冪;含有無窮多的正冪項;那末z

是f

(z)的1)可去奇點;m

級極點;本性奇點.級數(shù)的特點)級數(shù)中:2.判別方法:判別法1(利用如果

f

(z)

在

R

z

內的例10 (1)函數(shù)

f

(z)

內的

展開式為:z

1z在圓環(huán)域

1

z

zn1

zz1

11f

(z)

1

1

1

(1)nz2不含正冪項所以z

是f

(z)的可去奇點.(2)函數(shù)f

(z)

z

1

含有正冪項且

z

為最高正z冪項,所以z

是f

(z)的一級極點.(3)函數(shù)sin

z

的展開式:(2n

含有無窮多的正冪項sin

z

z

3!

5!所以z

是f

(z)的本性奇點.課堂練習1說出函數(shù)f

(z)

z

e

z

的奇點及其類型.答案

z

是一級極點,

z

0是本性奇點.判別法2:(利用極限特點)如果極限

lim

f

(z)n存在且為有限值;無窮大;不存在且不為無窮大;那末

z

是

f

(z)

的可去奇點;極點;本性奇點.例11

函數(shù)f

(z)(sin

z)3(z2

1)(z

2)3

在擴充復平面內有些什么類型的奇點?如果是極點,它的級.解因(sin

z)

cosz

在z

012,,處,

均不為零.所以這些點都是sinz