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文檔簡介
第一節(jié)
孤立奇點一、孤立奇點的概念二、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)
四、小結(jié)與思考一、孤立奇點的概念定義
如果函數(shù)
f
(z)在
z0不解析,
但
f
(z)在
z0的某一去心鄰域0
z
z0
內(nèi)處處解析,則稱例1z
0
是函數(shù)ez
,z0
為f
(z)的孤立奇點.1zsin
z的孤立奇點.z
1是函數(shù)1z
1的孤立奇點.注意:孤立奇點一定是奇點,但奇點不一定是孤立奇點.例2函數(shù)f
(z)zz21
在點z
0
的奇點特性.sin解kz
0,
z
1(k
1,
2,)因為
lim
1
0k
k即在z
0
的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),總有f
(z)的奇點存在,所以z
0
不是孤立奇點.函數(shù)的奇點為孤立奇點的分類依據(jù)f
(z)在其孤立奇點
z0
的去心鄰域0
z
z0
內(nèi)的級數(shù)的情況分為三類:2.極點; 3.本性奇點.級數(shù)中不含z
z0
的負(fù)冪項,1.可去奇點;1.可去奇點1)
定義 如果那末孤立奇點z0
稱為f
(z)的可去奇點.f
(z)
F
(z),
z
z00
0
c
,
z
z說明:(1)z0若是f
(z)的孤立奇點,0
1
0
n
0f
(z)
c
c
(z
z
)
c
(z
z
)n
.(
0
z
z0
)其和函數(shù)F
(z)為在z0
解析的函數(shù).zz0f
(z0
)
lim
f
(z)f
(z0
)
c0
,
則函數(shù)
f
(z)
在
z0
解析.(2)無論f
(z)在z0
是否有定義,補(bǔ)充定義2)
可去奇點的判定(1)由定義判斷:如果f
(z)在z0
的冪項則z0
為f
(z)的可去奇點.級數(shù)無負(fù)zz0(2)
判斷極限lim
f
(z)
:
若極限存在且為有限值,則z0
為f
(z)的可去奇點.如果補(bǔ)充定義:z
0
時,sin
z
1,zz那末sin
z
在z
0
解析.例3sin
z
1
1
z2
1
z4
中不含負(fù)冪項,z
3!
5!zz
0
是sin
z
的可去奇點.例4
說明z
0
為ze
z
1的可去奇點.解
zez
12!
n!
1
1
z
1
zn1
,
0
z
所以z
0
為的可去奇點.zeze
z
1無負(fù)冪項另解z0因為limz0
lim
ez
1,z
1所以z
0
為的可去奇點.ze
z
1111z22!
n!(1
z
z
nz
1)2.極點m
2
1f
(z)
cm
(z
z0
)
c2
(z
z0
)
c1(z
z0
)
c0
c1
(z
z0
)
(m
1,
cm
0)0g(z)
,1(z
z
)mf
(z)
負(fù)冪項,
其中關(guān)于
(z
z
)1
的最高冪為(z
z
)m
,0
0即那末孤立奇點
z0
稱為函數(shù)
f
(z)
的
m
級極點.或?qū)懗?)
定義
如果
級數(shù)中只有有限多個
z
z0
的說明:(1)g(z)
cm
cm1
(z
z0
)
cm2
(z
z0
)
2在z
z0
g(z0
)
0如果z0
為函數(shù)f
(z)的極點,則lim
f
(z)
.zz0特點:(2)例5有理分式函數(shù)
f
(z)3z
2
,z2
(z
2)z
0是二級極點,
z
2
是一級極點.2)極點的判定方法f
(z)的展開式中含有z
z0
的負(fù)冪項為有限項.0(z
z
)m在點
z
的某去心鄰域內(nèi)
f
(z)
g(z)0其中g(shù)(z)在z0
的鄰域內(nèi)解析,且g(z0
)
0.(1)由定義判別(2)由定義的等價形式判別zz0(3)
利用極限
lim
f
(z)
判斷
.課堂練習(xí)求1z3
z2
z
1的奇點,如果是極點,它的級數(shù).答案z3
z2
z
11由于所以:
z
1是函數(shù)的一級極點,z
1是函數(shù)的二級極點.,(z
1)(z
1)21本性奇點3.如果
級數(shù)中含有無窮多個z
z0
的負(fù)冪項,那末孤立奇點
z0
稱為
f
(z)
的本性奇點.1例如,
ez
1
z1
1
1
,2!
n!z2
znzz0特點:
在本性奇點的鄰域內(nèi)
lim
f
(z)不存在且不為
.含有無窮多個z的負(fù)冪項
(0
z
)1同時lim
ezz0所以
z
0
為本性奇點
不存在.4綜上所述:孤立奇點級數(shù)特點lim
f
(z)zz0可去奇點無負(fù)冪項存在且為有限值m級極點含有限個負(fù)冪項關(guān)于(z
z
)1的最高冪0為
(z
z
)m0本性奇點含無窮多個負(fù)冪項不存在且不為二、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系1.零點的定義不恒等于零的解析函數(shù)
f
(z)如果能表示成
f
(z)
(z
z0
)
(z),m其中
(z)在z0解析且
(z0
)
0,m為某一正整數(shù),那末z0
稱為f
(z)的m
級零點.例6
z
0是函數(shù)
f
(z)
z(zz
1是函數(shù)
f
(z)
z(z
1)3
的三級零點.注意:不恒等于零的解析函數(shù)的零點是孤立的.2.零點的判定如果f
(z)在z0
解析,那末z0
為f
(z)的m
級零點的充要條件是證(必要性)由定義:f
(z)
(z
z0
)
(z)m設(shè)
(z)在z0的展開式為:2
,00201cczzczzz如果z0
為f
(z)的m
級零點f
(
n)(z
)
0,
(n
0,1,2,m
1);0f
(
m
)
(z
)
0.0展開式為從而f
(z)在z0的f
(z)
c
(z
z
)m
c
(z
z
)m1
c
(z
z
)m2
0
0
1
0
2
0展開式的前m項系數(shù)都為零,由
級數(shù)的系數(shù)其中c0
(z0
)
0,公式知:
f
()nz0
n
0m0,)(,()1;并且
0
c0
0.m!f
(
m
)
(z
)充分性證明略.(1)由于f
(1)
3z2
3
0,z1課堂練習(xí)z
0
是五級零點,z
i
是二級零點.解知z
1
是f
(z)的一級零點.(2)由于f
(0)
cos
z
z0
1
0,知z
0是f
(z)的一級零點.答案例7
求以下函數(shù)的零點及級數(shù):(1)
f
(z)
z3
1,
(2)
f
(z)
sin
z.求f
(z)
z5
(z2
1)2
的零點及級數(shù).3.零點與極點的關(guān)系定理如果z0
是f
(z)的m
級極點,那末z0
就是1f
(z)的m
級零點.反過來也成立.證如果z0
是f
(z)的m
級極點,則有10(z
z
)m0f
(z)
g(z)
(
g(z
)
0)0當(dāng)z
z
時,1
10f
(z)
g(z)
(z
z
)m0
(z
z
)m
h(z)函數(shù)h(z0
)在z0
解析且h(z0
)
0.由于limzz0
0,f
(z)1只要令
0,f
(z0
)10那末
z
就是f
(z)1的m級零點.0反之如果z
是f
(z)1的m級零點,那末f
(z)10
(z
z
)m
(z),0當(dāng)
z
z
時,
f
(z)
10(z
z
)m1
(z)
(z),
(z)
解析且
(z0
)
0所以z0
是f
(z)的m級極點.說明
此定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡便的方法.1例8
函數(shù)
sin
z
有些什么奇點,
如果是極點,它的級.解
函數(shù)的奇點是使
sin
z
0
的點,這些奇點是z
k
(k
0,
1,
2).是孤立奇點.zkzk因為
(sin
z)
cos
z所以z
k是sin
z的一級零點即
(1)k
0,sin
z1的一級極點.22解2
11
1
n0n!znzz2ez解析且
(0)
0
1
1
z
1
(z),z
2!
3!
z所以z
0不是二級極點,而是一級極點.z3z
0
是sinh
z
的幾級極點?思考例9問z
0
是z2ez
1的二級極點嗎?注意:
不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論
.三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)1.定義如果函數(shù)
f
(z)在無窮遠(yuǎn)點
z
的去心鄰域
R
z
內(nèi)解析,
則稱點為f
(z)的孤立奇點.Rxyo
t
為zz
t
0,令變換t
1
:則
f
(z)
f
1
(t
),
規(guī)定此變換將:擴(kuò)充z
平面擴(kuò)充t
平面為{zn
}
(zn
)n
n
1
(t
0)
n
z
t為R
z
R0
t
1為結(jié)論:在去心鄰域
R
z
內(nèi)對函數(shù)
f
(z)
的研究R在去心鄰域
0
t
1內(nèi)對函數(shù)
(t
)的研究R因為
(t
)
在去心鄰域0
t
1
內(nèi)是解析的,所以t
0是
(t
)的孤立奇點.規(guī)定:如果t=0
是
(t
)的可去奇點、m級極點或本性奇點,那末就稱點z
是f
(z)的可去奇點、m級奇點或本性奇點.不含正冪項;含有有限多的正冪項且
zm
為最高正冪;含有無窮多的正冪項;那末z
是f
(z)的1)可去奇點;m
級極點;本性奇點.級數(shù)的特點)級數(shù)中:2.判別方法:判別法1(利用如果
f
(z)
在
R
z
內(nèi)的例10 (1)函數(shù)
f
(z)
內(nèi)的
展開式為:z
1z在圓環(huán)域
1
z
zn1
zz1
11f
(z)
1
1
1
(1)nz2不含正冪項所以z
是f
(z)的可去奇點.(2)函數(shù)f
(z)
z
1
含有正冪項且
z
為最高正z冪項,所以z
是f
(z)的一級極點.(3)函數(shù)sin
z
的展開式:(2n
含有無窮多的正冪項sin
z
z
3!
5!所以z
是f
(z)的本性奇點.課堂練習(xí)1說出函數(shù)f
(z)
z
e
z
的奇點及其類型.答案
z
是一級極點,
z
0是本性奇點.判別法2:(利用極限特點)如果極限
lim
f
(z)n存在且為有限值;無窮大;不存在且不為無窮大;那末
z
是
f
(z)
的可去奇點;極點;本性奇點.例11
函數(shù)f
(z)(sin
z)3(z2
1)(z
2)3
在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)有些什么類型的奇點?如果是極點,它的級.解因(sin
z)
cosz
在z
012,,處,
均不為零.所以這些點都是sinz
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