集中量數(shù)課件

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用次數(shù)分布表和次數(shù)分布圖來表現(xiàn)分?jǐn)?shù)的分布情況，簡單、明了、形象直觀，但是還不能說明已經(jīng)非常概括。 因此人們想到用一些具有特殊性質(zhì)的數(shù)來描繪數(shù)據(jù)群的分布特征，習(xí)慣上稱這些為特征量數(shù):1.總體參數(shù)(常數(shù)，用希臘字母來表示)2.樣本統(tǒng)計量（用英文字母來表示）CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室1CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室一個隨機(jī)變量取值分布有什么特征呢？

1、中心位置：用來描述一組數(shù)據(jù)分布中大量數(shù)據(jù)向某方向集中的程度。如：算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)等。2、離散性：就是對一組數(shù)據(jù)的變異性特點進(jìn)行度量的描述的統(tǒng)計量，也稱離散量數(shù)（measuresofdispersion）。如：全距、四分位差、百分位差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差與方差等等。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室一2CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室集中量數(shù)（中心位置）與差異量數(shù)（離散性）的關(guān)系圖CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室集3CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第一節(jié)集中量數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)的概念及適用條件（一）概念 是一組同質(zhì)數(shù)據(jù)值的總和除以數(shù)據(jù)總個數(shù)所得的商。亦稱均數(shù)，均值，用表示。樣本總體CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第4CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室5CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

例1某班選八名同學(xué)參加年級數(shù)學(xué)競賽，成績分別為82，90，95，88，90，94，80，93。求其平均成績。

CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室6CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室1、適用于同質(zhì)數(shù)據(jù)。2、要求一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)都比較準(zhǔn)確、可靠，若數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限是時，不能計算平均數(shù)。3、無極端值出現(xiàn)。4、需要得到一個相對精確可靠的集中量數(shù)或進(jìn)一步參與其他運算時。（二）適用條件CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室17CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

有時每個數(shù)據(jù)在其整體中的所占的權(quán)重（重要程度）不同。它是指一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)與其權(quán)數(shù)乘積的總和除以權(quán)數(shù)總和所得之商，用符號表示。２.加權(quán)平均數(shù)CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室8CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

例2某年級四個班的學(xué)生人數(shù)分別為50人，52人，48人，51人，期末數(shù)學(xué)考試各班的平均成績分別為90分，85分，88分，92分，求年級的平均成績。解：=88.74CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室 9CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室組別組中值Xc次數(shù)ffXc90-9492327685-89871087080-848215123075-7977861670-7472536065-6967320160-6462424855-59572114∑503915表3-1某班50人外語成績次數(shù)分布表CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室組10CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

對于已列成次數(shù)分布表的分組數(shù)據(jù)，其算術(shù)平均數(shù)的計算公式為（3.3）

式中Xc為組中值；f為各組次數(shù)，即權(quán)數(shù)；N為總次數(shù)=∑f。

例3某班50人外語期末考試成績的次數(shù)分布如下，求全班學(xué)生的平均成績。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室 11CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室解：將表中數(shù)據(jù)代入公式（3.3），得說明：利用次數(shù)分布求得的算術(shù)平均數(shù)是一個近似值。因為我們先假設(shè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是均勻分布的，利用各組中值分別代表各組數(shù)據(jù)，這顯然與實際不符，把這一誤差叫分組誤差。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室解12CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室平均數(shù)的特點

（1）在一組數(shù)據(jù)中每個變量與平均數(shù)之差（稱為離均差）的總和等于0，即：（2）在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)都加上一個常數(shù)C，則所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加常數(shù)C，即（3）在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)都乘以一個常數(shù)C所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘以常數(shù)C，即（４）各觀察值與算術(shù)平均數(shù)之差的平方和為最小，即設(shè)X0為非的任意值。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室平13CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室平均數(shù)的意義算術(shù)平均數(shù)是真值（總體均值）的最好估計值，數(shù)學(xué)證明設(shè)：觀測值與平均數(shù)的差為

與真值的差為：

對離均差分別求和則：因為：即：代入得當(dāng)n時，趨近于0故CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室平14CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點1、反應(yīng)靈敏是算術(shù)平均數(shù)的重要優(yōu)點2、嚴(yán)密確定是算術(shù)平均數(shù)的另一個優(yōu)點3、算術(shù)平均數(shù)適合進(jìn)一步的代數(shù)運算4、與其他集中量數(shù)指標(biāo)相比，算術(shù)平均數(shù)受抽樣變動的影響較小。樣本的平均數(shù)的抽樣誤差小，它是總體均數(shù)的最好估計值5、算術(shù)平均數(shù)也有缺點：如容易受極端數(shù)值的影響，如果某一個數(shù)值大小無法確定時無法計算CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室算15CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室計算和應(yīng)用平均數(shù)的原則1、同質(zhì)性的原則2、平均數(shù)與個體數(shù)值相結(jié)合的原則3、平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合的原則CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室計16CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第二節(jié)中位數(shù)一、中位數(shù)的概念及適用條件 （一）概念 中位數(shù)是位于一組有序數(shù)據(jù)中間位置的量數(shù)。也稱中數(shù)，用Mdn表示。它是將一組有序數(shù)據(jù)的個數(shù)分為相等兩部分的那個數(shù)據(jù)，它可能是原始數(shù)據(jù)中的一個，也可能是通過計算得到的一個數(shù)。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第17CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室 1、當(dāng)一組數(shù)據(jù)有極端值出現(xiàn)時。

2、當(dāng)一組有序數(shù)據(jù)兩端有個別數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限時。

3、當(dāng)需要快速估計一組數(shù)據(jù)的代表值時。二、中位數(shù)的計算方法 （一）未分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計算方法一組數(shù)據(jù)未分組，先排序，中位數(shù)取決于數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。（二）適用條件CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室 18CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

當(dāng)數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)時，則以第（N+1）/2個位置上的數(shù)據(jù)作為中位數(shù)。 當(dāng)數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)時，則取居中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為中位數(shù)。即取第（N+1）/2處作為中位數(shù)的位置，其位置左右兩數(shù)據(jù)的平均值即為中位數(shù)。 例如求80，93，90，81，85，88，92，84的中位數(shù)時，先排序：80，81，84，85，88，90，92，93，再求（N+1）/2=4.5，這說明中位數(shù)的位置在第四個和第五個數(shù)的中間，即（85+88）/2=86.5。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室 19CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室對分組數(shù)據(jù)常將N/2位置對應(yīng)的數(shù)據(jù)看成中位數(shù)。計算公式為：（3.4）（二）分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計算方法CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室對20CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

計算步驟： （1）求N/2； （2）確定中位數(shù)所在組，由下向上累積次數(shù)，直到大于或等于N/2一組為止，該組就是中位數(shù)所在組； （3）求出中位數(shù)所在組的精確下限； （4）求出中位數(shù)所在組以下的累積次數(shù)Fb;

（5）確定組距及中位數(shù)所在組的次數(shù)f;

（6）將以上各值代入公式（3.4）中。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室 21CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

例5求表3-1的中位數(shù)。 解：（1）N/2=50/2=25； （2）由下向上累積次數(shù)，75-79組對應(yīng)的累積次數(shù)為22，80-84組對應(yīng)的累積次數(shù)為37，故中位數(shù)在80-84組； （3）Lb=79.5； （4）Fb=2+4+3+5+8=22;

（5）i=5,f=15； （6）將上述值代入（3.4），得

Mdn=79.5+(25-22)/15*5=80.5CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室 22CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第二節(jié)中數(shù)(Md)與眾數(shù)(Mo)1、中數(shù)(median)：一組數(shù)據(jù)由小到大排列后，處于中間位置的那個數(shù)叫中數(shù)。它可以是原數(shù)列中的某數(shù)也可能不是。2、中數(shù)求法

用原始數(shù)據(jù)求中數(shù)，采用觀察法，又分幾種情況。①數(shù)據(jù)分?jǐn)?shù)是奇數(shù)，中數(shù)附近無重復(fù)例.5,3,7,4,1Mdn=4②數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)，中數(shù)附近無重復(fù)例.2，3，3，6，7，8，10，11Mdn=(6+7)/2=6.5③中數(shù)附近有重復(fù)，找代表點

奇數(shù)個：中數(shù)位置兩旁有一個與它自己相等即有重復(fù)。偶數(shù)個：中數(shù)位置兩旁兩數(shù)相等為有重復(fù)。如：2，4，5，5，6，8，10CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第23CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室用歸類數(shù)據(jù)求中數(shù)，采用公式法。級別次數(shù)93-9590-9287-8984-8681-8378-805451211441合計表1：某班成績分布其中L為中數(shù)所在組精下限；Fb為中數(shù)所在組下一組的累積次數(shù)；f為中數(shù)所在組簡單次數(shù)；

i為組距，N為總次數(shù)如右表其中位數(shù)為：CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室用24CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室中數(shù)的評價1、根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算而來2、計算簡單，概念簡單明了3、觀察結(jié)果中有極端值及不清楚或模糊數(shù)時可使用4、反應(yīng)不夠靈敏，極端值的變化對中數(shù)無影響5、不如平均數(shù)穩(wěn)定，受抽樣影響大6、中數(shù)不能作進(jìn)一步的代數(shù)運算CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室中25CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室眾數(shù)（Mode)1、眾數(shù)：指次數(shù)分布中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)值2、計算眾數(shù)的方法A、直接觀察法B、用公式求眾數(shù)皮爾遜經(jīng)驗法CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室眾26CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室眾數(shù)的評價

概念簡單明了，容易理解，不受極端及模糊數(shù)據(jù)影響，但反應(yīng)不夠靈敏，易受分組的影響，不能進(jìn)一步代數(shù)運算，受抽樣變動的影響較大，所以使用的范圍較小CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室眾27CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室平均數(shù)、中數(shù)與眾數(shù)的關(guān)系1、在正態(tài)分布中，這三者是相等的2、在正偏態(tài)分布中，M>Md>Mo在負(fù)偏態(tài)分布中，M<Md<Mo皮爾遜的研究發(fā)現(xiàn)，它們之間有這樣的關(guān)系：CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室平28CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室其它的集中量數(shù)1、加權(quán)平均數(shù)（單位權(quán)重不相等時）2、計算公式：1、2、9860829680659688省區(qū)號人數(shù)平均分12345678627268400670411314610500合計3800665例：某課題進(jìn)行了一項調(diào)查，各省區(qū)的取樣人數(shù)及平均分如右表：求這次課題的總平均分CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室其29CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室使用次數(shù)分布表計算平均數(shù)根據(jù)次數(shù)分布表計算平均數(shù)，需要用各組區(qū)間的組中值來代表落入該區(qū)間的各個原始數(shù)據(jù)，并假設(shè)各區(qū)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是圍繞這個數(shù)均勻分布的。基于這個假設(shè)可得出以下公式：用上面的公式計算可能其值比較大，我們可以用下面的估計公式，其計算可能要簡便很多其中：CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室使30CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室例解：根據(jù)公式可得：9表1：某班成績分布區(qū)間f93-9590-9287-8984-8681-8378-805451211441合計dfdXc949188858279_3210-1-2315850-11-8fXc47036444010209023163512根據(jù)另一個公式：可得：CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室例31CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第三節(jié)幾何平均數(shù)一、幾何平均數(shù)的概念及應(yīng)用時機(jī) （一）概念 它是N個數(shù)值連乘積的N次方根，用符號MG表示(3.5)CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第32CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室1、求一組等比或近似等比數(shù)據(jù)的平均數(shù)時。2、一組數(shù)據(jù)中，有少數(shù)偏大或偏小的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)偏態(tài)，求平均數(shù)時。3、在教育上，主要應(yīng)用幾何平均數(shù)求平均發(fā)展速度或?qū)δ稠椖繕?biāo)進(jìn)行預(yù)測估計。（二）應(yīng)用時機(jī)CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室133CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室（一）直接公式法例6求2，8，32，125，502的幾何平均數(shù)。解：由于這組數(shù)屬于近似等比數(shù)列，故應(yīng)用公式（3.5），得=31.72二、幾何平均數(shù)的計算方法CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室（34CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室例7已知某校四年中各年度的學(xué)生人數(shù)分別為上一年的1.12倍，1.09倍，1.08倍和1.06倍，求每年的平均增長率。解：先求出平均發(fā)展速度

然后用公式：平均增長率=平均發(fā)展速度-1，求出年平均增長率。平均增長率=1.09-1=0.09故所求的年平均增長率為9%。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室例35CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室設(shè)a0,a1,…,aN是N個年度中各年度某種數(shù)量值，其中a0是初期量，

aN是末期量。X1,X2,…,XN為各年度發(fā)展速度，即

（3.6）（二）只用首末項求幾何平均數(shù)CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室設(shè)36CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

例8某重點高中1994-1999年招收新生人數(shù)如下表，求年平均增長率。年份199419951996199719981999人數(shù)594600612630650700表3-2某高中招生人數(shù)統(tǒng)計表解：由于a0=594,aN=700,N=5,所以年平均發(fā)展速度為

故年平均增長率為（10.3-1)*100%=3%CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室37CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

例10某校辦工廠在1984年創(chuàng)產(chǎn)值10萬元，該廠計劃以年平均增長率為5%的速度遞增，試估計到2004年該廠可創(chuàng)產(chǎn)值多少萬元。解：由得：aN=a0(1+平均增長率）N=10×（1+0.05）20=26.53（萬元）CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室38CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室作業(yè)1、某班60名學(xué)生的外語成績列成次數(shù)分布如下，試求其算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)。組別人數(shù)向上累積次數(shù)90-9426085-8935880-8455575-7985070-7494265-69163360-64101755-594750-542345-4911∑60

CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室作39CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室2、某縣教師人數(shù)1990年為2000人，1994年為2800人，求其平均增長率；若照此速度增長，試估計2002年該縣的教師人數(shù)為多少？CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室240CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室?guī)缀纹骄鶖?shù)1、計算公式：2、幾何平均數(shù)的應(yīng)用

A：一組數(shù)據(jù)中有少數(shù)數(shù)據(jù)偏大或偏小，數(shù)據(jù)分布呈偏態(tài)、心理物理學(xué)中等距與等比量表實驗數(shù)據(jù)

B：一組數(shù)據(jù)彼此間變異較大，幾乎是按一定的比例關(guān)系變化，求平均增長率其公式的變式是：CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室?guī)?1CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室例某市近幾年來高中畢業(yè)生人數(shù)如下表，試求其平均增長率，照此速度增長，到1995年統(tǒng)計有多少高中生？年度學(xué)生數(shù)變化率19871988198919901991200022002430260028801.10001.10451.07001.1077解：此題是求平均增長率，以1987年為基數(shù)，求4年的平均增長率4年后的高中生人數(shù)為：CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室例42CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室調(diào)和平均數(shù)（倒數(shù)平均數(shù)）1、計算公式2、調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用該平均數(shù)主要是求速度的設(shè)計中用得較多A：工作量固定，記錄各被試完成相同工作所花的時間B：學(xué)習(xí)時間一定，記錄一定時間內(nèi)各被試完成的工作量CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室調(diào)43CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室練習(xí)十個家庭的年收入：

54000390003750036750352503150031500315003150025500思考：你會選擇用什么數(shù)作為這批數(shù)據(jù)中心值的代表？為什么？

CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室練44CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室確定下列頻數(shù)表中數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)和眾數(shù)。分組區(qū)間頻數(shù)12～1429～1146～853～530～21CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室確45CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室作業(yè)

P79

2、3、4、5CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室作46CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

用次數(shù)分布表和次數(shù)分布圖來表現(xiàn)分?jǐn)?shù)的分布情況，簡單、明了、形象直觀，但是還不能說明已經(jīng)非常概括。 因此人們想到用一些具有特殊性質(zhì)的數(shù)來描繪數(shù)據(jù)群的分布特征，習(xí)慣上稱這些為特征量數(shù):1.總體參數(shù)(常數(shù)，用希臘字母來表示)2.樣本統(tǒng)計量（用英文字母來表示）CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室47CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室一個隨機(jī)變量取值分布有什么特征呢？

1、中心位置：用來描述一組數(shù)據(jù)分布中大量數(shù)據(jù)向某方向集中的程度。如：算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)等。2、離散性：就是對一組數(shù)據(jù)的變異性特點進(jìn)行度量的描述的統(tǒng)計量，也稱離散量數(shù)（measuresofdispersion）。如：全距、四分位差、百分位差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差與方差等等。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室一48CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室集中量數(shù)（中心位置）與差異量數(shù)（離散性）的關(guān)系圖CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室集49CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第一節(jié)集中量數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)的概念及適用條件（一）概念 是一組同質(zhì)數(shù)據(jù)值的總和除以數(shù)據(jù)總個數(shù)所得的商。亦稱均數(shù)，均值，用表示。樣本總體CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第50CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室51CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

例1某班選八名同學(xué)參加年級數(shù)學(xué)競賽，成績分別為82，90，95，88，90，94，80，93。求其平均成績。

CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室52CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室1、適用于同質(zhì)數(shù)據(jù)。2、要求一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)都比較準(zhǔn)確、可靠，若數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限是時，不能計算平均數(shù)。3、無極端值出現(xiàn)。4、需要得到一個相對精確可靠的集中量數(shù)或進(jìn)一步參與其他運算時。（二）適用條件CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室153CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

有時每個數(shù)據(jù)在其整體中的所占的權(quán)重（重要程度）不同。它是指一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)與其權(quán)數(shù)乘積的總和除以權(quán)數(shù)總和所得之商，用符號表示。２.加權(quán)平均數(shù)CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室54CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

例2某年級四個班的學(xué)生人數(shù)分別為50人，52人，48人，51人，期末數(shù)學(xué)考試各班的平均成績分別為90分，85分，88分，92分，求年級的平均成績。解：=88.74CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室 55CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室組別組中值Xc次數(shù)ffXc90-9492327685-89871087080-848215123075-7977861670-7472536065-6967320160-6462424855-59572114∑503915表3-1某班50人外語成績次數(shù)分布表CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室組56CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

對于已列成次數(shù)分布表的分組數(shù)據(jù)，其算術(shù)平均數(shù)的計算公式為（3.3）

式中Xc為組中值；f為各組次數(shù)，即權(quán)數(shù)；N為總次數(shù)=∑f。

例3某班50人外語期末考試成績的次數(shù)分布如下，求全班學(xué)生的平均成績。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室 57CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室解：將表中數(shù)據(jù)代入公式（3.3），得說明：利用次數(shù)分布求得的算術(shù)平均數(shù)是一個近似值。因為我們先假設(shè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是均勻分布的，利用各組中值分別代表各組數(shù)據(jù)，這顯然與實際不符，把這一誤差叫分組誤差。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室解58CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室平均數(shù)的特點

（1）在一組數(shù)據(jù)中每個變量與平均數(shù)之差（稱為離均差）的總和等于0，即：（2）在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)都加上一個常數(shù)C，則所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加常數(shù)C，即（3）在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)都乘以一個常數(shù)C所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘以常數(shù)C，即（４）各觀察值與算術(shù)平均數(shù)之差的平方和為最小，即設(shè)X0為非的任意值。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室平59CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室平均數(shù)的意義算術(shù)平均數(shù)是真值（總體均值）的最好估計值，數(shù)學(xué)證明設(shè)：觀測值與平均數(shù)的差為

與真值的差為：

對離均差分別求和則：因為：即：代入得當(dāng)n時，趨近于0故CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室平60CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點1、反應(yīng)靈敏是算術(shù)平均數(shù)的重要優(yōu)點2、嚴(yán)密確定是算術(shù)平均數(shù)的另一個優(yōu)點3、算術(shù)平均數(shù)適合進(jìn)一步的代數(shù)運算4、與其他集中量數(shù)指標(biāo)相比，算術(shù)平均數(shù)受抽樣變動的影響較小。樣本的平均數(shù)的抽樣誤差小，它是總體均數(shù)的最好估計值5、算術(shù)平均數(shù)也有缺點：如容易受極端數(shù)值的影響，如果某一個數(shù)值大小無法確定時無法計算CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室算61CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室計算和應(yīng)用平均數(shù)的原則1、同質(zhì)性的原則2、平均數(shù)與個體數(shù)值相結(jié)合的原則3、平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合的原則CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室計62CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第二節(jié)中位數(shù)一、中位數(shù)的概念及適用條件 （一）概念 中位數(shù)是位于一組有序數(shù)據(jù)中間位置的量數(shù)。也稱中數(shù)，用Mdn表示。它是將一組有序數(shù)據(jù)的個數(shù)分為相等兩部分的那個數(shù)據(jù)，它可能是原始數(shù)據(jù)中的一個，也可能是通過計算得到的一個數(shù)。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第63CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室 1、當(dāng)一組數(shù)據(jù)有極端值出現(xiàn)時。

2、當(dāng)一組有序數(shù)據(jù)兩端有個別數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限時。

3、當(dāng)需要快速估計一組數(shù)據(jù)的代表值時。二、中位數(shù)的計算方法 （一）未分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計算方法一組數(shù)據(jù)未分組，先排序，中位數(shù)取決于數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。（二）適用條件CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室 64CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

當(dāng)數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)時，則以第（N+1）/2個位置上的數(shù)據(jù)作為中位數(shù)。 當(dāng)數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)時，則取居中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為中位數(shù)。即取第（N+1）/2處作為中位數(shù)的位置，其位置左右兩數(shù)據(jù)的平均值即為中位數(shù)。 例如求80，93，90，81，85，88，92，84的中位數(shù)時，先排序：80，81，84，85，88，90，92，93，再求（N+1）/2=4.5，這說明中位數(shù)的位置在第四個和第五個數(shù)的中間，即（85+88）/2=86.5。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室 65CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室對分組數(shù)據(jù)常將N/2位置對應(yīng)的數(shù)據(jù)看成中位數(shù)。計算公式為：（3.4）（二）分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計算方法CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室對66CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

計算步驟： （1）求N/2； （2）確定中位數(shù)所在組，由下向上累積次數(shù)，直到大于或等于N/2一組為止，該組就是中位數(shù)所在組； （3）求出中位數(shù)所在組的精確下限； （4）求出中位數(shù)所在組以下的累積次數(shù)Fb;

（5）確定組距及中位數(shù)所在組的次數(shù)f;

（6）將以上各值代入公式（3.4）中。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室 67CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

例5求表3-1的中位數(shù)。 解：（1）N/2=50/2=25； （2）由下向上累積次數(shù)，75-79組對應(yīng)的累積次數(shù)為22，80-84組對應(yīng)的累積次數(shù)為37，故中位數(shù)在80-84組； （3）Lb=79.5； （4）Fb=2+4+3+5+8=22;

（5）i=5,f=15； （6）將上述值代入（3.4），得

Mdn=79.5+(25-22)/15*5=80.5CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室 68CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第二節(jié)中數(shù)(Md)與眾數(shù)(Mo)1、中數(shù)(median)：一組數(shù)據(jù)由小到大排列后，處于中間位置的那個數(shù)叫中數(shù)。它可以是原數(shù)列中的某數(shù)也可能不是。2、中數(shù)求法

用原始數(shù)據(jù)求中數(shù)，采用觀察法，又分幾種情況。①數(shù)據(jù)分?jǐn)?shù)是奇數(shù)，中數(shù)附近無重復(fù)例.5,3,7,4,1Mdn=4②數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)，中數(shù)附近無重復(fù)例.2，3，3，6，7，8，10，11Mdn=(6+7)/2=6.5③中數(shù)附近有重復(fù)，找代表點

奇數(shù)個：中數(shù)位置兩旁有一個與它自己相等即有重復(fù)。偶數(shù)個：中數(shù)位置兩旁兩數(shù)相等為有重復(fù)。如：2，4，5，5，6，8，10CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第69CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室用歸類數(shù)據(jù)求中數(shù)，采用公式法。級別次數(shù)93-9590-9287-8984-8681-8378-805451211441合計表1：某班成績分布其中L為中數(shù)所在組精下限；Fb為中數(shù)所在組下一組的累積次數(shù)；f為中數(shù)所在組簡單次數(shù)；

i為組距，N為總次數(shù)如右表其中位數(shù)為：CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室用70CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室中數(shù)的評價1、根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算而來2、計算簡單，概念簡單明了3、觀察結(jié)果中有極端值及不清楚或模糊數(shù)時可使用4、反應(yīng)不夠靈敏，極端值的變化對中數(shù)無影響5、不如平均數(shù)穩(wěn)定，受抽樣影響大6、中數(shù)不能作進(jìn)一步的代數(shù)運算CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室中71CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室眾數(shù)（Mode)1、眾數(shù)：指次數(shù)分布中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)值2、計算眾數(shù)的方法A、直接觀察法B、用公式求眾數(shù)皮爾遜經(jīng)驗法CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室眾72CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室眾數(shù)的評價

概念簡單明了，容易理解，不受極端及模糊數(shù)據(jù)影響，但反應(yīng)不夠靈敏，易受分組的影響，不能進(jìn)一步代數(shù)運算，受抽樣變動的影響較大，所以使用的范圍較小CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室眾73CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室平均數(shù)、中數(shù)與眾數(shù)的關(guān)系1、在正態(tài)分布中，這三者是相等的2、在正偏態(tài)分布中，M>Md>Mo在負(fù)偏態(tài)分布中，M<Md<Mo皮爾遜的研究發(fā)現(xiàn)，它們之間有這樣的關(guān)系：CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室平74CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室其它的集中量數(shù)1、加權(quán)平均數(shù)（單位權(quán)重不相等時）2、計算公式：1、2、9860829680659688省區(qū)號人數(shù)平均分12345678627268400670411314610500合計3800665例：某課題進(jìn)行了一項調(diào)查，各省區(qū)的取樣人數(shù)及平均分如右表：求這次課題的總平均分CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室其75CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室使用次數(shù)分布表計算平均數(shù)根據(jù)次數(shù)分布表計算平均數(shù)，需要用各組區(qū)間的組中值來代表落入該區(qū)間的各個原始數(shù)據(jù)，并假設(shè)各區(qū)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是圍繞這個數(shù)均勻分布的?；谶@個假設(shè)可得出以下公式：用上面的公式計算可能其值比較大，我們可以用下面的估計公式，其計算可能要簡便很多其中：CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室使76CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室例解：根據(jù)公式可得：9表1：某班成績分布區(qū)間f93-9590-9287-8984-8681-8378-805451211441合計dfdXc949188858279_3210-1-2315850-11-8fXc47036444010209023163512根據(jù)另一個公式：可得：CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室例77CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第三節(jié)幾何平均數(shù)一、幾何平均數(shù)的概念及應(yīng)用時機(jī) （一）概念 它是N個數(shù)值連乘積的N次方根，用符號MG表示(3.5)CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室第78CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室1、求一組等比或近似等比數(shù)據(jù)的平均數(shù)時。2、一組數(shù)據(jù)中，有少數(shù)偏大或偏小的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)偏態(tài)，求平均數(shù)時。3、在教育上，主要應(yīng)用幾何平均數(shù)求平均發(fā)展速度或?qū)δ稠椖繕?biāo)進(jìn)行預(yù)測估計。（二）應(yīng)用時機(jī)CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室179CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室（一）直接公式法例6求2，8，32，125，502的幾何平均數(shù)。解：由于這組數(shù)屬于近似等比數(shù)列，故應(yīng)用公式（3.5），得=31.72二、幾何平均數(shù)的計算方法CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室（80CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室例7已知某校四年中各年度的學(xué)生人數(shù)分別為上一年的1.12倍，1.09倍，1.08倍和1.06倍，求每年的平均增長率。解：先求出平均發(fā)展速度

然后用公式：平均增長率=平均發(fā)展速度-1，求出年平均增長率。平均增長率=1.09-1=0.09故所求的年平均增長率為9%。CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室例81CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室設(shè)a0,a1,…,aN是N個年度中各年度某種數(shù)量值，其中a0是初期量，

aN是末期量。X1,X2,…,XN為各年度發(fā)展速度，即

（3.6）（二）只用首末項求幾何平均數(shù)CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室設(shè)82CompanyLogo集美大學(xué)教師教育學(xué)院應(yīng)用心理教研室

例8某重點高中1994-1999年招收新生人數(shù)如下表，求年平均增長率。年份199419951996199719981999人數(shù)594600612630