函數(shù)單調(diào)性極值及凹凸性拐點課件

證應(yīng)用拉氏定理,得第1頁/共86頁證應(yīng)用拉氏定理,得第1頁/共86頁1例1解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性．第2頁/共86頁例1解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導數(shù)在這一區(qū)22．單調(diào)區(qū)間求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)．定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點．方法:第3頁/共86頁2．單調(diào)區(qū)間求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但3例2解單調(diào)區(qū)間為第4頁/共86頁例2解單調(diào)區(qū)間為第4頁/共86頁4例3解單調(diào)區(qū)間為第5頁/共86頁例3解單調(diào)區(qū)間為第5頁/共86頁5例4證注意:區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,第6頁/共86頁例4證注意:區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,6二、函數(shù)的極值1．函數(shù)極值的定義第7頁/共86頁二、函數(shù)的極值1．函數(shù)極值的定義第7頁/共86頁7定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.第8頁/共86頁定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極82．函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,第9頁/共86頁2．函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,第9頁/9定理2(第一充分條件)(是極值點情形)第10頁/共86頁定理2(第一充分條件)(是極值點情形)第10頁/共86頁10求極值的步驟:(不是極值點情形)第11頁/共86頁求極值的步驟:(不是極值點情形)第11頁/共86頁11例1解列表討論極大值極小值第12頁/共86頁例1解列表討論極大值極小值第12頁/共86頁12圖形如下第13頁/共86頁圖形如下第13頁/共86頁13定理3(第二充分條件)證同理可證(2).第14頁/共86頁定理3(第二充分條件)證同理可證(2).第14頁/共86頁14例2解圖形如下第15頁/共86頁例2解圖形如下第15頁/共86頁15注意:第16頁/共86頁注意:第16頁/共86頁16例3解注意:函數(shù)的不可導點,也可能是函數(shù)的極值點.第17頁/共86頁例3解注意:函數(shù)的不可導點,也可能是函數(shù)的極值點.第17頁/17三、曲線的凹凸性與拐點問題:如何研究曲線的彎曲方向?1．曲線的凹凸性第18頁/共86頁三、曲線的凹凸性與拐點問題:如何研究曲線的彎曲方向?1．曲線18圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方第19頁/共86頁圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方19定義第20頁/共86頁定義第20頁/共86頁201．凹凸性的判定定理1第21頁/共86頁1．凹凸性的判定定理1第21頁/共86頁21例1解注意到,第22頁/共86頁例1解注意到,第22頁/共86頁222、曲線的拐點及其求法①

拐點的定義注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.②拐點的求法證第23頁/共86頁2、曲線的拐點及其求法①拐點的定義注意:拐點處的切線必在23方法1:第24頁/共86頁方法1:第24頁/共86頁24例2解凹的凸的凹的拐點拐點第25頁/共86頁例2解凹的凸的凹的拐點拐點第25頁/共86頁25第26頁/共86頁第26頁/共86頁26方法2:例3解第27頁/共86頁方法2:例3解第27頁/共86頁27注意:第28頁/共86頁注意:第28頁/共86頁28例4解第29頁/共86頁例4解第29頁/共86頁29四、函數(shù)圖形的描繪如果函數(shù)f(x)

的定義域上的某個小區(qū)間中（1）單調(diào)性已知；（2）凹凸性已知；（3）區(qū)間端點的位置已知或變化趨勢已知；那么可以很容易地畫出函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)的圖形．第30頁/共86頁四、函數(shù)圖形的描繪如果函數(shù)f(x)的定義域上的某個小區(qū)301．漸近線定義:(1)鉛直漸近線(verticalasymptotes)第31頁/共86頁1．漸近線定義:(1)鉛直漸近線(verticalas31例如有鉛直漸近線兩條:第32頁/共86頁例如有鉛直漸近線兩條:第32頁/共86頁32(2)水平漸近線例如有水平漸近線兩條:第33頁/共86頁(2)水平漸近線例如有水平漸近線兩條:第33頁/共86頁33(3)斜漸近線斜漸近線求法:第34頁/共86頁(3)斜漸近線斜漸近線求法:第34頁/共86頁34注意:例1解第35頁/共86頁注意:例1解第35頁/共86頁35第36頁/共86頁第36頁/共86頁36第37頁/共86頁第37頁/共86頁372．函數(shù)圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第38頁/共86頁2．函數(shù)圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步38第三步第四步

確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢;第五步第39頁/共86頁第三步第四步確定函數(shù)圖形的水平、鉛393．函數(shù)作圖舉例例2解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.第40頁/共86頁3．函數(shù)作圖舉例例2解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.第40頁/共40列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:不存在拐點極值點間斷點第41頁/共86頁列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:不存在拐點極值41作圖第42頁/共86頁作圖第42頁/共86頁42第43頁/共86頁第43頁/共86頁43例3解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對稱.第44頁/共86頁例3解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對稱.第44頁/共86頁44拐點極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點第45頁/共86頁拐點極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點45第46頁/共86頁第46頁/共86頁46例4解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:第47頁/共86頁例4解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極47拐點極大值極小值第48頁/共86頁拐點極大值極小值第48頁/共86頁48第49頁/共86頁第49頁/共86頁49五、小結(jié)思考題

1.

單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用，定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.

應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式.第50頁/共86頁五、小結(jié)思考題1.單調(diào)性的判別是拉格朗日中50

駐點和不可導點統(tǒng)稱為臨界點.

函數(shù)的極值必在臨界點取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)2.

極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.3.曲線的彎曲方向——凹凸性；凹凸性的判定.

改變彎曲方向的點——拐點;拐點的求法①②.第51頁/共86頁駐點和不可導點統(tǒng)稱為臨界點.函數(shù)的極51

4.函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究,是導數(shù)應(yīng)用的綜合考察.最大值最小值極大值極小值拐點凹的凸的單增單減第52頁/共86頁4.函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究52思考題第53頁/共86頁思考題第53頁/共86頁53思考題解答不能斷定.例但第54頁/共86頁思考題解答不能斷定.例但第54頁/共86頁54當時，當時，注意可以任意大，故在點的任何鄰域內(nèi)，都不單調(diào)遞增．第55頁/共86頁當時，當55思考題下命題正確嗎？第56頁/共86頁思考題下命題正確嗎？第56頁/共86頁56思考題解答不正確．例第57頁/共86頁思考題解答不正確．例第57頁/共86頁57在–1和1之間振蕩故命題不成立．第58頁/共86頁在–1和1之間振蕩故命題不成立．第58頁/共86頁58思考題

在地面上建有一座圓柱形水塔，水塔內(nèi)部的直徑為d,并且在地面處開了一個高為H的小門.現(xiàn)在要對水塔進行維修施工，施工方案要求把一根長度為l(l>d)的水管運到水塔內(nèi)部.請問水塔的門多高時，才有可能成功地把水管搬進水塔內(nèi)？第59頁/共86頁思考題在地面上建有一座圓柱形水塔，水塔內(nèi)部的59水管運進水塔時,一端在地面上滑動,另一端在水塔壁上垂直滑動.設(shè)水管運動過程中,在入門處的高度為h,水管與地面的夾角為根據(jù)題意可知：xyhdlO現(xiàn)在計算h的極大值.解建立如右圖示坐標系.第60頁/共86頁水管運進水塔時,一端在地面上滑動,另一端在水塔壁上垂直滑60第61頁/共86頁第61頁/共86頁61第62頁/共86頁第62頁/共86頁62思考題

某雜技團刻意求新,在某海濱城市演出時,利用當?shù)乜亢５臈l件,設(shè)計了這樣一個節(jié)目：在離開海邊9米的沙灘上,建一10米高臺,高臺下5米處置一極富彈性的斜面(用彈簧編織而成),斜面與水平面成角.然后讓演員從高臺團身跳下,與斜面碰撞(假定為彈性碰撞)后將其彈到海里.不知這個方案是否可行，請鑒定.第63頁/共86頁思考題某雜技團刻意求新,在某海濱城市演出時63分析：如右圖示,演員的表演分三個階段完成：自由落體,碰撞,平拋.判斷該方案是否可行,就是看經(jīng)過這樣的運動之后能否平安地落入海中.這只需計算平拋階段的水平距離是否大于9米即可.

記高臺、高臺距斜面的高度分別為H和h,顯然,s是h的函數(shù),問題轉(zhuǎn)化為求s(h)的極大值.00h0Hs演員碰到斜面時的速度可計算得,第64頁/共86頁分析：如右圖示,演員的表演分三個階段完成：自由落體,碰撞64由于假定是彈性碰撞，因而他水平飛出的速度,演員從(H-h)處自由下落需要的時間為故演員水平飛出的距離為即把斜面放在全高的一半處,就可得到最大的水平距離.即第65頁/共86頁由于假定是彈性碰撞，因而他水平飛出的速度,演員從(H-h)65飛出的距離可達10米,而高臺離海邊僅9米,故方案是可行的.第66頁/共86頁飛出的距離可達10米,而高臺離海邊僅9米,故方案是可行的66思考題第67頁/共86頁思考題第67頁/共86頁67思考題解答例第68頁/共86頁思考題解答例第68頁/共86頁68思考題第69頁/共86頁思考題第69頁/共86頁69思考題解答第70頁/共86頁思考題解答第70頁/共86頁70練習題(一)第71頁/共86頁練習題(一)第71頁/共86頁71第72頁/共86頁第72頁/共86頁72練習題(一)答案第73頁/共86頁練習題(一)答案第73頁/共86頁73第74頁/共86頁第74頁/共86頁74練習題(二)第75頁/共86頁練習題(二)第75頁/共86頁75第76頁/共86頁第76頁/共86頁76練習題(二)答案第77頁/共86頁練習題(二)答案第77頁/共86頁77練習題(三)第78頁/共86頁練習題(三)第78頁/共86頁78第79頁/共86頁第79頁/共86頁79練習題(三)答案第80頁/共86頁練習題(三)答案第80頁/共86頁80第五題圖第81頁/共86頁第五題圖第81頁/共86頁81練習題（四)第82頁/共86頁練習題（四)第82頁/共86頁821圖2圖二、練習題（四)答案第83頁/共86頁1圖2圖二、練習題（四)答案第83頁/共86頁833圖三、第84頁/共86頁3圖三、第84頁/共86頁84練習題（四)答案第85頁/共86頁練習題（四)答案第85頁/共86頁85感謝觀看！第86頁/共86頁感謝觀看！第86頁/共86頁86證應(yīng)用拉氏定理,得第1頁/共86頁證應(yīng)用拉氏定理,得第1頁/共86頁87例1解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性．第2頁/共86頁例1解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導數(shù)在這一區(qū)882．單調(diào)區(qū)間求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)．定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點．方法:第3頁/共86頁2．單調(diào)區(qū)間求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但89例2解單調(diào)區(qū)間為第4頁/共86頁例2解單調(diào)區(qū)間為第4頁/共86頁90例3解單調(diào)區(qū)間為第5頁/共86頁例3解單調(diào)區(qū)間為第5頁/共86頁91例4證注意:區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,第6頁/共86頁例4證注意:區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,92二、函數(shù)的極值1．函數(shù)極值的定義第7頁/共86頁二、函數(shù)的極值1．函數(shù)極值的定義第7頁/共86頁93定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.第8頁/共86頁定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極942．函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,第9頁/共86頁2．函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,第9頁/95定理2(第一充分條件)(是極值點情形)第10頁/共86頁定理2(第一充分條件)(是極值點情形)第10頁/共86頁96求極值的步驟:(不是極值點情形)第11頁/共86頁求極值的步驟:(不是極值點情形)第11頁/共86頁97例1解列表討論極大值極小值第12頁/共86頁例1解列表討論極大值極小值第12頁/共86頁98圖形如下第13頁/共86頁圖形如下第13頁/共86頁99定理3(第二充分條件)證同理可證(2).第14頁/共86頁定理3(第二充分條件)證同理可證(2).第14頁/共86頁100例2解圖形如下第15頁/共86頁例2解圖形如下第15頁/共86頁101注意:第16頁/共86頁注意:第16頁/共86頁102例3解注意:函數(shù)的不可導點,也可能是函數(shù)的極值點.第17頁/共86頁例3解注意:函數(shù)的不可導點,也可能是函數(shù)的極值點.第17頁/103三、曲線的凹凸性與拐點問題:如何研究曲線的彎曲方向?1．曲線的凹凸性第18頁/共86頁三、曲線的凹凸性與拐點問題:如何研究曲線的彎曲方向?1．曲線104圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方第19頁/共86頁圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方105定義第20頁/共86頁定義第20頁/共86頁1061．凹凸性的判定定理1第21頁/共86頁1．凹凸性的判定定理1第21頁/共86頁107例1解注意到,第22頁/共86頁例1解注意到,第22頁/共86頁1082、曲線的拐點及其求法①

拐點的定義注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.②拐點的求法證第23頁/共86頁2、曲線的拐點及其求法①拐點的定義注意:拐點處的切線必在109方法1:第24頁/共86頁方法1:第24頁/共86頁110例2解凹的凸的凹的拐點拐點第25頁/共86頁例2解凹的凸的凹的拐點拐點第25頁/共86頁111第26頁/共86頁第26頁/共86頁112方法2:例3解第27頁/共86頁方法2:例3解第27頁/共86頁113注意:第28頁/共86頁注意:第28頁/共86頁114例4解第29頁/共86頁例4解第29頁/共86頁115四、函數(shù)圖形的描繪如果函數(shù)f(x)

的定義域上的某個小區(qū)間中（1）單調(diào)性已知；（2）凹凸性已知；（3）區(qū)間端點的位置已知或變化趨勢已知；那么可以很容易地畫出函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)的圖形．第30頁/共86頁四、函數(shù)圖形的描繪如果函數(shù)f(x)的定義域上的某個小區(qū)1161．漸近線定義:(1)鉛直漸近線(verticalasymptotes)第31頁/共86頁1．漸近線定義:(1)鉛直漸近線(verticalas117例如有鉛直漸近線兩條:第32頁/共86頁例如有鉛直漸近線兩條:第32頁/共86頁118(2)水平漸近線例如有水平漸近線兩條:第33頁/共86頁(2)水平漸近線例如有水平漸近線兩條:第33頁/共86頁119(3)斜漸近線斜漸近線求法:第34頁/共86頁(3)斜漸近線斜漸近線求法:第34頁/共86頁120注意:例1解第35頁/共86頁注意:例1解第35頁/共86頁121第36頁/共86頁第36頁/共86頁122第37頁/共86頁第37頁/共86頁1232．函數(shù)圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第38頁/共86頁2．函數(shù)圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步124第三步第四步

確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢;第五步第39頁/共86頁第三步第四步確定函數(shù)圖形的水平、鉛1253．函數(shù)作圖舉例例2解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.第40頁/共86頁3．函數(shù)作圖舉例例2解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.第40頁/共126列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:不存在拐點極值點間斷點第41頁/共86頁列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:不存在拐點極值127作圖第42頁/共86頁作圖第42頁/共86頁128第43頁/共86頁第43頁/共86頁129例3解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對稱.第44頁/共86頁例3解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對稱.第44頁/共86頁130拐點極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點第45頁/共86頁拐點極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點131第46頁/共86頁第46頁/共86頁132例4解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:第47頁/共86頁例4解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極133拐點極大值極小值第48頁/共86頁拐點極大值極小值第48頁/共86頁134第49頁/共86頁第49頁/共86頁135五、小結(jié)思考題

1.

單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用，定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.

應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式.第50頁/共86頁五、小結(jié)思考題1.單調(diào)性的判別是拉格朗日中136

駐點和不可導點統(tǒng)稱為臨界點.

函數(shù)的極值必在臨界點取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)2.

極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.3.曲線的彎曲方向——凹凸性；凹凸性的判定.

改變彎曲方向的點——拐點;拐點的求法①②.第51頁/共86頁駐點和不可導點統(tǒng)稱為臨界點.函數(shù)的極137

4.函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究,是導數(shù)應(yīng)用的綜合考察.最大值最小值極大值極小值拐點凹的凸的單增單減第52頁/共86頁4.函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究138思考題第53頁/共86頁思考題第53頁/共86頁139思考題解答不能斷定.例但第54頁/共86頁思考題解答不能斷定.例但第54頁/共86頁140當時，當時，注意可以任意大，故在點的任何鄰域內(nèi)，都不單調(diào)遞增．第55頁/共86頁當時，當141思考題下命題正確嗎？第56頁/共86頁思考題下命題正確嗎？第56頁/共86頁142思考題解答不正確．例第57頁/共86頁思考題解答不正確．例第57頁/共86頁143在–1和1之間振蕩故命題不成立．第58頁/共86頁在–1和1之間振蕩故命題不成立．第58頁/共86頁144思考題

在地面上建有一座圓柱形水塔，水塔內(nèi)部的直徑為d,并且在地面處開了一個高為H的小門.現(xiàn)在要對水塔進行維修施工，施工方案要求把一根長度為l(l>d)的水管運到水塔內(nèi)部.請問水塔的門多高時，才有可能成功地把水管搬進水塔內(nèi)？第59頁/共86頁思考題在地面上建有一座圓柱形水塔，水塔內(nèi)部的145水管運進水塔時,一端在地面上滑動,另一端在水塔壁上垂直滑動.設(shè)水管運動過程中,在入門處的高度為h,水管與地面的夾角為根據(jù)題意可知：xyhdlO現(xiàn)在計算h的極大值.解建立如右圖示坐標系.第60頁/共86頁水管運進水塔時,一端在地面上滑動,另一端在水塔壁上垂直滑146第61頁/共86頁第61頁/共86頁147第62頁/共86頁第62頁/共86頁148思考題

某雜技團刻意求新,在某海濱城市演出時,利用當?shù)乜亢５臈l件,設(shè)計了這樣一個節(jié)目：在離開海邊9米的沙灘上,建一10米高臺,高臺下5米處置一極富彈性的斜面(用彈簧編織而成),斜面與水平面成角.然后讓演員從高臺團身跳下,與斜面碰撞(假定為彈性碰撞)后將其彈到海里.不知這個方案是否可行，請鑒定.第63頁/共86頁思考題某雜技團刻意求新,在某海濱城市演出時149分析：如右圖示,演員的表演分三個階段完成：自由落體,碰撞,平拋.判斷該方案是否可行,就是看經(jīng)過這樣的運動之后能否平安地落入海中.這只需計算平