流體力學(xué) 第4章 基本方程課件

第三章基本方程組§1輸運定理§2質(zhì)量守恒定律§3動量方程§4角動量方程§5能量守恒原理§6初始條件和邊界條件1第三章基本方程組§1輸運定理1所有的力學(xué)定律,都是從系統(tǒng)的觀念推導(dǎo)而得的，而以系統(tǒng)為對象研究流體運動，就必須隨時對系統(tǒng)進行跟蹤并識別邊界，這在實際流動過程中顯然是很困難的。況且，工程上所關(guān)心的問題也不在于跟蹤質(zhì)量確定流體的運動，而在于確定的設(shè)備空間中流體的流動行為。在工程流體力學(xué)中，更多的是采用以控制體為對象，而如何將基于系統(tǒng)的基本原理表達成適用于控制體的形式，這就是輸運定理所要解決的問題。

輸運定理引言2所有的力學(xué)定律,都是從系統(tǒng)的觀念推導(dǎo)而得的，而以系統(tǒng)1.系統(tǒng)：系統(tǒng)是一團確定不變的物質(zhì)的集合。特點：（1）系統(tǒng)邊界隨流體一起運動，其形狀、大小可隨時間變化；（2）系統(tǒng)可以通過邊界與外界發(fā)生力的作用和能量交換，但不發(fā)生質(zhì)量交換，即系統(tǒng)的質(zhì)量是不變的。2.控制體：在空間上體積固定不變的連續(xù)、封閉區(qū)域。特點：（1）控制體的邊界相應(yīng)于坐標系是固定不變的；（2）控制面上不僅可以有力的作用和能量交換，而且可以有質(zhì)量的交換。輸運定理概念31.系統(tǒng)：系統(tǒng)是一團確定不變的物質(zhì)的集合。輸運定理為了將系統(tǒng)分析法轉(zhuǎn)換成控制體積分析法，我們必須將數(shù)學(xué)導(dǎo)式轉(zhuǎn)換成針對某一特定的區(qū)域（而非個別的質(zhì)點）來作，此變換稱為雷諾輸運定理(Reynoldstransporttheorem)，該定理可應(yīng)用在任一基本定律上。圖3.1流體實體容積

取如右圖所示系統(tǒng)，函數(shù)在整個系統(tǒng)區(qū)域上是連續(xù)的、單值的、可微的。輸運定理推導(dǎo)4為了將系統(tǒng)分析法轉(zhuǎn)換成控制體積分析法，我們必須將數(shù)學(xué)輸運定理推導(dǎo)5輸運定理推導(dǎo)5控制體內(nèi)函數(shù)變化量等于同一空間內(nèi)函數(shù)的時間不均勻性引起的變化量與控制體界面上由于對流引起的函數(shù)變化量之和。這就是著名的輸運定理，是由歐拉首先提出的。輸運定理推導(dǎo)6控制體內(nèi)函數(shù)變化量等于同一空間內(nèi)函數(shù)的時間不均勻第三章基本方程組§1輸運定理§2質(zhì)量守恒方程§3動量方程§4角動量方程§5能量守恒方程§6初始條件和邊界條件7第三章基本方程組§1輸運定理7質(zhì)量守恒原理指物體質(zhì)量在運動中保持不變，換言之，物體質(zhì)量隨時間的變化率為零。如右圖所示，在考察的物質(zhì)系統(tǒng)內(nèi)，圍繞任意點取一無限小體積。圖3.2流動流體的物質(zhì)體積質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)8質(zhì)量守恒原理指物體質(zhì)量在運動中保持不變，換言之，物體輸出控制體質(zhì)量流量輸出控制體凈質(zhì)量流量輸入控制體質(zhì)量流量控制體內(nèi)的質(zhì)量變化量對于系統(tǒng)，由質(zhì)量守恒定律有：應(yīng)用歐拉輸運定理，以控制體為研究對象時質(zhì)量守恒方程質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)9輸出控制體質(zhì)量流量輸出控制體凈質(zhì)量流量輸入控制體質(zhì)量流量控制局部質(zhì)量變化率對流質(zhì)量通量

控制體內(nèi)質(zhì)量隨時間的變化率與通過控制面的對流質(zhì)量通量之和為零。質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)10局部質(zhì)量變化率對流質(zhì)量通量控制體內(nèi)質(zhì)量隨時間的變運用高斯散度定理，則有質(zhì)量守恒定律的積分形式：質(zhì)量守恒定律的微分形式：或?qū)Σ豢蓧嚎s流體，，則方程簡化為質(zhì)量守恒定律微分形式11運用高斯散度定理，則有質(zhì)量守恒定律的積分形式：質(zhì)量守恒定律直角坐標系中質(zhì)量守恒方程為：柱坐標系中積分形式質(zhì)量守恒方程為：柱坐標系中質(zhì)量守恒微分方程為：質(zhì)量守恒定律柱坐標形式12直角坐標系中質(zhì)量守恒方程為：柱坐標系中積分形式質(zhì)量守恒方程為第三章基本方程組§1輸運定理§2質(zhì)量守恒方程§3動量方程§4角動量方程§5能量守恒方程§6初始條件和邊界條件13第三章基本方程組§1輸運定理13對于系統(tǒng)，由動量守恒定律（牛頓第二定律）有：應(yīng)用歐拉輸運定理，以控制體為研究對象時動量守恒方程動量方程推導(dǎo)輸出控制體動量流量控制體凈輸出的動量流量輸入控制體動量流量控制體內(nèi)的動量變化率作用于控制體的合力14對于系統(tǒng)，由動量守恒定律（牛頓第二定律）有：應(yīng)用歐拉輸外力體積力表面力單位質(zhì)量上的體積力單位面積上的表面力應(yīng)力矢量應(yīng)力張量和方向矢量縮并得應(yīng)力矢量應(yīng)力張量矩陣形式動量方程推導(dǎo)15外力體積力單位質(zhì)量上的體積力應(yīng)力矢量應(yīng)力張量和方向矢量縮并（切應(yīng)力張量第一下標表示作用面法向，第二下標表示力的方向）。在笛卡兒坐標系中，應(yīng)力向量的各分量為：動量方程推導(dǎo)16（切應(yīng)力張量第一下標表示作用面法向，第二下標表示力的方向）。zxyoABdydxdz動量方程推導(dǎo)切向應(yīng)力1：切向應(yīng)力2：法向應(yīng)力：17zxyoABdydxdz動量方程推導(dǎo)切向應(yīng)力用應(yīng)力張量替換應(yīng)力向量，動量平衡方程可寫成：動量變化率對流動量通量體積力表面力動量方程推導(dǎo)18用應(yīng)力張量替換應(yīng)力向量，動量平衡方程可寫成：動量變化率對流單位體積內(nèi)總的動量變化率等于作用在物體上的外力之和。

（應(yīng)力張量的散度表示流體應(yīng)力狀態(tài)的不均勻性）表面力合力散度定理動量方程微分形式推導(dǎo)19單位體積內(nèi)總的動量變化率等于作用在物體上的外力之和。（應(yīng)力上式為柯西運動方程，表示單位質(zhì)量流體的動量平衡?？紤]到連續(xù)性方程，上式變?yōu)椋簞恿糠匠炭挛餍问?0上式為柯西運動方程，表示單位質(zhì)量流體的動量平衡?？紤]到連續(xù)性笛卡兒坐標系下的柯西方程：柯西方程直角坐標形式21笛卡兒坐標系下的柯西方程：柯西方程直角坐標形柱坐標系下柯西方程：該偏微分方程組就是所謂的流體運動的應(yīng)力形式的動量方程，代入不同流體的本構(gòu)方程就可以得到不同流體的運動方程?？挛鞣匠讨鴺诵问?2柱坐標系下柯西方程：該偏微分方程組就是所謂的流第三章基本方程組§1輸運定理§2質(zhì)量守恒方程§3動量方程§4角動量方程§5能量守恒方程§6初始條件和邊界條件23第三章基本方程組§1輸運定理23對于系統(tǒng)，由角動量守恒定律有：角動量方程推導(dǎo)角動量守恒原理是指一定體積流體的角動量變化率等于作用在該流體上的所有外力矩之和。應(yīng)用歐拉輸運定理，以控制體為研究對象時角動量守恒方程可表述為：控制體凈輸出的動量矩流量控制體內(nèi)的動量矩變化率作用于控制體的總力矩24對于系統(tǒng)，由角動量守恒定律有：角動量方程推導(dǎo)應(yīng)力張量就是對稱的角動量方程推導(dǎo)25應(yīng)力張量就是對稱的角動量方程推導(dǎo)25第三章基本方程組§1輸運定理§2質(zhì)量守恒方程§3動量方程§4角動量方程§5能量守恒方程§6初始條件和邊界條件26第三章基本方程組§1輸運定理26能量守恒方程推導(dǎo)能量守恒定律可表述為：系統(tǒng)從外界吸熱的速率與系統(tǒng)對外界做功的速率之差等于系統(tǒng)能量的變化率。能量守恒原理是針對封閉物質(zhì)系統(tǒng)而言的。開放物質(zhì)系統(tǒng)能量的變化取決于它和環(huán)境的相互作用。若一個系統(tǒng)和它的環(huán)境有力的作用，則總能量變化指動能和內(nèi)能之和的變化：比內(nèi)能27能量守恒方程推導(dǎo)能量守恒定律可表應(yīng)用歐拉輸運定理，以控制體為研究對象時能量守恒方程外界對控制體對做功的速率外界向控制體放熱速率控制體凈輸出的能量流量控制體內(nèi)的能量變化率對開放系統(tǒng)，能量守恒方程為：動能和內(nèi)能變化率體積力做功表面力做功熱通量能量守恒方程推導(dǎo)28應(yīng)用歐拉輸運定理，以控制體為研究對象時能量守恒方運用散度定理，得到微分形式的能量守恒方程：或能量守恒方程微分形式29運用散度定理，得到微分形式的能量守恒方程：或能量守恒方程第三章基本方程組§1輸運定理§2質(zhì)量守恒方程§3動量方程§4角動量方程§5能量守恒方程§6初始條件和邊界條件30第三章基本方程組§1輸運定理30所有的流體運動都要滿足基本方程組，但在通常情況下只有確定了初始條件和邊界條件之后，才有獨一無二的形態(tài)。也就是說基本方程組中包含的任意函數(shù)需要結(jié)合相應(yīng)的定解條件來求解未知量，否則方程組得不到唯一確定的解。定解條件包括初始條件和邊界條件。初始條件和邊界條件初始條件是指流動在初始時刻，流體運動應(yīng)該滿足的初始狀態(tài)。（1）初始條件為已知函數(shù)。31所有的流體運動都要滿足基本方程組，但在通常情況下只有邊界條件是指流體運動的邊界上方程組的解應(yīng)滿足的條件。（2）邊界條件a)無窮遠處初始條件和邊界條件32邊界條件是指流體運動的邊界上方程組的解應(yīng)滿足的條件。（2）邊b)兩介質(zhì)界面兩介質(zhì)的界面可以是氣、液、固三相中任取兩個不同相的界面，也可以是同一相不同組成的界面。兩介質(zhì)交界面條件：初始條件和邊界條件33b)兩介質(zhì)界面兩介質(zhì)的界面可以是氣、液、固三c)固壁邊界

固壁邊界條件是兩介質(zhì)界面處邊界條件的重要特例，此時兩介質(zhì)中有一個是固體，另一個是流體。若固壁靜止，粘性流體在固壁處速度為零，即稱為粘附條件或無滑移條件；理想流體的固壁邊界條件則是流體沿固壁法線方向的流速為零，即。初始條件和邊界條件34c)固壁邊界固壁邊界條件是兩介質(zhì)界面處邊界條定解條件在方程求解中是一個不可缺失的環(huán)節(jié)，因此為一個具體的物理或工程問題確定定解條件是一件十分重要的事情．d)自由面

自由面是正常條件下氣-液界面，是兩介質(zhì)界面處邊界條件的另一重要特例。若氣相運動遠強于液相運動，則可認為自由表面上液體壓強與氣相相等，兩介質(zhì)的法向速度分量為零。如果兩介質(zhì)的界面上存在剪切應(yīng)力，則需滿足條件：初始條件和邊界條件35定解條件在方程求解中是一個不可缺失的環(huán)節(jié)，因此為一個具體〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半徑為的水平直圓管，出口處的速度分布為,式中為待定常數(shù)，是點到管軸的距離，如果進出口處壓力分別為和，求管壁對流體的作用力。第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程36〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半徑為的水平直圓管，出口處的速度分布為,式中為待定常數(shù)，是點到管軸的距離，如果進出口處壓力分別為和，求管壁對流體的作用力。第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊界條件37〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半徑為的水平直圓管，出口處的速度分布為,式中為待定常數(shù)，是點到管軸的距離，如果進出口處壓力分別為和，求管壁對流體的作用力。第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程38〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半徑為的水平直圓管，出口處的速度分布為,式中為待定常數(shù)，是點到管軸的距離，如果進出口處壓力分別為和，求管壁對流體的作用力。第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程39〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程401）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程40〖例3-4〗密度為的兩股不同速度的不可壓縮流體合流，通過一段平直圓管，混合后速度與壓力都均勻，如圖所示。若兩股來流面積均為，壓力相同，一股流速為，另一股流速為，假定管壁摩擦力不計，流動定常絕熱。證明單位時間內(nèi)機械能損失為。第三章基本方程組應(yīng)用41〖例3-4〗密度為的兩股不同速度的不可壓縮流體合流，通過〖例3-4〗密度為的兩股不同速度的不可壓縮流體合流，通過一段平直圓管，混合后速度與壓力都均勻，如圖所示。若兩股來流面積均為，壓力相同，一股流速為，另一股流速為，假定管壁摩擦力不計，流動定常絕熱。證明單位時間內(nèi)機械能損失為。第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程42〖例3-4〗密度為的兩股不同速度的不可壓縮流體合流，通過〖例3-4〗密度為的兩股不同速度的不可壓縮流體合流，通過一段平直圓管，混合后速度與壓力都均勻，如圖所示。若兩股來流面積均為，壓力相同，一股流速為，另一股流速為，假定管壁摩擦力不計，流動定常絕熱。證明單位時間內(nèi)機械能損失為。第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程43〖例3-4〗密度為的兩股不同速度的不可壓縮流體合流，通過〖例3-4〗密度為的兩股不同速度的不可壓縮流體合流，通過一段平直圓管，混合后速度與壓力都均勻，如圖所示。若兩股來流面積均為，壓力相同，一股流速為，另一股流速為，假定管壁摩擦力不計，流動定常絕熱。證明單位時間內(nèi)機械能損失為。第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程44〖例3-4〗密度為的兩股不同速度的不可壓縮流體合流，通過第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程45第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程PinPout4）機械能損失461）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程PinPou1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程471）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程471）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程481）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程481）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程491）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程491）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程501）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程501）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程511）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程51〖例3-6〗如圖所示為明渠中水流經(jīng)過閘門。設(shè)水為理想不可壓縮流體，密度為。在1-1和2-2截面上，流速為、分布均勻。證明：在垂直于x-y平面方向單位寬度上閘門所受總力為:h1h2F52〖例3-6〗如圖所示為明渠中水流經(jīng)過閘門。設(shè)水為理想不可壓縮1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程4）機械能守恒531）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程4）機械能守解:第三章基本方程組應(yīng)用54解:第三章基本方程組應(yīng)用54〖例3-7〗不可壓縮流體平面射流沖擊在一傾斜角為的平板上，如圖所示。射流速度為，方向單位寬度對應(yīng)的射流面積為，射流流體處于環(huán)境壓力。求平板對射流的反作用力的作用點與平板上的射流中心線的距離。V0

,A0xyLV2

,A2V1

,A1T第三章基本方程組應(yīng)用55〖例3-7〗不可壓縮流體平面射流沖擊在一傾斜角為的平板解:第三章基本方程組應(yīng)用56解:第三章基本方程組應(yīng)用56〖例3-8〗理想不可壓縮流體密度為，定常地通過一水平分岔管道流出，進口截面積為，兩個出口截面積均為，進出口參數(shù)均勻，進口壓力為，速度為，出口壓力為，已知，，，，，求通過總管的流量。第三章基本方程組應(yīng)用57〖例3-8〗理想不可壓縮流體密度為，定常地通過一水平分岔解:第三章基本方程組應(yīng)用58解:第三章基本方程組應(yīng)用58第三章基本方程組§1輸運定理§2質(zhì)量守恒定律§3動量方程§4角動量方程§5能量守恒原理§6初始條件和邊界條件59第三章基本方程組§1輸運定理1所有的力學(xué)定律,都是從系統(tǒng)的觀念推導(dǎo)而得的，而以系統(tǒng)為對象研究流體運動，就必須隨時對系統(tǒng)進行跟蹤并識別邊界，這在實際流動過程中顯然是很困難的。況且，工程上所關(guān)心的問題也不在于跟蹤質(zhì)量確定流體的運動，而在于確定的設(shè)備空間中流體的流動行為。在工程流體力學(xué)中，更多的是采用以控制體為對象，而如何將基于系統(tǒng)的基本原理表達成適用于控制體的形式，這就是輸運定理所要解決的問題。

輸運定理引言60所有的力學(xué)定律,都是從系統(tǒng)的觀念推導(dǎo)而得的，而以系統(tǒng)1.系統(tǒng)：系統(tǒng)是一團確定不變的物質(zhì)的集合。特點：（1）系統(tǒng)邊界隨流體一起運動，其形狀、大小可隨時間變化；（2）系統(tǒng)可以通過邊界與外界發(fā)生力的作用和能量交換，但不發(fā)生質(zhì)量交換，即系統(tǒng)的質(zhì)量是不變的。2.控制體：在空間上體積固定不變的連續(xù)、封閉區(qū)域。特點：（1）控制體的邊界相應(yīng)于坐標系是固定不變的；（2）控制面上不僅可以有力的作用和能量交換，而且可以有質(zhì)量的交換。輸運定理概念611.系統(tǒng)：系統(tǒng)是一團確定不變的物質(zhì)的集合。輸運定理為了將系統(tǒng)分析法轉(zhuǎn)換成控制體積分析法，我們必須將數(shù)學(xué)導(dǎo)式轉(zhuǎn)換成針對某一特定的區(qū)域（而非個別的質(zhì)點）來作，此變換稱為雷諾輸運定理(Reynoldstransporttheorem)，該定理可應(yīng)用在任一基本定律上。圖3.1流體實體容積

取如右圖所示系統(tǒng)，函數(shù)在整個系統(tǒng)區(qū)域上是連續(xù)的、單值的、可微的。輸運定理推導(dǎo)62為了將系統(tǒng)分析法轉(zhuǎn)換成控制體積分析法，我們必須將數(shù)學(xué)輸運定理推導(dǎo)63輸運定理推導(dǎo)5控制體內(nèi)函數(shù)變化量等于同一空間內(nèi)函數(shù)的時間不均勻性引起的變化量與控制體界面上由于對流引起的函數(shù)變化量之和。這就是著名的輸運定理，是由歐拉首先提出的。輸運定理推導(dǎo)64控制體內(nèi)函數(shù)變化量等于同一空間內(nèi)函數(shù)的時間不均勻第三章基本方程組§1輸運定理§2質(zhì)量守恒方程§3動量方程§4角動量方程§5能量守恒方程§6初始條件和邊界條件65第三章基本方程組§1輸運定理7質(zhì)量守恒原理指物體質(zhì)量在運動中保持不變，換言之，物體質(zhì)量隨時間的變化率為零。如右圖所示，在考察的物質(zhì)系統(tǒng)內(nèi)，圍繞任意點取一無限小體積。圖3.2流動流體的物質(zhì)體積質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)66質(zhì)量守恒原理指物體質(zhì)量在運動中保持不變，換言之，物體輸出控制體質(zhì)量流量輸出控制體凈質(zhì)量流量輸入控制體質(zhì)量流量控制體內(nèi)的質(zhì)量變化量對于系統(tǒng)，由質(zhì)量守恒定律有：應(yīng)用歐拉輸運定理，以控制體為研究對象時質(zhì)量守恒方程質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)67輸出控制體質(zhì)量流量輸出控制體凈質(zhì)量流量輸入控制體質(zhì)量流量控制局部質(zhì)量變化率對流質(zhì)量通量

控制體內(nèi)質(zhì)量隨時間的變化率與通過控制面的對流質(zhì)量通量之和為零。質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)68局部質(zhì)量變化率對流質(zhì)量通量控制體內(nèi)質(zhì)量隨時間的變運用高斯散度定理，則有質(zhì)量守恒定律的積分形式：質(zhì)量守恒定律的微分形式：或?qū)Σ豢蓧嚎s流體，，則方程簡化為質(zhì)量守恒定律微分形式69運用高斯散度定理，則有質(zhì)量守恒定律的積分形式：質(zhì)量守恒定律直角坐標系中質(zhì)量守恒方程為：柱坐標系中積分形式質(zhì)量守恒方程為：柱坐標系中質(zhì)量守恒微分方程為：質(zhì)量守恒定律柱坐標形式70直角坐標系中質(zhì)量守恒方程為：柱坐標系中積分形式質(zhì)量守恒方程為第三章基本方程組§1輸運定理§2質(zhì)量守恒方程§3動量方程§4角動量方程§5能量守恒方程§6初始條件和邊界條件71第三章基本方程組§1輸運定理13對于系統(tǒng)，由動量守恒定律（牛頓第二定律）有：應(yīng)用歐拉輸運定理，以控制體為研究對象時動量守恒方程動量方程推導(dǎo)輸出控制體動量流量控制體凈輸出的動量流量輸入控制體動量流量控制體內(nèi)的動量變化率作用于控制體的合力72對于系統(tǒng)，由動量守恒定律（牛頓第二定律）有：應(yīng)用歐拉輸外力體積力表面力單位質(zhì)量上的體積力單位面積上的表面力應(yīng)力矢量應(yīng)力張量和方向矢量縮并得應(yīng)力矢量應(yīng)力張量矩陣形式動量方程推導(dǎo)73外力體積力單位質(zhì)量上的體積力應(yīng)力矢量應(yīng)力張量和方向矢量縮并（切應(yīng)力張量第一下標表示作用面法向，第二下標表示力的方向）。在笛卡兒坐標系中，應(yīng)力向量的各分量為：動量方程推導(dǎo)74（切應(yīng)力張量第一下標表示作用面法向，第二下標表示力的方向）。zxyoABdydxdz動量方程推導(dǎo)切向應(yīng)力1：切向應(yīng)力2：法向應(yīng)力：75zxyoABdydxdz動量方程推導(dǎo)切向應(yīng)力用應(yīng)力張量替換應(yīng)力向量，動量平衡方程可寫成：動量變化率對流動量通量體積力表面力動量方程推導(dǎo)76用應(yīng)力張量替換應(yīng)力向量，動量平衡方程可寫成：動量變化率對流單位體積內(nèi)總的動量變化率等于作用在物體上的外力之和。

（應(yīng)力張量的散度表示流體應(yīng)力狀態(tài)的不均勻性）表面力合力散度定理動量方程微分形式推導(dǎo)77單位體積內(nèi)總的動量變化率等于作用在物體上的外力之和。（應(yīng)力上式為柯西運動方程，表示單位質(zhì)量流體的動量平衡?？紤]到連續(xù)性方程，上式變?yōu)椋簞恿糠匠炭挛餍问?8上式為柯西運動方程，表示單位質(zhì)量流體的動量平衡?？紤]到連續(xù)性笛卡兒坐標系下的柯西方程：柯西方程直角坐標形式79笛卡兒坐標系下的柯西方程：柯西方程直角坐標形柱坐標系下柯西方程：該偏微分方程組就是所謂的流體運動的應(yīng)力形式的動量方程，代入不同流體的本構(gòu)方程就可以得到不同流體的運動方程。柯西方程柱坐標形式80柱坐標系下柯西方程：該偏微分方程組就是所謂的流第三章基本方程組§1輸運定理§2質(zhì)量守恒方程§3動量方程§4角動量方程§5能量守恒方程§6初始條件和邊界條件81第三章基本方程組§1輸運定理23對于系統(tǒng)，由角動量守恒定律有：角動量方程推導(dǎo)角動量守恒原理是指一定體積流體的角動量變化率等于作用在該流體上的所有外力矩之和。應(yīng)用歐拉輸運定理，以控制體為研究對象時角動量守恒方程可表述為：控制體凈輸出的動量矩流量控制體內(nèi)的動量矩變化率作用于控制體的總力矩82對于系統(tǒng)，由角動量守恒定律有：角動量方程推導(dǎo)應(yīng)力張量就是對稱的角動量方程推導(dǎo)83應(yīng)力張量就是對稱的角動量方程推導(dǎo)25第三章基本方程組§1輸運定理§2質(zhì)量守恒方程§3動量方程§4角動量方程§5能量守恒方程§6初始條件和邊界條件84第三章基本方程組§1輸運定理26能量守恒方程推導(dǎo)能量守恒定律可表述為：系統(tǒng)從外界吸熱的速率與系統(tǒng)對外界做功的速率之差等于系統(tǒng)能量的變化率。能量守恒原理是針對封閉物質(zhì)系統(tǒng)而言的。開放物質(zhì)系統(tǒng)能量的變化取決于它和環(huán)境的相互作用。若一個系統(tǒng)和它的環(huán)境有力的作用，則總能量變化指動能和內(nèi)能之和的變化：比內(nèi)能85能量守恒方程推導(dǎo)能量守恒定律可表應(yīng)用歐拉輸運定理，以控制體為研究對象時能量守恒方程外界對控制體對做功的速率外界向控制體放熱速率控制體凈輸出的能量流量控制體內(nèi)的能量變化率對開放系統(tǒng)，能量守恒方程為：動能和內(nèi)能變化率體積力做功表面力做功熱通量能量守恒方程推導(dǎo)86應(yīng)用歐拉輸運定理，以控制體為研究對象時能量守恒方運用散度定理，得到微分形式的能量守恒方程：或能量守恒方程微分形式87運用散度定理，得到微分形式的能量守恒方程：或能量守恒方程第三章基本方程組§1輸運定理§2質(zhì)量守恒方程§3動量方程§4角動量方程§5能量守恒方程§6初始條件和邊界條件88第三章基本方程組§1輸運定理30所有的流體運動都要滿足基本方程組，但在通常情況下只有確定了初始條件和邊界條件之后，才有獨一無二的形態(tài)。也就是說基本方程組中包含的任意函數(shù)需要結(jié)合相應(yīng)的定解條件來求解未知量，否則方程組得不到唯一確定的解。定解條件包括初始條件和邊界條件。初始條件和邊界條件初始條件是指流動在初始時刻，流體運動應(yīng)該滿足的初始狀態(tài)。（1）初始條件為已知函數(shù)。89所有的流體運動都要滿足基本方程組，但在通常情況下只有邊界條件是指流體運動的邊界上方程組的解應(yīng)滿足的條件。（2）邊界條件a)無窮遠處初始條件和邊界條件90邊界條件是指流體運動的邊界上方程組的解應(yīng)滿足的條件。（2）邊b)兩介質(zhì)界面兩介質(zhì)的界面可以是氣、液、固三相中任取兩個不同相的界面，也可以是同一相不同組成的界面。兩介質(zhì)交界面條件：初始條件和邊界條件91b)兩介質(zhì)界面兩介質(zhì)的界面可以是氣、液、固三c)固壁邊界

固壁邊界條件是兩介質(zhì)界面處邊界條件的重要特例，此時兩介質(zhì)中有一個是固體，另一個是流體。若固壁靜止，粘性流體在固壁處速度為零，即稱為粘附條件或無滑移條件；理想流體的固壁邊界條件則是流體沿固壁法線方向的流速為零，即。初始條件和邊界條件92c)固壁邊界固壁邊界條件是兩介質(zhì)界面處邊界條定解條件在方程求解中是一個不可缺失的環(huán)節(jié)，因此為一個具體的物理或工程問題確定定解條件是一件十分重要的事情．d)自由面

自由面是正常條件下氣-液界面，是兩介質(zhì)界面處邊界條件的另一重要特例。若氣相運動遠強于液相運動，則可認為自由表面上液體壓強與氣相相等，兩介質(zhì)的法向速度分量為零。如果兩介質(zhì)的界面上存在剪切應(yīng)力，則需滿足條件：初始條件和邊界條件93定解條件在方程求解中是一個不可缺失的環(huán)節(jié)，因此為一個具體〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半徑為的水平直圓管，出口處的速度分布為,式中為待定常數(shù)，是點到管軸的距離，如果進出口處壓力分別為和，求管壁對流體的作用力。第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程94〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半徑為的水平直圓管，出口處的速度分布為,式中為待定常數(shù)，是點到管軸的距離，如果進出口處壓力分別為和，求管壁對流體的作用力。第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊界條件95〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半徑為的水平直圓管，出口處的速度分布為,式中為待定常數(shù)，是點到管軸的距離，如果進出口處壓力分別為和，求管壁對流體的作用力。第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程96〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半徑為的水平直圓管，出口處的速度分布為,式中為待定常數(shù)，是點到管軸的距離，如果進出口處壓力分別為和，求管壁對流體的作用力。第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程97〖例3-3〗密度為的不可壓縮均質(zhì)流體以均勻速度進入半1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程981）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程40〖例3-4〗密度為的兩股不同速度的不可壓縮流體合流，通過一段平直圓管，混合后速度與壓力都均勻，如圖所示。若兩股來流面積均為，壓力相同，一股流速為，另一股流速為，假定管壁摩擦力不計，流動定常絕熱。證明單位時間內(nèi)機械能損失為。第三章基本方程組應(yīng)用99〖例3-4〗密度為的兩股不同速度的不可壓縮流體合流，通過〖例3-4〗密度為的兩股不同速度的不可壓縮流體合流，通過一段平直圓管，混合后速度與壓力都均勻，如圖所示。若兩股來流面積均為，壓力相同，一股流速為，另一股流速為，假定管壁摩擦力不計，流動定常絕熱。證明單位時間內(nèi)機械能損失為。第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊界條件2）質(zhì)量守恒方程3）動量方程100〖例3-4〗密度為的兩股不同速度的不可壓縮流體合流，通過〖例3-4〗密度為的兩股不同速度的不可壓縮流體合流，通過一段平直圓管，混合后速度與壓力都均勻，如圖所示。若兩股來流面積均為，壓力相同，一股流速為，另一股流速為，假定管壁摩擦力不計，流動定常絕熱。證明單位時間內(nèi)機械能損失為。第三章基本方程組應(yīng)用1）控制體與邊