線性代數(shù)報(bào)告

-.z.線性代數(shù)的應(yīng)用研究——矩陣在實(shí)際生活中的應(yīng)用建筑環(huán)境與能源應(yīng)用工程1班陳嘉威3013214105杜澎磊3013214106宋子旭3013214127前言近幾十年來(lái)，隨著科學(xué)技術(shù)的開(kāi)展，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的開(kāi)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域已由傳統(tǒng)的物理領(lǐng)域(包括力學(xué)、電子等學(xué)科以及土木、機(jī)電等工程技術(shù))迅速擴(kuò)展到非物理領(lǐng)域(人口、經(jīng)濟(jì)、金融、生物、醫(yī)學(xué)等)。數(shù)學(xué)在開(kāi)展高科技、提高生產(chǎn)力水平和實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代化管理等方面的作用越來(lái)越明顯。這就要求我們?nèi)绾螌?shí)際問(wèn)題經(jīng)過(guò)分析、簡(jiǎn)化，轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后用一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決。線性代數(shù)是一個(gè)數(shù)學(xué)分支，是代數(shù)的一個(gè)重要學(xué)科它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砗统橄笏季S能力起著不可或缺的作用。線性代數(shù)研究最多的是矩陣。矩陣是一個(gè)數(shù)表，而這個(gè)數(shù)表可以進(jìn)展變換，以形成新的數(shù)表。也就是說(shuō)如果抽象出*種變化規(guī)律，就可以用代數(shù)的理論對(duì)研究的數(shù)表進(jìn)展變換，并得出想要的一些結(jié)論。所以，矩陣是一種方便的計(jì)算工具，可以以簡(jiǎn)單的形式表示復(fù)雜的公式，比方數(shù)字圖像處理、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算幾何學(xué)、人工智能、網(wǎng)絡(luò)通信以及一般的算法設(shè)計(jì)和分析等。因此，矩陣的應(yīng)用日趨廣泛，很多領(lǐng)域都要用到矩陣的知識(shí)。本文將要探討的，就是矩陣在實(shí)際生活中的一些應(yīng)用形式。經(jīng)過(guò)分析和篩選，本文將從以下三個(gè)方面展開(kāi)論述：可逆矩陣在**通信中的應(yīng)用，矩陣與本錢(qián)利潤(rùn)的計(jì)算以及矩陣與數(shù)字圖像。一、可逆矩陣在**通信中的應(yīng)用隨著計(jì)算機(jī)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅猛開(kāi)展，通信技術(shù)中的**工作顯得尤為重要，怎樣確保通信過(guò)程**息的平安變得至關(guān)重要，因此大量各具特色的密碼體系不斷涌現(xiàn)。矩陣作為線性代數(shù)的重要組成局部，其應(yīng)用領(lǐng)域也從傳統(tǒng)的物理領(lǐng)域迅速擴(kuò)展到非物理領(lǐng)域，尤其是在**通信中發(fā)揮著重要作用?！惨弧晨赡婢仃?、矩陣矩陣的定義：m行n列的矩形數(shù)表稱(chēng)為m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)QUOTE矩陣，矩陣用大寫(xiě)黑體字母A，B，C，…表示。如：A=QUOTE這QUOTE個(gè)數(shù)稱(chēng)為矩陣A的元素，稱(chēng)為矩陣A的第i行第j列元素，一個(gè)QUOTE矩陣A也可簡(jiǎn)記為或QUOTE。矩陣加法：設(shè)有兩個(gè)QUOTE矩陣QUOTE，，矩陣A與B的和記作，規(guī)定為QUOTE。矩陣乘法：設(shè)，。矩陣A與矩陣B的乘積記作AB，規(guī)定為QUOTE其中QUOTE(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)。2、矩陣的逆于n階矩陣A，如果存在一個(gè)n階矩陣B，使得AB=BA=1，則稱(chēng)矩陣A為可逆矩陣，而矩陣B稱(chēng)為A的逆矩陣。記作A-1，即A-1=B?！捕?*通信1、背景自從人類(lèi)有了文字書(shū)寫(xiě)之后，就考慮使用一些手段來(lái)保障通信的**，防止被獲取甚至被篡改。早期的古典密碼，如人類(lèi)最早由記載的棋盤(pán)密碼、愷撒密碼、維吉尼亞密碼等，相比照擬簡(jiǎn)單。直到第二次世界大戰(zhàn)，關(guān)于通信的加密、解密取得了許多進(jìn)展，研制成了"隱謎機(jī)〞，也就是從這個(gè)時(shí)期開(kāi)場(chǎng)，關(guān)于通信的加密解密開(kāi)場(chǎng)成為一門(mén)專(zhuān)門(mén)的學(xué)科，包括數(shù)學(xué)家在內(nèi)的許多科學(xué)家投身其中進(jìn)展深入的研究。20世紀(jì)末開(kāi)場(chǎng)，計(jì)算機(jī)的開(kāi)展帶來(lái)了通信的變革，為了保證數(shù)據(jù)通信的平安，其加密解密的研究也迎來(lái)了巨大開(kāi)展。尤其是21世紀(jì)初，電子商務(wù)的廣泛應(yīng)用，以及智能手機(jī)的介入，對(duì)信息的傳輸過(guò)程中的平安性和可靠性提出了更高要求。而**通信作為實(shí)現(xiàn)信息平安的有效手段，在這其中起著舉足輕重的作用。在通信過(guò)程中，根本思路是通過(guò)對(duì)身份的驗(yàn)證、對(duì)傳輸信號(hào)的加密，來(lái)確保通信的**。因此**通信主要涉及加密、解密的理論。2、模型**通信過(guò)程中，存在明文和密文兩個(gè)概念。想要發(fā)送的信息稱(chēng)為明文，通過(guò)*種方法進(jìn)展偽裝或隱藏的信息稱(chēng)為密文。通信過(guò)程中，發(fā)送方會(huì)通過(guò)*種算法對(duì)明文數(shù)據(jù)進(jìn)展加密，通過(guò)加密后轉(zhuǎn)換成密文數(shù)據(jù)再發(fā)送給接收方，接收方再通過(guò)相應(yīng)的*種算法，對(duì)密文數(shù)據(jù)進(jìn)展解密轉(zhuǎn)換，就變成了明文數(shù)據(jù)。這個(gè)過(guò)程就是加密解密的過(guò)程，其中的*種算法就是密鑰，這也就是數(shù)據(jù)**通信的模型，具體如下列圖所示:〔三〕**通信中可逆矩陣的應(yīng)用利用矩陣對(duì)通信信息進(jìn)展編碼，即將明文轉(zhuǎn)換成密文發(fā)送給接收方，而接收方再通過(guò)相應(yīng)的逆運(yùn)算將密文編譯成明文，就完成了信息的傳遞。1、**通訊中可逆矩陣的編碼過(guò)程設(shè)矩陣A為明文矩陣，矩陣B為加密矩陣〔密鑰〕，用明文矩陣與加密矩陣的乘積來(lái)實(shí)施對(duì)所發(fā)消息的加密，這樣就得出密文矩陣C=AB。如果矩陣B是可逆矩陣，則矩陣方程C=AB有唯一解C=AB-1，其中B-1是B的逆矩陣。這樣，發(fā)送方將信息通過(guò)可逆矩陣進(jìn)展加密編碼成密文矩陣C=AB發(fā)出，接收方接收后再右逆矩陣B-1，就可得到明文矩陣A。2、加密矩陣〔密鑰〕的生成如何快速而有效地構(gòu)造一個(gè)可逆矩陣作為加密矩陣和求出其逆矩陣作為解密矩陣是利用可逆矩陣實(shí)現(xiàn)**通信的關(guān)鍵。我們知道，初等矩陣都是可逆的，而且初等矩陣的乘積仍然是可逆的。因此，我們可以考慮利用假設(shè)干個(gè)初等矩陣的乘積作為加密密鑰。這種做法的好處是，我們可以自由地選擇初等矩陣的數(shù)量和每個(gè)初等矩陣的類(lèi)型，以及由單位矩陣得到初等矩陣的具體初等變換。在實(shí)際應(yīng)用中，可以通過(guò)對(duì)單位矩陣連續(xù)施加一序列所選擇的初等變換得到加密矩陣。生成解密矩陣也只需要再次利用生成加密矩陣時(shí)的變換矩陣對(duì)單位矩陣做一序列的初等逆變換即可。3、應(yīng)用舉例利用矩陣對(duì)"Wele！Tianjinda*ue〞進(jìn)展編碼。先將英文的26個(gè)字母用數(shù)字1-26代替，嘆號(hào)用27代替，構(gòu)成一個(gè)對(duì)照表。此時(shí)，"Wele！Tianjinda*ue〞可譯為:2351231513527209114109144124215將發(fā)送數(shù)字排成QUOTE的明文矩陣，即A=QUOTE。此時(shí)，對(duì)于矩陣階數(shù)的選擇是隨意的，階數(shù)越高，**性越好。為了增加破譯難度，收發(fā)雙方可約定一個(gè)加密矩陣，如，可求出B的逆矩陣B-1。發(fā)送者將加密后的密文矩陣QUOTE發(fā)送給接收方。接收方承受信息后，就再右乘B-1，可得ABB-1=A然后根據(jù)文字對(duì)照表就可以復(fù)原成原來(lái)的信息"Wele！Tianjinda*ue〞。在編碼的過(guò)程中，將英文信息進(jìn)展轉(zhuǎn)化時(shí)，沒(méi)有區(qū)分大小寫(xiě)字符，也可以區(qū)分大小寫(xiě)，則編碼的對(duì)照表變成54個(gè)數(shù)字，信息排成矩陣的階數(shù)也是任意選擇的，矩陣的階數(shù)越高，破譯的難度越大。可逆矩陣的選擇必須保證與信息矩陣可乘。〔四〕結(jié)語(yǔ)利用可逆矩陣進(jìn)展加密是信息編碼的一種技巧，雖然較為簡(jiǎn)單，但由此可見(jiàn)矩陣作為數(shù)學(xué)中一個(gè)很小的分支，其應(yīng)用范圍卻非常廣泛。相信隨著信息技術(shù)的不斷更新，**技術(shù)的不斷開(kāi)展，包括像矩陣在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)知識(shí)作為工具將在其中發(fā)揮越來(lái)越大的作用。二、矩陣與本錢(qián)利潤(rùn)的計(jì)算矩陣在計(jì)算本錢(qián)利潤(rùn)中有廣泛的應(yīng)用，利用矩陣可以將復(fù)雜的問(wèn)題或計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化成矩陣運(yùn)算，結(jié)合計(jì)算機(jī)程序語(yǔ)言能夠快速的解決實(shí)際問(wèn)題。下面從以下兩個(gè)方面簡(jiǎn)單介紹矩陣在本錢(qián)利潤(rùn)計(jì)算中的應(yīng)用?！惨弧成a(chǎn)本錢(qián)生產(chǎn)本錢(qián)：在社會(huì)生產(chǎn)管理中經(jīng)常要對(duì)生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的很多數(shù)據(jù)進(jìn)展統(tǒng)計(jì)、處理、分析，以此來(lái)對(duì)生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)展了解和監(jiān)控，進(jìn)而對(duì)生產(chǎn)進(jìn)展管理和調(diào)控，保證正常平穩(wěn)的生產(chǎn)以到達(dá)最好的經(jīng)濟(jì)效益。但是得到的原始數(shù)據(jù)往往紛繁復(fù)雜，這就需要用一些方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)展處理，得到直接明了的結(jié)果。在計(jì)算中引入矩陣可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)展大量的處理，這種方法非常方便。引例：*服裝加工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品的單件各類(lèi)本錢(qián)及四季度生產(chǎn)件數(shù)如表1及表2所示，提供該廠每季度的各類(lèi)產(chǎn)品總本錢(qián)表。本錢(qián)〔元〕甲乙丙丁原材料15203025勞動(dòng)力本錢(qián)20103020企業(yè)管理費(fèi)用5101010運(yùn)輸本錢(qián)2334表一：每種產(chǎn)品的單件各類(lèi)本錢(qián)季度產(chǎn)品一季度二季度三季度四季度甲4000300020005000乙1000600040002000丙2000200020002000丁3000200050001000表二：四季度各類(lèi)產(chǎn)品產(chǎn)量如果利用傳統(tǒng)方法計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)需要計(jì)算的條目非常多且調(diào)理性不好，費(fèi)時(shí)費(fèi)力。讓我們來(lái)用矩陣的方法來(lái)描述此問(wèn)題，：設(shè)A為每種產(chǎn)品的單件各類(lèi)本錢(qián)矩陣，即：A=設(shè)B為四季度各類(lèi)產(chǎn)品產(chǎn)量矩陣，即：:B=則四個(gè)季度的原材料、勞動(dòng)力本錢(qián)、企業(yè)管理費(fèi)用、運(yùn)輸本錢(qián)的總本錢(qián)為矩陣A與B的乘積*，即:*=根據(jù)矩陣*，可以得到各類(lèi)產(chǎn)品總本錢(qián)分類(lèi)表，如表三。本錢(qián)〔元〕春夏秋冬合計(jì)原材料205000275000295000200000975000勞動(dòng)力本錢(qián)210000220000240000200000870000企業(yè)管理費(fèi)用8000011500012000075000390000運(yùn)輸本錢(qián)29000500004200026000147000合計(jì)5240006600006970005010002382000表三：各類(lèi)產(chǎn)品總本錢(qián)分類(lèi)表可見(jiàn)，應(yīng)用矩陣計(jì)算本錢(qián)一目了然，省時(shí)省力。又如：*工廠每批次投料生產(chǎn)中，獲得4種不同產(chǎn)量的產(chǎn)品，同時(shí)測(cè)量出各批次的生產(chǎn)總本錢(qián)，如表四所示：生產(chǎn)批次產(chǎn)品/kg總本錢(qián)〔元〕ABCD120010010050290025002502001007050310040402013604400180160605500表四試求每種產(chǎn)品的單位本錢(qián)。解：設(shè)A、B、C、D4種產(chǎn)品的單位本錢(qián)分別為a，b，c，d可以得到得方程組：化簡(jiǎn)得：增廣矩陣為：化為行最簡(jiǎn)形矩陣：因?yàn)橄禂?shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，所以方程組有唯一解，即：a=10，b=5，c=3，d=2從而直觀地反映了工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的單位本錢(qián)?！捕成a(chǎn)利潤(rùn)生產(chǎn)利潤(rùn)的計(jì)算對(duì)于企業(yè)生產(chǎn)和策略制定具有指導(dǎo)性作用，利用矩陣能夠直觀的計(jì)算利潤(rùn)問(wèn)題。如：一個(gè)工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。需用A、B、C三種原料。給出產(chǎn)品的單價(jià)向量P(單位：千元／件)，原材料本錢(qián)的向量C(單位：千元／噸)，訂單向量*(單位：件〕P=，C=，*=設(shè)甲、乙產(chǎn)品的單位本錢(qián)向量Y=，于是Y=CT=可得：售出甲、乙產(chǎn)品所獲的利潤(rùn)為：PT*—Y*=(PT-Y)*=9900—1800=8100〔千元〕三、矩陣與數(shù)字圖像在自然形式下，圖像不能由計(jì)算機(jī)直接進(jìn)展分析。因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理數(shù)字而不是圖片，所以一幅圖像在用計(jì)算機(jī)處理前必須先轉(zhuǎn)化為數(shù)字形式。左圖說(shuō)明了如何用一個(gè)數(shù)字矩陣來(lái)表示一個(gè)物理圖像。物理圖像被劃分為稱(chēng)作圖像元素的小區(qū)域，圖像元素簡(jiǎn)稱(chēng)為像素，最常見(jiàn)的劃分方案是圖中所示的方形采樣網(wǎng)格，圖像被分割成由相鄰像素組成的許多水平線，賦予每個(gè)像素位置的數(shù)值反映了物理圖像上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的亮度。圖像轉(zhuǎn)化的過(guò)程稱(chēng)為數(shù)字化，常見(jiàn)的形式如下列圖。在每個(gè)像素位置，圖像的亮度被采樣和量化，從而得到圖像對(duì)應(yīng)點(diǎn)上表示其亮暗程度的一個(gè)整數(shù)值。對(duì)所有的像素都完成上述轉(zhuǎn)化后，圖就被表示成一個(gè)整數(shù)矩陣。每個(gè)像素具有兩個(gè)屬性：位置和灰度。位置〔或稱(chēng)地址〕由掃描線內(nèi)的采樣點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)決定，它們又稱(chēng)為行和列。表示該像素位置上亮暗程度的整數(shù)稱(chēng)為灰度。此數(shù)字矩陣就作為計(jì)算機(jī)處理的對(duì)象了。由此，每一幅灰度格式的圖像〔我們平常稱(chēng)為黑白圖片〕，都可用一個(gè)元素值介于0－255之間的矩陣來(lái)表示，元素值的大小對(duì)應(yīng)著點(diǎn)的亮度，0對(duì)應(yīng)黑色，255對(duì)應(yīng)白色。元素的位置對(duì)應(yīng)圖像中各像素的位置。彩色圖像〔即RGB圖像〕可用三個(gè)這樣的矩陣來(lái)表示，每一個(gè)矩陣代表一個(gè)顏色分量，即就是我們平常所說(shuō)的紅〔R〕，綠〔G〕，藍(lán)〔B〕分量。通過(guò)對(duì)矩陣進(jìn)展一些數(shù)據(jù)處理就可以將圖片改變。比方將圖片所對(duì)應(yīng)的矩陣進(jìn)展轉(zhuǎn)置，就能得到原圖片沿主對(duì)角線對(duì)稱(chēng)的圖片。前后接下來(lái)介紹如何從圖像的矩陣表示出發(fā)，通過(guò)矩陣的乘法進(jìn)展矩陣的正交變換、求矩陣轉(zhuǎn)置進(jìn)展正交逆變換最終實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)圖像的壓縮?！惨弧尘蹬c差分的定義設(shè)a，b為介于0－255之間的數(shù)，則稱(chēng)為a與b的均值。為a與b的差分。從定義中可看出，均值是a，b的近似，差分度量了a與b的差異。〔二〕均值差分變換矩陣的構(gòu)造矩陣QUOTE表示大小為QUOTE的灰度圖像，其中QUOTE,n,m為自然數(shù)，i,j＝1，2，…，n.通過(guò)(1)和(2)計(jì)算矩陣QUOTE的行相鄰元素〔不重疊〕的均值與差分，按均值在前差分在后的順序得到矩陣QUOTE，即易得QUOTE(3)其中QUOTEQUOTE設(shè)QUOTEK為自然數(shù)，則QUOTE。顯然，QUOTE是正交矩陣，故從(3)式知，上面的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是對(duì)矩陣QUOTE進(jìn)展了一次正交變換，得到矩陣QUOTE。稱(chēng)該變換為正交均值差分變換。繼續(xù)對(duì)QUOTE中元素QUOTE，QUOTE，計(jì)算行相鄰元素〔不重疊〕的均值與差分，按均值在前差分在后的順序放置，其它元素即QUOTE，QUOTE保持不動(dòng)，得到矩陣記為QUOTE，則QUOTE，(4)其中QUOTE繼續(xù)對(duì)QUOTE做同樣的處理，直到不能再計(jì)算為止〔均值元素為一個(gè)〕，此時(shí)得到矩陣記為QUOTE，則有QUOTE，(5)其中同理，對(duì)矩陣QUOTE的列相鄰元素〔不重疊〕計(jì)算均值與差分，直至不能計(jì)算為止，則可得QUOTE(6)因此對(duì)矩陣QUOTE的行和列同時(shí)計(jì)算相鄰元素〔不重疊〕均值與差分，結(jié)果記為B，則QUOTE(7)其中(8)〔三〕閾值的選取從(1)，(2)均值和差分的定義不難看出，矩陣經(jīng)過(guò)均值差分變換后元素被分成兩大局部，一局部是原矩陣的近似〔均值局部〕，一局部代表原矩陣元素的變化細(xì)節(jié)〔差分局部〕，圖像的絕大局部信息集中在近似局部。同時(shí)對(duì)細(xì)節(jié)局部而言，元素絕對(duì)值表示原矩陣中元素與均值的差異，絕對(duì)值越大，意味著它包含越多的細(xì)節(jié)信息，絕對(duì)值越小，說(shuō)明它與均值越接近，意味它包含非常少的細(xì)節(jié)信息。因此，可以設(shè)置閾值，只保存絕對(duì)值大于閾值的細(xì)節(jié)局部元素。關(guān)于閾值的選取，本文簡(jiǎn)單項(xiàng)選擇取閾值為5，30，80，觀察壓縮效果的變化?！菜摹尘幗獯a算法A表示大小為QUOTE的圖像〔矩陣〕，正交均值差分變換矩陣為M，分別對(duì)A的行和列進(jìn)展正交均值差分變換，得