中考中的費(fèi)馬點(diǎn)詳解加練習(xí)

中考中的費(fèi)馬點(diǎn)詳解加練習(xí)中考中的費(fèi)馬點(diǎn)詳解加練習(xí)中考中的費(fèi)馬點(diǎn)詳解加練習(xí)中考中的費(fèi)馬點(diǎn)詳解加練習(xí)編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:皮耶·德·費(fèi)馬（PierredeFermat）是一個17世紀(jì)的法國律師，也是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家。之所以稱業(yè)余，是由于皮耶·德·費(fèi)馬具有律師的全職工作。他的姓氏根據(jù)法文與英文實(shí)際發(fā)音也常譯為“費(fèi)爾瑪”（注意“瑪”字）。費(fèi)馬最后定理在中國習(xí)慣稱為費(fèi)馬大定理，西方數(shù)學(xué)界原名“最后”的意思是：其它猜想都證實(shí)了，這是最后一個。著名的數(shù)學(xué)史學(xué)家貝爾（E.T.Bell）在20世紀(jì)初所撰寫的著作中，稱皮耶·德·費(fèi)馬為”業(yè)余數(shù)學(xué)家之王?！柏悹柹钚牛M(fèi)馬比皮耶·德·費(fèi)馬同時代的大多數(shù)專業(yè)數(shù)學(xué)家更有成就，然而皮耶·德·費(fèi)馬并未在其他方面另有成就，本人也漸漸退出人們的視野，考慮到17世紀(jì)是杰出數(shù)學(xué)家活躍的世紀(jì)，因而貝爾認(rèn)為費(fèi)馬是17世紀(jì)數(shù)學(xué)家中最多產(chǎn)的明星。費(fèi)馬點(diǎn)問題最早是由法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家埃萬杰利斯塔·托里拆利（氣壓計的發(fā)明者）的信中提出的。托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家斯坦納重新發(fā)現(xiàn)了這個問題，并系統(tǒng)地進(jìn)行了推廣，因此這個點(diǎn)也稱為托里拆利點(diǎn)或斯坦納點(diǎn)，相關(guān)的問題也被稱作費(fèi)馬-托里拆利-斯坦納問題。這一問題的解決極大推動了聯(lián)合數(shù)學(xué)的發(fā)展，在近代數(shù)學(xué)史上具有里程碑式的意義?！百M(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn)。若給定一個三角形△ABC的話，從這個三角形的費(fèi)馬點(diǎn)P到三角形的三個頂點(diǎn)A、B、C的距離之和比從其它點(diǎn)算起的都要小。這個特殊點(diǎn)對于每個給定的三角形都只有一個。若三角形3個內(nèi)角均小于120°，那么3條距離連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對三角形三邊的張角相等，均為120°。所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中心。若三角形有一內(nèi)角大于等于120°，則此鈍角的頂點(diǎn)就是距離和最小的點(diǎn)。在1的條件下畫圖找費(fèi)馬點(diǎn)如圖以任意兩邊為邊向兩邊做等邊三角形ABD和等年三角形ACE，則CD,BE交點(diǎn)P即為所求2若在≥120°的鈍角三角形中，其頂點(diǎn)即是。另外，當(dāng)剛好120°,且三角形BCD為等邊三角形時，有個結(jié)論：AD=AB+AC我們拓展一道幾何題，第二問對很多學(xué)生或者老師還是很酥爽的。圖12011房山一摸2009石景山圖125．（本小題滿分7分）已知：等邊三角形ABC如圖1，P為等邊△ABC外一點(diǎn)，且∠BPC=120°．試猜想線段BP、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想；圖2（2）如圖2，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD=120°．圖2求證：PA+PD+PC＞BD我們回到正題：費(fèi)馬點(diǎn)25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的正半軸上，，為△的中線，過、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點(diǎn)、在線段上，求及的長；（3）點(diǎn)為△內(nèi)的一個動點(diǎn)，設(shè)，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時，線段的長.2013房山一摸24．（1）如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且B、C、D三點(diǎn)共線，聯(lián)結(jié)AD、BE相交于點(diǎn)P，求證：BE=AD．（2）如圖2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，聯(lián)結(jié)AD、BE和CF交于點(diǎn)P，下列結(jié)論中正確的是（只填序號即可）①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；（3）如圖2，在（2）的條件下，求證：PB+PC+PD=BE．29.閱讀下面材料:小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC（其中∠BAC是一個可以變化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值。小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合．他的方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將△ABP逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A’BC,連接A’A,當(dāng)點(diǎn)A落在A’C上時,此題可解（如圖2）．(1)請你回答：AP的最大值是．(2)參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，等腰Rt△ABC．邊AB=4,P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，請寫出求AP+BP+CP的最小值長的解題思路.提示:要解決AP+BP+CP的最小值問題，可仿照題目給出的做法.把⊿ABP繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60，得到.請畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形請寫出求AP+BP+CP的最小值的解題思路（結(jié)果可以不化簡）.2016一月昌平28.已知，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，連接OA，OB，OC.（1）如圖1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC.①∠DAO的度數(shù)是；②用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）設(shè)∠AOB=α，∠BOC=β.①當(dāng)α，β滿足什么關(guān)系時，OA+OB+OC有最小值？請在圖2中畫出符合條件的圖形，并說明理由；

②若等邊△ABC的邊長為1，直接寫出OA+OB+OC的最小值.2017年一月昌平29．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)．（1）連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點(diǎn)B，C，P的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，A，E，連接CE．依題意，請在圖2中補(bǔ)全圖形；如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的長．（2）如圖3，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．小慧的作法是：以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，那么就將PA+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為CP+PM+MN的值，連接CN，當(dāng)點(diǎn)P落在CN上時，此題可解．請你參考小慧的思路，在圖3中證明PA+PB+PC=CP+PM+MN．并直接寫出當(dāng)AC=BC=4時，PA+PB+PC的最小值．延伸一下2017年一月海淀28．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且．連接PB，試探究PA，PB，PC滿足的等量關(guān)系．圖1圖1圖2（1）當(dāng)α=60°時，將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，如圖1所示．由≌可以證得是等邊三角形，再由可得∠APC的大小為度，進(jìn)而得到是直角三角形，這樣可以得到PA，PB，PC滿足的等量關(guān)系為；（2）如圖2，當(dāng)α=120°時，請參考（1）中的方法，探究PA，PB，PC滿足的等量關(guān)系，并給出證明；（3）PA，PB，PC滿足的等量關(guān)系為．2016年順義一摸28．已知：在△ABC中，∠BAC=60°．如圖1，若AB=AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且∠APC=150°，PA=3，PC=4，把△APC繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B處，得到△ADB，連接DP①依題意補(bǔ)全圖1；②直接寫出PB的長；如圖2，若AB=AC，點(diǎn)P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度數(shù)；如圖3，若AB=2AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=，PB=5，∠APC=120°，請直接寫出PC的長．26、如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60