金融數(shù)學(xué)-講義第2章年金

第2章

年金【考試要求】年金期末付年金

期初付年金任意時(shí)刻的年金值永續(xù)年金年金的非標(biāo)準(zhǔn)期問(wèn)題年金的未知時(shí)間問(wèn)題年金的未知利率問(wèn)題一般型年金變利率年金付款頻率與計(jì)息頻率不同的年金連續(xù)年金基本變化年金

更一般變化年金連續(xù)變化年金【要點(diǎn)詳解】§2.1年金1．期末付年金12年金：是指一系列按照相等時(shí)間間隔支付的款項(xiàng)。期末付年金①定義：在每個(gè)付款期末付款的年金②年金現(xiàn)值：每期期末付款額為l，付款期限為n期，每期利率為i的付款在時(shí)間0時(shí)的現(xiàn)值：③年金終值：每期期末付款額為l，付款期限為n期，每期利率為i的付款在時(shí)間n時(shí)的積累值之和：（3）常用關(guān)系式：符號(hào)中不必標(biāo)出計(jì)算所依據(jù)的利率，在一個(gè)問(wèn)題中涉及多個(gè)利率時(shí)，為避免引起，可寫(xiě)作：2.1nia

v

v2

vn1

vn

1

vn1in

1i2.2sn

(1

i)n1

(1

i)n2

(1i)

1

1

1

ian

sn注意：通常an

、snan

i

、的sn形i

式，如an

0.06

、an0.08

、sn0.等07?！纠}2.1】甲年金在36年內(nèi)每年底支付4，乙年金在18年內(nèi)每年底支付5，在某一年利率i下兩個(gè)年金的現(xiàn)值相等，則要使某一以i為收益率的投資翻倍，需要的投資年限為（

）。[2008年春季

]A．8

B．9

C．10

D．11

E．12【答案】B【解析】由題意得：36

i

18

i1

v361

v184a

5a

，即4

5ii解得：v18=1/4，即(1+i)9=2。設(shè)投資年限為t，由題意得：(1+i)t=2，故t=9。【例題2.2】年金A

10年的年末每次支付1，在隨后10年的年末每次支付2，在第三個(gè)10年的年末每次支付

1；年金B(yǎng)在第一個(gè)10年的年末每次支付X，在第三個(gè)10年的年末每次支付X，中間的10年沒(méi)有支付。假設(shè)年利率使得本金在10年末翻一倍，且兩個(gè)年金的現(xiàn)值相等，則X的值等于（

）。[2008年春季

]A．1.4

B．1.5

C．1.6

D．1.8

E．1.9【答案】D【解析】設(shè)年利率為i，則（1+i）10=2，即v10=0.5，v20=0.25，由題意有：a

2a

v10

a

v20

Xa

Xa

v2010

10

10

10

10解得：X=1.8?！纠}2.3】在年復(fù)利利率j下，已知：12每年末支付2，共2n年的年金的現(xiàn)值及每年末支付1，共n年的年金的現(xiàn)值之和為36；延期n年每年末支付2，共n年的年金的現(xiàn)值為6。）。B．0.05則j=（A．0.04【答案】DC．0.06D．0.07E．0.08【解析】根據(jù)題意，有：n2nPV2

2vn

an

6又a2n＝an從而2vnan由③－②，得：PV

2a

a

36

1

vnan

，

3an

36①②③n3a

30

，故an代入②，解得：j=0.07。1

vn

10，jvn

110

j即2．期初付年金（1）定義：是指在每個(gè)付款期間開(kāi)始時(shí)付款的年金。①期初付年金現(xiàn)值：表示每期期初付款額為1，每期利率為i的n期年金，各現(xiàn)值和：②期初付年金終值：表示每期期初付款額為1，每期利率為i的n期年金在第n期期末的積累值：（2）常用關(guān)系式：（3）常用關(guān)系式：2.3nda

1

v

v2

vn2

vn1

1

vn1in

1d2.4sn

(1

i)n

(1

i)n1

(1

i)2

(1

i)

1

dan

vnnn1

i

ds

1nn

ns

a

1

i

1

1

dan

snn

na

a

(1

i)sn

sn

(1

i)an

an1

1sn

sn1

1了15年確定年金，假定年利率為6%，第一次年金領(lǐng)取從時(shí)開(kāi)始，計(jì)【例題2.4】

用2000元算每次可以領(lǐng)取的金額為（A．167.45

B．177.45【答案】D）元。[2008年春季

]C．180.13

D．194.27E．204.18故P＝2000/10.295=194.27（元）。【例題2.5】某年金分20年于每月月初支付30元。利息每月轉(zhuǎn)換一次，年名義利率為12%，則該年金現(xiàn)值為（）元。[2008年春季

]A．2652.52

B．2751.84

C．2755.42【答案】B【解析】月實(shí)際利率為：12%÷12＝0.01。該年金現(xiàn)值為：D．2814.27E．2842.3315

0.06【解析】設(shè)每次領(lǐng)取的金額為P，則有：Pa

200015

0.06又

a

11.06

150.06

1.0610.2950

2751.840.0124011.0130a

30240

0.01（元）【例題2.6】若sm

p

，sn

q則下列表達(dá)式中與

amn

等價(jià)的是（

）。1iq1dpA．

vq

p

dpq

B．vq

p

dpq1

ip1dq

1ip1dqD．

vq

p

dpq

E．vq

p

dpq1

ip1dq

1ip1dqC．vq

p

dpq1im

1ivm

1i【答案】D【解析】因?yàn)閟m

p

所以vm

1

ipd

d1in

1vn

1又因?yàn)閟n

q

，所以vn

1

dq。故有vmn

1ip1dq，即vmn

1

mn所以，ai

1

vmn

i1ip1dq1

1

1ip1

dq1ip1dq

vq

p

dpq

。3．任意時(shí)刻的年金值（1）延期年金①定義：指以當(dāng)前時(shí)刻為0時(shí)刻，在0時(shí)刻以后若干時(shí)期后開(kāi)始按期支付的年金。②三種一般的延期年金：．首期付款前某時(shí)刻的年金現(xiàn)值；ab．最后一期付款后某時(shí)刻的年金積累值；c．付款期間某時(shí)刻年金的當(dāng)前值。圖2.1為三種一般的延期年金的范例。圖2.1付款次數(shù)為5，首次付款發(fā)生在時(shí)刻2，末次付款發(fā)生在時(shí)刻6。則時(shí)刻0時(shí)的年金現(xiàn)值就是延期年金現(xiàn)值，相當(dāng)于a中的情況；時(shí)刻10時(shí)的年金積累值相當(dāng)于ｂ中的情況；時(shí)刻4時(shí)的年金當(dāng)前值相當(dāng)于c中的情況。另外，這5次付款在時(shí)刻l時(shí)的年金現(xiàn)值是一個(gè)5期的期末付款額為l的年金現(xiàn)值即a5

；在時(shí)刻2的年金現(xiàn)值是a5，在時(shí)刻6的年金積累值為s5

，在時(shí)刻7的年金積累值為s5（3）在最后一期付款后某時(shí)刻的年金積累值①第1期開(kāi)始支付，每期期末付款1個(gè)單位，共付款n期的年金在（m＋n）時(shí)刻的積累值為：②第1期開(kāi)始支付，每期期初付款1個(gè)單位，共付款n期的年金在（m＋n）時(shí)刻的積累值為：（4）付款期間某時(shí)間的年金當(dāng)前值①每期付款1個(gè)單位的n年期期末付年金在m（0＜m＜n）時(shí)刻的當(dāng)前值為：②每期付款1個(gè)單位的n年期期初付年金在m（0＜m＜n）時(shí)刻的當(dāng)前值為：2.5（2）在首期付款前某時(shí)刻的年金現(xiàn)值①第m期開(kāi)始支付，每期期末付款1個(gè)單位，共付款n期的年金現(xiàn)值為：V

(0)

vman

amn

am②第m期開(kāi)始支付，每期期初付款1個(gè)單位，共付款n期的年金現(xiàn)值為：V

(0)

vman

amn

am2.6

mV

(m

n)

sn

mn

m1

i

s

s2.7

2.8mV

(m

n)

sn

mn

m1

i

s

s

V

(m)

an

1

i

v sn

smm

nm2.9

anm

mnm1

i

v

sn

sm

a

mn2.10nV

(m)

a②期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值：注意，永續(xù)年金的最終值不存在，因?yàn)榻o付沒(méi)有終點(diǎn)時(shí)刻，且無(wú)窮的均衡給付導(dǎo)致積累值變?yōu)闊o(wú)窮大。【例題2.7】已知a7

5.153，a11

7.036，a18

9.180。則i=（

）。A．8.09%

B．8.29%

C．8.49%

D．8.69%

E．8.89%【答案】B18【解析】由于a

a

v11a

，所以11v11

a7

a18a9.180

7.0365.15311

0.416077

11故

i

v

1

0.41607

11

1＝0.0829。4．永續(xù)年金12永續(xù)年金：付款次數(shù)沒(méi)有限制，

持續(xù)的年金。永續(xù)年金的現(xiàn)值：①期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值：2.112.12in1a

vn

11da

vn0n【例題2.9】甲、乙、丙三人共同為某學(xué)校設(shè)立總額為10000元的獎(jiǎng)學(xué)基金，該基金以永續(xù)年金的方式每年末支付故乙、丙兩人的出資額之和=2900.20

.49=5402.69（元）。3【例題2.8】甲、乙、丙、丁四人從一個(gè)等額的

年金中獲得支付，甲、乙、丙

n年的年末獲得相等的支]付，n年后的支付全歸丁所有，如果四個(gè)人獲得支付的現(xiàn)值相等，則vn等于（

）。[2008年春季A．1/4

B．1/5

C．1/6

D．1/7

E．1/8【答案】A【解析】設(shè)年金的支付額為P，則甲、乙、丙的現(xiàn)值為：

P

an

，丁的現(xiàn)值為：P

vn

，i3

i由題意得：P

an

Pvn，解得：vn

1/

4。一次。甲、乙、丙經(jīng)協(xié)商，決定由甲為前8年的支付出資，乙為接下來(lái)的10年的支付出資，余下的支付由丙出資。假設(shè)基金采用的年實(shí)際利率為8%，則乙、丙兩人的出資額之和為（

）元。A．2503

B．2900

C．4597

D．5403

E．4099【答案】D【解析】解法①：由題意可知學(xué)校每年可從該基金中取出的用做獎(jiǎng)學(xué)金的金額為：R

10000

10000

800（元）a

1

i乙的出資額

800(a18

a8

)

2900.20（元）丙的出資額

800(a

a

)

2502.49（元）18解法②：乙、丙兩人的出資額之和即總出資額與甲的出資額之差。而甲的出資額

800a8

4597.31（元）故乙、丙兩人的出資額之和=10000－4597.31=5402.69（元）。5．年金的非標(biāo)準(zhǔn)期問(wèn)題假定整個(gè)付款期長(zhǎng)度為n+k，0＜k＜1，前n期各期期末付款額為1，在時(shí)刻n+k時(shí)，有一個(gè)對(duì)應(yīng)于k期間長(zhǎng)度的年金式零頭付款，則這種年金現(xiàn)值：顯然，n+k時(shí)刻的零頭付款額為

。6．年金的未知時(shí)間問(wèn)題1

上浮式付款：當(dāng)付款期限不是整數(shù)時(shí)，在最后一次規(guī)則付款的額度上外加一個(gè)根據(jù)等價(jià)計(jì)算出來(lái)的零頭，最后的零頭付款稱為上浮式付款。2扣減式付款：當(dāng)付款期限不是整數(shù)時(shí)，在最后一次規(guī)則付款的下一期支付一個(gè)根據(jù)等價(jià)計(jì)算出來(lái)的零頭，最后的零頭付款稱為扣減式付款。2.13

vnk

k

nanki

1

vnk

a1

i

1iki1i

1【例題2.10】

購(gòu)房借款50000元，計(jì)劃每年末還款10000元，直到還完。設(shè)利率為7%，借款人還款的整數(shù)次數(shù)為n。現(xiàn)有以下三種方式償還最后的零頭：在時(shí)刻n償還；按年金支付規(guī)律，在時(shí)刻n與時(shí)刻n+1之間償還；在時(shí)刻n+1償還。則整數(shù)n以及三種方式最后還款零頭的總額分別為（）元。A．5；3503.61B．5；3591.65C．5；3748.86D．6；10844.12【答案】DE．6；10932.16【解析】由題意，得：10000an

50000，所以an

5。0.07n11.07

6又a6

4.7665，a7

11.07

70.07

5.3893所以a

a ＜a

，6

7161

i6即前面6次還款額都是整數(shù)，故n=6。設(shè)f1，f2，f3分別為三種方式下最后還款的零頭，則：（1）由于10000a

6

f1

v6

50000

，所以，f

50000

10000a

50000

47665.3971.076

3503.6（1

元）（2）設(shè)n=6+k，其中0<k<1，所以，解得：k=0.367，所以故三種方式還款的零頭總額為：f1+f2+f3=10844.12（元）。

1

v6k

5a6ki1ik

1i1.070.367

1if2

1000010000＝3591.65（元）36（3）由于10000a

f

v7

50000

7316f

50000

10000a

1

i

f

1.07＝3748.86（元）7．年金的未知利率問(wèn)題1n較小的年金未知利率問(wèn)題直接利用解方程的方法求利率值。2n較大的年金未知利率問(wèn)題①線性插值法②迭代法A．4.98%

B．5.10%【答案】EE．5.24%從而有：12.8537=8.0336(1+v10)，即v10=0.6，故i＝0.0524。10C．5.15%20D．5.20%【例題2.11】對(duì)于利率i，己知

a

8.0336，a

12.8537則i=（）。20

10

a【解析】因?yàn)閍101

v20d1

v10d，a

v10a

，且a

10

20d

d

0.049791d

i1

i而

a

1

v10

0.4

8.033610

，又§2.2

一般型年金1．變利率年金（1）各付款期間段的利率不同的情況：各付款期間段的利率不同。如在第一個(gè)付款期利率為i1，第二個(gè)付款期利率為i2，…，這樣：①所有付款的年金現(xiàn)值為：為3.7%，后五年由于通貨膨脹影響，年利率上調(diào)至8.9%，則第十五年年未時(shí)，這筆款項(xiàng)的積累額為（

）。[2011年春季

]A．129509【答案】AB．129907C．130601D．131037E．131736

11212

n

n

t1t

1

s1(1

i

)

sn1

1111

1a

1

i

1

i1

i

1

i

1

i

1

i②所有付款的年金積累值為：sn

1

1in

1in

1in1

1in

1

i2

n

t1t

s0【例題2.12】在未來(lái)15年中每年年初向銀行存入5000元，前五年的年利率為5.6%，中間五年的年利率下調(diào)

(1

ins1

)(令in1

=0)5

0.089](1

0.037)5

(1

0.089)5

s5

0.037【解析】V

(15)

5000[s50.056

129508.805(1

0.089)5

s（2）各次付款所依據(jù)的利率不同的情況：各次付款所依據(jù)的利率不同。如第一次付款的利率為i1，則一單位期末付款在零時(shí)刻現(xiàn)值為(1+i1)-1，n時(shí)積累值為(1+i1)n-1；第二次付款的利率為i2，則該期末付款在零時(shí)刻現(xiàn)值為(1+i2)-2，在n時(shí)刻積累值為(1+i2)n-2，…，這樣：①所有付款的年金現(xiàn)值為：②所有付款的年金積累值為：

12nntn1

2ntt1a

1

i

1

i

1

i1

i

12n2

1

intntn1t1

1

i

11

inn1s

1

i【例題2.13】

每年年末存入銀行3000元錢(qián)，共存款8年，前4年的年利率為5%，后4年銀行調(diào)低利率，將年）元。D．27866利率降至4%，則第8年末的存款積累值為（A．12740

B．15127

C．16503【答案】DE．29752）元。E．13632基金的年利率為4%，則第10年末這筆基金的積累值為（A．11776

B．16633

C．12087

D．12409【答案】D【解析】前4次存入的基金在第10年末的積累值為：后6次存入的基金在第10年末的積累值為：故第10年末這筆基金的積累值為：【解析】前4年存款在第8年末的積累值為：3000s4

0.05(1

0.04)4

15126.71（元）后4年的存款在第8年末的積累值為：3000s4

0.04

12739.39（元）故所有存款在第8年末的積累值為：15126.71

.39=27866.10（元）【例題2.14】小王在10年內(nèi)每年年末向一筆基金存入1000元錢(qián)，前4次存入的基金的年利率為5%，后6次存入的4

0.051000s

(1

0.05)6

5775.98（元）1000s6

0.04

6632.98（元）5775.98

.98=12408.96（元）2．付款頻率與計(jì)息頻率不同的年金（1）付款頻率低于計(jì)息頻率的年金設(shè)k為每個(gè)付款期間內(nèi)的計(jì)息頻率，n為整個(gè)付款期的計(jì)息次數(shù)，每個(gè)計(jì)息期利率為i，并假設(shè)n，k為整數(shù)，則付款次數(shù)為n/k，且n/k也為整數(shù)。①期末付年金?每次付款額為1的年金現(xiàn)值為：?每次付款額為1的年金積累值為：。2.14nk

2knkk

askv

v

v

sk1ink

1in2k

1

sn

2.15

1n；同樣年金累計(jì)值說(shuō)明：每次的付款額1可以看作是k期每期期末付款額為R的區(qū)間末的年金的積累值，即有：R

s

，這k樣在n個(gè)計(jì)息期，就有n次額度為R的付款，則所有R形成的年金現(xiàn)值為：R

aask

nn為：R

s

snsk②期初付年金?每次付款額為1的年金現(xiàn)值為：?每次付款額為1的年金積累值為：③其他各種形式的付款頻率小于計(jì)息頻率的情況?期末付永續(xù)年金現(xiàn)值為：?期初付永續(xù)年金現(xiàn)值為：2.162.17k1

vk

v2k

vnk

an

anak

ak1in

1ink

1ik

sn

snak

a2.18a

1sk

isk2.19a

1ak

iak（2）付款頻率高于計(jì)息頻率的年金設(shè)m是每個(gè)計(jì)息期內(nèi)的付款次數(shù)，n為計(jì)息期數(shù)，i為每個(gè)計(jì)息期的利率，m、n為正整數(shù)，則總的付款次數(shù)為mn。①期末付年金?每次付款額為1/m的年金現(xiàn)值為：?常用關(guān)系式：?

n=1時(shí)有：?每次付款額為1/m的年金積累值n

為：2.20a(m)

1

vn2.21ni(m)1in

1i(m)s(m)

(m)(m)n1

innni(m)a(m)

inni(m)s(m)

ins

aas11nna(m)

s(m)ans(m)

s(m)sn②期初付年金?每次付款額為1/m的年金現(xiàn)值為：?每次付款額為1/m的年金積累值為：?常用關(guān)系式：?2.222.23na(m)

1

vnd

(m)1in

1d

(m)s(m)

(m)(m)nn1

in

nnd

(m)a(m)

innnd

(m)s(m)

i

s

s

aa(m)1(m)1n?

n=1時(shí)有：anns(m)

s(m)sna

snna(m)na(m)與s(m)及nn

n

1

1a(m)nna(m)

s(m)

i(m)

d

(m)s(m)

1

1與

s(m)

的關(guān)系：

?期初付永續(xù)年金現(xiàn)值為：則i=()。A．1.026%【答案】A【解析】因?yàn)锽．1.046%C．1.066%D．1.086%E．1.106%2.24i(m

)a(m)③其他各種形式的付款頻率大于計(jì)息頻率的情況?期末付永續(xù)年金現(xiàn)值為：12.25d

(m

)a(m)

1

0.9647

i14

ia(12)

a(12)s(12)

a(12)【例2.15】已知

30

i

9

i

30

i

9

i7

i

14

i30

i

i(12)sa

i

a

i

aa(12)

a(12)

i(12)

v16s7

i

a14ia

a9

i

30

i

9

i

v

v9

30v7

v14s(12)

a(12)

i

ii(12)7

i

i(12)

14

i7

i

14

iv16=0.964，又i=v-1－1，故i=1.026%。a(12)

a(12)s(12)

a(12)又由已知

30

i

9

i

0.964，所以有【例題2.16】

將收到一項(xiàng)年金支付，該年金一共有5次支付，每次支付100元，每3年支付一次，第一次支付發(fā)生在第10年末，假設(shè)年實(shí)際利率為5%，則該年金的現(xiàn)值為（

）元。A．234

B．256

C．268

D．298

E．329【答案】A元，則所有的年金在第7年末的價(jià)故該年金的現(xiàn)值為：A．1087768

B．1187768

C．1287768

D．1387768

E．1487768【答案】C3

0.05

100【解析】每次支付100元，每3年支付一次，則等價(jià)的年金為每年支付s值為150.05s30.05V

(7)

100

a1.053

1【例題2.17】

從他20歲參加工作開(kāi)始每個(gè)月月末存入100元到一筆基金中，直到60歲退休為止共進(jìn)行了40年480次的存款。假設(shè)該基金的年實(shí)際利率為13%，則

退休時(shí)這筆基金的累積值為（

）元。3

0.05115

233.99（元）s1001.057

1.05V

(0)

v7

V

(7)

v7

100

a15

0.051【解析】由于i=13%，則：i(12)

12[(1

i)12

1]

0.1228因每年存款12次，每次存款100元，所以每年存款1200元，故退休時(shí)這筆基金的累積值為：40i(12)(12)40(1

i)

11200s1200＝1287767.61（元）（3）連續(xù)年金積累值：）[2011年春季2.27]

D．0.0476

E．0.0571A．0.0238【答案】E【解析】由于于是3．連續(xù)年金定義：連續(xù)年金是付款頻率無(wú)限大的年金。12

連續(xù)年金現(xiàn)值an

：2.26na

1

vnnns

1i

1【例題2.18】已知

a

=5，S

=7，則δ=（nB．0.0286

C．0.0333nsn

an

(1

i)n1in

1sn

7

/

5

1

0.0571428577nssn1

i

n

1sn

/

an

1【例題2.19】一個(gè)10年期的連續(xù)年金，每期支付額為30，年實(shí)際利率為8%，則該年金在第3年末的價(jià)值為（）。A．241

B．264

C．287

D．300

E．378【答案】B【解析】由于i=0.08，則：該年金在第3年末的價(jià)值為：）。C．1/12

36

則利息強(qiáng)度δ=（D．1/8

E．1/3即(1+i)2n－4(1+i)n+3=0，解得：(1+i)n=3，或(1+i)n＝1（(1+i)n＞1，舍去）

ln(1

i)

ln1.0810310

263.601

v30(1

i)3

a

30(1

0.08)（元）nA．1/36【答案】BB．1/18n【例題2.20】已知a12，s11

vn【解析】已知a

n1in

112，sn

36，又v

1

i1

vn

1將前兩式相除，得：

1in

1

31in

131

1將(1

i)n

3代入sn

36，求得：36

18。4．基本變化年金（1）各年付款額為等差數(shù)列①一般形式：若某期末付年金首期付款額為P，從第二期開(kāi)始，每期付款額比前一期增加Q，共有n個(gè)付款期，每個(gè)付款期利率為i。若只考慮付款額大于0的年金，須保證P＞0，且P+(n－1)Q＞0。?該年金的現(xiàn)值為：?該年金的積累值為：②當(dāng)P＝1，Q＝1時(shí)：?年金現(xiàn)值為：?年金積累值為：na

nvniV

(0)

P

an

Q

nV

(n)

P

sn

Q

sni2.28nIa

an

nvni2.29ns

ninIs

③當(dāng)P＝1，Q＝－1時(shí)：?年金現(xiàn)值為：?年金積累值為：2.30ninDa

n

a

2.31in1in

snDs

nn

n④期末付虹式年金與平頂虹式年金?對(duì)于各年末的付款額先由1到n遞增，然后再由n－1到1遞減的年金，這種期末付年金的最大付款額n只出現(xiàn)一次時(shí)，稱為期末付虹式年金。期末付虹式年金的現(xiàn)值為：V

(0)

an

an?若最大付款額n連續(xù)出現(xiàn)2次，付款額也為n，而后逐年遞減，至2n時(shí)，付款額減為1，這種年金稱為平頂虹式年金。期末付平頂虹式年金的現(xiàn)值為：V

(0)

Ia

vn

Da【例題2.21】某期未付年金每月支付一次，首次付款為500元，以后每次付款較前一次增加500元，共支付10年，）[2011年春季

]D．4294427

E．4303612若實(shí)際年利率為5%，則該年金在10年未累積值為（A．4265972

B．4272801

C．4283263【答案】D【解析】設(shè)月實(shí)際利率為i，則(1

i)12

1.05,i

1.05112

1

4.07

10。3

第10年末，也即第120次支付后，累計(jì)值為：120

iiV

(120)

500(Is)s

121

500

121i

4294427.192年金，甲每年末支付15，乙每年末的支付按照1、2、3、…的形式增長(zhǎng)，如果兩個(gè)【例題2.22】有甲乙兩個(gè)

年金的現(xiàn)值相等，則年利率為（A．6.1%

B．6.3%【答案】EC．6.5%

D．6.8%）。[2008年春季

]E．7.1%1【解析】由題意，得：15a

Ia15

1

1即

i

i

i2

，解得：i

14

7.1%。【解析】依題意，該年金的現(xiàn)值為：①×v，得：①－②，得：1

v1

v(1

v)2年金在第一年末支付1，第二年末支付3，第三年末支付5，……，則該年金的現(xiàn)值為（【例題2.23】某）。[2008年春季

]A．2v

v2B．v

v2

C．v

v21

v1

v2【答案】CD．2v

v2E．2v

v2PV

v

3v2

5v3

①v

PV

v2

3v3

5v4

②1

v(1

v)PV

v

2(v2

v3

v4

…)

v

v2故PV

v

v2

。(1

v)2【例題2.24】每年的年初向某一基金存款，前5年每年存入1000元，以后每年遞增5%，如果10年末的終值為16607元，則基金的年利率為（

）。[2008年春季]A．6%

B．7%

C．8%

D．9%

E．10%【答案】C，以第5年初為時(shí)間點(diǎn)，由題意，得：解得：i=8%。（2）各年付款額成等比數(shù)列關(guān)系若某期末付年金各項(xiàng)付款額成等比數(shù)列，即各項(xiàng)付款為：1，(1+k)，(1+k)2，…，(1+k)n-1，則該年金現(xiàn)值為：i

k

i

k

2.32

n1

k

n1

1

i

V

(0)

i

k1i5

i1i5

1i

1i【解析】設(shè)基金的年利率為i，則v=(1+i)-1，又s16607v55

i1000s

.051

1.05v511.05v5．更一般變化年金（1）付款頻率小于計(jì)息頻率的形式設(shè)某年

有n=km個(gè)計(jì)息期，每k個(gè)計(jì)息期末付款1次，n個(gè)計(jì)息期共付款m次，每次付款比前一次增加1，則這種年金的現(xiàn)值為：（2）付款頻率大于計(jì)息頻率的等差遞增型年金①每個(gè)計(jì)息期內(nèi)的m次付款保持不變。若m次付款的每次付款額相等，則其和為1單位付款的倍數(shù)，付款的增長(zhǎng)發(fā)生在每個(gè)計(jì)息期期初，增長(zhǎng)幅度為1/m。?這種年金的現(xiàn)值為：?這種年金的積累值為：kisk

nvnanV

(0)

ak

2.33Ia

n(m)

a

nvnni(m)2.34i(m)Is

n

(m)

s

nn②在每個(gè)計(jì)息期內(nèi)的m次付款按等差數(shù)列形式遞增。年金付款形式如圖2.2所示：圖2.2第一個(gè)計(jì)息期末的付款額為1/m，第二個(gè)計(jì)息期末的付款額為2/m，依此類(lèi)推，每一計(jì)息期內(nèi)的m次付款成等差數(shù)列關(guān)系，相鄰兩次付款的差額為1/m，這樣的年金現(xiàn)值為：【例題2.25】某永續(xù)年金在第5年、第6年年末付款為1，第7年、第8年年末付款為2，第9年、第10年年末付款為3，…，以此類(lèi)推。則該永續(xù)年金的現(xiàn)值為（【答案】C【解析】由題意知該年