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圓盤自轉題研究陜西省小學教師培訓中心

王凱

趙熹民桌上有一半徑為的固定圓盤與一半徑為r的動圓盤o將盤o的沿作無滑121動的滾動滾時始終保持兩圓邊沿切)。圓盤

2

繞著圓盤

1

轉動一周后，圓盤

2

本身旋轉了)。A.1圈B.2圈C.3圈D.4圈這是第五屆初中“祖杯賽”試題。這道題涉及到圓盤的自轉。什么是圓盤的自轉？圓盤圍繞自己的圓心轉動即為自轉盤圍繞自己的圓心轉動一周就稱為圓盤自轉一周或一圈。為研究上題，我們先研究一個簡單問題。例1桌有一個固定的圓盤與一個活動的圓盤，這兩個圓盤的半徑相等。將活動圓盤繞著固定圓盤的邊沿作無滑動的滾(滾時始終保持兩圓盤邊沿密切相)，當活動圓盤繞著固定圓盤轉動一周后，活動圓盤本身旋轉_________圈第屆小學“祖杯賽”試)解：實驗觀察。觀察上圖可見，在活動圓盤繞著固定圓盤轉動過程中，從1到，由

到

，活動圓盤自轉了

12

周；從圖到3，

到

再到

，活動圓盤自轉了1周。從而可知，當活動圓盤繞著固定圓盤轉動一周后，活動圓盤本身自轉了周即2圈答：活動圓盤本身自轉了2圈。從圖4和圖5可見，在活動圓盤沿著直線或凸形曲線作無滑動的滾動時，圓心O移的路程等于圓的周長時，此圓剛好自轉一周。這樣，活動圓盤自轉的圈數(shù)就可以用圓心O的路程是它周長的倍數(shù)來計算。即圓自轉的周=13

圓心移動的路程圓的周長

。

例2文第五屆初中“祖杯賽”試題。解：活動圓盤的周長為2πr，活動圓盤

2

繞著固定圓盤

1

轉動一周時，活動圓盤圓心2

移動的路程為2×(3r)=3×(2r)，而

3)

=3，活動圓盤本身旋轉了圈選擇。例3△的周長與圓的長相等，當O沿的邊沿作無滑動滾動一周后，圓自轉了幾圈？解：如圖6所。OOO1346

=AB+BC+CA=圓O周長由∠AO

=360°－°－°－∠°－∠，∠

BO

=180°∠，OCO

=180°C及∠∠°：∠OAO∠O

+∠CO

=360°而OA=AOOB=BO==CO=圓半，所以，弧613=圓O周。

O+弧O+弧OO634圓心移的路程是2個圓周長，故圓自轉了圈答：圓自轉了2圈例4△的周長是圓周的k倍當圓O沿ABC的邊沿作無滑動滾動一周后，圓自轉了幾圈？解：由圖6可：

OOO1346

=AB+BC+CA=圓O周的倍?；?/p>

O6

+弧

O23

+弧

O4

=圓O周。圓心移的路程是k+1)圓周長，故圓O自轉了k+1)圈答：圓自轉了k+1圈23

由凸n邊的外角是°知凸邊形的周長是圓周的倍當圓O繞著凸n邊形的邊沿作無滑動滾動一周后，圓本身自轉了圈一般地，若封閉的凸平面圖形的周長是圓O周長的倍那么當圓繞凸平面圖形的沿作無滑動滾動一周后，圓O本自轉了k+1圈例5如7所有個同樣大小的圓固定不動另有一等圓圓A緊個固定的圓滾動而不是滑動，當繞完一周回到原來的位置時，本身轉了多少圈？解：由圖可，ABC=120°

3603

，把圓B看固定圓，圓A是滾動圓，從圓A到圓，由例1知

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