湖北省新高考協(xié)作體2021-2022學年高二下學期期末模擬考數(shù)學試題（解析版）

2022年湖北省新高考協(xié)作體高二下學期期末考試模擬考高二數(shù)學試卷試卷滿分：150分考查范圍：高二全部內容選擇性必修第一冊至選擇性必修第三冊一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可知，，，求出，即可求出橢圓的離心率．【詳解】因為橢圓中，，所以，得，故選：B．【點睛】本題考查橢圓的離心率的求法，以及靈活運用橢圓的簡單性質化簡求值．2.直線和，若，則與之間的距離A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】因為，所以，解得（舍去），，因此兩條直線方程分別化為，則與之間的距離，故選B.3.如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在上，且滿足，點N為BC的中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由空間向量的線性運算求解．【詳解】由題意，又，，，∴,故選：B．4.在數(shù)列中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對變形可得，所以為以為首項，公差為的等差數(shù)列，即可得解.【詳解】在中，，由可得，所以為以為首項，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，故選：A.5.函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.的極小值點為 B.的極大值點為C.有唯一的極小值點 D.函數(shù)在（a，b）上的極值點的個數(shù)為2【答案】D【解析】【分析】求得的極小值點判斷選項A；求得的極大值點判斷選項B；求得的極小值點判斷選項C；求得函數(shù)在（a，b）上的極值點的個數(shù)判斷選項D.【詳解】由導函數(shù)的圖像可知，有2個極小值點.選項C判斷錯誤；當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.則的極小值點為，選項A判斷錯誤；的極大值點為，選項B判斷錯誤；函數(shù)在（a，b）上的極值點為，共2個.選項D判斷正確；故選：D6.對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據：，，…，，則下列說法中不正確的是（）A.由樣本數(shù)據得到的回歸方程必過樣本中心B.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C.用相關指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好D.若變量y和x之間相關系數(shù)為r＝-0.9362，則變量y和x之間具有線性相關關系【答案】C【解析】【分析】理解回歸分析中樣本中心、殘差、相關指數(shù)R2、相關系數(shù)的含義，即可判斷各選項的正誤.【詳解】A：樣本中心點在回歸直線上，正確；B：殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，正確，C：R2越大擬合效果越好，不正確，D：當?shù)闹荡笥?.8時，表示兩個變量具有高度線性相關關系，正確.故選：C.7.設某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產的，且甲、乙、丙三廠生產該種X光片的次品率依次為，，，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以，，分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產的，B表示取得的X光片為次品，求得，，，由條件概率和全概率公式可得答案.【詳解】以，，分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產的，B表示取得的X光片為次品，，，，

，，，

則由全概率公式，所求概率為，故選：A.8.公元五世紀，數(shù)學家祖沖之估計圓周率的值的范圍是：3.1415926＜＜3.1415927，為紀念祖沖之在圓周率的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學的偉大成就.某小學教師為幫助同學們了解“祖率”，讓同學們把小數(shù)點后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進行隨機排列，整數(shù)部分3不變，那么可以得到大于3.14的不同數(shù)字有（）A2280 B.2120 C.1440 D.720【答案】A【解析】【分析】整體上用間接法求解，先算出1，4，1，5，9，2，6這7位數(shù)字隨機排列的種數(shù)，注意里面有兩個1，多了倍，要除去，再減去小于3.14的種數(shù)，小于3.14的數(shù)只有小數(shù)點前兩位為11或12，其他全排列.【詳解】由于1，4，1，5，9，2，6這7位數(shù)字中有2個相同的數(shù)字1，故進行隨機排列，可以得到的不同情況有，而只有小數(shù)點前兩位為11或12時，排列后得到的數(shù)字不大于3.14，故小于3.14的不同情況有，故得到的數(shù)字大于3.14的不同情況有.故選：A【點睛】本題主要考查數(shù)字排列問題，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線的焦距為4，兩條漸近線的夾角為，則下列說法正確是（）A.M的離心率為 B.M的標準方程為C.M的漸近線方程為 D.直線經過M的一個焦點【答案】ACD【解析】【分析】根據題意，過一三象限的漸近線的斜率為或兩種情況，根據可求得雙曲線方程，再逐個辨析即可【詳解】根據題意雙曲線的焦距為4，兩條漸近線的夾角為，有，①，雙曲線的兩條漸近線的夾角為，

則過一三象限的漸近線的斜率為或，即或，②

聯(lián)立①②可得：，，或，，；

因為，所以，，，故雙曲線的方程為對A，則離心率為，故A正確.

對B，雙曲線的方程為，故B錯誤；對C，漸近線方程為，故C正確；

對D，直線經過M的一個焦點，所以D正確.故選：ACD10.設數(shù)列的前項和為，若存在實數(shù)，使得對任意，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.則以下結論正確的是（）A.若是等差數(shù)列，且，公差，則數(shù)列是“數(shù)列”B.若是等比數(shù)列，且公比滿足，則數(shù)列是“數(shù)列”C.若，則數(shù)列是“數(shù)列”D.若，則數(shù)列是“數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】寫出等差數(shù)列的前項和結合“數(shù)列”的定義判斷A；寫出等比數(shù)列的前項和結合“數(shù)列”的定義判斷B；利用裂項相消法求和判斷C；當無限增大時，也無限增大判斷D．【詳解】在A中，若是等差數(shù)列，且，公差，則，當無限增大時，也無限增大，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，故A錯誤.在B中，因為是等比數(shù)列，且公比滿足，所以，所以數(shù)列是“數(shù)列”，故B正確.在C中，因為，所以.所以數(shù)列是“數(shù)列”，故C正確.在D中，因為，所以，當無限增大時，也無限增大，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，故D錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.11.甲箱中有個白球和個黑球，乙箱中有2個白球和個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示從乙箱中取出的球是黑球的事件，則下列結論正確的是（）A.兩兩互斥 B.C.事件與事件相互獨立 D.【答案】AD【解析】【分析】根據條件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知識，逐一分析選項，即可得答案.【詳解】因為每次取一球，所以是兩兩互斥事件，故A項正確；因為，，故B項錯誤；又，所以，故D項正確.從甲箱中取出黑球，放入乙箱中，則乙箱中黑球變?yōu)?個，取出黑球概率發(fā)生變化，所以事件B與事件不相互獨立，故C項錯誤.故選：AD12.關于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.是的極小值點；B.函數(shù)有且只有1個零點；C.存在正整數(shù)，使得恒成立；D.對任意兩個正實數(shù)，，且，若，則.【答案】ABD【解析】【分析】利用導數(shù)求函數(shù)的極值可判斷A選項；求出函數(shù)的單調性利用特殊值可判斷B；轉化為構造函數(shù)并求函數(shù)的單調性可判斷C；利用已知得出，構造函數(shù)證明不等式可判斷D.【詳解】對于A選項，函數(shù)的的定義域為，函數(shù)的導數(shù)，∴時，，函數(shù)單調遞減，時，，函數(shù)單調遞增，∴是的極小值點，故A正確；對于B選項，，∴，∴函數(shù)在上單調遞減，又∵，，∴函數(shù)有且只有1個零點，故B正確；對于C選項，若，可得，令，則，令，則，∴在上，，函數(shù)單調遞增，上，，函數(shù)單調遞減，∴，∴，∴在上函數(shù)單調遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實數(shù)，使得成立，故C錯誤；對于D選項，由，結合A選項可知，要證，即證，且，由函數(shù)在是單調遞增函數(shù)，所以有，由于，所以，即證明，令，則，所以在是單調遞減函數(shù)，所以，即成立，故成立，所以D正確.故選：ABD.【點睛】函數(shù)中涉及極值、零點，不等式恒成立，一般都需要通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值最值來處理，特別的要根據所求問題，適時構造恰當?shù)暮瘮?shù)，利用所構造函數(shù)的單調性、最值解決問題是常用方法.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.如圖在一個的二面角的棱上有兩點、，線段、分別在這個二面角的兩個半平面內，且均與棱垂直，若，，，則___________.【答案】3【解析】【分析】由，兩邊平方后展開整理，即可求得，則的長可求．【詳解】，，，，，，．，.故答案為：3.【點睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運算性質、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14.已知數(shù)列中，…，則__________．【答案】【解析】【分析】先將和代入條件，然后兩式相除，可得答案.【詳解】當時，有①當時，有②由①÷②，可得故答案為：15.的展開式中，x3的系數(shù)是_________.（用數(shù)字填寫答案）【答案】10【解析】【詳解】試題分析：的展開式的通項為(，1，2，…，5)，令得，所以的系數(shù)是.考點:二項式定理【名師點睛】確定二項展開式指定項的系數(shù)通常是先寫出通項,再確定r的值,從而確定指定項系數(shù).16.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，則______；若方程有兩個不等的實數(shù)解，則的取值范圍為______.【答案】①.②.【解析】【分析】利用導數(shù)求出曲線在點處的切線方程，進而可求得的值；由，可得出，將問題轉化為直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，數(shù)形結合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】，則，，，所以，曲線在點處的切線方程為，即，，，則；令，可得，令，其中，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，，令，可得，列表如下：單調遞增極大值單調遞減且當時，，如下圖所示：由圖象可知，當時，即當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：；.【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線方程求參數(shù)，同時也考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓C：，直線l恒過點（1）若直線l與圓C相切，求l的方程；（2）當直線l與圓C相交于A，B兩點，且時，求l的方程.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】(1)分類討論直線l的斜率存在與不存在，利用圓心到直線l的距離等于圓的半徑計算即可；(2)由題意知直線l的斜率一定存在，設直線方程，利用點到直線的距離公式和圓的垂徑定理計算即可.【小問1詳解】由題意可知，圓C的圓心為，半徑，

①當直線l的斜率不存在時，即l的方程為時，此時直線與圓相切，符合題意；

②當直線l的斜率存在時，設斜率為k，直線l的方程為，

化為一般式：，若直線l與圓相切，

則，即，解得，

：，即l：，

綜上，當直線l與圓C相切時，直線l的方程為或；【小問2詳解】由題意可知，直線l的斜率一定存在，設斜率為k，

直線l的方程為，即，

設圓心到直線l的距離為d，則，

由垂徑定理可得，，即，

整理得，，解得或，

則直線l的方程為或18.如圖，直線與拋物線交于兩點，與軸相交于點，且．（1）求點的坐標，并證明；（2）求的面積的最小值.【答案】（1），證明見解析；（2）1【解析】【分析】（1）設出點的坐標和直線的方程，代入拋物線方程利用韋達定理求得，進而求得，則點的坐標可得．再利用，求得，進而判斷出．（2）利用（1）中的方程根據韋達定理表示出和，進而求得的表達式，進而利用代入三角形面積公式求得三角形的面積表達式，利用的范圍求得面積的最小值．【小問1詳解】設點的坐標為，直線的方程為，代入拋物線，可得，即，是此方程的兩根，所以，即點的坐標為，因為，所以，所以；【小問2詳解】由方程，可得，且，則，所以當時，的面積取最小值．19.如圖，已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD是邊長為4的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．（Ⅰ）求證：AE⊥PD；（Ⅱ）若PA=4，求二面角E—AF—C的余弦值．【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）通過證明PA⊥AE和AE⊥AD，可證得AE⊥平面PAD，從而得證；（Ⅱ）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，分別求面AEF和面AFC的法向量，利用法向量求解二面角即可.【詳解】（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．因為E為BC的中點，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．因為PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE．而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD．所以AE⊥PD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE、AD、AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，則A（0，0，0），B（2，—2，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4），E（2，0，0），F(xiàn)（），所以=（2，0，0），＝（）設平面AEF的法向量為=（），則，因此取，則=（0，2，—1），因為BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故為平面AFC的法向量．又（—2，6，0），所以cos＜，＞=．因為二面角E—AF—C為銳角，所以所求二面角的余弦值為．【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定及性質，利用空間向量求解二面角，考查了學生的空間想象力和運算能力，屬于中檔題.20.已知等差數(shù)列的前項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據等差數(shù)列的性質及題干條件，可求得，代入公式，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消求和法，即可求得，即可得證.【詳解】解：（1）設數(shù)列的公差為，在中，令，得，即，故①.由得，所以②.由①②解得，.所以數(shù)列的通項公式為：.（2）由（1）可得，所以，故，所以.因為，所以.【點睛】數(shù)列求和的常見方法：（1）倒序相加法：如果一個數(shù)列的前n項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和可以用倒序相加法；（2）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前n項和可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數(shù)列的前n項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.21.為了研究某種疾病的治愈率，某醫(yī)院對100名患者中的一部分患者采用了外科療法，另一部分患者采用了化學療法，并根據兩種治療方法的治愈情況繪制了等高堆積條形圖，如下：（1）根據圖表完善以下關于治療方法和治愈情況的列聯(lián)表：療法療效合計未治愈治愈外科療法化學療法18合計100（2）依據小概率值的獨立性檢驗，分析此種疾病治愈率是否與治療方法有關．附：（如需計算，結果精確到0.001）獨立性檢驗中常用小概率值和相應的臨界值0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）答案見解析；（2）此種疾病治愈與治療方法有關【解析】【分析】（1）由題知采用化學療法的治愈率為，治愈的人數(shù)為人，進而計算得對應的數(shù)據，完成列聯(lián)表；（2）根據獨立性檢驗的思想，計算，并根據已知數(shù)據判斷即可.【詳解】解：（1）根據等高條形圖，采用化學療法的治愈率為，由列聯(lián)表得化學療法治愈的人數(shù)為人，故采用化學療法的人共有人，采用外科療法的有人，其中治愈的有人.所以列聯(lián)表如下表：療法療效合計未治愈治愈外科療法2